预学储备 1.3 二次函数的性质-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9浙教版）

毫期升级训练 数学（浙教版）八年级 1.3 二次 新为 知识点1二次函数y=ax2+bx十c (a≠0)的增减性 若a>0,则当x≤- 时y随x的增大而 减小：当≥一会时y随x的增大而增大若 a<0,则当x≤- 时，y随x的增大而增大； 当x≥- 时少随，的塔大面减小 圆☐下列关于函数y=子+x十1的增减性 的描述，正确的是 ) A.当x≥一2时，y随x的增大而增大 B.当x≤一2时，y随x的增大而增大 C.当x≥0时，y随x的增大而减小 D.当x≤0时，y随x的增大而增大 解桥：因为y=子+x+1=+2》,所以当 x≤一2时，y随x的增大而减小；当x≥一2时， y随x的增大而增大. 答案：A. 练1请在如图所示的平面直角坐标系中画出函 数y=一2x2+4x+5的图象，并写出函数图象 的顶点坐标、对称轴及函数的增减性， y 7 61 2 32p1.4 42 (练1图) 函数的性质 导学 知识点2 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的最大（小）值 若a>0,则当x= 会时y达到最小值： y Aac-b2 Aa 无最大值.若a<0,则当x=一 b 时，y达到最大值：y=4如c一b ;无最小值. 例2已知二次函数y=212-x一4 (1)求函数图象的顶点坐标、对称轴以及图象与 坐标轴的交点坐标，并画出该函数的图象， (2)当x在什么范围内时，y随x的增大而增 大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减 小？求出函数的最大值或最小值. 解：(1)因为a= 1 2,b =-1,c=-4,所以 2a 所以函数图象的顶点 Aa 坐标为1，-》对称销为直线t-1.令y-@… 则21 一x一4=0，解得x1=一2，x2=4.所以函 数图象与x轴的交点坐标是（一2,0），(4,0).令 x=0,则y=一4，所以函数图象与y轴的交点 坐标是(0，一4).该函数的图象如图所示 (2)由图象，可知当x≥1时，y随x的增大而增 大.当x≤1时，y随x的增大而减小.当x= 1时，函数y有最小值一 9 21 3 24101 (例2图) 50 方法归纳 函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的图象与y轴的 交点坐标为(0，c),或针对非一般式，令x=0,求得 的函数值就是函数图象与y轴的交，点的纵坐标.求 函数图象与x轴的交点坐标，可令y=0,求关于x 的一元二次方程，所解得的方程的解就是函数图象 与x轴的交，点的横坐标 练2[2025绍兴诸暨期末]已知y关于x的二 次函数y=x2-2x-3.当-1<x<2时，y的取 值范围是 A.-3<y<0 B.-3≤y<0 C.-4<y<0 D.-4≤y<0 练3求二次函数y=x2-3x-10的图象与 x轴、y轴的交点坐标. 知识点3运用二次函数的性质比较函数值的 大小 借用二次函数的性质进行函数值的大小比 较时，一定要注意函数值的对应点是在函数图 象对称轴的同侧还是异侧.若在同侧，则直接利 预学 1.下列函数中，y随x的增大而减小的是( A.y=x+1 B.y=2x2+1(x>0) C.y=-x2+1(x<0) D.y=-x2+1(x>0) 2.二次函数y=2x2+8x一1的最小值是() A.7 B.-7C.9D.-9 3.已知点A(3,y1),B(4,y2),C(-3,y3)均在 抛物线y=2x2一4x十m上，则下列说法中， 正确的是 A.y3<y2<y1 B.y2<y1<y3 3预学储备 用二次函数的增减性比较；若不在同侧，则可以 通过轴对称变换，将对称轴的异侧点转化为同 侧点，再利用二次函数的增减性进行比较， 例3若A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物 线y=-x2-2x十m-1上的三点，则y1,y2, y3的大小关系为 ( A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y2>y1>y3 解析：由题意，得抛物线的开口向下，对称轴为 直线x=一1.因为点A关于直线x=一1的对 称点A'的坐标为(0，y1),当x≥一1时，y随x 的增大而减小，0<1<2，所以y1>y2>y3. 答案：A. 方法归纳 数形结合法：比较二次函数的函数值大小时， 应先确定二次函数图象的开口方向与对称轴，然后 根据点到对称轴的距离远近进行比较.当图象开口 向下时，距离对称轴越近，该点对应的函数值越大； 距离对称轴越远，该点对应的函数值越小当图象 开口向上时，距离对称轴越近，该点对应的函数值 越小：距离对称轴越远，该点对应的函数值越大， 练4若点(x1y1),(x2y2)在二次函数y= x2+4x-5的图象上，且x1<x2<一2，则y1与 y2之间的大小关系是 (用“>”连接). 过关 C.y3<y1<y2 D.y1<y2<y3 4.已知二次函数y=x2-8.x十c的最小值为0， 则c= 5.已知二次函数y=a(x+h)2十3，当x>2 时，y随x的增大而减小；当x<2时，y随x 的增大而增大，则a 0(填“>”或 “<”),h的值为 6.对于二次函数y=一x2十4x一3，其图象与 x轴的交点的坐标是 ,当x= 时，函数y的最大值是 毫期升级训练数学（浙教版）八年级 7.已知抛物线y=一2x2十4x十6. 9.有一个抛物线形蔬菜大棚，将其截面放在如 (1)用配方法求出它的对称轴和顶点坐标， 图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的 (2)求出该抛物线与坐标轴的交点坐标， 函数表达式可以用y=a.x2十bx来表示.已 (3)当自变量x分别在什么范围内时，y随x 知大棚在地面上的宽度OA为8m,距离点O 的增大而增大？y随x的增大而减小？ 9 (4)当x为何值时，y有最大值或最小值？ 2m处的棚高BC为4m. 求出最大值或最小值. (1)求该抛物线对应的函数表达式. (2)求蔬菜大棚离地面的最大高度， (3)若借助横梁DE建一个门，要求门的高 度不低于m,则横梁DE最长为多少米： y/m D A x/m (第9题) 8.已知抛物线y=a.x2-2x十3经过点A(2,3) (1)求a的值和顶点坐标 (2)若点B(m,n)在该抛物线上，且一2≤ m≤2，求n的取值范围. 523.2=1.4,解得a=一0.05.所以抛物线对应的函数表达 式为y=-0.05(x-6)2+3.2.当y=0时，-0.05(x- 6)2十3.2=0，解得x1=-2(不合题意，舍去)，x2=14.所 以点C与守门员之间的水平距离为14m 3.(1)y=x2一4x十3=(x一2)2-1.(2)对称轴为直线 x=2,顶点坐标为(2，一1).(3)取二次函数图象上的五个 特殊点：(0,3)，(1,0)，(2，一1)，(3,0)，(4,3)，将上述五点 描出，并用光滑的曲线顺次连结，得到如图所示的函数 图象。 32马，0人 34 -2 3 (第3题) 1.3二次函数的性质 【新知导学】 1.因为y=-2x2+4x+5=一2(x-1)2+7,所以列表 如下： 一1 0 1 2 y 5 函数的图象如图所示.结合图象，可得该函数图象的顶点 坐标为(1,7)，对称轴为直线x=1,当x1时，y随x的 增大而增大；当x≥1时，y随x的增大而减小. 717 L--L 314 (第1题) 2.D解析：因为y=x2-2x一3=(x一1)2一4，所以二 次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1.当x=1时， y=一4；当x=-1时，y=4-4=0;当x=2时，y=1- 4=一3.所以当一1<x<2时，y的取值范围是一4 y0. 3.在y=x2一3x一10中，令y=0,则x2一3x一10=0，解 得x1=5,x2=一2；令x=0,则y=一10.所以函数图象 与x轴的交点坐标为(5,0)，（一2,0），与y轴的交点坐标 为(0，-10) 2 4.y1>y2解析：由题意，得函数图象开口向上，对称轴 为直线x=一2.因为x1<x2<一2，所以点(x1y1),(x2, y2)均在对称轴的左侧，y随x的增大而减小.所以 y1>y2. 【预学过关】 1.D解析：选项A中，该函数是一次函数，k=1>0,所 以y随x的增大而增大，不符合题意.选项B,C,D中，函 数图象的对称轴均为y轴，选项B中函数图象开口向上， 当x>0时，y随x的增大而增大，不符合题意.选项C中 函数图象开口向下，当x<0时，y随x的增大而增大，不 符合题意.选项D中函数图象开口向下，当x>0时，y随 x的增大而减小，符合题意 2.D解析：该函数图象的对称轴为直线x=一2，则将 x=一2代人函数表达式，得y=一9，所以函数的最小值 为一9. 3.D解析：抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1.因 为13-1<|4-1<|-3-1，所以y1<y2<y3· 4.16解析：该函数图象的对称轴为直线x=4,所以当 x=4时，y=0,即0=16一32十c,解得c=16. 5.<一2解析：根据题意，知函数图象的对称轴为直 线x=2,所以h=一2.因为当x>2时，y随x的增大而 减小，当x<2时，y随x的增大而增大，所以函数图象开 口向下.所以a<0, 6.(1,0),(3,0)21解析：令y=0,得0=-x2+ 4x一3，解得x1=1,x2=3.所以函数图象与x轴的交点 的坐标是(1,0)，(3,0).因为y=一x2十4x一3=一(x 2)2+1,所以当x=2时，函数y的最大值是1. 7.(1)因为y=-2x2+4x十6=-2(x-1)2+8,所以抛 物线y=一2x2+4x十6的对称轴是直线x=1,顶点坐标 是(1,8).(2)令x=0,得y=6,所以抛物线与y轴的交点 的坐标为(0,6).令y=0,得0=一2x2十4x+6,解得x1= 3,x2=一1.所以抛物线与x轴的交点的坐标为(3,0)， (一1,0).(3)当x≤1时，y随x的增大而增大；当x≥ 1时，y随x的增大而减小.(4)因为一2<0，所以抛物线 开口向下.所以y有最大值，当x=1时，y有最大值8. 8.(1)因为抛物线y=ax2-2x十3经过点A(2,3),所以 3=a×2一2X2十3，解得a=1.所以y=x2一2x十3= (x一1)2+2.所以抛物线的顶点坐标为(1,2).(2)因为抛 物线y=x2-2x十3的对称轴为直线x=1,且开口向上， 所以当x≤1时，y随x的增大而减小；当x≥1时，y随x 的增大而增大.因为一2m2,所以当m=1时，n有最 小值2；当m=一2时，n有最大值11.所以2n11. g.1①由题意，得抛物线y=ar2+:经过点c(2,), 3 4a+2b= 9 4解得 16 A(8,0).所以 所以该拋物 3 64a+8b=0, b= 2 线对应的函数表达式为y=一 2+号.2)因为 3 y=是+2=高红-0+3所以当=4时y 3 有最大值3.所以蔬菜大棚离地面的最大高度是3m. (3)由题意，得当y=多时，DE的长最大，所以受 -音+号，解得=4十2亿=4-22.所以 x1一x2=4十2√2一(4一2√2)=4W2.所以横梁DE最长 为4V2m. 1.4二次函数与一元二次方程的关系 【新知导学】 1.令y=0,得x2+(2a+1)x+(a-2)2=0,则(2a+ 1)2-4(a-2)2=4a2+4a+1-4(a2-4a+4)=20a 15.(1)因为抛物线与x轴有交点，所以20a一15≥0，解 得a≥.(2)因为地物线与r轴无交点，所以20u 15<0,解得a<是 2.C解析：因为x=1.7时，y=x2一x=1.19;x= 1.8时，y=x2-x=1.44,所以方程x2一x=1.2的一个 解的范围是1.7<x<1.8,其一个近似解是x≈1.71. 3.将y=一16代入y=x2+8x,得x2+8x=-16,解得 x1=x2=一4.所以二次函数y=x2十8x的图象与直线 y=一16的交点坐标为（一4，一16） 4.由题意，得该二次函数图象的顶点坐标为(2,1)，所以 设二次函数的表达式为y=a(x一2)2+1.因为二次函数 的图象过点(0,5)，所以4a+1=5,解得a=1.所以y (x-2)2+1,即y=x2一4x+5. 5.因为二次函数图象与y轴交于点(0,3)，所以m+1 3.所以m=2.所以y=-x2+4x十3.当y=0时，-x2十 4x+3=0,解得x=2十√7或x=2-√7.所以二次函数图 象在x轴上截得的线段的长为(2十√7)一(2一√7)=2√7 【预学过关】 1.C解析：由表，可知图象过点（一2,2），(0,2)，所以图 象的对称轴是直线x=一2，十0-一1，因为点(-3,0)在图 2 2 象上，所以易得点(1,0)也在图象上.所以a,x2十bx十c= 0的根是x1=-3,x2=1. 20,0.(-号4)解析：将y=4代入y=-3x2- 2x十4，得-3x2-2x+4=4,解得0=0x=-子所以 二次函数y=一3x2一2x十4的图象与直线y=4的交点 坐标为0,4，（一号4小 3.令x2+2x一8=0，则b2一4ac=4十32=36>0.所以该 二次函数图象与x轴有两个交点.由x2+2x一8=0，解 得x,=一4，x2=2.所以二次函数y=x2十2x一8的图象 与x轴的交点坐标为（一4,0），(2,0). 4.因为二次函数的图象与x轴的交点坐标为（一1,0）， (5,0),所以顶点的横坐标为x-一，十5-2.因为二次函 2 数图象的顶点在函数y=一4.5.x的图象上，所以顶点的 纵坐标为y=一4.5×2=一9.所以顶点的坐标为(2， 一9).设二次函数的表达式为y=a(x+1)(x一5).将 (2,-9)代入y=a(x+1)(x-5),得-9a=一9，解得 a=1.所以该二次函数的表达式为y=(x十1)(x一5)= x2-4x-5. 5.(1)因为[-(a+1)]2-4(2a-2)=a2+2a+1-8a+ 8=a2一6a+9=(a一3)2≥0，所以方程总有两个实数 根.(2)当y=0时，x2-(a+1)x+2a一2=0，所以x= a+1a一3》.所以1=a-1,x2=2.不妨令点A,B的 2×1 坐标分别为(a一1,0)，(2,0).因为AB=4,所以|a一1一 2|=4,解得a=一1或a=7,即a的值为-1或7. 1.5二次函数的应用 第1课时利用二次函数解决 几何图形中的最值问题 【新知导学】 1.(1)答案不唯一，如选右侧：由题意，得H(0,4),I(12, 4),右侧钢缆所在抛物线的顶点为(6,2).设右侧钢缆所在 抛物线对应的函数表达式为y=a1(x一6)2十2.因为 H0,4,所以4=a,0-6+2解待a,=0所以y 18x一6)2+2(0≤x≤12).(2)设桥拱侧面抛物线对应 的函数表达式为y=a2x2.由题意，得F(6,一1.5).把 F(6,-1.5)代人，得-1.5=36a:,解得a,=一2所以 5