预学储备 1.1 二次函数的意义-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9浙教版）

③预学储备 第1章 1.1 二次 新为 知识点1 二次函数的概念 我们把形如y=ax2+bx十c( 是常数，a≠0)的函数叫作二次函数，称a为二 次项系数，b为一次项系数，c为常数项 例1[2024温州段考]下列函数中，y是x的二 次函数的为 () A.y=-3.x2 B.y=2x C.y=x+1 D.y=x3 解析：选项A中y是x的二次函数，故正确；选 项B中y是x的一次函数，故错误；选项C中y 是x的一次函数，故错误；选项D中y是x的三 次函数，故错误 答案：A. 方法归纳 判断函数是否为二次函数，首先是要看它的右 边是否为整式，若是整式且仍能化简的，则要先将 其化简，然后根据二次函数的定义作出判断，要抓 住二次项系数不为0这个关键条件 例2下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是 二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数、 一次项系数和常数项 (1)y=1-3x2+x.(2)y=3x2+2x. ③)y=z(x5)+2.④0y=x十} 解：(1)y=1-3.x2十x是二次函数.二次项系数 为一3，一次项系数为1，常数项为1.(2)y= 3x2十2x是二次函数，二次项系数为3，一次项 系数为2，常数项为0.(3)y=x(x-5)十2化 二次函数 函数的意义 导学 简，得y=x2一5x十2，是二次函数.二次项系数 为1，一次项系数为-5，常数项为2.(4)y= x十1不是二次函数 练1函数y=3x2十(2-3x)(2x十1)是二次函 数吗？若是二次函数，请指出二次项系数、一次 项系数和常数项. 知识点2 列二次函数表达式 与一次函数一样，在实际问题中，可根据题 目的数量关系，建立二次函数模型，并列出二次 函数表达式。 例3如图，有长为24m的篱笆，一边利用墙（墙 的最大可用长度为10m)围成中间隔有一道篱 笆的矩形花圃（篱笆全部用完）.设花圃垂直于 墙的一边AB的长为xm,面积为ym. (例3图) (1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量的 取值范围。 (2)根据列出的函数表达式，将下表补充完整， x/m 6 7 y/m2 39 客期升级训练数学（浙教版）八年级 解：(1)因为花圃垂直于墙的一边AB的长为 xm,所以花圃平行于墙的一边的长为(24 3.x)m.所以y=x(24-3.x)=-3x2十24x.因为 0<24-3z≤10，所以3≤x<8.所以y关于 的画数表达式为y=一3+24：（传<<8月 (2)45:36:21. 练2如图，在长为200m、宽为140m的矩形绿 地内修建等宽的十字形道路，设道路的宽为 xm,绿地面积为ym2. (1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量的 取值范围。 (2)当x=100时，求y的值， (练2图) 预学 1.[2025杭州段考]下列函数中，一定属于y关 于x的二次函数的是 () A.y=x+1 B.y=x2+2 C.y=ax2+bx+c D.y=x2 2.关于函数y=(500一10x)(40十x),下列说 法中不正确的是 () A.y是x的二次函数B.二次项系数是一10 C.一次项是100D.常数项是20000 3.已知二次函数y=ax2一2b(a≠0)，当x= 2时，y=8;当x=-1时，y=-1.a的值为 ,b的值为 .当x=一3时， y的值为 知识点3用待定系数法求二次 函数表达式 求二次函数y=ax2十bx十c( 是常数，a≠0)中各项系数的值，只需将给出的 自变量和相应的函数值代入函数表达式，即可 构建以函数表达式中未知系数为未知数的方程 (组)，通过解方程（组）即可确定未知系数的值. 例4已知二次函数y=3x2十bx十c,当x= 一2时，函数值是0；当x=1时，函数值是6.求 这个二次函数的表达式. 解：由题意，得 3×4-2b+c=0, b=5, 解得 3×1+b+c=6, c=-2. 所以这个二次函数的表达式为y=3x2十 5x-2. 练3已知二次函数y=ax2十bx十3，当x= 1时，y=6;当x=一2时，y=0.求这个二次函 数的表达式. 过关 4.如图，某小区计划在一块长为40m、宽为 26m的矩形空地ABCD上修建三条宽为 xm的通道，使其中两条与AD平行，另一条 与AB平行，其余部分种草.若每块草坪的面 积都为ym2,求y关于x的函数表达式，并 写出自变量的取值范围， -40m 26m D (第4题)整数，所以m的值可取3,4,5.所以一共有3种租车方案： 租甲型客车3辆，租乙型客车5辆：租甲型客车4辆，租乙 型客车4辆；租甲型客车5辆，租乙型客车3辆.(3)设该 中学的租车总费用是心元，则w=400m十320(8一m)= 80m+2560.因为80>0，所以随m的增大而增大.由 (2),知3≤m≤5.5，所以当m=3时，心取最小值，此时 =80×3十2560=2800.所以该中学的租车总费用最少 是2800元. 22.(1)因为C是△ABE关于点A的“勾股点”，所以 CA2=CB2+CE.因为四边形ABCD是矩形，所以 ∠ABC=90°，AB=CD.所以CA2=CB2+AB2=CB2+ CD.所以CE=CD.(2)如图，作△ECD的高线CF,EG 和△AED的高线EH.由题意，得CE=CD=AB=5, DA=DE=BC=6.因为CE=CD,CF⊥DE,所以EF= DF-DE=3,在Rt△CEF中，由勾股定理，得CP- V5-3=4因为Sm=号DE·CF=2CD·EG. 所以BG=DE:CF_6X4=24因为易得∠BGD= CD 5 5 ∠HDG=∠DHE=90°，所以四边形HEGD是矩形. 所以DH=G=器所以AH=6-琴-景在 Rt△AHE中，由勾股定理，得EH=AE一AH;在 Rt△DHE中，由勾股定理，得EH=DE2一DH,所以 AE-AF=DE-DH,即AE-(号)°-6- (得).所以AE=6 5 H E G B (第22题) 方法归纳 几何新定义问题的解题策略 对于此类题目，解题时首先需要结合图形理解定 义，挖掘其中的关键条件；其次是数形结合，利用新定 义得到图形中相关量之间的关系，再建立合适的模型 解决问题.例如本题中必须先理解“勾股点”的定义， 然后根据“C是△ABE关于，点A的‘勾股点”数形结 合，得到CA2=CB2十CE2这一隐含条件，为顺利解题 奠定基础. 2 23.(1)因为(a-4)2+√b-2=0,所以易得a=4,b= 2.所以点A,B的坐标分别为(4,0)，(0,2).把A(4,0), 1 4k+b=0,, B(0,2)代人y=kx十b,得 解得 k=一2'所 b=2, b=2. 以直线1，对应的函数表达式为y=一x十2(2)存 在.因为B(0,2),BP∥x轴，所以点P的纵坐标为2.因为 点P在直线l2:y=x上，所以P(2,2).所以BP=2.所以 1 SAPA=2X2X2=2.因为SA四=S△PA,所以易得点 Q的纵坐标为0或4.因为点Q在直线l2:y=x上，所以 点Q的坐标为(0,0)或(4,4).(3)由题意，可知点M,N 分别在直线l,l2上，点M,N的横坐标都为，所以 M(,-3+2,N(,n.所以MN= -2n+2 1 m=-号n+2分情况讨论：①当∠MDN=90时。 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得 号引-十2-n,解得n=号或n=-4.②当 ∠DNM=90°或∠DMN=90°时，可得 -2+2- 4 n,解得n一5或n=4.综上所述，符合条件的n的值为 号或-4或号或4 3预学储备 第1章二次函数 1.1二次函数的意义 【新知导学】 1.因为y=3x2+(2-3x)(2x+1)化简，得y=-3x2+ x十2，所以该函数是二次函数，二次项系数为一3，一次项 系数为1，常数项为2. 2.(1)由题意，得y=(200-x)(140-x)=x2-340x+ 28000(0<x<140).(2)当x=100时，y=1002-340× 100+28000=4000. 1 a+b+3=6, a= 2 3.由题意，得 解得 所以这个二 (4a-2b+3=0, 5 b2 次函数的束达式为y=2x2+号x十3， 1 【预学过关】 1.D解析：根据二次函数的定义，可知y=x2一定属于 二次函数 2.C解析：y=(500一10x)(40+x)=10x2+100x+ 20000.所以y是x的二次函数，二次项系数是一10，一 次项是100x,常数项是20000. (4a一2b=8, 3.3223解析：由题意，得 解得 a-2b=-1, a=3, 所以y=3x2一4.当x=一3时，y的值为3×9- b=2. 4=23. 4.根据题意，可知六块草坪可合成长为(40一2x)m、宽为 (26-x)m的矩形草坪.所以6y=(40-2x)(26-x).所 以y=-9x+因为x>0,40-2x>0,26 x>0,所以0<x<20.所以y关于x的函数表达式为y= r-9+200<r<20. 1.2二次函数的图象 第1课时 二次函数y=ax2(a≠0)的图象及其特征 【新知导学】 1.（1)列表如下： -3-2 -10 12 3 y=一x2 -9 一4 -10 一4一9… 函数y=一x的图象如图所示.(2)下；y轴， "o 10 (第1题) 2因为二次函数y=ax2(a≠0)图象经过点（分，-1） 所以-1=a×(号)》，解得a=-4所以y=-4x.当 x=1时，y=-4×12=-4:当x=0时，y=0:当x 2时y=-4×(-2）=-1:当x=2时y=-4× 2 2=一16.所以点(0,0)，(2，一16)在函数图象上，点(1， 0.(←21)不在函数图象上 3.因为4>>0，所以函数y=和y=子2的图象 开口向上，且函数y=4x2的图象的开口小于函数y= 子：的图象的开口.所以函数y=4r的图象为0，因数 y=的图象为@.同强，可得函数y=一4r的图象 为0，函数y=-子r的图象为8， 4.顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴，开口向下，图象在 x轴的下方（除顶点外）. 【预学过关】 1.B解析：由题意，可得16=4a,解得a=4.所以y= 4x2.当x=1时，y=4:当x=4时，y=64;当x=一1时， y=4;当x=一2时，y=16.所以选项A,C,D不符合题 意，选项B符合题意 2.C解析：二次函数y=5x2的图象是开口向上的抛物 线，对称轴是y轴，顶点是坐标原点，有最低点，故①②③ 正确，④错误.所以正确的有3个 3.C解析：由题意，可知另一条直角边的长为2x,则 1 y=2x·2=x.因为x>0,且当x=1时，y=1,所以 选项C符合题意 4.D解析：由题意，可知a>0,b>0或a<0,b<0.当 a>0时，b>0,所以函数y=ax2的图象开口向上，函数 y=ax十b的图象经过第一、二、三象限，故选项A,B不符 合题意.当a<0时，b<0,所以函数y=ax2的图象开口 向下，函数y=ax十b的图象经过第二、三、四象限，故选 项C不符合题意，选项D符合题意， 5.2解析：因为二次函数y=a.x2(a≠0)的图象经过点 (-1,2),所以2=a×(-1)2,解得a=2. 6.a>b>d>c解析：根据二次函数y=ax2(a≠0)的 图象特征可知，当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图 象开口向下，且a越大，图象开口越小，la越小，图象开 口越大.所以由题图可知，a>b>d>c. 7.0解析：因为二次函数y=2026x2的图象的对称轴 为y轴，且P,Q两点的纵坐标相同，所以P,Q两点关于 y轴对称.所以t1与t2互为相反数.所以t1十t2=0. 1