专题02 常见相似模型（高效培优专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 聚焦初中几何核心相似模型，系统整合A字型、8字型等五种基础模型，通过分层例题构建从图形识别到综合应用的逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A字型相似|8题|含平行线型、共角型，涉及边长计算、面积比|基于平行线分线段成比例，为相似模型基础| |8字型相似|9题|含梯形、平行四边形及实际应用（测距离）|与A字型构成"平行类"相似，体现转化思想| |子母型相似|10题|公共角+等角构造，多结合中点、角平分线|核心为"AA"判定的直接应用，延伸至比例线段| |一线三等角型相似|8题|含静态证明、动态探究（等腰三角形存在性）|通过构造等角建立相似，培养空间观念| |手拉手型相似|8题|旋转背景下的相似证明，涉及正方形、等边三角形|体现图形变换与相似结合，发展创新意识|

专题02 常见相似模型 题型一 A字型相似 题型二 8字型相似 题型三 子母型相似 题型四 一线三等角型相似 题型五 手拉手型相似 题型一：A字型相似 1.如图，已知，，，，． (1)求和的大小； (2)求的长． 2.如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，． (1)若，求线段的长． (2)若的面积为1，求平行四边形的面积． 3.如图，是的高，点，在边上，点、分别在、边上，，，四边形是正方形，求正方形的边长．    4.如图，在中，，，点E从点C出发，在边上以的速度移动；点D从点A出发，在边上以的速度移动．若点E、D分别同时从点C，A出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止移动．经过多少时间以A，D，E为顶点的三角形与相似？ 5．如图，在中，点、、分别在、、上，，．若，，，求的长度．    6.如图，已知在中，分别交、于点、，为上一点，连接、，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E． (1)求线段DE的长； (2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值． 8.如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值． 题型二：8字型相似 1.如图，梯形中， ，点F在上，连与的延长线交于点G． (1)求证：； (2)当点F是BC的中点时，过F作交于点E，若，，求的长．    2.如图所示，点P是的边的延长线上一点，连结分别交、于点M、N． (1)图中有_________对相似三角形，请写出其中任意三对相似三角形． (2)求证：．    3.如图，F为四边形边上一点，连接并延长交延长线于点E，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 4.如图，点F是平行四边形的边上的一点，直线交线段的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，， ①求的长； ②求的面积． 5.如图，在平行四边形ABCD中，AE：EB＝3：4，DE交AC于点F （1）求与的周长之比； （2）如果的面积为14cm2，求的面积． 6.如图所示，在▱ABCD中，AE：EB＝1：2． （1）求△AEF与△CDF的周长比； （2）如果S△AEF＝6cm2，求S△CDF和S△ADF． 7.如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证； (2)若AB=3，BC=5，CE=2，求的长． 8.如图，在两栋楼房之间的草坪中有一棵树，已知楼房的高度为米，楼房的高度为米，从A处看楼顶C处正好通过树顶E，而D从处看楼顶B处也正好通过树顶E．求这棵树的高度．    9.如图，有一池塘，要测池塘两端的距离，可先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和，连结并延长到点，使，连结并延长到点，使，连结．量得的长为米，求池塘两端的距离． 题型三：子母型相似 1.如图，点是边上一点，且满足． (1)证明：； (2)若，，求的长．    2.如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD． (1)求证：△ABC∽△ACD； (2)若AD＝2，AB＝6．求AC的长． 3.如图，已知中，，点D是AC上一点，． (1)求证：． (2)若点D为AC中点，且，求BC的长． 4.在中，，垂直平分，分别交于点． (1)求证：； (2)求证：． 5.已知在中，是上一点，连接，且． （1）求证 （2）若，，求的长． 6.如图，在中，，，平分交于D． （1）求证：． （2）若，求的长． 7.如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 8.如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B． （1）求证：△AED∽△ADC； （2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长． 9.如图，在中，点D、E分别在边AB，BC上，AE与CD相交于点F．若AE平分，CE=CF． （1）求证：； （2）如图1，过点E作交AC的延长线于点G，求证 （3）如图2，若，AD=2，BD=6，求BE的长． 10.如图，在等边△ABC中，BD＝CE，连接AD、BE交于点F． （1）求∠AFE的度数； （2）求证：AC•DF＝BD•BF； （3）连接FC，若CF⊥AD时，求证：BD＝DC． 题型四：一线三等角型相似 1.如图，在中，点，，分别在，，边上，，． （1）求证：； （2）设，若，求线段的长． 2.如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点． （1）求证：△ABE∽△ECM； （2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由； （3）当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？ 3.如图，在正三角形中，是边上任意一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长．    4.如图，已知中，，，点是边上的一个动点（点与点，不重合），点在边上，．若为等腰三角形，求的长．    5.如图，在中，，在边上，是边上一点，若，，，求的长    6.如图（1），等腰三角形中，，．点，分别在，上，． (1)操作发现：将图（1）中的绕点逆时针旋转，当点落在边上时，交于点，如图（2）．发现：．请证明这个结论． (2)实践探究：将图（1）中的绕点顺时针旋转（），当，，三点在同一条直线上时，连接，如图（3）．请解答以下问题： ①求证：； ②探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 7.如图，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处． (1)求证：； (2)若，，求的长． (3)当点是线段的中点时，求证：． 8.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D为AB边上一点，BD＝4，点E为BC边上的动点，以E为顶点作∠DEF＝60°，射线EF交AC边于点F． (1)如图1，若BE＝1，求CF的长； (2)如图1，当点E在线段BC上运动时，求CF的取值范围； (3)如图2，过点D作DP⊥DE交射线EF于点P，连接AP，当时，求AP的长． 题型五：手拉手型相似 1.如图，已知，连接、，求证： ． 2.如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，连接．求证：． 3.如图1，中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中是点的对应点，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，当点在线段上时，求的面积；    4.如图，在四边形中，．点在内部，且满足 ，． (1)证明：； (2)证明：； (3)证明：． 5.已知：如图，正方形与正方形． (1)如图①，求证：； (2)如图②，求的值； (3)如图③，分别取的中点，试探究：与的关系，并说明理由． 6.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC． （1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC； （2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由． （3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离． 7.问题背景：如图（1），已知，求证：； 尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值； 拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长． 8.在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP． （1）观察猜想 如图1，当时，的值是　 　，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　 　． （2）类比探究 如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由． （3）解决问题 当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常见相似模型 题型一 A字型相似 题型二 8字型相似 题型三 子母型相似 题型四 一线三等角型相似 题型五 手拉手型相似 题型一：A字型相似 1.如图，已知，，，，． (1)求和的大小； (2)求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据相似三角形对应角相等，即可求出和的大小； （2）根据相似三角形对应边成比例，即可求出的长． 【详解】（1）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，； （2）∵， ∴， ∵，，， ∴． 2.如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，． (1)若，求线段的长． (2)若的面积为1，求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2)平行四边形的面积为6． 【分析】（1）证明，根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答； （2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得的面积是16，同理可得的面积是9，根据面积差可得答案． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 的面积为1， 的面积是16， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的面积是9， 平行四边形的面积． 3.如图，是的高，点，在边上，点、分别在、边上，，，四边形是正方形，求正方形的边长．    【答案】 【分析】由四边形是正方形，可得，即可证得，设正方形的边长为 ，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，得方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】四边形是正方形， ∴， 是的高， 是的高， ∵， ∴， ， 设正方形的边长为 ， 则，， ， 解得：， 正方形的边长为． 4.如图，在中，，，点E从点C出发，在边上以的速度移动；点D从点A出发，在边上以的速度移动．若点E、D分别同时从点C，A出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止移动．经过多少时间以A，D，E为顶点的三角形与相似？ 【答案】经过或秒，以A，D，E为顶点的三角形与相似． 【分析】由于相似三角形的对应边不能确定，故应分，两种情况进行讨论． 【详解】解：∵中，，， ∴cm， ∵点D以每秒1个单位长度的速度由A向B运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向A运动， ∴， ∴当时，，即，解得（秒）； 当时，，即，解得（秒）； 综上所述，经过秒或秒时，以A，D，E为顶点的三角形与相似． 5．如图，在中，点、、分别在、、上，，．若，，，求的长度．    【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例，可得，代入数据即可求解． 【详解】∵，， ∴， ∴， 即 ∵，，， ∴， 解得： ． 6.如图，已知在中，分别交、于点、，为上一点，连接、，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）先根据平行线分线段成比例定理得到，进而推出，再根据，即可证明． （2）根据相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E． (1)求线段DE的长； (2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可． 【详解】（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°， ∴∠DAC＝30°， 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°， ∠DAC＝30°，AC＝6， ∴CD＝， 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6， ∴BC＝， ∴BD＝BC－CD＝， ∵DE∥CA， ∴ ， ∴DE＝4； （2）解：如图． ∵点M是线段AD的中点， ∴DM＝AM， ∵DE∥CA， ∴＝． ∴DF＝AG． ∵DE∥CA， ∴＝，＝． ∴＝． ∵BD＝4， BC＝6， DF＝AG， ∴． 8.如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值． 【答案】 【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案； 解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案； 解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案； 解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出， 即可得出答案； 【详解】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H． 因为． 所以， 所以． 因为D为BC的中点，所以． 因为，所以， 所以． 因为M为AD的中点，所以． 所以， 所以． 解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H． 因为，所以， 所以． 因为D为BC的中点，所以． 因为M为AD的中点，所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H． 因为，所以， 所以． 因为M为AD的中点，所以，所以． 因为，所以， 所以． 因为D为BC的中点，且， 所以． 解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H． 在中， 因为M为AD的中点，， 所以N为AH的中点，即． 在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即， 所以． 所以． 题型二：8字型相似 1.如图，梯形中， ，点F在上，连与的延长线交于点G．    (1)求证：； (2)当点F是BC的中点时，过F作交于点E，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2cm 【分析】（1）由平行得到内错角相等，从而得证三角形相似； （2）由相似可证,求证，得；求证是的中位线，得，可求，进而． 【详解】（1）证明：∵梯形， ∴， ∴． （2）解：由（1）， ∴ ∵, ∴, 又， ∴， ∴， ∵，F为中点， ∴为中点， ∴是的中位线， ∴． ∴， ∴． 2.如图所示，点P是的边的延长线上一点，连结分别交、于点M、N．    (1)图中有_________对相似三角形，请写出其中任意三对相似三角形． (2)求证：． 【答案】(1)5；， (2)见解析 【分析】（1）根据相似三角形的判定方法结合平行四边形的性质可得结论； （2）证明得到，再证明得出，从而得到，故可得出结论． 【详解】（1）图中有5对相似三角形，为： 故答案为：5； （2）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又 ∴， ∴， ∵， ∴ 又， ∴ ∴， ∴， ∴ 3.如图，F为四边形边上一点，连接并延长交延长线于点E，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）根据，对顶角相等，即可证明； （2）根据得出相似比，再根据相似比求出的长度，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4.如图，点F是平行四边形的边上的一点，直线交线段的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，， ①求的长； ②求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）利用两角分别相等的两个三角形相似即可求证； （2）①利用相似三角形对应边的比相等和平行四边形对边相等即可求解； ②利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）证明：∵平行四边形中，， ∴， ∴，， ∴． （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． ②∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为6． 5.如图，在平行四边形ABCD中，AE：EB＝3：4，DE交AC于点F （1）求与的周长之比； （2）如果的面积为14cm2，求的面积． 【答案】（1）；（2）cm2． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可证明与是相似三角形，根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解； （2）根据，由结合平行四边形的性质，得到从而可得从而可得答案． 【详解】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴． ∵AE：EB＝3：4， ∴AE：AB＝3：7， ∴ (2) 即＝， 解得： 6.如图所示，在▱ABCD中，AE：EB＝1：2． （1）求△AEF与△CDF的周长比； （2）如果S△AEF＝6cm2，求S△CDF和S△ADF． 【答案】（1）1：3；（2）S△CDF＝54 cm2，S△ADF＝18cm2． 【分析】（1）由题易证△AEF∽△CDF，由相似三角形的性质：周长之比等于相似比即可求出△AEF与△CDF的周长的比； （2）由（1）可知△AEF∽△CDF，由相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方即可求出S△CDF，再根据三角形面积关系求出S△ADF即可． 【详解】解：（1）∵AE：EB＝1：2， ∴AE：AB＝1：3， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴△AEF∽△CDF ∴C△AEF：C△CDF＝EF：DF＝AE：CD＝AE：AB＝1：3， 即△AEF与△CDF的周长比为1：3； （2）∵△AEF∽△CDF， ∴S△AEF：S△CDF＝（AE：CD）2， 即6：S△CDF＝（1：3）2 ∴S△CDF＝6×9＝54（cm2）， ， ∴S△ADF＝3×6＝18（cm2）． 7.如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证； (2)若AB=3，BC=5，CE=2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用AAS证明即可； （2）利用（1）的结论和平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】（1）证明：在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（AAS）； （2）解：∵△AOB≌△DOC， ∴AB＝CD＝3， ∵EF∥CD， ∴， ∴， ∴EF＝． 8.如图，在两栋楼房之间的草坪中有一棵树，已知楼房的高度为米，楼房的高度为米，从A处看楼顶C处正好通过树顶E，而D从处看楼顶B处也正好通过树顶E．求这棵树的高度．    【答案】这棵树的高度是米； 【分析】根据题意可得，，，即可得到，从而得到，，即可得到，，即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，，，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， 答：这棵树的高度是米； 9.如图，有一池塘，要测池塘两端的距离，可先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和，连结并延长到点，使，连结并延长到点，使，连结．量得的长为米，求池塘两端的距离． 【答案】米 【分析】根据，，可得，，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（米）， ∴池塘两端的距离为米． 题型三：子母型相似 1.如图，点是边上一点，且满足．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据相似三角形的判断方法，两角分别相等的两个三角形相似，证明即可； （2）根据相似三角形的性质，得，先求出，即可求出． 【详解】（1）证明：在与中 ，， ∴； （2）解：∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， 解得：， ∴， ． 2.如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD． (1)求证：△ABC∽△ACD； (2)若AD＝2，AB＝6．求AC的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据相似三角形的判定条件证明即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ACD； （2）解：由（1）得：△ABC∽△ACD， ∴＝， ∴， ∴， ∴AC＝或AC＝（舍去）， ∴AC的长为． 3.如图，已知中，，点D是AC上一点，． (1)求证：． (2)若点D为AC中点，且，求BC的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等边对等角可知，，则，，进而可证； （2）由点D为AC中点，，可得，由得即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴． （2）解：∵点D为AC中点， ∴ ∵ ∴即 解得（负值舍去） ∴的长为． 4.在中，，垂直平分，分别交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得，再由线段垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，即可求证； （2）先证明，从而得到，再由，即可求证． (1) 证明：， ， 垂直平分 AB ， ， ， ， ， ； (2) 证明：由（1）知 ， ， ， ， ， ， ． 5.已知在中，是上一点，连接，且． （1）求证 （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解；（2）. 【分析】（1）由题意直接根据相似三角形的判定定理进行分析论证即可； （2）由题意根据相似三角形的性质得出比例式求出AC，再进行分析计算即可求出答案． 【详解】解：（1）证明：∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A， ∴△ABD∽△ACB； （2）由（1）知：△ABD∽△ACB， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴. 6.如图，在中，，，平分交于D． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）由，得，由平分得，故可证； （2）设，则，，，由相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴∠DBC=∠A ∴； （2）设， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴ ∴，即， 解得：或（负值不合题意，舍去）， ∴． 7.如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可； （2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系． 【详解】（1）证明： ，， ， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， AD是△ABC的中线， ， ，即：， ∴． 8.如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B． （1）求证：△AED∽△ADC； （2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC=∠ADB可得出∠ADE=∠C，结合∠DAE=∠CAD即可证出△AED∽△ADC； （2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD=AB即可得出AB的长． 【详解】解：（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB， ∴∠ADE=∠C． 又∵∠DAE=∠CAD， ∴△AED∽△ADC． （2）∵△AED∽△ADC， ∴，即， ∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）． 又∵AD＝AB， ∴AB＝2 9.如图，在中，点D、E分别在边AB，BC上，AE与CD相交于点F．若AE平分，CE=CF． （1）求证：； （2）如图1，过点E作交AC的延长线于点G，求证 （3）如图2，若，AD=2，BD=6，求BE的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）由AE平分∠BAC可得∠BAE=∠CAF；由CE=CF得∠CFE=∠CEF，从而由三角形外角性质可得∠B=∠ACD ，因而易得； （2）由EG∥CD，得∠ACD=∠G=∠B，∠DCB=∠CEG，故可得△DCB∽△CEG，从而可得结论； （3）过点E作交AC的延长线于点G，由（1）得对应边成比例，可求得AC的长，从而在Rt△ADC、Rt△ABC中由勾股定理可分别求得CD、BC的长，易证△BAE≌△GAE，可得CG=AC，再由（2）的结论可求得CE的长，因而可求得BE的长． 【详解】（1）∵AE平分∠BAC ∴∠BAE=∠CAF ∵CE=CF ∴∠CEF =∠CFE ∵∠CEF=∠B+∠BAE，∠CFE=∠ACD+∠CAF ∴∠B=∠ACD ∵∠BAC=∠CAD ∴ （2）∵EG∥CD ∴∠ACD=∠G，∠DCB=∠CEG 由（1）∠B=∠ACD ∴∠B=∠G ∴△DCB∽△CEG ∴ 即 （3）如图，过点E作交AC的延长线于点G 由（1） ∴ ∵AB=AD+BD=8 ∴ ∴AC=4 在Rt△ADC中由勾股定理得： 在Rt△ABC中由勾股定理得： 由（2）知：∠B=∠G，∠BAE=∠CAF ∵AE=AE ∴△BAE≌△GAE(AAS) ∴AG=AB=8 ∴CG=AC=4    由（2）的结论有： 即 ∴ ∴BE=BC-CE= 10.如图，在等边△ABC中，BD＝CE，连接AD、BE交于点F． （1）求∠AFE的度数； （2）求证：AC•DF＝BD•BF； （3）连接FC，若CF⊥AD时，求证：BD＝DC． 【答案】（1）60°；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）证明△ABD≌△BCE（SAS），得出∠BAD＝∠CBE，则∠BFD＝∠AFE＝∠ABC＝60°； （2）证明△ADB∽△BDF，得出，由AB＝AC可得出结论； （3）延长BE至H，使FH＝AF，连接AH，CH，证明△BAF≌△CAH（SAS），得出∠ABF＝∠ACH，CH＝BF，可证明AF∥CH，得出，进而即可得出答案． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD＝∠CBE， ∵∠ADC＝∠CBE+∠BFD＝∠BAD+∠ABC， ∴∠BFD＝∠AFE＝∠ABC＝60°； （2）证明：由（1）知∠BAD＝∠DBF， 又∵∠ADB＝∠BDF， ∴△ADB∽△BDF， ∴， 又AB＝AC， ∴， ∴AC•DF＝BD•BF； （3）证明：延长BE至H，使FH＝AF，连接AH，CH， 由（1）知∠AFE＝60°，∠BAD＝∠CBE， ∴△AFH是等边三角形， ∴∠FAH＝60°，AF＝AH， ∴∠BAC＝∠FAH＝60°， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAH﹣∠CAD， 即∠BAF＝∠CAH， 在△BAF和△CAH中， , ∴△BAF≌△CAH（SAS）， ∴∠ABF＝∠ACH，CH＝BF， 又∵∠ABC＝∠BAC，∠BAD＝∠CBE， ∴∠ABC﹣∠CBE＝∠BAC﹣∠BAD， 即∠ABF＝∠CAF， ∴∠ACH＝∠CAF， ∴AF∥CH， ∵∠AFC＝90°，∠AFE＝60°， ∴CF⊥CH，∠CFH＝30°， ∴FH＝2CH， ∴FH＝2BF， ∵FD∥CH， ∴， ∴BD＝DC． 题型四：一线三等角型相似 1.如图，在中，点，，分别在，，边上，，． （1）求证：； （2）设，若，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）4． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后根据线段的和差即可得． 【详解】（1）， ， 在和中，， ； （2）， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 2.如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点． （1）求证：△ABE∽△ECM； （2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由； （3）当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？ 【答案】（1）证明见解析；（2）能；BE=1或．（3）BE=3时，AM最短为. 【分析】（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证得∠CEM=∠BAE，则可证得△ABE∽△ECM； （2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案； （3）首先设BE=x，由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得CM=﹣+x=﹣（x﹣3）2+，继而求得AM的值，利用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值． 【详解】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C． ∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B． 又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE，∴△ABE∽△ECM； （2）能． ∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM； ①当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1； ②当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA． ∵∠MEA=∠B，∴∠MAE=∠B． ∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴，∴CE=，∴BE=6﹣=． 综上所述：BE=1或． （3）设BE=x． 又∵△ABE∽△ECM，∴，即：，∴CM=﹣+x=﹣（x﹣3）2+，∴AM=5﹣CM=（x﹣3）2+，∴当x=3时，AM最短为． 3.如图，在正三角形中，是边上任意一点，且．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据，，得出，证明，得出，即，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 又， ， ， ； （2）解：是等边三角形，，， ，， 由（1）知， ， 即， ， ． 4.如图，已知中，，，点是边上的一个动点（点与点，不重合），点在边上，．若为等腰三角形，求的长．    【答案】2或 【分析】分两种情况讨论：当时，证明，可得；当时，设，则，证明，可得，，再证明，可得，当，则，此时，重合，舍去，从而可得答案． 【详解】解：（1）当时    ∵， ∴， ∵， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）当时    设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即 解得 ，（不符合题意的根舍去）经检验符合题意； （3）当，则，此时，重合，舍去； ∴的长为2或． 5.如图，在中，，在边上，是边上一点，若，，，求的长    【答案】 【分析】根据得到，结合即可得到，从而得到，即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6.如图（1），等腰三角形中，，．点，分别在，上，． (1)操作发现：将图（1）中的绕点逆时针旋转，当点落在边上时，交于点，如图（2）．发现：．请证明这个结论． (2)实践探究：将图（1）中的绕点顺时针旋转（），当，，三点在同一条直线上时，连接，如图（3）．请解答以下问题： ①求证：； ②探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）证明，可得，即可证明； （2）①由∠，，可证；，，可证：； ②，，可得，由，可得． 【详解】（1）解：在图（）中， ， ； 在图（）中，根据旋转的性质， ， ，， ， ， ， ， ； （2））①在图（1）中， ， ， ， ， 在图（）中，， ， 在和中， ②，理由如下， ， ， ， ， ， ． 7.如图，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处． (1)求证：； (2)若，，求的长． (3)当点是线段的中点时，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用同角的余角相等，先说明，再利用相似三角形的判定得结论； （2）先利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质得方程，求解即可． （3）由，可得，结合为的中点，可得，结合，可得，从而可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴． ∵沿翻折得到， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． （2）∵四边形是矩形， ，， ∴，， ∵沿翻折得到， ∴，． 在中， ． 设CE的长为x，则． ∵， ∴． ∴， 即． ∴， 即． （3）∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D为AB边上一点，BD＝4，点E为BC边上的动点，以E为顶点作∠DEF＝60°，射线EF交AC边于点F． (1)如图1，若BE＝1，求CF的长； (2)如图1，当点E在线段BC上运动时，求CF的取值范围； (3)如图2，过点D作DP⊥DE交射线EF于点P，连接AP，当时，求AP的长． 【答案】(1) (2)0≤CF≤ (3) 【分析】（1）通过证明△BDE∽△CEF，可得，即可求解； （2）当点E与点B重合时，点F与点C重合，CF的最小值为0，由相似三角形的性质可得，求出CF＝，由二次函数的性质可求CF的最大值； （3）由相似三角形的性质可得CE＝2，可证△CEF是等边三角形，△BDE是等边三角形，由直角三角形的性质可求DE的长，PD的长，PH的长，由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：∵△ABC是边长为6的等边三角形，∠DEF＝60°， ∴AB＝BC＝AC＝6，∠ABC＝∠C＝60°， ∵∠DEC＝∠B+∠BDE＝∠DEF+∠CEF， ∴∠BDE＝∠CEF， 又∵∠B＝∠C， ∴△BDE∽△CEF， ∴， ∴＝， ∴CF＝； （2）解：当点E与点B重合时，点F与点C重合，则CF的最小值为0， 由（1）可知：， ∴， ∴CF＝＝， ∴当CE＝3时，CF有最大值， ∴0≤CF≤； （3）解：∵DP⊥DE，∠DEF＝60°， ∴∠DPE＝30°， ∴PE＝2DE，PD＝DE， ∵＝， ∴PF＝3EF， ∴PE＝4EF， ∴DE＝2EF， ∵△BDE∽△CEF， ∴＝＝2， ∴CE＝2，BE＝2CF， ∴BE＝4， ∴CF＝2， ∵∠ACB＝60°， ∴△CEF是等边三角形， ∴EF＝CF＝2， ∴DE＝4，EP＝8， ∴DP＝4， 如图，过点P作PH⊥BA，交BA的延长线于点H， ∵BD＝BE＝4，∠ABC＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴∠BDE＝60°， ∴∠PDH＝180°﹣60°﹣90°＝30°， ∴HP＝PD＝2，DH＝HP＝6， ∴AH＝DH﹣AD＝6﹣2＝4， ∴AP＝＝＝2． 题型五：手拉手型相似 1.如图，已知，连接、，求证： ． 【答案】见解析 【分析】由相似三角形的性质可得，，可得，由两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可证． 【详解】证明：， ，， ． ， ， ． 2.如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，连接．求证：． 【答案】见详解 【分析】可证，，从而可证，可得，即可求证． 【详解】证明：将绕点逆时针旋转得到， ，，， ，， ， ， ， ， ， ． 3.如图1，中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中是点的对应点，且，连接，．    (1)求证：； (2)如图2，当点在线段上时，求的面积； 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）可证，从而可证，可得，可求，即可得证； （2）过作交于，可求，可证，可得，可求，即可求解． 【详解】（1）证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ， ， ， ， 在中： ， ， ． （2）解：如图，过作交于，    由旋转得：， ，， ， ， ， 由（1）同理可证， ， ， ， ， ， 在中： ， ， ， ， ， ． 4.如图，在四边形中，．点在内部，且满足 ，． (1)证明：； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）先证明，推出，即，再得到，即可证明结论； （2）由相似三角形的对应角相等得到，延长交于点，由三角形的外角性质即可证明结论； （3）相似三角形的性质得到和，由勾股定理得到，通过计算即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∴， 即． ∵， ， ∴． ∴； （2）证明：∵， ∴． 延长交于点． 则， ． 故 ； （3）证明：∵， ∴，即． ∵， ∴，即． ∵， ∴． ∴ ． 5.已知：如图，正方形与正方形． (1)如图①，求证：； (2)如图②，求的值； (3)如图③，分别取的中点，试探究：与的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质得出，，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）如图①，连接，由正方形的性质得到证明，即可得到； （3）如图②，连接，过点C作，交直线于H，连接，设与交点为P，与交点为R，证明，得到，则，再证明，即可证明，得到，则，由三角形中位线定理得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵正方形与正方形， ∴，， ∴， ∴ ， ∴； （2）解：如图①，连接， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）解：， 理由如下：如图②，连接，过点C作，交直线于H，连接，设与交点为P，与交点为R， ∵， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，点N是中点， ∴， ∴． 6.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC． （1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC； （2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由． （3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【分析】（1）当α＝60°时，△ABC和△PBD为等边三角形，根据三角形全等即可求证； （2）过点作，求得，根据题意可得，可得，再根据，判定，得到，即可求解； （3）过点作于点，过点作于点，分两种情况进行讨论，当在线段或当在线段延长线上时，设根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）当α＝60°时，∵AB＝AC ∴△ABC为等边三角形， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴△PBD为等边三角形 ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴ （2）过点作，如下图： ∵当α＝120°时， ∴， ∴ 由勾股定理得 ∴ ∴ 由旋转的性质可得：， ∴， 又∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ （3）过点作于点，过点作于点，则点D到CP的距离就是的长度 当在线段上时，如下图： 由题意可得： ∵α＝120°， ∴ 在中，，∴， 在中，，，∴ ∴， 由（2）得 由旋转的性质可得： 设，则 由勾股定理可得： 即，解得 则 当在线段延长线上，如下图： 则， 由（2）得， 设，则 由勾股定理可得： 即，解得 则 综上所述：点D到CP的距离为或 7.问题背景：如图（1），已知，求证：； 尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值； 拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长． 【答案】问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新：． 【分析】问题背景：通过得到，，再找到相等的角，从而可证； 尝试应用：连接CE，通过可以证得，得到，然后去证，，通过对应边成比例即可得到答案； 拓展创新：在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过，，然后利用对应边成比例即可得到答案． 【详解】问题背景：∵， ∴∠BAC=∠DAE， ， ∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴； 尝试应用：连接CE， ∵，， ∴， ∴， ∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴， ∴， 由于，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵ ∴， ∴； 拓展创新： 如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE， ∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，， ∴∠ADE=∠ABC， 又∵∠DAE=∠BAC， ∴， ∴， 又∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴， ∴， 设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 8.在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP． （1）观察猜想 如图1，当时，的值是　 　，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　 　． （2）类比探究 如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由． （3）解决问题 当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值． 【答案】（1）1，（2）45°（3）， 【分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明，即可解决问题． （2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明，即可解决问题． （3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明即可解决问题． ②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O． ， ， ，， ， ，， ， ， ，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是， 故答案为1，． （2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E． ， ， ， ， ，， ， ， 直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为． （3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H． ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， A，D，C，B四点共圆， ，， ， ，设，则，， c． 如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：，设，则，， ， ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $