第二十三章 解直角三角形 单元练习 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

**基本信息** 华东师大版九年级数学上册“解直角三角形”单元复习卷，以锐角三角函数定义及应用为核心，融合现实情境与数学文化，适配单元知识巩固与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|特殊角三角函数值、三角函数定义|如第3题考查tanA=1求角度，夯实基础| |填空题|5/15|互余角三角函数关系、直角三角形性质|如第12题sinα=cos40°求α，强化概念辨析| |解答题|5/75|解直角三角形应用、综合推理|如17题热气球俯角问题（现实应用）、20题“土圭之法”（文化传承），体现数学眼光与应用意识|

第二十三章解直角三角形同步练习 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．计算2cos 30°的值为 （　　） A．1 B． C． D． 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则tan A的值为（　） A． B． C． D． 3．在Rt△ABC中，∠C=90°，若tan A=1，则∠A的度数为（　） A. 30°　 B. 45°　 C. 60°　 D. 90° 4．正六边形的边长为 ，则它的面积为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，平分，交于点D．若的面积为2，则的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边为c，∠A=α，则∠A的对边BC可表示为（　） A. c·cos α　B. c·sin α　C. c·tan α　D. 7．在Rt△ABC中，∠C=90°，则sin A与cos B的关系为（　） A. sin A=cos B　B. sin A+cos B=1　C. sin A·cos B=1　D. sin A=sin B 8．如图，在中，过点作，垂足为．若，，，则的长为（    ）． A． B． C． D． 9．如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径匀速运动，运动到点B时停止，过点P作，交边(或)于点Q．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则a的值为（     ） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．的值为______． 12．若sin α=cos 40°，则α=____。 13．已知在 Rt 中， ，则 的值为　 　. 14．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A:∠B=1:2，则∠A=____，∠B=____。 15．如图，河旁有一座小山，山高，点C，A与河岸E，F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为．若在此处建桥，河宽的长度为______________．（结果精确到1m，参考数据：）    三．解答题（本大题共5小题，共75分） 16．计算： (1)； (2)． 17．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，求AB两点的距离． 18．在中，，，的平分线交于点，如图1． (1)求的度数； (2)作线段的垂直平分线交于点，交的延长线于点（尺规作图，不写作法） (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 19．如图，在中，，为上一点，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，． (1)求冬至时日影的长度； (2)求春分和秋分时日影长度（结果精确到尺）．（参考数据：，，，，，） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B D C B A B A D 11．1 12．α=50° 13． 14．∠A=30°；∠B=60° 15．91m 16. (1) (2)5 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，零指数幂，负整数指数幂等知识，解题的关键是： （1）先把特殊角的三角函数值代入，然后根据二次根式运算法则计算即可； （2）根据零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数等知识计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，求AB两点的距离． 【答案】解：∵从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°， ∴∠BCD=90°﹣45°=45°，∠ACD=90°﹣30°=60°， ∵CD⊥AB，CD=100米， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴BD=CD=100米， 在Rt△ACD中， ∵CD=100米，∠ACD=60°， ∴AD=CD•tan60°=100× =100 （米）， ∴AB=AD+BD=100 +100=100（ +1）米． 答：AB两点的距离是100（ +1）米． 【解析】【分析】先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°可求出∠BCD与∠ACD的度数，再由直角三角形的性质求出AD与BD的长，根据AB=AD+BD即可得出结论． 18．(1) (2) 如图所示，即为所求； (3)6 【分析】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义、垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用直角三角形中角的性质和全等三角形的判定进行推理计算。 （1）利用三角形内角和与角平分线定义求角度； （2）按要求完成尺规作图； （3）由作图知是线段的垂直平分线，求得，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：，， ． 平分， ． ； （2）略 （3）解：如图所示 ，， ． 平分， ． ． 在中，，， ． ． 由作图可知垂直平分， ，， ． 在和中， ， ， ． 19．(1) 证明：∵， ∴； (2)9 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质． （1）由等角对等边，即可证明； （2）由等腰三角形的三线合一性质推出，由含角的直角三角形的性质推出，可得答案； 【详解】（1）略 （2）解：∵平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即的长为． 20．(1)16尺 (2)尺 【分析】本题主要查了解直角三角形的实际应用： （1）在中，利用解答，即可求解； （2）在中，利用，可得的长度，根据春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，尺，， ∴尺； （2）解：在中，，尺，， ∴尺， ∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数． ∴春分和秋分时日影长度为（尺）， 答：春分和秋分时日影长度9.2尺． 学科网（北京）股份有限公司 $