第14天 用因式分解法解一元二次方程-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9人教版）

预学·新知储备 第14天 用因式分解法解一元二次方程 新知导学 知识点1用因式分解法解 练2解方程：(x十2)2-4(x+2)+4=0. 元二次方程 先将一元二次方程a.x2十bx十 分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实 现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式 分解法。 知识点2 例1下列对一元二次方程(x一1)(x一3)=0 选择适当的方法解一元二次方程 的所有实数根表达，正确的是 解一元二次方程时，如果可直接开平方，首 A.x=1 B.x=3 选直接开平方法；当常数项的绝对值较大时，可 C.x=1且x=3 D.x=1或x=3 选配方法；如果可将方程左边化为两个一次式 解析：(x一1)(x-3)=0,∴.x-1=0或x- 的积，右边为0，那么用因式分解法，此法最实 3=0.∴.x1=1,x2=3,即x=1或x=3. 用；若上述方法皆不可用，则用公式法.一元二次 答案：D 方程只要在实数范围内有解，均可用公式法解 易错分析 例3观察下列方程，先确定用什么方法解，再 用因式分解法解方程的原理是若αb=0,则 写出解答过程， a=0或b=0.因此，本题的结果应为x=1或x (1)(x-1)2=6: (2)x2-6x=4; 3,切不可误解为x=1且x=3. (3)x2-2x=9999;(4)x2-3x=28. 例2解方程：x(2x-5)=4x-10. 解：(1)用直接开平方法：x一1=士√6..x1 解：移项，得x(2x一5)一2(2x一5)=0.左边分 1+6,x2=1-√6 解因式，得(2x-5)(x-2)=0.∴.2x-5=0或 (2)用公式法：方程化为x2一6x一4=0..'a= -2=0,解得1=2=2 1,b=-6,c=-4,.△=(-6)2-4×1× 方法归纳 (-4)=52>0..x= 6±2√13 2 =3士√13. 整体思想在用因式分解法解方程中的应用：用因 .x1=3+√13，x2=3-√/13. 式分解法解方程时，要善于发现等式中含未知数的 “整体”，并通过适当整理变形达到将等式左边分解成 (3)用配方法：配方，得x2-2x+1=10000,即 两个关于未知数的一次式的积，右边为0的目的 (x-1)2=1002..x-1=士100.∴.x1=101, x2=-99. 练1一元二次方程x2+3x=0的根是( (4)用因式分解法：移项，得x2-3x一28=0.左 Ax1=x2=3 B.x1=x2=一3 边分解因式，得(x十4)(x一7)=0..x十4=0 C.x1=3,x2=0 D.x1=-3,x2=0 或x一7=0，解得x1=一4，x2=7, 37 盞期升级训练 数学（人教版）八年级 练3用适当的方法解方程： (3)(x-3)2=(5-2x)2; (1)x2-4x+1=0; (4)x2+4x=77. (2)3x(x-2)=2(2-x); 预学过关 1.方程2x2-9x=0的根是 ( (2)3x(x-5)=2(x-5); 9 9 Ax1=0x2=-2B1=0,x2=2 9 C.x1=x2=2 2 D.x1=0,x2= 2.解方程2(x-3)2一3.x(x-3)=0的最合适 的方法是 () A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 (3)25(x-7)2=16(x+4)2; 3.已知下列方程：①2x2-5.x+1=0;②x2+ 4x=4x+2;③x(x-4)=4-x;④3(x 2)2=6;⑤x2一2x=8.请把它们的序号填 在最适当的解法后的横线上、 直接开平方法： ;配方法： 公式法： ;因式分解法： 4.用适当的方法解下列方程： (1)x2-4x+1=0: (4)(x+2)2-8(x+2)+15=0. 38z,=1+3 2 (2)方程化为2x2-6x-7=0,此时a=2, b=-6,c=-7.∴.△=b2-4ac=36-4×2×(-7) 92>0..x= -b±V62-4ac=6±2√23 2a 3±√23 2 x,=3-2 2 ,=3+2☒ 2 【预学过关】 1.A解析：由题意，得a=1,b=-6,c=9,∴.△=b2一 4ac=(一6)2一4×1×9=0.，∴.方程有两个相等的实 数根. 2.A解析：当k≠0时，若方程kx2+2x一1=0有实数 根，则△=2一4×k×(-1)≥0，解得k≥-1.∴.k≥ 一1且k≠0.当k=0时，方程为2x一1=0，此时方程有实 数根，符合题意.∴.k的值可以是0或1. 3,=1+V6 1-/61 -x2= 解析：：a=3,b=一1， c=-5,∴.△=(-1)2-4×3X(-5)=61>0.∴.x= 1±，即x,1+,,1同 6 6 4.k<-1解析：由题意，得△=(-2)2一4×1× (-k)<0,解得k<-1. 5.1+22或一22解析：由题意，得7x(x十1)-10- 7 7 9x-9.整理，得7x2-2x-1=0,∴.△=(-2)2-4×7× 一》4+8=2结是-1生乡2， 2X7 1+221-22 7 -,x2 7 6.(1).a=1,b=-4,c=-2,∴.△=b2-4ac=16- 4X1X(-2)=24>0.x=-b±6=4ac 4±26.西=2+6，x2=2-6(2)Q=3,b -7,c=2,∴.△=b2-4ac=(-7)2-4×3×2=25>0. :x=-6生6-4c--（-)±压-7±5 2a 2×3 6 x,=2,x2=3(3)原方程可化为5x2-4红-1= 0..a=5,b=-4,c=-1,.△=b2-4ac=(-4)2 4X5×(-1)=36>0.x=-b±0-4ac 2a 香指=1=月 2×5 7.a=1,b=一(2k+4),c=k2+4k+2,,.△=b2 4ac=[一(2k+4)]2-4×1X(k2+4k+2)=4k2+16k+ 16一42一16k一8=8>0..方程有两个不相等的实数根 8.(1)a=1,b=-(k+3),c=2k+2,∴.△=b2 4ac=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2)=(k+3)2-4(2k+ 2)=k2+6k+9一8k一8=k2一2k+1=(k一1)2≥0.∴.方 程总有两个实数根(2)由(1)，得△=(k一1)2≥0， +3±√k-1区-十3±(-D.x,=k十1 ∴.x= 2 x2=2.方程有一个不小于3的根，.k+1≥3，解得 k≥2 第14天用因式分解法解一元二次方程 【新知导学】 1.D解析：方程左边分解因式，得x(x十3)=0..x+ 3=0或x=0,解得x1=-3,x2=0. 2.方程左边分解因式，得(x十2-2)2=0，即x2=0,解得 x1=x2=0 3.(1)用公式法：a=1,b=-4,c=1,.△=b2一 4ac=(-4)-4X1X1=12.:x=-b±V6-4ac 2a 4±厘=2±3..1=2+3，x2=2-5(2)用因 2 式分解法：移项，得3x(x一2)十2(x一2)=0.左边分解因 式，得(x-2)(3x十2)=0.∴.x-2=0或3x+2=0,解得 x1=22=-3 2 (3)用直接开平方法：x一3=士(5一 2x),即x-3=5-2或x-3=2x-5,解得x1=3, 8 x2=2(4)用配方法：配方，得x2+4x十4=77+4，即 (x+2)2=81.∴.x+2=±9..x1=7,x2=-11 【预学过关】 1.B解析：方程左边分解因式，得x(2x一9)=0.∴.x= 0或2x-9=0,解得，=0，=号 2.D解析：方程左边各项均有因式x一3，∴.左边分 解因式，得(x-3)(2x一6-3x)=0.∴.x-3=0或2x 6一3x=0,解得x1=3,x2=一6.∴.最合适的方法是因式 分解法. 3.②④⑤①③解析：①无明显特征，∴.用公式 法解.②可以化成x2=2,∴.用直接开平方法解.③可以 化成x(x-4)+(x-4)=0,即(x+1)(x-4)=0,∴.用 因式分解法解.④可以化成(x一2)2=2，∴.用直接开平 方法解.⑤可以化成x2-2x+1=8+1,即(x一1)2=9， ∴.用配方法解 4.(1)用配方法：移项，得x2一4x=一1.配方，得x2一 4x+4=-1+4,即(x-2)2=3..x-2=±3..x1= 2十√3，x2=2一3(2)用因式分解法：移项，得3x(x 5)一2(x-5)=0.左边分解因式，得(x一5)(3x-2)= 02-5=-0或3-2=0解得=5。号 (3)用 直接开平方法：5(x一7)=士4(x+4),即5x一35=4x+ 16或5x-35=-(4z+16),解得x,=51,x2=。 2 (4)用因式分解法：方程左边分解因式，得(x+2一3)· (x+2-5)=0,即(x-1)(x-3)=0.∴.x-1=0或x 3=0,解得x1=1,x2=3 第15天一元二次方程的根与系数的关系 【新知导学】 1.B解析：：a十B=6,a3=8,∴.若一元二次方程的二 次项系数为1，则一次项系数为一6，常数项为8. 2D解析：a十b=2,ab=一4，.a+也-2 ab 3.,a2-4a+3=0,b2-4b十3=0，且a≠b,.可设a,b 为方程x2一4x十3=0的两个不相等的实数根.∴.a十 4.(1)根据题意，得△=(2k+1)2-4(k2+1)>0,解得 (2)根据题意，得x1x2=2十1.：x1x2=5, k十1=5，解得，=-2=2：k>子k=2 【预学过关】 1.A解析：A.方程x2一2x=0的两根之和为2，故A 选项符合题意.B.方程x2十3x十2=0的两根之和为 一3，故B选项不符合题意.C.方程x2十2x一3=0的两 根之和为一2，故C选项不符合题意.D.方程2x2一2x 3=0的两根之和为1，故D选项不符合题意。 2.C解析：：x1x2是方程x2+2x一5=0的两个根， .x1+x2=-2,x1x2=-5..2x1-x1x2+2x2= 2(x1十x2)-x1x2=2X(-2)-(-5)=1. 3.C解析：由题意，得x,十x=3,x1x=2,1十 1_21十x2=3 4.B解析：设方程的另一个根为x2,则一2十x2=一2 解得x2=0.∴.一2x2=m,即m=0. 5.6解析：由题意，得x1十x2=一4，x1x2=一5， .x1+x2-2x1x2=-4-2X(-5)=6. 6.15解析：：a,b是一元二次方程x2+x一8=0的两 个实数根，.a十b=-1,ab=-8,a2十a-8=0..a2+ a=8.∴.a2+2a十b-ab=(a2+a)+(a+b)-ab=8+ (-1)-(-8)=15. 7.x2-33x-4=0解析：由题意，得c=x1x2=-1× 4=-4,-b=x3+x1=23+3=33,∴.b= 一33..正确的一元二次方程为x2一33x一4=0. 8.11解析：由题意，得m2一3m十2=0，m+n=3, ∴.m2=3m-2,即2m2=6m-4..2m2-m+5n= 6m-4-m+5n=5(m+n)-4=15-4=11. 9.设另一个根为”依题意，得-2十n=一1，一2m一 咒解得m=一2，n=1.“m的值为一2，方程的另一个 根为1 10.(1):'△=(k+1)2-4k=k2+2k+1-4k=k2- 2k十1=(k一1)≥0，∴.方程总有两个实数根(2)由题 一(k+1)0, 意，得 解得k0 {k>0, 11.(1):关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有 两个实数根1和x2,∴.△=(2k1)2一4(k2一1)= -4+5≥0.k≤号（(2)十=1-2k k2-1,x号+x=x1x2+16,∴.(x1+x2)2=3x1x2十 16.∴.(1-2k)2=3(k2-1)+16,即k2-4k-12=0,解得 k,=6,:=-2:k≤号k=-2 12.:x1,x2是关于x的方程x2-2x十k一1=0的两个 实数根，∴.x1十x2=2,x1x2=k一1，x一2x1十k一1= 0.x=2,-k+1.2+=x号+2x2-1, 63十-2鸡2+西)=，品22D2 4一k,解得k=2或k=5.当k=2时，关于x的方程为 x2一2x十1=0，△=0，符合题意；当k=5时，关于x的方 程为x2一2x十4=0，△0，方程无实数根，不符合题 意..k=2 13.(1):□ABCD是菱形，.AB=AD..方程x2 mx十m一1=0有两个相等的实数根.∴.（一m)2-4(m 1)=0..m1=m2=2.当m=2时，原方程为x2一2x十 1=0,解得x1=x2=1,符合题意.∴.当m=2时，四边形 ABCD是菱形(2)，AB,AD的长是关于x的方程 x2一mx十m一1=0的两个实数根，AB的长为3， ∴.AB+AD=m,3是方程的一个根.∴.32一3m+m一 1=0,解得m=4.∴.AB+AD=4.∴.2(AB十AD)=8, 即□ABCD的周长为8 第16天几何、传播问题与一元二次方程 【新知导学】 1.5解析：设垂直于现有墙的墙长为xm,则平行于现 有墙的墙长为(27+3-3x)m.根据题意，得x(27十3 3x)=75,解得x1=x2=5.∴.垂直于现有墙的墙长是5m 2.设道路的宽应为xm.由题意，得(50一2x)(38-2x)= 1260,整理，得x2一44x十160=0，解得x1=4,x2=40(不 合题意，舍去).∴.道路的宽应为4m 3.C解析：依题意，得主干为1个，支干为x个，小分支 为x·x=x2(个).，∴.1十x十x2=73. 4.(1)设每轮传染中平均1人能传染x人.由题意，得 1十x十x(1十x)=36,解得x1=5,x2=一7（不合题意，舍 去).∴.每轮传染中平均1人能传染5人(2)经三轮传 染后，共有36+5×36=216（人）患病 3