第2天 勾股定理-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9人教版）

客期升级训练 数学（人教版）八年级 第2天 一、选择题 1.在东北冰雕展上要用冰柱搭建一个直角三 角形的造型，不考虑拼接处长度，下列长度 的冰柱能搭建成功的是 () A.2m,3m,4mB.√/3m,√4m,√5m C.4m,5m,6mD.5m,12m,13m 2.如图，所有涂色部分的四边形都是正方形， 所有三角形都是直角三角形.若正方形A, C,D的面积依次为4,6,18，则正方形B的面 积为 (第2题) A.8 B.9 C.10 D.12 3.已知五根小木棒的长度分别为7dm,15dm, 20dm,24dm,25dm,现将它们摆成两个直 角三角形，下列摆放方式中，正确的是( 15dm 24dm 20 dm 24dm 15dm 7 dm 25dm 7 dm 25dm 20dm A. B. 24 dm 20 dm 15 dm 25dm 15dm 7dm 7 dm 24 dm 20dm 25 dm C. D 4.如图，将长为12cm的橡皮筋放置在直线l 上，固定两端A和B,然后把中点C竖直向 上拉4.5cm至点D处，则拉长后的橡皮筋 的长度为 B (第4题) A.20 cm B.18 cm C.16 cm D.15 cm 勾股定理 5.数形结合思想如图所示为由四个全等的直 角三角形与中间的一个小正方形拼成的一 个大正方形.若大正方形的面积是13，小正 方形的面积是1，直角三角形的两直角边长 分别为a,b,则(a一b)2的值是 () A.1 B.2 C.12 D.13 B -3-2-101 (第5题) (第6题) 6.如图，数轴上点A表示的数是一1，点C对应 的数是一3，BC⊥AC,垂足为C,且BC=1. 以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴 于点D,则点D表示的数为 () A.-1+√7 B.√2 C.-1+√5 D.3 7.学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现 了一组有规律的勾股数，并将它们记录在下 表中，则当a=20时，b十c的值为 ) a 6 8 10 12 14 6 8 15 24 35 48 10 17 26 37 50 A.100 B.200 C.240 D.360 8.如图，在△ABC中，∠A= 90°，BD平分∠ABC,E是 边AB上的一点，且DE=B (第8题) DC.若BC=6.5,AB=5, 则BE的长为 ( ) A.2.5B.3 C.3.5 D.4 9.在△ABC中，BC=a,AB=c,AC=b,则下 列条件中，不能作为判定△ABC是直角三角 形的为 A.∠C=∠A-∠B B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 C.a:b:c=3:4:5 D.(a十b)(a-b)=c2 10.如图，△OA1A2为等腰直角三角形，OA1 1,以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形 OA2A3,再以斜边OA3为直角边作等腰直 角三角形OA3A4…按此规律作下去，则 OA,的长为 (第10题) A.(2)” B.(2)”-1 c 二、填空题 11.在平面直角坐标系中，点(-4,5)到原点的 距离是 12.如图，某会展中心在会展期间准备在高 5m、长13m、宽2m的楼道上铺地毯.已知 地毯每平方米18元，则铺完这个楼道至少 需要 元 13m (第12题) (第13题) 13.在如图所示的边长为1的正方形网格中， △ABC的顶点都在小正方形的格点上，则 点B到边AC的距离为 14.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边 形.如图，“垂美”四边形ABCD的对角线 AC,BD交于点O.若AD=3,BC=5,则 AB2+CD的值为 B (第14题) 15.已知某直角三角形的两边长a,b满足|a2 9|+√16一b2=0,则第三边的长是 5 复习·整合提优 16.★如图，在4×4的正方形网格中，每个小正 方形的边长均为1，则∠1+∠2的度数为 1 (第16题) (第17题) 17.*如图，在△ABC中，AB=10,AC=6, BC=8.若将△ACE沿AE折叠，使得点C 与AB上的点D重合，则△AEB的面积为 18.如图所示为一个长6cm、宽3cm、高4cm 的长方体木块.一只蚂蚁要沿着木块的表 面从左下角的点A处爬行至右上角的点B 处，那么这只蚂蚁爬行的路线最短为 cm. (第18题) 三、解答题 19.如图，在△ABC中，E为边AB上的一点， 连接CE,过点A作AF⊥AB,交CE的延 长线于点F,过点A作AD⊥CE,垂足为 D.已知AD=7,CD=24,AB=20, BC=15. (1)求线段AC的长： (2)求证：∠BCE=∠DFA. (第19题) 期升级训练 数学（人教版）八年级 20.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC为锐 角，作AD⊥AB交BC的延长线于点D. (1)若∠D=20°，求∠BAC的度数； (2)求证：∠BAC=2∠D; (3)若∠D=22.5°，AC=√2，求BC2的值. (第20题) 21.新情境日常生活如图，一台环卫车沿公路 AB由点A向点B行驶，已知点C为一所 学校，且点C与直线AB上的两点A,B的 距离分别为150m和200m,AB=250m, 环卫车周围130m以内为受噪声影响 区域 (1)C学校会受噪声影响吗？为什么？ (2)若环卫车的行驶速度为50m/min,则 环卫车噪声影响该学校持续的时间有 多长？ B (第21题) 22.*有一块直角三角形绿地，量得两直角边 AC=12m,BC=9m.现在要将三角形扩 充成等腰三角形，且扩充部分是以AC为一 直角边的直角三角形，请在图中画出图形， 并求出扩充后等腰三角形绿地的周长 (第22题)复习·整合提优 第1天二次根式 1 W5-2 2,y=1 5+2(5+2)(5-2) =5-2,.x+y=5+ -、1.C2.B3.D 2+√5-2=2W5,x-y=√5+2-5+2=4，xy=(W5+ 4.A 易错分析 25--1小高n话-9 根号外因式移到根号内忽视改变符号 (3)设√24-元+√8-x=t.√24-元-√8-元 根号外的式子移到根号内时，应由根号内的代数 式的非负性来确定根号外代数式的正负性.若为负数， 2①，∴.（√24-x+√/8-x)(√24-元-√8-x)=2t, 则提取负号再移到根号内. 即24-x-8十x=2t,解得t=8.∴.√24-x+√8-x= 8②.①+②，得2√24-元=10，即√24-元=5，∴.24 5.C x=25..x=-1 方法归纳 第2天勾股定理 a十√万(a,b为有理数)型无理数的估值方法 -、1.D2.A3.C4.D5.A6.C7.B8.C 此类题应先化简再估值；若化简结果由一个整数 9.B 和一个二次根式两部分组成，则只要对二次根式部分 10.B解析：：△OA1A2为等腰直角三角形，OA,=1, 进行估值 ∴.OA2=√2.△OA2A3为等腰直角三角形，∴OA3= 6.A (2)2.:△OA3A1为等腰直角三角形，∴.OA1= 二、7.48.69.2410.-4311.2026 (2)3.△OA1A为等腰直角三角形，∴OA= 三、12.(1)1+2√2(2)10+62 (2)….OAn的长为(2)". 13.a=2+5,b=2-5,∴.a2b+ab2=ab(a+b)= 二、11.√4T12.61213.2214.3415.√7或5 16.45°解析：如图，将∠2向下平移1格得到∠ABD,连 (2+√5)×(2-5)×(2+√5+2-√5)=-1×4=-4 接AC..∠2=∠ABD.易得AC=22+1=5, 4原(…+是y)-(+ AB2=22+12=5,BC=32+12=10,∴.AC2+AB2= BC,AB=AC..△ABC是等腰直角三角形. ∴.∠ABC=45°..∠ABD+∠1=90°-45°=45 6√y=6√+3√-4√y-6√y=-y.当 ∴.∠1+∠2=45. y=7时除试=√层×27- 3 2 15.:A=2√a十3，B=√3a-I,A,B都是最简二次根 式，且A和B可以合并，∴.a十3=3a一1，解得a=2. (第16题) .A=25,B=5..A+B=35.A+B=C, 方法归纳 20ax+i-3w5.50+1D=45.x-8 利用平行线解决网格中的角度问题 16.(1)-56=-√25X6=-√150，-65= 在网格中，利用平行线的性质转化已知角，找到直 角三角形是解题的关键 -√36×5=-√180.150<180，.√150<√/180. .-√150>-√180，即-5√6>-65(2)(7+ 17.15解析：AC2+BC2=62+82=100,AB2=100, 1)2-8+27,(W5+3)2=8+2√15.2√7<2√15， ∴.AC2+BC2=AB2.∴.△ABC是直角三角形，且∠C= 90°.：将△ACE沿AE折叠，使得点C与AB上的点D ∴.8+27<8+2√5，即(W7+1)<(5+5)2.又 重合，∴.EC=DE,AC=AD=6,∠ADE=∠C= √7+1>0w5+5>0,.√7+1<5+√3 ∠BDE=90°.∴.BD=4.设EC=DE=x,则BE=BC- 17.(①B(2):x5-25-2)5+2》 1 w5+2 EC=8-x.在Rt△BDE中，DE2+BD=BE2,.x2+ =5十 42=(8-x)2,解得x=3.∴BE=8-x=8-3=5. S=2BE·AC-7X5X6=15. 卫车周围130以内为受噪声影响区域，∴.C学校会受 噪声影响(2)如图，当EC=130m,F℃=130m时，噪声 方法归纳 正好影响学校C.在Rt△CDE中，ED=√EC一CD?= 利用方程思想解决折叠问题 √1302-120=50(m).同理可得FD=50m,∴.EF= 解决折叠问题时，先要明确折叠前后的哪些量是 100m.,环卫车的行驶速度为50m/min,∴.100÷50= 相等的，把待求的线段长用未知数表示出来，图形中其 2(min),即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min 余线段尽可能地利用题目中的已知条件求出具体的数 值，或者用含未知数的式子表示出来，再借助勾股定理 列方程求解 18./85 解析：①如图①，AB=√(6+3)2十42= √97(cm):②如图②，AB=√(4+3)2+6=√85(cm); B (第21题) ③如图③，AB=√(6+4)+32=√109(cm).:√85< 22.在Rt△ABC中，BC=9m,AC=12m,∴.AB= √97<√I09,∴最短路线的长为√85cm √AC+BC=15m.根据题意，可分三种情况：①如图 B ①，延长BC至点D,使BD=AB,连接AD..BD= 6cm AB=15m.∴.DC=6m.∴.AD=√JAC2+DC= m 65m..△ABD的周长为AB+BD+AD=15+15+ cm 4cm 65=(30+65)m.②@如图②，以点A为圆心，AB长为 6cm o cm 4 6cm 3c 半径画弧，交BC的延长线于点D,连接AD.∴.AD= ② 回 (第18题) AB.∠ACB=90°，∴AC⊥BD.:AD=AB,∴DC 三、19.(1)AD⊥CE,∴.∠ADC=90°.：AD=7, BC=9m.∴.△ABD的周长为AB+AD+BD=15+ 15十9×2=48(m).③如图③，作线段AB的垂直平分线， CD=24,∴.AC=V√AD+CD=√7+24=25 交BC的延长线于点D,连接AD.∴.AD=BD.设CD (2)AC=25,AB=20,BC=15,.AB2+BC2=201 xm,则AD=BD=(9十x)m.在Rt△ACD中，，AD2= 152=625,AC2=25=625..AB2+BC2=AC2. ∴.△ABC是直角三角形，且∠B=90°.∠BCE+ CD+AC,(9十xP=r+12,解得r-子 ∠BEC=90°.AF⊥AB,∴.∠DFA+∠AEF=90° ∴.△ABD的周长为AB+BD+AD=15+2× :∠AEF=∠BEC,∴，∠BCE=∠DFA 20.(1)ADLAB,∴∠BAD=90.°.∠B+∠D (0+号)=40(m以.综上所述，扩充后等振三角形绿地的 90°.∠D=20°，∴.∠B=90°-20°=70°.AB=AC, 周长为(30+65)m或48m或40m ∴.∠ACB=∠B=70°.∴.∠BAC=180°-2X70°=40 (2)由(1)，得∠B+∠D=90°，∴.∠B=90°-∠D. :AB=AC,∠B=∠ACB..∠BAC=180°-2∠B, 即∠B=90°-2∠BAC.90°-∠D=90° 号∠BAC.:∠D=号∠BAC,即∠RAC=2∠D ① ② (3)过点C作CM⊥AB于点M.:∠D=22.5,∴.由 (2),得∠BAC=2∠D=45°.∴.△AMC是等腰直角三角 形，且∠AMC=90°.AC=√2，.易得AM=MC= 1.AB=AC=2,.BM=√2-1.：∠BMC=180° ∠AMC=90°，∴.在Rt△BCM中，BC2=BMP+MC= ③ (W2-1)2+12=4-2√2 (第22题) 21.(1)C学校会受噪声影响如图，过点C作CD LAB 方法归纳 于点D.:AC=150m,BC=200m,AB=250m, 利用分类讨论思想解决等腰三角形问题 ∴.AC+BC2=AB2.∴.△ABC是直角三角形..易得 构造等腰三角形（设为△ABD)时要注意分三种情 AC·BC=CD·AB..CD=150X20-120(m.:环 况：①AB=BD;②AD=AB;③AD=BD. 250 2