专题10角 暑假预习讲义 ) 2025-2026学年北师大版七年级数学上册

专题10角暑假预习讲义 1. 识记定义：掌握角的静态、动态两种定义，识别角的顶点与两条边。 2. 规范表示：学会三种常用方法表示角，明白顶点处存在多个角时，不能只用单个大写字母标注角。 3. 单位换算：熟记度、分、秒六十进制换算关系，完成简单的单位转化计算。 4. 识图计数：能在由多条射线组成的图形中，有序数出所有小于平角的角，避免重复或遗漏。 5. 概念辨析：区分角的大小只和开口幅度有关，和边画出的长短没有关系。 6. 规避易错点：书写角的符号遗漏、字母顺序写错；混淆平角、周角与直线、射线的区别。 7. 素养目标：养成规范书写几何符号的习惯，为后续角的比较、加减运算打好基础。 预习必备 知识梳理 1.角的定义 2.角的表示方法 3.角的分类 4.角的度量与单位换算 5.比较角的大小 6.角的和差.角平分线 7.作一个角等于已知角 常考题型 精讲精练 1.角的概念理解 2.角的表示方法 3.角的分类 4.画特殊角 5.钟面角 6.方向角的表示 7.与方向角有关的计算题 8.角的单位与角度制 9.角的度数大小比较 10.角的比较 11.三角板中角度计算问题 12.几何图形中角度计算问题 13.角度的四则运算 14.实际问题中角度计算问题 15.角平分线的有关计算 16.角n等分线的有关计算 17.尺规作一个角等于已知角 强化题型 解答题7题 知识点 01 角的两种定义 定义 1（静态定义，课本基础） 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 三要素：①公共端点（顶点）；②两条射线（角的两条边）。 定义 2（动态旋转定义） 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。 起始位置的射线：始边 终止位置的射线：终边 旋转中心：顶点 补充特殊旋转形成的角 平角：射线旋转半周，始边、终边成一条直线，度数180； 周角：射线旋转一周，始边、终边重合，度数360； ⚠️易错：平角是角，不是直线；周角是角，不是射线。 知识点02：角的表示方法（规范无错误，考试必考点） 知识点 03 角的分类（按度数划分，配套大小关系） 角的名称 度数范围 图形特征 大小关系 锐角 0<<90 开口很小，小于直角 锐角<直角<钝角<平角<周角 直角 =90 两边垂直，可标直角符号└ 直角 =90 钝角 90<<180 开口大于直角、小于平角 —— 平角 =180 两条边在同一直线，方向相反 1 平角 = 2 直角 周角 =360 始边终边完全重合 1 周角 = 2 平角 = 4 直角 知识点04：角的度量与单位换算 1 度量工具：量角器 量角步骤（一放二对三读） 放：量角器中心与角的顶点重合； 对：0刻度线与角的一条边重合； 读：看另一条边对应刻度，区分内圈、外圈读数。 2 角度进制（60 进制，时间进制同理） 1 度 =60分，1 分 =60秒 符号：度、分'、秒'' 换算公式： 1=60'，1'=60'' 1=3600'' 3.换算题型两类 大单位化小单位：乘 60 例：0.5=0.5×60=30' 小单位化大单位：除以 60 例：120''=120÷60=2' 4.角度加减计算规则 度与度相加减，分与分相加减，秒与秒相加减； 加法：满 60 进 1； 减法：不够减向前一级借 1 当 60。 例：3025'+4040'=715' 5010'-2030'=4940'（向度借 1 化为 60 分） 知识点05：比较角大小的两种方法 方法 1：度量法（用量角器） （1）操作步骤： ①量角器中心与角顶点重合； ②0° 刻度线与角一条边重合； ③读取另一条边对应刻度，得到角度； （2）大小判定：度数越大，角越大。 方法 2：叠合法（图形重合对比） 操作步骤： ① 两个角顶点重合； ② 一条边完全重合； ③ 观察另一条边位置： 另一边在内部：角更小； 另一边重合：两角相等； 另一边在外部：角更大。 将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点 O 与 O′重合，再让一条边 OB 与 O′D 重合，使另一条边 OA 和 O′C 落在 OB（或 O′D）的同侧。 知识点06：角的和、差、角平分线 1 角的和与差 如图，射线OC在∠AOB内部： 和：∠AOB= ∠AOC+∠ COB 差：∠AOC= ∠AOB-∠COB\)；∠COB=∠AOB-∠ AOC\) 2 角平分线（核心必考） 定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 几何推理书写 ∵OC平分∠ AOB ∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB 变形：∠AOB=2 ∠AOC=2∠BOC 拓展：角的 n 等分线 三等分线：两条射线把角分成 3 个相等小角； n 等分线：n-1 条射线均分一个角。 知识07：作一个角等于已知角（尺规作图） 标准作图步骤 题型1.角的概念理解 【典例】如图，的边经过的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的有关概念．一个角是由有公共顶点的两条射线组成的，因此边经过的点一定在射线上，据此作图求解即可． 【详解】解：如图所示，的边经过的点是，    故选：C． 【跟踪专练1】如图，有___________个角． 【答案】6 【分析】本题考查了角的个数，熟练掌握角的概念是解题的关键． 根据角的概念即可求解． 【详解】解：如图， 图中的角有、、、、、，共6个， 故答案为：6． 【跟踪专练2】如图，在已知角内画射线，画一条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；求画n条射线所得的角的个数___________． 【答案】 【分析】根据画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角，可以得出规律是画条射线，图中共有个角． 【详解】解：∵在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角，； 画2条射线，图中共有6个角，； 画3条射线，图中共有10个角，； …， ∴画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 【跟踪专练3】用一个10倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把角按一定比例放大或缩小，角的度数不变． 【详解】解：放大镜看一个的角，角的两边的张开程度没变，即角的度数不变， 故选：D． 【点睛】本题考查角的概念，关键是掌握图形的放大或缩小的性质． 题型2.角的表示方法 【典例】如图，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．也可用表示 C．表示的是 D．图中共有三个角，， 【答案】B 【分析】根据角的表示方法即可判断． 【详解】解：A、与的顶点和两边完全一致，是同一个角，说法正确，故选项不符合题意； B、以O为顶点的角有3个，不可用来表示，说法错误，故选项符合题意； C、位于射线和之间，表示的是，说法正确，故选项不符合题意； D、图中共有三个角，分别是，，，说法正确，故选项不符合题意． 【跟踪专练1】将图中的角用不同方法表示出来，填写下表：    【答案】． 【分析】根据角的表示即可得． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了角的表示，解题的关键是掌握角的表示． 【跟踪专练2】如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有________个角． 【答案】 【分析】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律．根据图形数出即可得出前三个空的答案，根据结果得出规律． 【详解】解：在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 题型3.角的分类 【典例】一个锐角加上一个钝角的和一定（    ） A．大于 B．大于平角 C．小于 D．小于平角 【答案】C 【分析】本题考查锐角，钝角，根据锐角小于，钝角小于即可解答． 【详解】解：∵锐角小于，钝角小于， ∴一个锐角加上一个钝角的和一定小于． 故选：C． 【跟踪专练1】两个锐角的和（   ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．可能是锐角、直角或钝角 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，角的定义． 两个锐角的和可能小于、等于或大于但小于，因此可能是锐角、直角或钝角． 【详解】解：设两个锐角分别为和，其中，， 则它们的和满足， ∴两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角． 故选：D． 【跟踪专练2】下列各角：①周角；②平角；③直角；④两个锐角的和．其中一定是钝角的有________．（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了平角、周角、钝角、锐角的定义，根据钝角的定义（大于且小于），分别计算各角的度数或分析其范围，判断是否一定是钝角，即可解题． 【详解】解：周角为，①周角为，是锐角； 平角为，②平角为，是钝角； 直角为，③直角为，是钝角； ④两个锐角的和可能小于、等于或大于但小于，不一定是钝角． 故一定是钝角的有②③． 故答案为：②③． 题型4.画特殊角 【典例】用一副三角板不能画出的角是（    ）． A．75° B．105° C．110° D．135° 【答案】C 【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一副三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一副三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一副三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出． 【详解】解：105°角可以用一副三角板中的60°角和45°角画； 75°角可以用一副三角板中的45°角和30°角画； 110°角用一副三角板不能画出； 135°角可以用一副三角板中的直角和90°角或45°角画。 故选：C． 【点睛】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍． 【跟踪专练1】如图所示，是一副三角尺，上边三角尺的三个角分别为，，，下边三角尺的三个角分别为，，，那么，在①；②；③；④中，可以用这副三角尺画出来的是（      ） A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，熟练掌握角的和差是解题关键．根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵，，， ∴可以用这副三角尺画出来的是①③④， 故选：D． 【跟踪专练2】按下列要求画图、计算： (1)画； (2)在外画； (3)分别画的角平分线； (4)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查作图--角，角平分线，角的和差，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）根据题意作图即可； （3）根据题意作图即可； （4）先求出，根据平分平分，得到， ，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，射线即为所求． （4）解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ， ∴． 题型5.钟面角 【典例】计算3点整时，时针和分针的夹角________． 【答案】 【详解】解：钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是． 3点整时，时针指到3上，分针指到12上，时针和分针夹角是3份, ． ∴时钟上3点整时，时针和分针的夹角是． 【跟踪专练1】下午2点整（如图所示），时钟的分针与时针所成角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查时钟与角度，解题的关键是熟知时针与分针的转动特点． 根据时针与分针的转动特点即可求解． 【详解】∵时针每小时转动度，下午2点整，时针转动60°，分针在12时的位置， ∴两点整是度． 故选：D． 【跟踪专练2】当时间为下午4点45分，此时时针与分针的夹角为________°． 【答案】 【分析】先计算时针每小时转动角度与分针每分钟转动角度，再分别计算4点45分时针和分针转过的总角度，作差得到所求夹角． 【详解】解：钟表一周为，共分12个大格，因此时针每小时转动角度为： 分针分钟转动一周，因此分针每分钟转动角度为： 4点分时，分针转过的总角度为 ． 时针转过的总角度为． 时针与分针的夹角为 ． 【跟踪专练3】某校为了缓解上午放学餐厅拥挤，同时给学生们营造轻松的就餐环境，特实施分年级错时放学，初一年级上午11：35放学，此时钟表上时针与分针的夹角是（    ） A．120° B．130.5° C．135° D．137.5° 【答案】D 【分析】本题考查钟面角问题，掌握每刻度代表度数和每根针的转速是解题关键． 夹角是指小于的角，中间夹了一个7-11点之间4个大格，由每个大格30度，时针每分钟转度，两个角度加起来即为所求． 【详解】解：∵每个大格30度，时针每分钟转度， ∴， 故选：D． 题型6.方向角的表示 【典例】如图，射线表示方向是___________． 【答案】东北方向或北偏东 【分析】此题主要考查了方向角，准确识图，熟练掌握方向角的定义是解决问题的关键． 根据方向角的知识进行作答，即可求解． 【详解】解：射线所指方向为东北方向或北偏东， 故答案为：东北方向或北偏东． 【跟踪专练1】如图，点相对于点的方向为（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】B 【详解】解：由题意得：点相对于点的方向为北偏东 【跟踪专练2】如图，请准确描述：科技馆在小方家______方向______处． 【答案】 北偏东 800 【分析】先求出，，得到科技馆在小方家北偏东方向处，即可解答． 【详解】解：由图可知，， ∴科技馆在小方家北偏东方向处． 【跟踪专练3】如图射线，的方向分别为北偏东和南偏西，射线平分，则射线的方向为（     ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏西 D．北偏西 【答案】A 【分析】利用角度的和差关系以及角平分线的定义即可求解． 【详解】解：由题意可得： ∵，， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴射线的方向为：北偏西． 题型7.与方向角有关的计算题 【典例】如图，表示北偏东方向的一条射线，表示南偏西方向的一条射线，则的度数是_______． 【答案】/155度 【分析】根据题意得，，，求出，然后利用求解． 【详解】解：如图， 根据题意得，， ∴ ∴． 【跟踪专练1】如图，小军和小强分别用点A，B表示，小军在广场处的北偏西方向，的大小为，则图示状态下，小强在广场处的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．南偏东方向 D．南偏西方向 【答案】A 【详解】解：如图 由题意得，， ∴ ∴ ∴， ∴小强在广场处的南偏东方向． 【跟踪专练2】开州拥有丰富的红色文化和传统文化资源，其中举子园、刘伯承同志纪念馆、刘伯承同志故居都是著名景点．如图，点是举子园，刘伯承同志纪念馆位于举子园的北偏西方向，刘伯承故居位于举子园的南偏西方向，那么__________． 【答案】 【详解】解：由题意得，． 【跟踪专练3】如图，在学校图书馆处观测到，物理实验室位于点的北偏东的方向，教学楼位于点的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ． 题型8.角的单位与角度制 【典例】______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【跟踪专练1】下列选项中关于度、分、秒的换算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换算进率，，计算各选项结果，找出换算错误的选项． 【详解】解：度分秒的换算进率为，，可得 ， A． ，换算正确； B． ，换算错误； C．，换算正确； D．，换算正确． 【跟踪专练2】（1）_____________； （2）_____________； （3）_____________； （4）_____________． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【跟踪专练3】若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握角的单位换算是解答本题的关键． 把化为，然后再比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 题型9.角的度数大小比较 【典例】比较角度的大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】利用进行换算后再比较大小． 【详解】∵，即， 又∵， ∴． 【跟踪专练1】已知，，，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， 且， ∴． 【跟踪专练2】如果，，，那么，，的大小关系是_____________． 【答案】 【分析】将三个角统一换算为以度为单位，再进行大小比较． 【详解】解： 因为 ，所以 ． 【跟踪专练3】已知，下面结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将转化为，即可得出答案． 【详解】由， 又因为， 所以． 故选：C． 【点睛】此题考查了角的大小的比较，掌握角的度、分、秒之间的转化是解题的关键． 题型10.角的比较 【典例】已知，以为始边作，则的大小为_________． 【答案】或 【分析】根据题意，可以分“边OC在∠AOB的外侧和边OC在∠AOB的内侧”两种情况考虑即可得出结果． 【详解】解：根据题意，∠AOB=a，以OB为始边作∠BOC=β（α>β） 可以分两种情况： （1）当边OC在∠AOB的外侧，如图： ∴∠AOC=∠AOB+∠BOC= （2）当边OC在∠AOB的内侧，如图： ∴∠AOC=∠AOB-∠BOC= 故答案为：或． 【点睛】本题考查角的大小，解题的关键是分类讨论另一边的位置． 【跟踪专练1】如图，射线在的内部，射线在的外部．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是角的比较与运算，解题关键是结合图形得出角之间的关系． 根据题意得出各角之间的关系后，对选项进行判断即可． 【详解】解：射线在的内部， ， ，， 选项、选项结论正确，不符合题意， 射线在的内部，射线在的外部， ， ， 选项结论正确，不符合题意， 结合题意无法判断出与之间的关系，选项结论错误． 故选：． 【跟踪专练2】如图是的正方形网格，点A，B，C，D，O均为格点，则________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查角的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 先求出，，再比较大小即可． 【详解】解：由图，可知为等腰直角三角形， ∴， 由图，可知为直角三角形且，， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在的正方形网格中，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了角的比较． 根据网格线得出，进而判断出；再由网格线得出，，进而求出，最后由网格线得出，，进而判断出，即可得出结论． 【详解】解：由图知， ， ∴； 由图知，，， ∴， 由图知，，， ∴， ∴， 故选：B． 题型11.三角板中角度计算问题 【典例】如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么_______． 【答案】 【详解】解：由直角三角板可得， ． 【跟踪专练1】数学课上，某学习小组在探究“用一副三角尺的角，结合角的和、差运算可以直接画出哪些度数的角？”时发现，如图，将两个直角顶点重合在一起，那么与总是相等的，如果，那么度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的和差关系，进行计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 【跟踪专练2】如图，直线上有一点O，作射线，使得，在同一平面内将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，，若始终在的内部，则______． 【答案】36 【分析】由角的和差得，由补角的定义得，即可求解． 【详解】解：因为 ， ， 所以 ． 【跟踪专练3】如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，掌握角的和差计算是解题的关键．根据题意可得，求出的度数，再根据，即可求解． 【详解】解：，， ， 又， ． 故选：C． 题型12.几何图形中角度计算问题 【典例】定义：如果从一个顶点出发的两个角的和等于，那么就说这两个角为“睦邻友好角”．若与是“睦邻友好角”，且，则的度数为________． 【答案】 或 【分析】设，则，根据“睦邻友好角”的定义，可得，，进行分类讨论，分别计算的度数即可． 【详解】解：设，则， ∵与是“睦邻友好角”， ∴. 解得， ∴， 若在外部，如图，， 若在内部，， ∴的度数为或． 【跟踪专练1】如图，点为直线上一点，过点作射线，，，且始终在的右侧，若平分，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角平分线定义求出，再通过角的和差计算即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． ∵， ∴． 【跟踪专练2】如图，与的比是，平分，，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的运用，因为平分，则有，进而可知，，结合与的比是即可求解． 【详解】，平分， ， ， ， 与的比是， , ， , ， ． 【跟踪专练3】将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若的度数为，则用含的代数式表示的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用角的和差以及翻折的性质进行求解． 【详解】解：根据翻折的性质可得，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型13.角度的四则运算 【典例】______． 【答案】 【详解】解： . 【跟踪专练1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查度分秒的换算与角度运算，依据的换算关系，对每个选项逐一计算验证即可． 【详解】解：A选项：，故A错误； B选项：，故B错误； C选项：，故C错误； D选项：，故D正确； 故选：D． 【跟踪专练2】中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的值时，有三位同学分别计算了19°，20°，21°这三个不同的结果，其中只有一个是正确的答案，则_________． 【答案】/342度 【分析】先算出的取值范围，即可判断三位同学的正确结果，再由正确结果乘以18即可得出的值． 【详解】中有两个锐角和一个钝角， 记，，， ， ， 三个结果中只有正确，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查角度的计算，掌握锐角和钝角的取值范围是解题的关键． 【跟踪专练3】下列度分秒的换算中，正确的是（　   　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据度分秒的进制，进行计算逐一判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故A不符合题意； B.∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故B不符合题意； C.∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故C不符合题意； D.∵， ∴， ∴， 故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 题型14.实际问题中角度计算问题 【典例】时钟显示时间为3点45分，此时时针和分针所成较小夹角是______度． 【答案】157.5 【分析】本题考查钟表分针所转过的角度计算，利用时针与分针转动的度数关系：分针每分钟转动，时针每分钟转动，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形． 【详解】解：在3点45分时，时针所在位置与指向12时的角度为， 分针与指向12时的角度为， 两针角度差为， 由于，故较小夹角为． 故答案为：157.5 【跟踪专练1】、都是钝角，甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果依次为、、和，其中有正确的结果，那么算得正确的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了角的有关计算的应用，解决本题的关键是得到所求角的取值范围．由钝角范围确定的取值范围，进而得到的范围，只有在此范围内． 【详解】解：∵ α、β均为钝角， ∴， ∴， ∴ 给定结果中仅满足此范围， ∴ 算得正确的是乙， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 【答案】C 【分析】由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B、D的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误． 【详解】解：由题意知，；当时，；当时，； 令，即，解得秒， ∴存在的情况； 故A错误，不符合题意； 令，即，解得秒， 令，即，解得秒， ∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒； 故B、D错误，不符合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴射线恰好平分， 故C正确，符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度． 题型15.角平分线的有关计算 【典例】如图，射线平分，若，则_____． 【答案】/70度 【分析】根据角平分线的定义得到，求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练1】如图，三条射线a，b，c将分成相等的四个角，其中的角平分线是（     ） A． B． C． D．都不是 【答案】B 【分析】根据题意，三条射线将分为4个相等的小角，设每个小角的度数为，则， 按从到的顺序，四个小角依次为、、、， 即可求出． 【详解】设每个小角的度数为，则， 按从到的顺序，四个小角依次为、、、， ∴，， ∴， 根据角平分线的定义，射线是的角平分线． 【跟踪专练2】如图，在三角形中，，垂足为点，，点为线段上一点，连接，与的角平分线、分别交于点、，若，则________． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据及进行等量代换即可求解． 【详解】解：平分， ， 平分， ， ， ， ． 【跟踪专练3】将一副三角板按如图所示的方式放置，重叠的边落在射线上．射线平分，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角板中的角度计算，根据三角板的特征可得，再根据角平分线的定义求得，利用即可解答． 【详解】解：由三角板的角度特征可得， ， 射线平分， ， ， 故选：D． 题型16.角n等分线的有关计算 【典例】一个角的四等分线将这个角分成四个相等的小角，每个小角的度数为，则这个角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角等分线的有关计算．四等分线将角分成四个相等的小角，每个小角为，因此整个角的度数为． 【详解】解：设这个角的度数为， 四等分后每个小角为， ． 故选：C． 【跟踪专练1】，射线是它的四等分线，则_________． 【答案】 【分析】本题考查角等分线的有关计算．根据射线是它的四等分线，将角均分为四份，是其中的2份，即可求解． 【详解】解：∵，射线是它的四等分线， ∴ ∴ 故答案为：． 【跟踪专练2】如图所示，射线是的三等分线，如图中所有的锐角之和为，则的度数为 ________． 【答案】 【分析】本题考查角的三等分线，角的和差，掌握知识点是解题的关键． 先求出，根据图中所有的锐角之和为，得到，则，求出，即可解答． 【详解】解：∵射线是的三等分线， ∴， ∴， ∵图中所有的锐角之和为， ∴， 即 ， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练3】定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 题型17.尺规作一个角等于已知角 【典例】下列作图属于尺规作图的是（    ） A．用量角器画出，使 B．用三角板画出，使 C．用三角板画 D．借助没有刻度的直尺和圆规作，使 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图的定义，根据尺规作图是指仅借助没有刻度的直尺和圆规完成的作图，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A选项用量角器作图，不符合尺规作图定义； B选项用三角板作图，不符合尺规作图定义； C选项用三角板作图，不符合尺规作图定义； D选项借助没有刻度的直尺和圆规作角，符合尺规作图定义． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在直线上取一点O，过点O作射线，使，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交边于点D，E，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点F，再画射线．则的度数为________°． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，尺规作图—作与已知角相等的角．由作图方法可知，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：由作图方法可知， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】图1、图2是一个基本作图的痕迹，则下列说法正确的是（     ）. A．这个基本作图是作角的平分线 B．弧①是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 C．弧②是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 D．弧③是以为圆心，以长为半径所画的弧 【答案】B 【分析】本题考查作一个角等于已知角的尺规作图．通过分析图1和图2的作图痕迹，可还原完整作图过程，并逐项验证选项． 【详解】解：图1的作图为：以点为圆心，任意长为半径画弧①，交角两边于点， 图2的作图为：画射线，以点为圆心，长为半径画弧②，交于点，以点为圆心，长为半径画弧③，与弧②相交于一点，连接与该交点，得所求角， 选项：这个基本作图是作角的平分线，不符合题意，本题是作一个角等于已知角，故选项错误； 选项：弧①是以为圆心，以任意长为半径所画的弧，符合题意，故选项正确； 选项：弧②是以为圆心，以任意长为半径所画的弧，不符合题意，弧②半径应为的长，而非任意长，故选项错误； 选项：弧③是以为圆心，以长为半径所画的弧，不符合题意，弧③半径应为的长，而非的长，故选项错误． 解答题 1．探究角的个数： (1)①如图①，在内部画1条射线OC，则图①中有________个不同的角； ②如图②，在内部画2条射线OC，OD，则图②中有________个不同的角； ③如图③，在内部画3条射线OC，OD，OE，则图③中有________个不同的角． (2)在内部画n条射线OC，OD，OE，……，则有多少个不同的角？ 【答案】(1)①3；②6；③10； (2) 【分析】本题考查了角的有关概念，根据图形的前后变化找出规律，得出角的个数，发现角的个数的规律是解题的关键； 【详解】（1）解：①，共3个； ②，共6个； ③，共10个； 故答案为：①3 ②6 ③10． （2）解：在内部画条射线，根据角的规律可得： 有（个）不同的角． 2．如图所示，回答下列问题： (1)和是不是同一个角？ (2)和是不是同一个角？ (3)和是不是同一个角？ (4)和是不是同一个角？ (5)图中可以用一个字母表示的角有哪几个？分别把它们表示出来． 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 (4)不是 (5)图中可以用一个字母表示的角有3个，分别是，， 【分析】本题主要考查角的表示，熟练掌握角的表示方法是解题的关键． （1）根据角的表示方法判断即可； （2）根据角的表示方法判断即可； （3）根据角的表示方法判断即可； （4）根据角的表示方法判断即可； （5）根据角的表示方法分析即可． 【详解】（1）解： 和的顶点都是点，角的两边都是射线，，因此是同一个角． （2）解：和的顶点都是点，角的两边都是射线，，因此是同一个角． （3）解：和的两边不是相同的射线，因此不是同一个角． （4）解：和的顶点不同，因此不是同一个角． （5）解：图中可以用一个字母表示的角有3个，分别是，，． 3．如图，一副三角板的直角顶点都与直线上的点重合． (1)若，则_______度． (2)若，求的度数． (3)若，则_______度． 【答案】(1) (2) (3)47 【分析】本题考查了平角，直角有关的计算，熟练掌握平角，直角是解题的关键． （1）根据题意得出，，进而得出； （2）由题意得，，即可得到； （3）由（2）知，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：,，， , 故答案为： ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）知， ， ， ， 故答案为：． 4．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了度分秒的四则运算，掌握度、分、秒之间的进制关系，按照运算顺序进行计算是解题的关键． （1）根据角的四则运算法则求解即可； （2）根据角的四则运算法则求解即可； （3）根据角的四则运算法则求解即可； （4）根据角的四则运算法则求解即可； 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 5．如图，直线交于O点，且，平分，为的反向延长线． (1)求和的度数 (2)平分吗？为什么？ 【答案】(1)； (2)平分 理由：， ． ， 平分． 【详解】（1）解：， ； 是的角平分线， ． ， ； （2）略 6．如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图，，则为的4分位线；，则也是的4分位线． (1)若，为的2分位线，则___________． (2)如图2，点在同一条直线上，为一条射线，分别为与的3分位线． ①已知，则___________． ②若，求的度数．（用含的式子表示） (3)如果点在同一条直线上，为一条射线，已知射线分别为与的4分位线，且，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】本题主要考查了新定义、几何图形中角度的计算等知识点， 理解新定义的内容是解题的关键． （1）根据题意可得：，，进而求得即可； （2）①由题意可得：，，根据，则，再根据列方程求解即可；②根据①的思路解答即可； （3）由4分位线的定义以及已知条件可得，或，进而求得；然后分、两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，为的2分位线， ∴， ， ∴． 故答案为：． （2）解：①∵分别为与的3分位线．，， ∴，， ∴， ∵点在同一条直线上，为一条射线， ∴， ∵， ∴，即，即． 故答案为：． ②∵分别为与的3分位线．，， ∴，， ∴， ∵点在同一条直线上，为一条射线， ∴， ∵， ∴，即，即． （3）解：∵射线分别为与的4分位线，且， ∴，或 ， ∴， ∴， ①当时， ∵， ∴,解得：， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴，解得：， ∴． 综上，的度数为或． 7．如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装个竹筒，依次记为，，…，，三角形为支撑架，且． (1)求出相邻两根辐条夹角的度数； (2)若水车以固定的速度绕水轮的中心逆时针转动，转动一周需分钟．的平分线与水轮边缘交于点，每个竹筒在处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与的夹角为（即）时，竹筒开始倒水． ①计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟； ②当水轮转动到如图2位置时，判断与的数量关系，说明理由． 【答案】(1) (2)①分钟；②，理由见解析 【分析】本题考查角的计算，角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据题意，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，一周是，即可解答； （2）①根据角平分线的定义，求出，进而求出，根据水车以固定速度转一周需分钟，求出水车每分钟可以转动的角度，即可解答； ②推出，再根据角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴相邻两根辐条夹角的度数为； （2）解：①∵的平分线与水轮边缘交于点，，， ∴， ∴， ∵水车以固定速度转一周需分钟， ∴水车每分钟可以转动：， ∴所需时间为：（分钟）， 答：从竹筒装满水到开始倒水需要分钟； ②与的数量关系：． 理由：由（1）得相邻两根辐条夹角的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10角暑假预习讲义 1. 识记定义：掌握角的静态、动态两种定义，识别角的顶点与两条边。 2. 规范表示：学会三种常用方法表示角，明白顶点处存在多个角时，不能只用单个大写字母标注角。 3. 单位换算：熟记度、分、秒六十进制换算关系，完成简单的单位转化计算。 4. 识图计数：能在由多条射线组成的图形中，有序数出所有小于平角的角，避免重复或遗漏。 5. 概念辨析：区分角的大小只和开口幅度有关，和边画出的长短没有关系。 6. 规避易错点：书写角的符号遗漏、字母顺序写错；混淆平角、周角与直线、射线的区别。 7. 素养目标：养成规范书写几何符号的习惯，为后续角的比较、加减运算打好基础。 预习必备 知识梳理 1.角的定义 2.角的表示方法 3.角的分类 4.角的度量与单位换算 5.比较角的大小 6.角的和差.角平分线 7.作一个角等于已知角 常考题型 精讲精练 1.角的概念理解 2.角的表示方法 3.角的分类 4.画特殊角 5.钟面角 6.方向角的表示 7.与方向角有关的计算题 8.角的单位与角度制 9.角的度数大小比较 10.角的比较 11.三角板中角度计算问题 12.几何图形中角度计算问题 13.角度的四则运算 14.实际问题中角度计算问题 15.角平分线的有关计算 16.角n等分线的有关计算 17.尺规作一个角等于已知角 强化题型 解答题7题 知识点 01 角的两种定义 定义 1（静态定义，课本基础） 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 三要素：①公共端点（顶点）；②两条射线（角的两条边）。 定义 2（动态旋转定义） 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。 起始位置的射线：始边 终止位置的射线：终边 旋转中心：顶点 补充特殊旋转形成的角 平角：射线旋转半周，始边、终边成一条直线，度数180； 周角：射线旋转一周，始边、终边重合，度数360； ⚠️易错：平角是角，不是直线；周角是角，不是射线。 知识点02：角的表示方法（规范无错误，考试必考点） 知识点 03 角的分类（按度数划分，配套大小关系） 角的名称 度数范围 图形特征 大小关系 锐角 0<<90 开口很小，小于直角 锐角<直角<钝角<平角<周角 直角 =90 两边垂直，可标直角符号└ 直角 =90 钝角 90<<180 开口大于直角、小于平角 —— 平角 =180 两条边在同一直线，方向相反 1 平角 = 2 直角 周角 =360 始边终边完全重合 1 周角 = 2 平角 = 4 直角 知识点04：角的度量与单位换算 1 度量工具：量角器 量角步骤（一放二对三读） 放：量角器中心与角的顶点重合； 对：0刻度线与角的一条边重合； 读：看另一条边对应刻度，区分内圈、外圈读数。 2 角度进制（60 进制，时间进制同理） 1 度 =60分，1 分 =60秒 符号：度、分'、秒'' 换算公式： 1=60'，1'=60'' 1=3600'' 3.换算题型两类 大单位化小单位：乘 60 例：0.5=0.5×60=30' 小单位化大单位：除以 60 例：120''=120÷60=2' 4.角度加减计算规则 度与度相加减，分与分相加减，秒与秒相加减； 加法：满 60 进 1； 减法：不够减向前一级借 1 当 60。 例：3025'+4040'=715' 5010'-2030'=4940'（向度借 1 化为 60 分） 知识点05：比较角大小的两种方法 方法 1：度量法（用量角器） （1）操作步骤： ①量角器中心与角顶点重合； ②0° 刻度线与角一条边重合； ③读取另一条边对应刻度，得到角度； （2）大小判定：度数越大，角越大。 方法 2：叠合法（图形重合对比） 操作步骤： ① 两个角顶点重合； ② 一条边完全重合； ③ 观察另一条边位置： 另一边在内部：角更小； 另一边重合：两角相等； 另一边在外部：角更大。 将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点 O 与 O′重合，再让一条边 OB 与 O′D 重合，使另一条边 OA 和 O′C 落在 OB（或 O′D）的同侧。 知识点06：角的和、差、角平分线 1 角的和与差 如图，射线OC在∠AOB内部： 和：∠AOB= ∠AOC+∠ COB 差：∠AOC= ∠AOB-∠COB\)；∠COB=∠AOB-∠ AOC\) 2 角平分线（核心必考） 定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 几何推理书写 ∵OC平分∠ AOB ∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB 变形：∠AOB=2 ∠AOC=2∠BOC 拓展：角的 n 等分线 三等分线：两条射线把角分成 3 个相等小角； n 等分线：n-1 条射线均分一个角。 知识07：作一个角等于已知角（尺规作图） 标准作图步骤 题型1.角的概念理解 【典例】如图，的边经过的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪专练1】如图，有___________个角． 【跟踪专练2】如图，在已知角内画射线，画一条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；求画n条射线所得的角的个数___________． 【跟踪专练3】用一个10倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（    ） A． B． C． D． 题型2.角的表示方法 【典例】如图，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．也可用表示 C．表示的是 D．图中共有三个角，， 【跟踪专练1】将图中的角用不同方法表示出来，填写下表：    【跟踪专练2】如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有________个角． 题型3.角的分类 【典例】一个锐角加上一个钝角的和一定（    ） A．大于 B．大于平角 C．小于 D．小于平角 【跟踪专练1】两个锐角的和（   ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．可能是锐角、直角或钝角 【跟踪专练2】下列各角：①周角；②平角；③直角；④两个锐角的和．其中一定是钝角的有________．（填序号） 题型4.画特殊角 【典例】用一副三角板不能画出的角是（    ）． A．75° B．105° C．110° D．135° 【跟踪专练1】如图所示，是一副三角尺，上边三角尺的三个角分别为，，，下边三角尺的三个角分别为，，，那么，在①；②；③；④中，可以用这副三角尺画出来的是（      ） A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④ 【跟踪专练2】按下列要求画图、计算： (1)画； (2)在外画； (3)分别画的角平分线； (4)求的度数． 题型5.钟面角 【典例】计算3点整时，时针和分针的夹角________． 【跟踪专练1】下午2点整（如图所示），时钟的分针与时针所成角的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】当时间为下午4点45分，此时时针与分针的夹角为________°． 【跟踪专练3】某校为了缓解上午放学餐厅拥挤，同时给学生们营造轻松的就餐环境，特实施分年级错时放学，初一年级上午11：35放学，此时钟表上时针与分针的夹角是（    ） A．120° B．130.5° C．135° D．137.5° 题型6.方向角的表示 【典例】如图，射线表示方向是___________． 【跟踪专练1】如图，点相对于点的方向为（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 【跟踪专练2】如图，请准确描述：科技馆在小方家______方向______处． 【跟踪专练3】如图射线，的方向分别为北偏东和南偏西，射线平分，则射线的方向为（     ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏西 D．北偏西 题型7.与方向角有关的计算题 【典例】如图，表示北偏东方向的一条射线，表示南偏西方向的一条射线，则的度数是_______． 【跟踪专练1】如图，小军和小强分别用点A，B表示，小军在广场处的北偏西方向，的大小为，则图示状态下，小强在广场处的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．南偏东方向 D．南偏西方向 【跟踪专练2】开州拥有丰富的红色文化和传统文化资源，其中举子园、刘伯承同志纪念馆、刘伯承同志故居都是著名景点．如图，点是举子园，刘伯承同志纪念馆位于举子园的北偏西方向，刘伯承故居位于举子园的南偏西方向，那么__________． 【跟踪专练3】如图，在学校图书馆处观测到，物理实验室位于点的北偏东的方向，教学楼位于点的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型8.角的单位与角度制 【典例】______． 【跟踪专练1】下列选项中关于度、分、秒的换算错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】（1）_____________； （2）_____________； （3）_____________； （4）_____________． 【跟踪专练3】若，，，则（   ） A． B． C． D． 题型9.角的度数大小比较 【典例】比较角度的大小：________．（填“”“”或“”） 【跟踪专练1】已知，，，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果，，，那么，，的大小关系是_____________． 【跟踪专练3】已知，下面结论正确的是（　　） A． B． C． D． 题型10.角的比较 【典例】已知，以为始边作，则的大小为_________． 【跟踪专练1】如图，射线在的内部，射线在的外部．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是的正方形网格，点A，B，C，D，O均为格点，则________（填“”或“”或“”）． 【跟踪专练3】如图，在的正方形网格中，记，则（   ） A． B． C． D． 题型11.三角板中角度计算问题 【典例】如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么_______． 【跟踪专练1】数学课上，某学习小组在探究“用一副三角尺的角，结合角的和、差运算可以直接画出哪些度数的角？”时发现，如图，将两个直角顶点重合在一起，那么与总是相等的，如果，那么度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，直线上有一点O，作射线，使得，在同一平面内将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，，若始终在的内部，则______． 【跟踪专练3】如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型12.几何图形中角度计算问题 【典例】定义：如果从一个顶点出发的两个角的和等于，那么就说这两个角为“睦邻友好角”．若与是“睦邻友好角”，且，则的度数为________． 【跟踪专练1】如图，点为直线上一点，过点作射线，，，且始终在的右侧，若平分，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，与的比是，平分，，则______． 【跟踪专练3】将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若的度数为，则用含的代数式表示的大小为（    ） A． B． C． D． 题型13.角度的四则运算 【典例】______． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的值时，有三位同学分别计算了19°，20°，21°这三个不同的结果，其中只有一个是正确的答案，则_________． 【跟踪专练3】下列度分秒的换算中，正确的是（　   　） A． B． C． D． 题型14.实际问题中角度计算问题 【典例】时钟显示时间为3点45分，此时时针和分针所成较小夹角是______度． 【跟踪专练1】、都是钝角，甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果依次为、、和，其中有正确的结果，那么算得正确的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【跟踪专练2】如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 【跟踪专练3】已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 题型15.角平分线的有关计算 【典例】如图，射线平分，若，则_____． 【跟踪专练1】如图，三条射线a，b，c将分成相等的四个角，其中的角平分线是（     ） A． B． C． D．都不是 【跟踪专练2】如图，在三角形中，，垂足为点，，点为线段上一点，连接，与的角平分线、分别交于点、，若，则________． 【跟踪专练3】将一副三角板按如图所示的方式放置，重叠的边落在射线上．射线平分，则的大小为（　　） A． B． C． D． 题型16.角n等分线的有关计算 【典例】一个角的四等分线将这个角分成四个相等的小角，每个小角的度数为，则这个角的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】，射线是它的四等分线，则_________． 【跟踪专练2】如图所示，射线是的三等分线，如图中所有的锐角之和为，则的度数为 ________． 【跟踪专练3】定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 题型17.尺规作一个角等于已知角 【典例】下列作图属于尺规作图的是（    ） A．用量角器画出，使 B．用三角板画出，使 C．用三角板画 D．借助没有刻度的直尺和圆规作，使 【跟踪专练1】如图，在直线上取一点O，过点O作射线，使，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交边于点D，E，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点F，再画射线．则的度数为________°． 【跟踪专练2】图1、图2是一个基本作图的痕迹，则下列说法正确的是（     ）. A．这个基本作图是作角的平分线 B．弧①是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 C．弧②是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 D．弧③是以为圆心，以长为半径所画的弧 解答题 1．探究角的个数： (1)①如图①，在内部画1条射线OC，则图①中有________个不同的角； ②如图②，在内部画2条射线OC，OD，则图②中有________个不同的角； ③如图③，在内部画3条射线OC，OD，OE，则图③中有________个不同的角． (2)在内部画n条射线OC，OD，OE，……，则有多少个不同的角？ 2．如图所示，回答下列问题： (1)和是不是同一个角？ (2)和是不是同一个角？ (3)和是不是同一个角？ (4)和是不是同一个角？ (5)图中可以用一个字母表示的角有哪几个？分别把它们表示出来． 3．如图，一副三角板的直角顶点都与直线上的点重合． (1)若，则_______度． (2)若，求的度数． (3)若，则_______度． 4．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 5．如图，直线交于O点，且，平分，为的反向延长线． (1)求和的度数 (2)平分吗？为什么？ 6．如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图，，则为的4分位线；，则也是的4分位线． (1)若，为的2分位线，则___________． (2)如图2，点在同一条直线上，为一条射线，分别为与的3分位线． ①已知，则___________． ②若，求的度数．（用含的式子表示） (3)如果点在同一条直线上，为一条射线，已知射线分别为与的4分位线，且，求的度数． 7．如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装个竹筒，依次记为，，…，，三角形为支撑架，且． (1)求出相邻两根辐条夹角的度数； (2)若水车以固定的速度绕水轮的中心逆时针转动，转动一周需分钟．的平分线与水轮边缘交于点，每个竹筒在处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与的夹角为（即）时，竹筒开始倒水． ①计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟； ②当水轮转动到如图2位置时，判断与的数量关系，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $