周长与面积的变化（综合题型）奥数思维训练-2026-2027学年苏教版数学四年级上册(新教材)

**基本信息** 以长方形、正方形为载体，系统构建周长与面积变化的极值规律、场景应用及解题方法体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与规律|核心规律4条|最值规律法、对称转化法|从概念本质到规律推导，建立“紧凑程度-周长”关联| |基础与进阶题型|覆盖6类场景|因数枚举法、重合边计算法|题型从定量极值到场景构造，方法与场景对应| |解题方法与易错点|6大方法+避坑指南|切割增量法、方案对比法|方法迁移至生活优化，强化应用意识|

周长与面积的变化（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 主题定义与本质 本专题是周长与面积单元的进阶核心内容，以长方形、正方形为研究载体，聚焦固定约束条件下的周长极值问题，核心探究面积固定、图形拼接、场地围建等场景中，如何构造图形使周长达到最小值。 核心本质：通过分析长、宽的数值变化与周长长短的对应规律，实现从 “被动计算周长” 到 “主动构造最短周长方案” 的思维升级，是小学几何最值思维的入门载体。 核心逻辑：周长的长短不仅与总面积有关，更与图形的 “紧凑程度” 直接相关，图形越规整、越接近正方形，周长通常越短。 2. 两大核心探究方向 定量极值类：面积固定不变时，求长方形（含正方形）的最短周长，研究长、宽差距与周长的对应关系。 场景构造类：图形拼接、靠墙围建、切割拆分等实际场景中，设计方案使总周长、耗材长度最短，属于几何方案优化类问题。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：承接长方形、正方形的周长与面积基础公式，是平面几何从 “正向计算” 向 “逆向构造” 拓展的关键内容，深化对两个度量维度关系的理解。 奥数价值：延伸出拼接最值、靠墙围建极值、方案优化、切割周长变化等经典题型，训练有序枚举、极值推理、方案对比与几何建模能力，是小升初几何应用模块的高频考点。 二、核心基础规律与定理 1. 固定面积下的周长极值定理（核心基础） 在面积固定的所有长方形中，长和宽的差距越小，周长越短；当长和宽相等（即正方形）时，周长达到最小值。 反向对应：周长固定的长方形中，长和宽越接近，面积越大，围成正方形时面积最大。两条规律互为逆命题，可结合理解记忆。 整数约束说明：若要求长、宽均为整数，则选择乘积等于面积、且数值最接近的一组因数作为长和宽，此时周长最短。 2. 图形拼接中的周长变化规律 用多个相同的小长方形 / 正方形拼接成大图形时，拼接前后总面积不变，总周长会因边的重合而减少。 核心结论：重合的边越长、重合的总边数越多，总周长减少量越大，最终图形的周长就越短。 小正方形拼接特例：用固定个数的小正方形拼大长方形，拼成的图形越接近正方形，重合边总数越多，总周长越短。 通用计算公式：拼接后总周长 = 所有小图形周长之和 − 2 × 重合边总长度。 3. 靠墙围建的最短周长规律 围建场景中借助墙体替代一条或两条边时，最短周长的规律会发生变化，不再是正方形最优。 一面靠墙：面积固定，借助一面墙围长方形菜地（仅围三条边），当长恰好等于宽的 2 倍时，所需篱笆总长度最短。 两面靠墙（墙角围建）：借助两面垂直的墙体围长方形（仅围两条边），当长和宽相等（围成正方形）时，所需总边长最短。 4. 图形切割的周长变化规律 将一个大长方形切割成多个小图形时，总面积不变，总周长会随切割增加。 切一刀增加两条与切割线平行的边的长度；切割线平行于较短边时，增加的周长更少，切割后的总周长更短；切割线平行于长边时，增加的周长更多。 反向应用：要让切割后的总周长最短，应选择平行于短边的方向切割。 三、基础应用题型与标准解法 1. 已知面积求长方形最短周长 题型特征：给定长方形的面积（多为整数），要求长、宽为整数，求能围成的长方形的最短周长。 解题步骤： 枚举出所有乘积等于面积的正整数因数对（长、宽组合）； 逐一计算每组对应的周长； 对比选出周长最小的一组，即为最短周长。 快速技巧：直接找到最接近的两个因数，长和宽差距最小时周长最短，无需全部枚举计算。 2. 固定个数小正方形拼接求最短周长 题型特征：用若干个边长固定的小正方形拼成长方形，求拼成的图形周长最小是多少。 解题策略：小正方形总数对应大长方形的面积，将总数分解为 “长 × 宽” 的因数组合，找到数值最接近的一组，代入周长公式计算即可。 3. 基础一面靠墙围建问题 题型特征：用固定长度的篱笆一面靠墙围长方形菜地，求最大占地面积；或给定菜地面积，求最少需要多长的篱笆。 基础解法：枚举不同的宽对应的长，计算面积或篱笆长度，对比找到最优值；初步验证 “长 = 2× 宽” 的最优规律。 4. 切割后总周长基础判断 题型特征：将一个大长方形剪成两个小长方形，判断哪种剪法总周长更短。 解题方法：平行于短边切割，增加的是两条短边的长度，总周长增加更少，最终总周长更短。 四、奥数进阶题型与解题策略 （一）多图形拼接的最短周长进阶 1. 小长方形拼接大长方形 题型特征：用若干个相同的小长方形拼接大长方形，小长方形可横放、可竖放，求拼成的大长方形的最短周长。 解题策略： 先算出大长方形的总面积； 结合小长方形的长宽比例，枚举所有可行的长、宽组合，确保长、宽能被小长方形的对应边长整除； 分别计算每种组合的周长，对比选出最小值。 核心原则：在符合拼接要求的前提下，大长方形的长和宽越接近，周长越短。 2. 不规则拼接的最短周长 题型特征：给定固定数量的小正方形，可拼成不规则图形，求能拼出的图形的最短周长。 核心规律：图形越紧凑、外轮廓越平整，凹陷和突出越少，周长越短；最短周长的图形一定是最接近正方形、外凸的规整图形。 解题步骤：先按最接近正方形的方式构造基础轮廓，再调整剩余小方块的位置，尽量不增加额外的外凸边，保证周长最短。 （二）靠墙围建极值问题进阶 1. 面积固定求最短篱笆（一面靠墙） 核心结论：一面靠墙、面积固定时，长 = 2× 宽，篱笆总长度最短。 推导方法：对称法。将长方形沿墙体镜像翻转，转化为一个面积翻倍的完整大长方形，原问题等价于 “大长方形面积固定，求最短周长”，由正方形周长最短可知，大长方形为正方形时最优，对应原长方形长是宽的 2 倍。 2. 带中间隔墙的围建问题 题型特征：围长方形场地，中间加一道或多道隔墙（平行于长或宽），总面积固定，求围建的最短总材料长度。 解题策略： 明确总长度包含几条长、几条宽，写出总长度表达式； 结合面积固定的条件，枚举长和宽的可行取值； 计算每组对应的总材料长度，对比找到最小值。 规律延伸：相当于 “多倍的长 + 多倍的宽” 固定对应面积，最优解由两边的数量比例决定，本质仍是极值规律的变形应用。 3. 两面 / 三面靠墙拓展 两面靠墙（直角墙角）：围两条相邻的边，面积固定时，围成正方形总边长最短。 三面靠墙：仅需围一条边，此时长度由面积和另一条边直接决定，短边越长，所需围的边越短。 （三）切割与挖洞的周长变化最值 1. 裁剪后剩余图形的周长最值 题型特征：在大长方形上剪去一个小长方形 / 正方形，分别在角上、边上、内部挖洞，判断剩余图形周长的长短变化，求最短周长的剪法。 核心结论： 在角落剪去小图形：剩余图形周长与原长方形周长相等，周长不变，是周长最短的剪法； 在边上剪凹形：周长会增加，凹进去的深度越浅，增加的周长越少，总周长越短； 在内部挖洞：周长会增加洞的一圈周长，洞越小周长增加越少。 2. 均分图形的总周长最短 题型特征：将大长方形分成若干个完全相同的小长方形，求所有小长方形的周长总和的最小值。 解题策略：切割次数越少、切割线总长度越短，总周长增加越少；优先平行于短边切割，尽量减少长切割线的总长度，可使总周长最短。 （四）和差倍约束下的最短周长 题型特征：已知长方形面积，同时限定长与宽的倍数关系、和差关系，或限定长、宽的取值范围，求满足条件的最短周长。 解题步骤： 根据和差倍条件，建立长与宽的数量关系； 结合面积条件，筛选出符合所有约束的长、宽组合； 计算每组的周长，对比得到满足条件的最短周长。 注意：有约束条件时，正方形不一定可行，需在限定范围内找最接近的长、宽组合。 （五）生活方案优化类 1. 最省材料设计问题 题型特征：制作相框、围养鸡场、搭建围栏等场景，有多种设计方案，要求总面积固定，求最节省材料（总周长最短）的方案。 解题策略： 先根据基础规律设计最优基础方案； 结合实际约束（如长宽必须为整数、预留门洞、靠墙条件）调整方案； 枚举所有可行方案并计算总耗材，对比选出最节省的方案。 2. 包装与捆绑最值 题型特征：用绳子捆绑若干个长方体 / 正方体物品，求最短的绳长，本质是拼接图形的周长最短问题的立体变形。 解题思路：让物品最大的面重合，使拼接后的整体越接近正方体，正面周长越短，绳长也就越短。 （六）拓展提升：周长相等下的面积最值 作为最短周长的逆问题，可辅助理解二者的变化关系： 周长固定的长方形，长和宽越接近，面积越大，正方形时面积最大； 一面靠墙、篱笆长度固定时，长是宽的 2 倍时，围出的面积最大。 掌握正反两组规律，可快速验证极值结论的合理性，避免规律记混。 五、核心解题方法汇总 因数枚举法：固定面积求最短周长的基础方法，枚举所有长 × 宽的整数组合，选取最接近的一组计算周长。 最值规律法：直接套用 “面积固定，正方形周长最短”“一面靠墙长倍宽” 等结论，快速定位最优解。 重合边计算法：拼接类问题的核心思路，最大化重合边总长度，即可最小化总周长。 对称转化法：靠墙类问题通过镜像对称，转化为完整长方形的极值问题，利用已知规律推导结论。 方案对比法：多约束、多方案的优化题，逐一计算各方案的总周长，对比选出最小值。 切割增量法：切割类问题通过计算切割增加的边长，判断总周长的变化，增量越小总周长越短。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 规律记混：混淆 “面积固定求最短周长” 与 “周长固定求最大面积” 的结论，或不分场景直接套用 “正方形最优”，忽略靠墙等特殊场景。 拼接认知错误：误认为拼接后面积不变，周长也不变，忽略重合边会使总周长减少；或认为拼接图形越分散周长越短，实际越紧凑周长越短。 切割变化判断错：认为剪去一块图形后周长一定变短，实际上只有在角落剪周长不变，在边上剪、内部挖洞都会让周长增加。 2. 计算类易错点 因数枚举遗漏：枚举面积的因数对时出现遗漏，找到的长、宽不是最接近的组合，导致算出的 “最短周长” 并非真正最小值。 靠墙多算边长：一面靠墙求篱笆长度时，仍按四条边计算完整周长，多算了靠墙的一条边，结果偏大。 切割增量算半：计算切割后的总周长时，只加一条切割边的长度，正确应该增加两条平行边的长度，增量算少一半。 3. 应用类易错点 忽略整数约束：实际场景中长、宽、个数必须为整数，直接套用小数最优解，不符合题目要求与现实逻辑。 隔墙漏算长度：带中间隔墙的围建题，忘记将隔墙的长度计入总耗材，导致算出的最短长度比实际偏少。 凹形周长漏边：计算凹陷图形的周长时，只平移外轮廓，忘记加上凹陷处的两条竖边 / 横边，周长算小。 方案枚举不全：方案优化题只计算基础方案，遗漏混合摆放、调整尺寸的更优方案，找不到真正的最短周长。 培优练习 一、选择题 1．一个长方形花坛，长6米，宽4米，花坛的一边靠墙，要给花坛其他几条边围上围栏，至少需要（    ）米长的围栏。 A．24 B．20 C．14 【答案】C 【分析】要使围栏长度最短，应将长方形较长的边靠墙，只需计算剩余条边的长度和即可。 【详解】 （米） 2．王奶奶在菜园用篱笆围了一个长12米、宽8米的长方形区域用于种瓜苗，其中有一面靠墙。至少需要用（    ）米的篱笆。 A．40 B．30 C．28 【答案】C 【分析】12＞8，根据题意，为节省篱笆应使较长边靠墙。将长方形菜地的长靠墙，篱笆的长度为长方形的两个宽＋一个长，据此解答即可。 【详解】8＋8＋12 ＝16＋12 ＝28（米） 3．用12个小正方形拼成一个长方形，下面拼法（    ）的周长最短。 A． B． C． 【答案】A 【分析】把小正方形的边长看作是1，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，分别求出各个图形的周长，再进行比较，据此解答。 【详解】A．此长方形长为4，宽为3，周长为（4＋3）×2，结果为14。 B．此长方形长为6，宽为2，周长为（6＋2）×2，结果为12。 C．此长方形长为12，宽为1，周长为（12＋1）×2，结果为26。 26＞14＞12，所以A的拼法周长最短。 4．用24张边长是1厘米的正方形纸拼长方形，下面（    ）拼法能使拼成的图形周长最短。 A． B． C． 【答案】C 【分析】 已知用24张边长是1厘米的正方形纸拼长方形，那么的长是12厘米，宽是2厘米；的长是8厘米，宽是3厘米，的长是6厘米，宽是4厘米。长方形的周长＝（长＋宽）×2，分别求出长方形的周长再比较即可解答。 【详解】A．（12＋2）×2 ＝14×2 ＝28（厘米） B．（8＋3）×2 ＝11×2 ＝22（厘米） C．（6＋4）×2 ＝10×2 ＝20（厘米） 28＞22＞20 所以用24张边长是1厘米的正方形纸拼长方形，拼法能使拼成的图形周长最短。 5．道路维修，为了保障安全，某施工队要围一个长35m，宽6m的长方形安全区，安全区一面靠墙，其他3面用围栏围起来，至少要用（    ）m长的围栏。 A．41 B．47 C．76 【答案】B 【分析】要让围栏总长度最短，需要让较长的边（长）靠墙，只需要围条长和条宽，计算篱笆长度即可。 【详解】 （m） 至少要用m长的围栏。 二、填空题 6．一个长方形花坛，长7米，宽5米，花坛的一边靠墙，要给花坛其他几条边围上围栏，至少要( )米长的围栏。 【答案】17 【分析】要使围栏长度最短，应将长方形较长的边靠墙，只需计算剩余3条边的长度和即可。 【详解】7＋5×2 ＝7＋10 ＝17（米） 因此至少要17米长的围栏。 7．爷爷用篱笆围了一块长7米，宽4米的长方形菜地（一面靠墙），篱笆最少长( )米。 【答案】15 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，要使篱笆最短，则菜地的长边应靠墙。因此算式可写为：长＋2×宽 【详解】7＋2×4 ＝7＋8 ＝15（米） 所以这个篱笆最少长15米 8．我的结论：用相同个数的小正方形拼长方形（或正方形），长与宽越接近，周长越( )。 【答案】短 【分析】在小正方形数量固定的前提下，长方形的长与宽差距越小，其周长就越短。当长与宽相等时（即拼成正方形），周长达到最小值。 【详解】例如16个边长1cm的小正方形拼成长方形， 可以拼成宽1cm，长16cm，周长为 （cm） 拼成宽2cm，长8cm，周长为 （cm） 拼成边长4cm正方形，周长为（cm） 所以，用相同个数的小正方形拼成长方形（或正方形），长与宽越接近，周长越短。 9．李伯伯准备用篱笆围一个苗圃，如图，李伯伯的儿子认为这么围浪费篱笆，决定帮父亲改一改，长和宽都不变，还是将一面靠墙，改围后一共用去篱笆( )米，比原来节约了( )米。 【答案】 28 4 【分析】李伯伯的儿子将长方形的长那边靠墙，减少一些篱笆，改围后此时的篱笆长度为一个长加上两个宽，改之前篱笆长度是两个长加一个宽，用原来的篱笆长度减去现在的篱笆长度。 【详解】12＋8＋8＝28（米） 12＋12＋8＝32（米） 32－28＝4（米） 因此，改围后一共用去篱笆28米，比原来节约了4米。 10．用两个长8厘米、宽6厘米的长方形拼成一个大长方形，拼成的大长方形的周长最长是______厘米，最短是______厘米。 【答案】 44 40 【分析】用两个长8厘米、宽6厘米的长方形拼成一个大长方形，有两种拼接方式：1、将宽边（6厘米）相接，形成长（8＋8）厘米、宽6厘米的大长方形；2、将长边（8厘米）相接，形成长8厘米、宽（6＋6）厘米的大长方形。分别计算两种方式的周长，比较得出最长和最短的结果。 【详解】由分析得，第1种拼接方式的大长方形周长为： （6＋16）×2 ＝ 22×2 ＝ 44（厘米） 第2种拼接方式的大长方形周长为： （8＋12）×2 ＝ 20×2 ＝ 40（厘米） 44＞40，因此拼成的大长方形的周长最长是44厘米，最短是40厘米。 11．一块长方形菜地，长12米，宽7米。这块菜地一面靠墙，其他三面要围上篱笆，至少需要篱笆( )米。 【答案】26 【分析】一块长方形菜地，长12米，宽7米。这块菜地一面靠墙，其他三面要围上篱笆，要使篱笆的长度最短，那么需要长方形菜地的长靠墙（如下图）。 由图可知，篱笆的长度等于一条长的长度加上两条宽的长度。据此解答。 【详解】12＋7×2 ＝12＋14 ＝26（米） 一块长方形菜地，长12米，宽7米。这块菜地一面靠墙，其他三面要围上篱笆，至少需要篱笆26米。 12．一块长方形鸡舍，长25米，宽20米，如果四周都围上篱笆，篱笆长( )米；如果鸡舍建在一面靠墙的地方，用( )（长或宽）靠墙使得篱笆最短。 【答案】 90 长 【分析】根据题意可知，将鸡舍的四周都围上篱笆，计算篱笆的长度，也就是求长方形鸡舍的周长，长方形的周长＝（长＋宽）×2，依此计算；如果鸡舍一面靠墙，要使篱笆的长度最短，尽量多的用墙代替长方形鸡舍的一条边，那么应将长方形鸡舍长的一面靠墙。 【详解】（25＋20）×2 ＝45×2 ＝90（米） 一块长方形鸡舍，长25米，宽20米，如果四周都围上篱笆，篱笆长米；如果鸡舍建在一面靠墙的地方，用长靠墙使得篱笆最短。 13．把3张长5dm，宽3dm的长方形硬纸板拼成一个周长最大的长方形，这个长方形的周长是( )dm，面积是( )dm2。 【答案】 36 45 【分析】把3张长方形硬纸板拼成一个长方形可以有两种拼法：（1）宽和宽重合、长与长连接；（2）长和长重合、宽与宽连接。 如果把宽和宽重合、长与长连接，新的大长方形的周长就比原来三个小长方形的周长和少了4条宽；如果把长和长重合、宽与宽连接，新的大长方形的周长就比原来三个小长方形的周长和少了4条长。所以要想大长方形的周长最大，即把宽和宽重合、长与长连接。再根据长方形的周长公式和面积公式计算出周长和面积即可。长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽。 【详解】把3张长方形硬纸板拼成一个长方形，要想大长方形的周长最大，即把宽和宽重合、长与长连接。 大长方形的长为：5×3＝15（dm），宽为：3dm （15＋3）×2 ＝18×2 ＝36（dm） 15×3＝45（dm2） 因此这个长方形的周长是36dm，面积是45dm2。 【点睛】本题的关键在于要理解清楚怎样拼出一个周长最大的长方形，即较短边重合，较长边连接所拼成的长方形周长最大。 三、解答题 14．将一个长15厘米、宽12厘米的长方形框架改围成一个等边三角形，则等边三角形的一条边长多少厘米？ 【答案】18厘米 【分析】由题意可知，长方形与等边三角形周长相等，长方形周长＝（长＋宽）×2，等边三角形边长＝周长÷3，据此列式即可。 【详解】（15＋12）×2 ＝27×2 ＝54（厘米） 54÷3＝18（厘米） 答：等边三角形的一条边长为18厘米。 15．某展厅准备靠着外墙铺设一块长50米、宽35米的长方形草坪，然后给这块草坪围上一圈护栏，至少要准备多少米长的护栏？（外墙足够长）（先画图再列式计算） 【答案】 画图见详解；120米 【分析】根据题意，草坪是长方形，因为靠着外墙铺设，所以有一面不需要围护栏。要使护栏最短，草坪的长边靠墙，然后求出长和两个宽的和即可。画图时，画一个长方形，将较长的一条边画在墙壁线上，表示长边靠墙。 【详解】作图如下： 50＋35×2 ＝50＋70 ＝120（米） 答：至少要准备120米长的护栏。 16．策划小组根据每班人数、参赛人数等综合因素，计划设置一个长14米，宽10米的长方形舞台。 (1)如果在舞台的周围贴彩带，至少需要多少米的彩带？ (2)如图，如果这个舞台紧靠着背景墙，另外三边贴彩带，至少需要多少米的彩带？ 【答案】(1) 48米 (2) 34米 【分析】（1）舞台是长方形的，在舞台的周围贴彩带，就是求长方形舞台的周长。利用长方形周长公式进行计算即可； （2）舞台紧靠背景墙，说明有一条边不需要贴彩带。要求至少需要多少米彩带，即求三条边长度之和的最小值。根据长方形特征，让长靠墙，剩下的三条边总长度最短。彩带的长度就是两条宽的长度加上一条长的长度。 【详解】（1）（14＋10）×2 ＝24×2 ＝48（米） 答：如果在舞台的周围贴彩带，至少需要48米的彩带。 （2）14＋10×2 ＝14＋20 ＝34（米） 答：至少需要34米的彩带。 17．学校举行“我与家乡”画展，三年级选出32幅作品，每幅作品都是边长3分米的正方形，现在要把这些作品贴到一起，并在四周配上花边。怎样设计才能使贴的花边最少？花边长多少分米？ 【答案】每行贴8幅，贴4行；72分米 【分析】求花边长度就是求拼成大长方形的周长，想要花边最少，就要让拼成的长方形长和宽越接近周长越小。先找出乘积是32的所有整数组合，确定不同拼法的长与宽，再利用长方形周长公式算出周长，对比选出周长最小的拼法。 【详解】作品总数：32幅，每幅边长3分米 找出32的整数组合： 32＝32×1、32＝16×2、32＝8×4 第一种：每行32幅，贴1行。 长：32×3＝96（分米） 宽：1×3＝3（分米） 周长：（96＋3）×2 ＝99×2 ＝198（分米） 第二种：每行16幅，贴2行。 长：16×3＝48（分米） 宽：2×3＝6（分米） 周长：（48＋6）×2 ＝54×2 ＝108（分米） 第三种：每行8幅，贴4行。 长：8×3＝24（分米） 宽：4×3＝12（分米） 周长：（24＋12）×2 ＝36×2 ＝72（分米） 因为：72＜108＜198，所以第三种：每行贴8幅，贴4行贴的花边最少，花边长72分米。 答：每行贴8幅，贴4行贴的花边最少，花边长72分米。 18．一块靠墙的长方形菜地，长6米，宽3米，另外三面用篱笆围上，哪种围法篱笆用的少一些？需要多少米？ 【答案】第1种，12米 【分析】第1种：长边靠墙，需要篱笆的长度等于一条长加上两条宽的长度；第二种：宽边靠墙，需要篱笆的长度等于两条长加上一条宽的长度；比较结果即可得出哪种围法用的篱笆少。 【详解】第1种： 6＋3＋3 ＝9＋3 ＝12（米） 第2种： 6＋6＋3 ＝12＋3 ＝15（米） 12＜15 答：第1种围法篱笆用的少一些，需要12米。 19．木偶剧在中国有着非常悠久的历史，它的历史可以追溯到汉代。学校邀请木偶表演团到校表演，为了让学生有更好的观看体验，学校专门靠墙留出一个长12米，宽7米的观影区，并用隔离带围起来。请你算出至少需要多长的隔离带。（接头处忽略不计） 【答案】26米 【分析】已知观影区是长方形，长 12 米，宽 7 米，且一面靠墙。题目要求隔离带“至少”多长，即求围成三条边长度之和的最小值。根据长方形特征，要使总长度最短，应让最长的一条边靠墙，此时隔离带长度等于一条长加上两条宽的和。 【详解】要使隔离带最短，需让长边靠墙。 12＋7×2 ＝12＋14 ＝26（米） 答：至少需要 26 米长的隔离带。 20．在游乐园的创意展示区，要把20个勋章贴在一起，做成一个“勋章展示墙”，并在四周镶上灯带。怎样设计“勋章展示墙”才能使镶的灯带最短？最短是多少厘米？ 每个勋章都是边长为2厘米的正方形。 【答案】在“勋章展示墙”中贴4行，每行5个（或贴5行，每行4个）勋章，这样才能使镶的灯带最短，最短是36厘米。 【分析】小正方形数量固定时长方形最短周长，20个边长2厘米的正方形拼成长方形，总数量固定；长方形的长与宽越接近，周长越短；20的因数组合有1×20、2×10、4×5，其中4×5的长和宽最接近，对应周长最短。 【详解】将20个正方形拼成4行×5列（或5行×4列）的长方形（长与宽最接近）。 长方形的长：（厘米） 宽：（厘米） 周长：（厘米） 答：在“勋章展示墙”中贴4行，每行5个（或贴5行，每行4个）勋章，这样才能使镶的灯带最短，最短是36厘米。 21．王爷爷家有一块一面靠墙的长方形花圃，长和宽分别是18米和10米。如果要给这个花圃围上竹篱笆，至少需要多少米竹篱笆？（先画出示意图，标出数据，再解答） 答：至少需要______米竹篱笆。 【答案】图见详解；38米 【分析】由题意可知，这个长方形花圃有一边靠墙，靠墙的这一边是不需要围竹篱笆的。这个长方形花圃长18米，宽10米，有可能是长靠墙，也可能是宽靠墙。当长靠墙时，竹篱笆的长度＝长＋宽×2，即比这个长方形的周长少了18米；当宽靠墙时，竹篱笆的长度＝长×2＋宽，即比这个长方形的周长少了10米；因此当长靠墙时，需要的竹篱笆最短。据此解答即可。 【详解】如图所示： 18＋10×2 ＝18＋20 ＝38（米） 答：至少需要38米竹篱笆。 22．张大爷家有一个一边靠墙的长方形花园，长6米，宽3米。张大爷要给这个花园围上竹篱笆，那么张大爷至少需要多少米竹篱笆？（先画出示意图，标出数据，再解答）。 【答案】 12米 【分析】由题意可知，这个长方形花园有一边靠墙，靠墙的这一边是不需要围篱笆的。这个长方形花园长6米，宽3米，有可能是长靠墙，也可能是宽靠墙。当长靠墙时，篱笆的长度＝长＋宽×2，即比这个长方形的周长少了6米；当宽靠墙时，篱笆的长度＝长×2＋宽，即比这个长方形的周长少了3米；因此当长靠墙时，需要的竹篱笆最短。 【详解】画图略； 6＋3×2 ＝6＋6 ＝12（米） 答：张大爷至少需要12米竹篱笆。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 周长与面积的变化（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 主题定义与本质 本专题是周长与面积单元的进阶核心内容，以长方形、正方形为研究载体，聚焦固定约束条件下的周长极值问题，核心探究面积固定、图形拼接、场地围建等场景中，如何构造图形使周长达到最小值。 核心本质：通过分析长、宽的数值变化与周长长短的对应规律，实现从 “被动计算周长” 到 “主动构造最短周长方案” 的思维升级，是小学几何最值思维的入门载体。 核心逻辑：周长的长短不仅与总面积有关，更与图形的 “紧凑程度” 直接相关，图形越规整、越接近正方形，周长通常越短。 2. 两大核心探究方向 定量极值类：面积固定不变时，求长方形（含正方形）的最短周长，研究长、宽差距与周长的对应关系。 场景构造类：图形拼接、靠墙围建、切割拆分等实际场景中，设计方案使总周长、耗材长度最短，属于几何方案优化类问题。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：承接长方形、正方形的周长与面积基础公式，是平面几何从 “正向计算” 向 “逆向构造” 拓展的关键内容，深化对两个度量维度关系的理解。 奥数价值：延伸出拼接最值、靠墙围建极值、方案优化、切割周长变化等经典题型，训练有序枚举、极值推理、方案对比与几何建模能力，是小升初几何应用模块的高频考点。 二、核心基础规律与定理 1. 固定面积下的周长极值定理（核心基础） 在面积固定的所有长方形中，长和宽的差距越小，周长越短；当长和宽相等（即正方形）时，周长达到最小值。 反向对应：周长固定的长方形中，长和宽越接近，面积越大，围成正方形时面积最大。两条规律互为逆命题，可结合理解记忆。 整数约束说明：若要求长、宽均为整数，则选择乘积等于面积、且数值最接近的一组因数作为长和宽，此时周长最短。 2. 图形拼接中的周长变化规律 用多个相同的小长方形 / 正方形拼接成大图形时，拼接前后总面积不变，总周长会因边的重合而减少。 核心结论：重合的边越长、重合的总边数越多，总周长减少量越大，最终图形的周长就越短。 小正方形拼接特例：用固定个数的小正方形拼大长方形，拼成的图形越接近正方形，重合边总数越多，总周长越短。 通用计算公式：拼接后总周长 = 所有小图形周长之和 − 2 × 重合边总长度。 3. 靠墙围建的最短周长规律 围建场景中借助墙体替代一条或两条边时，最短周长的规律会发生变化，不再是正方形最优。 一面靠墙：面积固定，借助一面墙围长方形菜地（仅围三条边），当长恰好等于宽的 2 倍时，所需篱笆总长度最短。 两面靠墙（墙角围建）：借助两面垂直的墙体围长方形（仅围两条边），当长和宽相等（围成正方形）时，所需总边长最短。 4. 图形切割的周长变化规律 将一个大长方形切割成多个小图形时，总面积不变，总周长会随切割增加。 切一刀增加两条与切割线平行的边的长度；切割线平行于较短边时，增加的周长更少，切割后的总周长更短；切割线平行于长边时，增加的周长更多。 反向应用：要让切割后的总周长最短，应选择平行于短边的方向切割。 三、基础应用题型与标准解法 1. 已知面积求长方形最短周长 题型特征：给定长方形的面积（多为整数），要求长、宽为整数，求能围成的长方形的最短周长。 解题步骤： 枚举出所有乘积等于面积的正整数因数对（长、宽组合）； 逐一计算每组对应的周长； 对比选出周长最小的一组，即为最短周长。 快速技巧：直接找到最接近的两个因数，长和宽差距最小时周长最短，无需全部枚举计算。 2. 固定个数小正方形拼接求最短周长 题型特征：用若干个边长固定的小正方形拼成长方形，求拼成的图形周长最小是多少。 解题策略：小正方形总数对应大长方形的面积，将总数分解为 “长 × 宽” 的因数组合，找到数值最接近的一组，代入周长公式计算即可。 3. 基础一面靠墙围建问题 题型特征：用固定长度的篱笆一面靠墙围长方形菜地，求最大占地面积；或给定菜地面积，求最少需要多长的篱笆。 基础解法：枚举不同的宽对应的长，计算面积或篱笆长度，对比找到最优值；初步验证 “长 = 2× 宽” 的最优规律。 4. 切割后总周长基础判断 题型特征：将一个大长方形剪成两个小长方形，判断哪种剪法总周长更短。 解题方法：平行于短边切割，增加的是两条短边的长度，总周长增加更少，最终总周长更短。 四、奥数进阶题型与解题策略 （一）多图形拼接的最短周长进阶 1. 小长方形拼接大长方形 题型特征：用若干个相同的小长方形拼接大长方形，小长方形可横放、可竖放，求拼成的大长方形的最短周长。 解题策略： 先算出大长方形的总面积； 结合小长方形的长宽比例，枚举所有可行的长、宽组合，确保长、宽能被小长方形的对应边长整除； 分别计算每种组合的周长，对比选出最小值。 核心原则：在符合拼接要求的前提下，大长方形的长和宽越接近，周长越短。 2. 不规则拼接的最短周长 题型特征：给定固定数量的小正方形，可拼成不规则图形，求能拼出的图形的最短周长。 核心规律：图形越紧凑、外轮廓越平整，凹陷和突出越少，周长越短；最短周长的图形一定是最接近正方形、外凸的规整图形。 解题步骤：先按最接近正方形的方式构造基础轮廓，再调整剩余小方块的位置，尽量不增加额外的外凸边，保证周长最短。 （二）靠墙围建极值问题进阶 1. 面积固定求最短篱笆（一面靠墙） 核心结论：一面靠墙、面积固定时，长 = 2× 宽，篱笆总长度最短。 推导方法：对称法。将长方形沿墙体镜像翻转，转化为一个面积翻倍的完整大长方形，原问题等价于 “大长方形面积固定，求最短周长”，由正方形周长最短可知，大长方形为正方形时最优，对应原长方形长是宽的 2 倍。 2. 带中间隔墙的围建问题 题型特征：围长方形场地，中间加一道或多道隔墙（平行于长或宽），总面积固定，求围建的最短总材料长度。 解题策略： 明确总长度包含几条长、几条宽，写出总长度表达式； 结合面积固定的条件，枚举长和宽的可行取值； 计算每组对应的总材料长度，对比找到最小值。 规律延伸：相当于 “多倍的长 + 多倍的宽” 固定对应面积，最优解由两边的数量比例决定，本质仍是极值规律的变形应用。 3. 两面 / 三面靠墙拓展 两面靠墙（直角墙角）：围两条相邻的边，面积固定时，围成正方形总边长最短。 三面靠墙：仅需围一条边，此时长度由面积和另一条边直接决定，短边越长，所需围的边越短。 （三）切割与挖洞的周长变化最值 1. 裁剪后剩余图形的周长最值 题型特征：在大长方形上剪去一个小长方形 / 正方形，分别在角上、边上、内部挖洞，判断剩余图形周长的长短变化，求最短周长的剪法。 核心结论： 在角落剪去小图形：剩余图形周长与原长方形周长相等，周长不变，是周长最短的剪法； 在边上剪凹形：周长会增加，凹进去的深度越浅，增加的周长越少，总周长越短； 在内部挖洞：周长会增加洞的一圈周长，洞越小周长增加越少。 2. 均分图形的总周长最短 题型特征：将大长方形分成若干个完全相同的小长方形，求所有小长方形的周长总和的最小值。 解题策略：切割次数越少、切割线总长度越短，总周长增加越少；优先平行于短边切割，尽量减少长切割线的总长度，可使总周长最短。 （四）和差倍约束下的最短周长 题型特征：已知长方形面积，同时限定长与宽的倍数关系、和差关系，或限定长、宽的取值范围，求满足条件的最短周长。 解题步骤： 根据和差倍条件，建立长与宽的数量关系； 结合面积条件，筛选出符合所有约束的长、宽组合； 计算每组的周长，对比得到满足条件的最短周长。 注意：有约束条件时，正方形不一定可行，需在限定范围内找最接近的长、宽组合。 （五）生活方案优化类 1. 最省材料设计问题 题型特征：制作相框、围养鸡场、搭建围栏等场景，有多种设计方案，要求总面积固定，求最节省材料（总周长最短）的方案。 解题策略： 先根据基础规律设计最优基础方案； 结合实际约束（如长宽必须为整数、预留门洞、靠墙条件）调整方案； 枚举所有可行方案并计算总耗材，对比选出最节省的方案。 2. 包装与捆绑最值 题型特征：用绳子捆绑若干个长方体 / 正方体物品，求最短的绳长，本质是拼接图形的周长最短问题的立体变形。 解题思路：让物品最大的面重合，使拼接后的整体越接近正方体，正面周长越短，绳长也就越短。 （六）拓展提升：周长相等下的面积最值 作为最短周长的逆问题，可辅助理解二者的变化关系： 周长固定的长方形，长和宽越接近，面积越大，正方形时面积最大； 一面靠墙、篱笆长度固定时，长是宽的 2 倍时，围出的面积最大。 掌握正反两组规律，可快速验证极值结论的合理性，避免规律记混。 五、核心解题方法汇总 因数枚举法：固定面积求最短周长的基础方法，枚举所有长 × 宽的整数组合，选取最接近的一组计算周长。 最值规律法：直接套用 “面积固定，正方形周长最短”“一面靠墙长倍宽” 等结论，快速定位最优解。 重合边计算法：拼接类问题的核心思路，最大化重合边总长度，即可最小化总周长。 对称转化法：靠墙类问题通过镜像对称，转化为完整长方形的极值问题，利用已知规律推导结论。 方案对比法：多约束、多方案的优化题，逐一计算各方案的总周长，对比选出最小值。 切割增量法：切割类问题通过计算切割增加的边长，判断总周长的变化，增量越小总周长越短。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 规律记混：混淆 “面积固定求最短周长” 与 “周长固定求最大面积” 的结论，或不分场景直接套用 “正方形最优”，忽略靠墙等特殊场景。 拼接认知错误：误认为拼接后面积不变，周长也不变，忽略重合边会使总周长减少；或认为拼接图形越分散周长越短，实际越紧凑周长越短。 切割变化判断错：认为剪去一块图形后周长一定变短，实际上只有在角落剪周长不变，在边上剪、内部挖洞都会让周长增加。 2. 计算类易错点 因数枚举遗漏：枚举面积的因数对时出现遗漏，找到的长、宽不是最接近的组合，导致算出的 “最短周长” 并非真正最小值。 靠墙多算边长：一面靠墙求篱笆长度时，仍按四条边计算完整周长，多算了靠墙的一条边，结果偏大。 切割增量算半：计算切割后的总周长时，只加一条切割边的长度，正确应该增加两条平行边的长度，增量算少一半。 3. 应用类易错点 忽略整数约束：实际场景中长、宽、个数必须为整数，直接套用小数最优解，不符合题目要求与现实逻辑。 隔墙漏算长度：带中间隔墙的围建题，忘记将隔墙的长度计入总耗材，导致算出的最短长度比实际偏少。 凹形周长漏边：计算凹陷图形的周长时，只平移外轮廓，忘记加上凹陷处的两条竖边 / 横边，周长算小。 方案枚举不全：方案优化题只计算基础方案，遗漏混合摆放、调整尺寸的更优方案，找不到真正的最短周长。 培优练习 一、选择题 1．一个长方形花坛，长6米，宽4米，花坛的一边靠墙，要给花坛其他几条边围上围栏，至少需要（    ）米长的围栏。 A．24 B．20 C．14 2．王奶奶在菜园用篱笆围了一个长12米、宽8米的长方形区域用于种瓜苗，其中有一面靠墙。至少需要用（    ）米的篱笆。 A．40 B．30 C．28 3．用12个小正方形拼成一个长方形，下面拼法（    ）的周长最短。 A． B． C． 4．用24张边长是1厘米的正方形纸拼长方形，下面（    ）拼法能使拼成的图形周长最短。 A． B． C． 5．道路维修，为了保障安全，某施工队要围一个长35m，宽6m的长方形安全区，安全区一面靠墙，其他3面用围栏围起来，至少要用（    ）m长的围栏。 A．41 B．47 C．76 二、填空题 6．一个长方形花坛，长7米，宽5米，花坛的一边靠墙，要给花坛其他几条边围上围栏，至少要( )米长的围栏。 7．爷爷用篱笆围了一块长7米，宽4米的长方形菜地（一面靠墙），篱笆最少长( )米。 8．我的结论：用相同个数的小正方形拼长方形（或正方形），长与宽越接近，周长越( )。 9．李伯伯准备用篱笆围一个苗圃，如图，李伯伯的儿子认为这么围浪费篱笆，决定帮父亲改一改，长和宽都不变，还是将一面靠墙，改围后一共用去篱笆( )米，比原来节约了( )米。 10．用两个长8厘米、宽6厘米的长方形拼成一个大长方形，拼成的大长方形的周长最长是______厘米，最短是______厘米。 11．一块长方形菜地，长12米，宽7米。这块菜地一面靠墙，其他三面要围上篱笆，至少需要篱笆( )米。 12．一块长方形鸡舍，长25米，宽20米，如果四周都围上篱笆，篱笆长( )米；如果鸡舍建在一面靠墙的地方，用( )（长或宽）靠墙使得篱笆最短。 13．把3张长5dm，宽3dm的长方形硬纸板拼成一个周长最大的长方形，这个长方形的周长是( )dm，面积是( )dm2。 三、解答题 14．将一个长15厘米、宽12厘米的长方形框架改围成一个等边三角形，则等边三角形的一条边长多少厘米？ 15．某展厅准备靠着外墙铺设一块长50米、宽35米的长方形草坪，然后给这块草坪围上一圈护栏，至少要准备多少米长的护栏？（外墙足够长）（先画图再列式计算） 16．策划小组根据每班人数、参赛人数等综合因素，计划设置一个长14米，宽10米的长方形舞台。 (1)如果在舞台的周围贴彩带，至少需要多少米的彩带？ (2)如图，如果这个舞台紧靠着背景墙，另外三边贴彩带，至少需要多少米的彩带？ 17．学校举行“我与家乡”画展，三年级选出32幅作品，每幅作品都是边长3分米的正方形，现在要把这些作品贴到一起，并在四周配上花边。怎样设计才能使贴的花边最少？花边长多少分米？ 18．一块靠墙的长方形菜地，长6米，宽3米，另外三面用篱笆围上，哪种围法篱笆用的少一些？需要多少米？ 19．木偶剧在中国有着非常悠久的历史，它的历史可以追溯到汉代。学校邀请木偶表演团到校表演，为了让学生有更好的观看体验，学校专门靠墙留出一个长12米，宽7米的观影区，并用隔离带围起来。请你算出至少需要多长的隔离带。（接头处忽略不计） 20．在游乐园的创意展示区，要把20个勋章贴在一起，做成一个“勋章展示墙”，并在四周镶上灯带。怎样设计“勋章展示墙”才能使镶的灯带最短？最短是多少厘米？ 每个勋章都是边长为2厘米的正方形。 21．王爷爷家有一块一面靠墙的长方形花圃，长和宽分别是18米和10米。如果要给这个花圃围上竹篱笆，至少需要多少米竹篱笆？（先画出示意图，标出数据，再解答） 答：至少需要______米竹篱笆。 22．张大爷家有一个一边靠墙的长方形花园，长6米，宽3米。张大爷要给这个花园围上竹篱笆，那么张大爷至少需要多少米竹篱笆？（先画出示意图，标出数据，再解答）。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $