第五单元 认识万以上的数（综合题型）奥数思维训练-2026-2027学年苏教版数学四年级上册(新教材)

**基本信息** 以十进制位值原理为核心，构建从基础概念到奥数进阶的完整认知体系，提炼分级读写、位值拆解等六大解题方法，培养数感与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|3类核心概念|数位-计数单位-数级辨析|从定义本质到教材定位，建立整数认知框架| |基础应用|5类基础题型|分级读写法、位数比较法|遵循“读写-比较-改写”逻辑链，夯实基础| |奥数进阶|6类拓展题型|位值拆解法、极值构造法、分段计数法|从位值原理延伸至极值推理、页码问题等，培养高阶思维| |解题方法|6种核心方法|进位推理法、除基取余法|方法覆盖基础到奥数，形成可迁移的解题策略|

第五单元 认识万以上的数（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 主题定义与本质 本小节是整数认知体系的核心拓展内容，在万以内数的基础上，将数的认知范围扩展到万级、亿级的大数，系统建立完整的十进制整数数位体系。 核心本质：依托十进制位值原理，通过数位、数级的分层规则，实现对超大数量的精准表达与有序认知，核心是 “位值决定数值大小” 的底层逻辑，同一数字在不同数位上代表的计数单位完全不同。 核心研究对象：数位顺序表、大数的读写、大小比较、数的改写与近似数，是整数认知从 “万以内” 到 “无穷大” 的关键跨越。 2. 核心概念辨析 数位：数字在数中所占的位置，如个位、十位、百位、万位、亿位等，数位从右往左依次升高。 计数单位：每个数位对应的计量标准，如个、十、百、千、万、亿等；相邻两个计数单位之间的进率是 10。 数级：为方便读写大数，从右往左每 4 个数位分为一级，分别是个级、万级、亿级；个级表示多少个 “一”，万级表示多少个 “万”，亿级表示多少个 “亿”。 核心区别：数位是 “位置”，计数单位是 “计量标准”，数级是 “分组规则”，三者一一对应但概念不同。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：承接万以内数的认识，是小学整数认知的收官单元，为后续大数运算、整数四则混合运算、大数应用题提供认知基础，也是建立数感的关键单元。 奥数价值：以大数认知为载体，延伸出位值原理应用、极值推理、页码问题、数字谜、进制拓展、大数巧算等经典题型，训练位值思维、有序推理与逆向计算能力，是小升初数论与计算模块的基础高频考点。 二、核心基础性质与必备知识点 1. 数位顺序表与十进制计数法 标准数位顺序表（整数部分） 从右到左，按数级分层： 个级（第 1-4 位）：数位依次是个位、十位、百位、千位；对应计数单位：个、十、百、千。 万级（第 5-8 位）：数位依次是万位、十万位、百万位、千万位；对应计数单位：万、十万、百万、千万。 亿级（第 9-12 位）：数位依次是亿位、十亿位、百亿位、千亿位；对应计数单位：亿、十亿、百亿、千亿。 十进制计数法核心规则 每相邻两个计数单位之间的进率都是 10，即 10 个较低单位等于 1 个相邻的较高单位。 不相邻的计数单位进率：看两个数位之间间隔几个数位，间隔 1 个进率是 100，间隔 2 个进率是 1000，以此类推。 2. 大数的读法规则 读数遵循 “先分级，再读数” 的核心原则，从高位到低位一级一级读： 从右往左每 4 位分一级，用分级线隔开； 亿级、万级的数按照个级的读法来读，读完后分别加上 “亿” 字、“万” 字； 每级末尾的 0 都不读；每级中间有一个 0 或连续几个 0，都只读一个 “零”。 3. 大数的写法规则 写数同样从高位到低位，一级一级往下写： 先找 “亿”“万” 关键字，确定数级，从最高级开始写； 每个数级都按四位数的写法写，哪一位上一个单位也没有，就在那一位上写 0 占位； 写完后分级验证，确保每级都是 4 位（最高级可少于 4 位）。 4. 大数的大小比较 比较多位数大小遵循 “先比位数，再比高位” 的规则： 位数不同时，位数多的数更大； 位数相同时，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大；最高位相同，就依次比较下一位，直到比出大小为止。 5. 数的改写与近似数 整万、整亿数的改写 改写成以 “万” 为单位：去掉末尾 4 个 0，加上 “万” 字； 改写成以 “亿” 为单位：去掉末尾 8 个 0，加上 “亿” 字； 改写不改变数的大小，用 “=” 连接。 四舍五入求近似数 用 “四舍五入法” 省略万位或亿位后面的尾数，求近似数： 看要省略的尾数部分的最高位（省略万位看千位，省略亿位看千万位）； 最高位上的数小于 5，直接舍去尾数，加上对应单位，称为 “四舍”； 最高位上的数大于或等于 5，向前一位进 1，再舍去尾数，加上对应单位，称为 “五入”； 近似数改变了数的大小，用 “≈” 连接。 三、基础应用题型与标准解法 1. 大数的读写题 题型特征：给出多位数要求读数，或给出读法要求写数，常包含中间、末尾有 0 的情况。 解题策略：先分级再读写，重点关注 0 的读法：每级末尾 0 不读，中间连续 0 只读一个；写数时缺位补 0，写完分级校验位数。 2. 数位与计数单位对应题 题型特征：判断某一位的数位名称、计数单位，或判断数字在某一位上表示的数值。 解题策略：牢记数位顺序表，从右往左数位数，确定数位与对应计数单位；数字表示的数值 = 数字 × 对应计数单位。 3. 大数大小比较与排序 题型特征：给出多个大数，比较大小或按从大到小 / 从小到大排序。 解题策略：先按位数分组，位数多的整体更大；同位数的从最高位逐位对比，有序排列避免混乱。 4. 数的改写与求近似数 题型特征：将整万 / 整亿数改写为对应单位，或用四舍五入法省略万位、亿位后面的尾数。 解题策略：改写直接去 0 加单位；求近似数找准尾数最高位，按四舍五入规则处理，最后加上对应单位。 5. 简单数的组成题 题型特征：给出各数位上的数字，或给出几个亿、几个万、几个一的组成，写出对应的数。 解题策略：按数级分别写出每一级的数，缺位补 0，再组合成完整的数；也可通过数位表填充的方式辅助。 四、奥数进阶题型与解题策略 （一）位值原理进阶应用 1. 题型特征 已知多位数中数字的位置变化、数字和、数位间的倍数关系等条件，求原多位数；核心是利用位值的数量关系建立等式推理，是本小节核心奥数考点。 2. 核心原理 一个多位数的数值，等于每个数位上的数字乘对应计数单位的和。 示例：五位数（字母上划线表示多位数，避免理解为字母相乘） 3. 经典考法与解法 数字换位差问题：交换多位数中两个数字的位置，已知变化后的差，求数位的数值差。 解题策略：用位值原理表示原数与新数，计算差值，得出两个数字的差与数位进率的关系。 数字和对应问题：已知一个多位数的数字和，以及数本身的数值，推理各数位数字。 解题策略：结合数字和的范围、数位的高低位权重，从最高位开始枚举推理，逐步锁定数字。 数位倍数关系题：已知相邻数位的倍数关系、和差关系，求完整多位数。 解题策略：从最高位或约束最强的数位入手，结合数位数字 0-9 的取值范围，枚举验证所有可能。 （二）大数的极值推理 1. 数字组数极值 题型特征：给定若干个数字（常含 0），组成最大 / 最小的多位数；或限定条件组数，如 “只读一个零的最大数”。 解题策略： 最大数：数字从大到小，从高位到低位依次排列； 最小数：数字从小到大排列，但最高位不能为 0，将最小的非 0 数字放最高位，剩余数字从小到大依次排列； 读零约束：结合 0 的读法规则，调整 0 的位置，在满足读零要求的前提下，优先保证高位数字尽可能大 / 小。 2. 近似数逆推极值 题型特征：已知一个数四舍五入到万位 / 亿位后的近似数，求原数的最大值、最小值。 核心结论： 最大值：对应 “四舍” 情况，尾数最高位为 4，尾数其余位均为 9； 最小值：对应 “五入” 情况，尾数最高位为 5，尾数其余位均为 0； 示例：一个数四舍五入到万位是 8 万，原数最大是 84999，最小是 75000。 3. 数位限定极值 题型特征：已知多位数的位数、数字和，求这个数的最大值或最小值。 解题规律： 求最大数：位数固定时，高位数字尽可能大，低位补 0； 求最小数：位数固定时，最高位尽可能小（最小为 1），低位数字尽可能大。 （三）页码中的数字问题 1. 题型特征 已知一本书的总页数，计算排版页码一共用了多少个数字；或已知排版页码用的总数字个数，求这本书的总页数。是经典的分段计数奥数题型。 2. 核心分段方法 按页码的位数分段计算，累加求和： 第 1 段：1-9 页，一位数页码，共 9 页，每页用 1 个数字，总数字数 = 9×1=9 个； 第 2 段：10-99 页，两位数页码，共 90 页，每页用 2 个数字，总数字数 = 90×2=180 个； 第 3 段：100-999 页，三位数页码，共 900 页，每页用 3 个数字，总数字数 = 900×3=2700 个。 3. 两类题型解法 知页数求数字数：判断页数所在的分段，分段计算每段的数字总数，再相加求和。 知数字数求页数：依次减去前几段的总数字数，剩余数字数除以后一段的每页数字数，得到对应页数，再累加前面的总页数。 （四）多位数数字谜 1. 题型特征 大数加减法竖式中，部分数位用字母、汉字或方框代替，推理出每个符号代表的数字，还原完整算式。 2. 核心解题技巧 从最高位、最低位入手，找能直接确定的数字； 结合进位、退位规律：两个数字相加最多进 1，减法中借位最多借 1； 关注重复出现的相同符号，利用位值关系建立等式； 推理出结果后代入验证，确保所有数位都符合运算规则。 （五）进制拓展初步 1. 题型特征 认识二进制等非十进制计数法，进行十进制与二进制的简单转换，拓展对计数原理的理解。 2. 核心规则 二进制：只有 0 和 1 两个数字，相邻计数单位进率是 2，低位满 2 向高位进 1。 位值通用原理：任何进制都遵循位值原则，第 n 位的计数单位是进制的 (n-1) 次方。 3. 基础转换方法 二进制转十进制：从右往左，每一位数字乘 2 的对应次方，再求和。 十进制转二进制：除 2 取余法，用十进制数反复除以 2，记录每次的余数，最后从下往上读取余数，就是二进制数。 （六）大数巧算与规律探究 1. 重码数巧算 题型特征：出现如 123123、456456 等重复结构的多位数，进行乘法或除法运算。 核心规律：，，可将复杂大数拆解为小数乘固定系数，简化计算。 2. 多位数凑整巧算 题型特征：算式中出现 99999、100001 等接近整万、整亿的数。 解题策略：将数拆成 “整万 / 整亿 ± 零头” 的形式，利用乘法分配律简化计算，和基础乘法巧算逻辑一致，只是数位更多。 五、核心解题方法汇总 分级读写法：大数读写的核心方法，先分级再处理，是解决所有大数问题的基础。 位值拆解法：位值原理类问题的核心，将多位数按数位拆解为计数单位乘数字的和，转化为等式推理。 极值构造法：组数、近似数逆推类问题的通用思路，根据 “高位决定大小” 的原则，按要求构造对应数字。 分段计数法：页码问题的标准解法，按位数分段累加，精准计算数字总数或总页数。 进位推理法：数字谜问题的核心，结合加减法的进位退位规则，逐步锁定每个数位的数字。 除基取余法：十进制转其他进制的通用方法，反复除以进制数记录余数，倒序读取结果。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 数位与计数单位混淆：误将 “万位” 说成计数单位，或将 “万” 说为数位，二者概念范畴不同，需严格区分。 数级位数记错：误认为万级有万、十万、百万三个数位，正确为每级 4 个数位，万级包含万、十万、百万、千万位。 0 的读法混乱：每级中间和末尾的 0 读法混淆，出现多个连续 0 时多读零，或每级末尾的 0 也读出来。 改写与近似数混淆：改写用等号、近似数用约等号，二者性质不同，混用符号属于概念错误。 2. 计算类易错点 写数缺位漏 0：写数时某一级数位不足 4 位，忘记补 0 占位，导致数的位数不对、数值偏差巨大。 四舍五入找错数位：省略万位尾数时看百位，省略亿位尾数时看百万位，正确应看尾数的最高位（千位、千万位）。 页码分段错误：计算页码数字时，两位数页码总数误算成 99 页，正确为 90 页，导致总数字数计算错误。 位值进率算错：不相邻数位的进率计算错误，如万位和个位的进率误算为 1000，正确为 10000。 3. 应用类易错点 最小数忽略首位非 0：用含 0 的数组最小数时，将 0 放在最高位，导致数的位数减少，不符合题目要求。 近似数极值记反：将 “四舍对应最大值、五入对应最小值” 记反，导致极值结果完全颠倒。 数字谜多进位遗漏：多位数连续进位时，只算一次进位，忽略连续数位的进位传递，导致数字推理错误。 重码数拆解错误：拆解重复结构大数时，重复段与系数不匹配，导致拆解后的等式不成立，计算错误。 培优练习 一、选择题 1．下面各数中，只读一个“零”的是（    ）。 A．6008000 B．6000800 C．6800605 【答案】B 【分析】整数读数从高位起，先读万级再读个级，万级按个级读法读，读完加“万”字；每级末尾的0都不读，每级中间或前面有一个或连续几个0，都只读1个零。 【详解】A．6008000读作：六百万八千，1个零也不读； B．6000800读作：六百万零八百，读1个零； C．6800605读作：六百八十万零六百零五，读2个零。 2．读5004008006时，读出了（    ）个0。 A．2 B．3 C．4 【答案】A 【分析】多位数的读法：先分级每4位一级，从高位读起，每级读法和读个级的数读法一样，就是要在后面加个“亿”字或“万”字，每级末尾的0都不读，每级中间的0要读，几个连续的0只读一个0；据此读出此数，即可解答。 【详解】5004008006读作：五十亿零四百万八千零六 读5004008006时，读出了2个0。 故答案为：A 3．一亿零八百四十五万写作（    ）。 A．100000845 B．100008450 C．108450000 【答案】C 【分析】根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个计数单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出此数。 【详解】一亿零八百四十五万写作108450000。 故答案为：C 4．比最小的5位数少1的数是（    ）。 A．10001 B．99999 C．9999 【答案】C 【分析】根据题意，最小的五位数是10000，再减去1即可。 【详解】10000－1＝9999 因此比最小的五位数少1的数是9999。 故答案为：C 【点睛】先求出最小的五位数，然后再进一步解答即可。 5．第七次全国人口普查结果显示，具有大学文化程度的人口数为218360767人。关于横线上的数据说法错误的是（    ）。 A．0需要读出来 B．省略亿后面尾数约是2亿 C．数中的8表示8个十万 【答案】C 【分析】根据数中的“0”是否在每级的末尾判断要不要读出来；根据千万位上的数字，采用“四舍五入法”保留整亿；根据数中的“8”所在的数位确定它的意义，据此解答。 【详解】218360767中的“0”在千位上，是个级开始的“0”，需要读出来，所以选项A说法正确； 218360767千万位上是“1”，根据“四舍五入法”将这个数保留整亿是2亿，所以选项B说法正确； 218360767中的“8”在百万位上，表示8个百万，所以选项C说法错误。 故答案为：C 【点睛】此题主要考查多位数的读法、近似数改写的方法以及数位顺序和各个数位上数的意义。 二、填空题 6．《红楼梦》是我国古代四大名著之一，全书共七十三万一千零一十七字。横线上的数写作( )，改写成以“万”作单位的数是( )。 【答案】 731017 73.1017万 【分析】整数的写法是：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 改写成用万作单位的数，只需要从个位数出四位点上小数点，末尾有零的舍去，再在数的后面写上“万”字。 【详解】横线上的数写作731017，改写成以“万”作单位的数是73.1017万。 7．2024年“五一”假日期间全国国内旅游接待总人数约294700500人次，横线上的数读作( )，它由( )个亿、( )个万和( )个一组成，省略“万”后面的尾数约是( )人。 【答案】 二亿九千四百七十万零五百 2 9470 500 29470万 【分析】根据大数的读法：先将大数从右往左按四个数字为一级依次分为个级，万级，亿级，从最高位读起，每一级都先按个级读法来读再在末尾添上“亿”或“万”，每一级开头和中间的“0”都要读，不管连续出现几个0都只读一个零，每一级末尾的“0”不读。 根据对整数数级、数位和计数单位的认识，亿级上的数字是多少就代表有多少个亿；万级上的数字是多少就代表有多少个万；个级上的数字是多少就代表有多少个一。 根据整数的近似数，省略“万”后面的尾数则看千位上的数，如果小于5则舍去，大于或等于5则向万位进1，并在末尾添上“万”字。 【详解】294700500≈29470万 横线上的数读作二亿九千四百七十万零五百，它有2个亿、9470个万和500个一组成，省略“万”后面的尾数约是29470万。 8．一个数由4个十亿、8个十万和5个千组成，这个数写作( )，读作( )，省略“万”后面的尾数约是( )。 【答案】 4000805000 四十亿零八十万五千 400081 【分析】（1）整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 （2）整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续几个0都只读一个零。 （3）省略“万”后面的尾数，将小数点点在万位后面，并将千位上的数进行四舍五入，并在末尾写上万字；据此解题即可。 【详解】4000805000读作：四十亿零八十万五千 4000805000≈400081 所以，一个数由4个十亿、8个十万和5个千组成，这个数写作4000805000，读作四十亿零八十万五千，省略“万”后面的尾数约是400081。 9．根据大数据建模分析显示：2024年“五一”假期5天，湖南省共接待游客一千八百四十九万四千七百人次，横线上的数写作( )，省略万后面的尾数约是( )。 【答案】 18494700 1849万 【分析】大数的写法：从高位往低位一位一位往下写，先写万级，再写个级。哪一位上是几就写几，哪一位上没有就写0。据此先写出这个大数。省略万后面的尾数求近似数，看千位的大小，千位是4，根据“四舍五入”法需舍去个级，并在数的末尾写上一个“万”字。 【详解】湖南省共接待游客一千八百四十九万四千七百人次，横线上的数写作18494700，省略万后面的尾数约是1849万。 10．地球与太阳的平均距离是一亿四千九百五十九万七千八百七十千米，写出这个数( )，省略亿后面的尾数是( )。 【答案】 149597870 1亿 【分析】根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出此数；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。 【详解】一亿四千九百五十九万七千八百七十写作：149597870； 149597870≈1亿。 地球与太阳的平均距离是一亿四千九百五十九万七千八百七十千米，写出这个数149597870，省略亿后面的尾数是1亿。 11．2023年第一季度，井冈山市旅游接待人数达505900人次，改写成用万作单位的数是( )万人次；实现旅游收入三十八亿五千三百万元，省略亿后面的尾数约是( )亿元。 【答案】 50.59 39 【分析】改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字； 三十八亿五千三百万写作：3853000000，省略“亿”后面的尾数，则看千万位上的数，如果千万位上的数大于等于5，则进一，小于5，则舍去，最后加个“亿”字，据此解答。 【详解】505900＝50.59万 三十八亿五千三百万写作：3853000000 3853000000≈39亿 2023年第一季度，井冈山市旅游接待人数达505900人次，改写成用万作单位的数是50.59万人次；实现旅游收入三十八亿五千三百万元，省略亿后面的尾数约是39亿。 12．截至2022年11月29日24时，我国31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗3443554000剂次，横线上的数改写成用“亿”作单位的数是( )亿，精确到百分位大约是( )亿。 【答案】 34.43554 34.44 【分析】改写成用“亿”作单位的数，就是在亿位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“亿”字即可；精确的百分位，就要看千分位的数，千分位大于、等于5就进一位，小于5就舍去。 【详解】3443554000改写成用“亿”作单位的数是34.43554亿，精确到百分位大约是34.44亿。 13．一个数由9个亿，5个千万，4个万组成，这个数是( )，读作( )，改写成用“亿”作单位的数是( )；改写成以“万”为单位的数是( )。 【答案】 950040000 九亿五千零四万 9.5004亿 95004万 【分析】根据对整数的数位和计数单位的认识可知，这个数亿位上的数是9，千万位上的数是5，万位上的数是4，其它位上的数都是0，依此写出这个数。 亿以上数的读法：从高级读到低级，亿级、万级的数，都要按照个级的数的读法来读，再在亿级数的后面加上一个“亿”字，在万级数的后面加上一个“万”字，每级末尾不管有几个0，都不读，其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0，依此读出这个数。 把不是整亿的数改成以 “亿”为单位的数时，就是把整数的小数点向左移动八位，点上小数点，然后在后面加上 “亿”字。 整万数改写成用“万”作单位的数，就直接省略万位后面的4个0，然后在数的末尾处加一个“万”字；依此解答。 【详解】一个数由9个亿，5个千万，4个万组成，这个数是：950040000。 950040000读作：九亿五千零四万。 950040000＝9.5004亿 950040000＝95004万 950040000改写成用“亿”作单位的数是9.5004亿，950040000改写成以“万”为单位的数是95004万。 三、判断题 14．读3000006时，只读一个“零”。( ) 【答案】 √ 【分析】根据整数中0的读法规则，每一级末尾的0都不读出来，数的中间有1个0或连续几个0都只读一个零，先对数字分级再判断即可。 【详解】3000006读作：三百万零六。其中，万级300读作三百万，末尾的0不读；个级0006前面连续的3个0只读一个零，整个数只读一个零，原题说法正确。 故答案为：√ 15．万级数的读法与亿级数的读法相同。( ) 【答案】× 【分析】从高位读起，先读亿级，再读万级，最后读个级；读亿级和万级时按读个级的方法来读，读完亿级后加上一个亿字，读完万级后加上一个万字；每级末尾不管有几个0都不读，每级中间和前面有一个或连续几个0，都只读一个0。 【详解】如456345630000读作：四千五百六十三亿四千五百六十三万，万级和亿级上的数都是4563，读数时都按照个级数的读法去读的，但是亿级要在末尾加上一个亿字，万级要在末尾加上一个万字。原题表述错误。 故答案为：× 16．与7万相邻的两个自然数分别是6万和8万。( ) 【答案】× 【分析】相邻的自然数相差1，用7万分别减1、加1，即可算出与7万相邻的两个自然数分别是多少，依此解答即可。 【详解】70000－1＝69999 70000＋1＝70001 与7万相邻的两个自然数分别是69999和70001。原题说法错误。 故答案为：× 17．十万十万的数，从0数到二百万，数了20个十万。( ) 【答案】√ 【分析】从十万到百万，相邻的两个计数单位的进率是10，十万十万的数，从0数到二百万，二百万表示2个百万，所以数了20个十万，即可判断。 【详解】十万十万的数，从0数到二百万，数了20个十万。这个说法是正确的。 故答案为：√ 【点睛】此题考查了整数的认识，应明确每相邻的两个计数单位进率是10。 18．7070707中的每个0都要读出来。( ) 【答案】√ 【分析】根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零，即可读出此数，然后再作判断。 【详解】7070707读作：七百零七万零七百零七，所有的0都读出来了； 故答案为：√ 【点睛】本题是考查整数的读法，分级读或借助数位顺序表读能较好的避免读错0的情况。 四、解答题 19．奇奇在算盘上拨了一个九位数，只用了4颗算珠，这个九位数最大是多少？最小是多少？ 【答案】； 【分析】九位数的最高位是亿位，且算盘上一颗上珠表示，一颗下珠表示。要使数最大，应将算珠尽可能放在最高位且表示的数值最大；要使数最小，最高位数值应最小（不能为），剩余算珠放在最低位且表示的数值最小。 【详解】要使九位数最大，亿位上的数值应尽可能大，使用颗算珠在亿位上拨数，颗上珠和颗下珠：表示（共颗珠子），亿位最大能表示，其余数位拨，所以，最大数是。 要使九位数最小，亿位上的数值应尽可能小，且不能为。亿位最小拨颗下珠，表示（用去颗珠子），剩余颗算珠应放在最低位（个位），且表示的数值最小。在个位上使用颗下珠：表示，个位最小能表示。其余数位拨，所以，最小数是。 答：这个九位数最大是，最小是。 20．榕榕在读一个八位数时，把万位和千位上的数字互相看错了位置，最后读出来是六千万九千二百零四。这个数原来读多少？ 【答案】六千零九万零二百零四 【分析】根据读错的数写出错误的数字，确定万位和千位上的数字；然后将这两个数位上的数字交换位置得到原来的数；最后按照大数的读法读出原来的数。 【详解】六千万九千二百零四写作：60009204 该数是一个八位数，从右往左数，第五位是万位，第四位是千位。在60009204中，万位上的数字是0，千位上的数字是9。 原数万位和千位上的数字互换了位置，所以原数的万位上是9，千位上是0，其余数位不变，原数写作60090204，读作六千零九万零二百零四。 答：这个数原来读作六千零九万零二百零四。 21．甲地区人口是580万，乙地区人口是420万，丙地区人口比甲、乙两地人口总和少350万，丙地区人口是多少万？ 【答案】650万 【分析】先利用加法求出甲、乙两地的人口总和，再根据“丙地区人口比甲、乙两地人口总和少350万”这一条件，利用减法求出丙地区的人口数。 【详解】 （万） 答：丙地区人口是650万。 22．壮壮在超市存包处存包时得到一张小票，上面的开箱密码是一个九位数。壮壮购物时不小心将小票丢了，他只记得密码是由五个6和四个0组成的，并且万位上是6，读数时要读出四个0。小票上的开箱密码是多少？请画一画。 【答案】606060606 【分析】0不能放在最高位，则最高位亿位上是6。根据整数的读法可知，要使组成的九位数读出四个0，则将0放在个级和万级的前面和中间，即把0放在千万位、十万位、千位和十位，剩余数位均是6。据此解答即可。 【详解】根据分析可知，小票上的开箱密码是606060606，读作六亿零六百零六万零六百零六，读出四个0。 【点睛】本题考查整数的读法，每级末尾不管有几个0都不读，每级中间和前面有一个或连续几个0，都只读一个0。 23．2010年中国上海世博会共有志愿者七万九千九百六十五人，举办活动两万两千九百多场，共有约七千三百零八万人参观。请你写出横线上的数。 【答案】79965；22900；73080000 【分析】根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出此数。 【详解】七万九千九百六十五写作：79965； 两万两千九百写作：22900； 七千三百零八万写作：73080000。 【点睛】写数时，关键要弄清每个数位上的数字是几，是几就写几，要从高位写起，一级一级地写，先写亿级，再写万级，最后写个级，哪一位上一个计数单位也没有，就在那一位上写0。 24．2018年元旦第一天，湖北省迎来了旅游客流的高峰，纳入省假日旅游统计预报的25家重点景区共接待游客495400人次，实现旅游门票收入19384500元。其中温泉旅游资源富集的咸宁的6家主要温泉，元旦第一天就接待游客117200人次。同时，贵州省这天也是一个旅游高峰，接待游客超过3270000人次，旅游总收入2000000000元。请你读出横线上的数。 【答案】四十九万五千四百；一千九百三十八万四千五百；十一万七千二百；三百二十七万；二十亿 【分析】读数时，先把数分级。从个位起向左数，每四位为一级，个位、十位、百位、千位是个级；万位、十万位、百万位、千万位是万级；亿位、十亿位、百亿位、千亿位是亿级。 【详解】从高位读起，读亿级或万级时，先按个级数的读法来读，再在后面加一个“亿”或“万”字。 答：横线上的数依次读四十九万五千四百；一千九百三十八万四千五百；十一万七千二百；三百二十七万；二十亿。 【点睛】此题考查了亿以内数的读法和亿以上数的读法，注意读数时一个数中间有一个0或连续几个0，都只读一个零，每级末尾不管有几个0，都不读。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 认识万以上的数（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 主题定义与本质 本小节是整数认知体系的核心拓展内容，在万以内数的基础上，将数的认知范围扩展到万级、亿级的大数，系统建立完整的十进制整数数位体系。 核心本质：依托十进制位值原理，通过数位、数级的分层规则，实现对超大数量的精准表达与有序认知，核心是 “位值决定数值大小” 的底层逻辑，同一数字在不同数位上代表的计数单位完全不同。 核心研究对象：数位顺序表、大数的读写、大小比较、数的改写与近似数，是整数认知从 “万以内” 到 “无穷大” 的关键跨越。 2. 核心概念辨析 数位：数字在数中所占的位置，如个位、十位、百位、万位、亿位等，数位从右往左依次升高。 计数单位：每个数位对应的计量标准，如个、十、百、千、万、亿等；相邻两个计数单位之间的进率是 10。 数级：为方便读写大数，从右往左每 4 个数位分为一级，分别是个级、万级、亿级；个级表示多少个 “一”，万级表示多少个 “万”，亿级表示多少个 “亿”。 核心区别：数位是 “位置”，计数单位是 “计量标准”，数级是 “分组规则”，三者一一对应但概念不同。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：承接万以内数的认识，是小学整数认知的收官单元，为后续大数运算、整数四则混合运算、大数应用题提供认知基础，也是建立数感的关键单元。 奥数价值：以大数认知为载体，延伸出位值原理应用、极值推理、页码问题、数字谜、进制拓展、大数巧算等经典题型，训练位值思维、有序推理与逆向计算能力，是小升初数论与计算模块的基础高频考点。 二、核心基础性质与必备知识点 1. 数位顺序表与十进制计数法 标准数位顺序表（整数部分） 从右到左，按数级分层： 个级（第 1-4 位）：数位依次是个位、十位、百位、千位；对应计数单位：个、十、百、千。 万级（第 5-8 位）：数位依次是万位、十万位、百万位、千万位；对应计数单位：万、十万、百万、千万。 亿级（第 9-12 位）：数位依次是亿位、十亿位、百亿位、千亿位；对应计数单位：亿、十亿、百亿、千亿。 十进制计数法核心规则 每相邻两个计数单位之间的进率都是 10，即 10 个较低单位等于 1 个相邻的较高单位。 不相邻的计数单位进率：看两个数位之间间隔几个数位，间隔 1 个进率是 100，间隔 2 个进率是 1000，以此类推。 2. 大数的读法规则 读数遵循 “先分级，再读数” 的核心原则，从高位到低位一级一级读： 从右往左每 4 位分一级，用分级线隔开； 亿级、万级的数按照个级的读法来读，读完后分别加上 “亿” 字、“万” 字； 每级末尾的 0 都不读；每级中间有一个 0 或连续几个 0，都只读一个 “零”。 3. 大数的写法规则 写数同样从高位到低位，一级一级往下写： 先找 “亿”“万” 关键字，确定数级，从最高级开始写； 每个数级都按四位数的写法写，哪一位上一个单位也没有，就在那一位上写 0 占位； 写完后分级验证，确保每级都是 4 位（最高级可少于 4 位）。 4. 大数的大小比较 比较多位数大小遵循 “先比位数，再比高位” 的规则： 位数不同时，位数多的数更大； 位数相同时，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大；最高位相同，就依次比较下一位，直到比出大小为止。 5. 数的改写与近似数 整万、整亿数的改写 改写成以 “万” 为单位：去掉末尾 4 个 0，加上 “万” 字； 改写成以 “亿” 为单位：去掉末尾 8 个 0，加上 “亿” 字； 改写不改变数的大小，用 “=” 连接。 四舍五入求近似数 用 “四舍五入法” 省略万位或亿位后面的尾数，求近似数： 看要省略的尾数部分的最高位（省略万位看千位，省略亿位看千万位）； 最高位上的数小于 5，直接舍去尾数，加上对应单位，称为 “四舍”； 最高位上的数大于或等于 5，向前一位进 1，再舍去尾数，加上对应单位，称为 “五入”； 近似数改变了数的大小，用 “≈” 连接。 三、基础应用题型与标准解法 1. 大数的读写题 题型特征：给出多位数要求读数，或给出读法要求写数，常包含中间、末尾有 0 的情况。 解题策略：先分级再读写，重点关注 0 的读法：每级末尾 0 不读，中间连续 0 只读一个；写数时缺位补 0，写完分级校验位数。 2. 数位与计数单位对应题 题型特征：判断某一位的数位名称、计数单位，或判断数字在某一位上表示的数值。 解题策略：牢记数位顺序表，从右往左数位数，确定数位与对应计数单位；数字表示的数值 = 数字 × 对应计数单位。 3. 大数大小比较与排序 题型特征：给出多个大数，比较大小或按从大到小 / 从小到大排序。 解题策略：先按位数分组，位数多的整体更大；同位数的从最高位逐位对比，有序排列避免混乱。 4. 数的改写与求近似数 题型特征：将整万 / 整亿数改写为对应单位，或用四舍五入法省略万位、亿位后面的尾数。 解题策略：改写直接去 0 加单位；求近似数找准尾数最高位，按四舍五入规则处理，最后加上对应单位。 5. 简单数的组成题 题型特征：给出各数位上的数字，或给出几个亿、几个万、几个一的组成，写出对应的数。 解题策略：按数级分别写出每一级的数，缺位补 0，再组合成完整的数；也可通过数位表填充的方式辅助。 四、奥数进阶题型与解题策略 （一）位值原理进阶应用 1. 题型特征 已知多位数中数字的位置变化、数字和、数位间的倍数关系等条件，求原多位数；核心是利用位值的数量关系建立等式推理，是本小节核心奥数考点。 2. 核心原理 一个多位数的数值，等于每个数位上的数字乘对应计数单位的和。 示例：五位数（字母上划线表示多位数，避免理解为字母相乘） 3. 经典考法与解法 数字换位差问题：交换多位数中两个数字的位置，已知变化后的差，求数位的数值差。 解题策略：用位值原理表示原数与新数，计算差值，得出两个数字的差与数位进率的关系。 数字和对应问题：已知一个多位数的数字和，以及数本身的数值，推理各数位数字。 解题策略：结合数字和的范围、数位的高低位权重，从最高位开始枚举推理，逐步锁定数字。 数位倍数关系题：已知相邻数位的倍数关系、和差关系，求完整多位数。 解题策略：从最高位或约束最强的数位入手，结合数位数字 0-9 的取值范围，枚举验证所有可能。 （二）大数的极值推理 1. 数字组数极值 题型特征：给定若干个数字（常含 0），组成最大 / 最小的多位数；或限定条件组数，如 “只读一个零的最大数”。 解题策略： 最大数：数字从大到小，从高位到低位依次排列； 最小数：数字从小到大排列，但最高位不能为 0，将最小的非 0 数字放最高位，剩余数字从小到大依次排列； 读零约束：结合 0 的读法规则，调整 0 的位置，在满足读零要求的前提下，优先保证高位数字尽可能大 / 小。 2. 近似数逆推极值 题型特征：已知一个数四舍五入到万位 / 亿位后的近似数，求原数的最大值、最小值。 核心结论： 最大值：对应 “四舍” 情况，尾数最高位为 4，尾数其余位均为 9； 最小值：对应 “五入” 情况，尾数最高位为 5，尾数其余位均为 0； 示例：一个数四舍五入到万位是 8 万，原数最大是 84999，最小是 75000。 3. 数位限定极值 题型特征：已知多位数的位数、数字和，求这个数的最大值或最小值。 解题规律： 求最大数：位数固定时，高位数字尽可能大，低位补 0； 求最小数：位数固定时，最高位尽可能小（最小为 1），低位数字尽可能大。 （三）页码中的数字问题 1. 题型特征 已知一本书的总页数，计算排版页码一共用了多少个数字；或已知排版页码用的总数字个数，求这本书的总页数。是经典的分段计数奥数题型。 2. 核心分段方法 按页码的位数分段计算，累加求和： 第 1 段：1-9 页，一位数页码，共 9 页，每页用 1 个数字，总数字数 = 9×1=9 个； 第 2 段：10-99 页，两位数页码，共 90 页，每页用 2 个数字，总数字数 = 90×2=180 个； 第 3 段：100-999 页，三位数页码，共 900 页，每页用 3 个数字，总数字数 = 900×3=2700 个。 3. 两类题型解法 知页数求数字数：判断页数所在的分段，分段计算每段的数字总数，再相加求和。 知数字数求页数：依次减去前几段的总数字数，剩余数字数除以后一段的每页数字数，得到对应页数，再累加前面的总页数。 （四）多位数数字谜 1. 题型特征 大数加减法竖式中，部分数位用字母、汉字或方框代替，推理出每个符号代表的数字，还原完整算式。 2. 核心解题技巧 从最高位、最低位入手，找能直接确定的数字； 结合进位、退位规律：两个数字相加最多进 1，减法中借位最多借 1； 关注重复出现的相同符号，利用位值关系建立等式； 推理出结果后代入验证，确保所有数位都符合运算规则。 （五）进制拓展初步 1. 题型特征 认识二进制等非十进制计数法，进行十进制与二进制的简单转换，拓展对计数原理的理解。 2. 核心规则 二进制：只有 0 和 1 两个数字，相邻计数单位进率是 2，低位满 2 向高位进 1。 位值通用原理：任何进制都遵循位值原则，第 n 位的计数单位是进制的 (n-1) 次方。 3. 基础转换方法 二进制转十进制：从右往左，每一位数字乘 2 的对应次方，再求和。 十进制转二进制：除 2 取余法，用十进制数反复除以 2，记录每次的余数，最后从下往上读取余数，就是二进制数。 （六）大数巧算与规律探究 1. 重码数巧算 题型特征：出现如 123123、456456 等重复结构的多位数，进行乘法或除法运算。 核心规律：，，可将复杂大数拆解为小数乘固定系数，简化计算。 2. 多位数凑整巧算 题型特征：算式中出现 99999、100001 等接近整万、整亿的数。 解题策略：将数拆成 “整万 / 整亿 ± 零头” 的形式，利用乘法分配律简化计算，和基础乘法巧算逻辑一致，只是数位更多。 五、核心解题方法汇总 分级读写法：大数读写的核心方法，先分级再处理，是解决所有大数问题的基础。 位值拆解法：位值原理类问题的核心，将多位数按数位拆解为计数单位乘数字的和，转化为等式推理。 极值构造法：组数、近似数逆推类问题的通用思路，根据 “高位决定大小” 的原则，按要求构造对应数字。 分段计数法：页码问题的标准解法，按位数分段累加，精准计算数字总数或总页数。 进位推理法：数字谜问题的核心，结合加减法的进位退位规则，逐步锁定每个数位的数字。 除基取余法：十进制转其他进制的通用方法，反复除以进制数记录余数，倒序读取结果。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 数位与计数单位混淆：误将 “万位” 说成计数单位，或将 “万” 说为数位，二者概念范畴不同，需严格区分。 数级位数记错：误认为万级有万、十万、百万三个数位，正确为每级 4 个数位，万级包含万、十万、百万、千万位。 0 的读法混乱：每级中间和末尾的 0 读法混淆，出现多个连续 0 时多读零，或每级末尾的 0 也读出来。 改写与近似数混淆：改写用等号、近似数用约等号，二者性质不同，混用符号属于概念错误。 2. 计算类易错点 写数缺位漏 0：写数时某一级数位不足 4 位，忘记补 0 占位，导致数的位数不对、数值偏差巨大。 四舍五入找错数位：省略万位尾数时看百位，省略亿位尾数时看百万位，正确应看尾数的最高位（千位、千万位）。 页码分段错误：计算页码数字时，两位数页码总数误算成 99 页，正确为 90 页，导致总数字数计算错误。 位值进率算错：不相邻数位的进率计算错误，如万位和个位的进率误算为 1000，正确为 10000。 3. 应用类易错点 最小数忽略首位非 0：用含 0 的数组最小数时，将 0 放在最高位，导致数的位数减少，不符合题目要求。 近似数极值记反：将 “四舍对应最大值、五入对应最小值” 记反，导致极值结果完全颠倒。 数字谜多进位遗漏：多位数连续进位时，只算一次进位，忽略连续数位的进位传递，导致数字推理错误。 重码数拆解错误：拆解重复结构大数时，重复段与系数不匹配，导致拆解后的等式不成立，计算错误。 培优练习 一、选择题 1．下面各数中，只读一个“零”的是（    ）。 A．6008000 B．6000800 C．6800605 2．读5004008006时，读出了（    ）个0。 A．2 B．3 C．4 3．一亿零八百四十五万写作（    ）。 A．100000845 B．100008450 C．108450000 4．比最小的5位数少1的数是（    ）。 A．10001 B．99999 C．9999 5．第七次全国人口普查结果显示，具有大学文化程度的人口数为218360767人。关于横线上的数据说法错误的是（    ）。 A．0需要读出来 B．省略亿后面尾数约是2亿 C．数中的8表示8个十万 二、填空题 6．《红楼梦》是我国古代四大名著之一，全书共七十三万一千零一十七字。横线上的数写作( )，改写成以“万”作单位的数是( )。 7．2024年“五一”假日期间全国国内旅游接待总人数约294700500人次，横线上的数读作( )，它由( )个亿、( )个万和( )个一组成，省略“万”后面的尾数约是( )人。 8．一个数由4个十亿、8个十万和5个千组成，这个数写作( )，读作( )，省略“万”后面的尾数约是( )。 9．根据大数据建模分析显示：2024年“五一”假期5天，湖南省共接待游客一千八百四十九万四千七百人次，横线上的数写作( )，省略万后面的尾数约是( )。 10．地球与太阳的平均距离是一亿四千九百五十九万七千八百七十千米，写出这个数( )，省略亿后面的尾数是( )。 11．2023年第一季度，井冈山市旅游接待人数达505900人次，改写成用万作单位的数是( )万人次；实现旅游收入三十八亿五千三百万元，省略亿后面的尾数约是( )亿元。 12．截至2022年11月29日24时，我国31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗3443554000剂次，横线上的数改写成用“亿”作单位的数是( )亿，精确到百分位大约是( )亿。 13．一个数由9个亿，5个千万，4个万组成，这个数是( )，读作( )，改写成用“亿”作单位的数是( )；改写成以“万”为单位的数是( )。 三、判断题 14．读3000006时，只读一个“零”。( ) 15．万级数的读法与亿级数的读法相同。( ) 16．与7万相邻的两个自然数分别是6万和8万。( ) 17．十万十万的数，从0数到二百万，数了20个十万。( ) 18．7070707中的每个0都要读出来。( ) 四、解答题 19．奇奇在算盘上拨了一个九位数，只用了4颗算珠，这个九位数最大是多少？最小是多少？ 20．榕榕在读一个八位数时，把万位和千位上的数字互相看错了位置，最后读出来是六千万九千二百零四。这个数原来读多少？ 21．甲地区人口是580万，乙地区人口是420万，丙地区人口比甲、乙两地人口总和少350万，丙地区人口是多少万？ 22．壮壮在超市存包处存包时得到一张小票，上面的开箱密码是一个九位数。壮壮购物时不小心将小票丢了，他只记得密码是由五个6和四个0组成的，并且万位上是6，读数时要读出四个0。小票上的开箱密码是多少？请画一画。 23．2010年中国上海世博会共有志愿者七万九千九百六十五人，举办活动两万两千九百多场，共有约七千三百零八万人参观。请你写出横线上的数。 24．2018年元旦第一天，湖北省迎来了旅游客流的高峰，纳入省假日旅游统计预报的25家重点景区共接待游客495400人次，实现旅游门票收入19384500元。其中温泉旅游资源富集的咸宁的6家主要温泉，元旦第一天就接待游客117200人次。同时，贵州省这天也是一个旅游高峰，接待游客超过3270000人次，旅游总收入2000000000元。请你读出横线上的数。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $