第三单元 乘法数量关系（综合题型）奥数思维训练-2026-2027学年苏教版数学四年级上册(新教材)

**基本信息** 以“每份数×份数=总数”通用模型为核心，系统整合四大基础数量关系，构建从基础应用到奥数进阶的方法体系，强化建模思维与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与模型|4类核心模型|通用公式与场景分类|从“相同累加”本质到价格/行程等场景模型构建| |基础应用题型|5类基础题|公式正逆用与归一归总|从单一量计算到连乘/归一问题的复合应用| |奥数进阶题型|6类进阶题|巧算/错中求解/极值策略|从运算律拓展到和差倍/方阵等复杂推理| |解题方法汇总|6大核心法|公式代入/差量对应等|方法与题型精准匹配，形成可迁移的解题框架|

第三单元 乘法数量关系（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 主题定义与本质 本单元是小学 “数与代数” 模块中应用类计算的核心单元，以整数乘法计算为基础，系统梳理常见的乘法数量关系模型，建立 “每份数 × 份数 = 总数” 的通用数量关系框架，实现从 “会计算乘法” 到 “会用乘法解决实际问题” 的能力升级。 核心本质：提炼现实场景中 “相同累加” 的共性规律，用统一的乘法模型刻画不同场景下的数量对应关系，是数学建模思想的初级载体，也是后续小数、分数乘除应用题的底层基础。 核心通用公式：，所有乘法数量关系均是该公式在不同场景下的具体变形。 2. 核心数量关系分类 小学阶段最基础的四类乘法数量模型，覆盖绝大多数生活与应用题场景： 价格模型：单价 × 数量 = 总价 行程模型：速度 × 时间 = 路程 工程模型：工作效率 × 工作时间 = 工作总量 产量模型：单产量 × 数量 = 总产量 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：承接两、三位数乘两位数的计算知识，是整数乘法从纯计算走向实际应用的关键过渡，也是小学阶段系统学习数量关系的起始单元，为后续分数应用题、比例问题、复杂行程与工程问题筑牢模型基础。 奥数价值：以乘法数量关系为载体，延伸出巧算速算、错中求解、倍比推理、行程工程初步、极值构造等经典题型，强化运算巧算能力、建模思维与逆向推理能力，是小升初计算与应用模块的高频核心考点。 二、核心基础性质与必备知识点 1. 四大基础数量关系及变形 每类模型均对应 “知二求一” 的三组公式，依托乘除互逆关系实现灵活转换： 价格类 单价 × 数量 = 总价 总价 ÷ 数量 = 单价 总价 ÷ 单价 = 数量 行程类 速度 × 时间 = 路程 路程 ÷ 时间 = 速度 路程 ÷ 速度 = 时间 工程类 工作效率 × 工作时间 = 工作总量 工作总量 ÷ 工作时间 = 工作效率 工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间 产量类 单产量 × 种植数量 = 总产量 总产量 ÷ 种植数量 = 单产量 总产量 ÷ 单产量 = 种植数量 2. 乘法运算定律（巧算核心依据） 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 字母表示： 乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数或先乘后两个数，积不变。 字母表示： 乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加（或相减）。 字母表示： 3. 积的变化规律 同向变化：一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0 除外），积也同步乘（或除以）几。 积不变规律：一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（0 除外），积保持不变。 拓展规律：两个因数分别扩大到原来的倍和倍，积扩大到原来的倍。 4. 单位匹配规则 乘法数量关系中，三个量的单位必须一一对应： 速度单位（如千米 / 时）需与路程单位、时间单位匹配； 单价单位（如元 / 件）需与总价单位、数量单位匹配； 单位不统一时，必须先换算单位再代入计算，避免数量级错误。 三、基础应用题型与标准解法 1. 基础公式正向计算 题型特征：给出两个相关联的已知量，直接求第三个量，如已知商品单价与购买数量求总价。 解题策略：先判断所属数量模型，找准每份数与份数，直接代入 “每份数 × 份数 = 总数” 的核心公式计算。 2. 公式逆用求单一量 题型特征：已知总数与其中一个分量，求另一个分量，如已知总路程与行驶时间求速度。 解题策略：根据乘除互逆关系，用 “总数 ÷ 已知分量 = 未知分量” 求解；核心是区分 “求每份数” 与 “求份数”，避免除法关系颠倒。 3. 简单连乘实际问题 题型特征：涉及两个维度的份数叠加，如 “每箱有 6 盒，每盒有 8 个，5 箱一共有多少个”。 解题策略：有两种等价思路： 先求每份的总数，再乘总份数； 先求总份数，再乘单份数量。 两种方法结果一致，可互相验算。 4. 运算律基础简便计算 题型特征：算式中出现可凑整的组合，或接近整十整百的因数，可通过运算律简化计算。 解题策略： 遇 25 找 4、遇 125 找 8，用结合律凑出整百、整千数； 99、101 等接近整百的数，拆成 “整百 ±1” 的形式，用分配律口算。 5. 简单归一与归总问题 归一问题：已知几份的总量，先求出单一量，再求多份对应的总量，解题逻辑是 “先除后乘”。 归总问题：已知每份数与份数，先求出固定总量，再求新的每份数或份数，解题逻辑是 “先乘后除”。 四、奥数进阶题型与解题策略 （一）乘法巧算进阶 1. 乘法分配律拓展应用 题型特征：多个乘法算式相加减且存在公共因数，或因数可拆分为整十整百加减零头，直接笔算繁琐易错。 三类高频考法： 提取公因数型：，多个算式有相同因数时，提取后合并计算。 凑整拆分型：将 99 拆为、102 拆为，用分配律转化为口算级运算。 隐藏公因数型：通过积不变规律构造相同因数，如可转化为，再提取公因数。 解题策略：先观察数字特征，主动构造公共因数，再用分配律合并，大幅降低计算量。 2. 特殊数凑整巧算 题型特征：算式中出现 25、125、5 等特殊因数，可通过配对凑成整十、整百、整千数。 核心配对：，， 解题技巧：缺少对应凑整数时，从另一个因数中拆分出来；例如，。 3. 乘除混合运算巧算 题型特征：乘除混合算式，按顺序计算繁琐，可调整运算顺序简化。 核心规则： 带符号搬家：只有乘除运算时，数字可带着前面的运算符号移动位置，结果不变。 去 / 添括号：括号前是乘号，去括号后内部符号不变；括号前是除号，去括号后乘号变除号、除号变乘号。 解题策略：优先将能凑整、能整除的组合放在一起计算，提升运算效率。 4. 重码数巧算 题型特征：出现 101、1001、123123 等具有重复结构的特殊数。 核心规律：，，正向可直接写结果，反向可拆分简化计算。 （二）数量关系进阶应用 1. 双归一问题 题型特征：涉及两个维度的数量，如 “3 台机器 4 小时生产零件 120 个”，求 5 台机器 6 小时的产量。 解题策略：用连除逐步归一，先求出 “1 台 1 小时” 的最小单一量，再用连乘求出目标总量；反向求数量时用连除逐步归位。 易错提醒：必须两个维度都做归一，只除以一个维度会导致单一量偏大。 2. 倍比问题 题型特征：同类量之间存在清晰的倍数关系，单一量不便直接计算，可通过倍数关系快速求解。 核心逻辑：同类量的倍数关系与总量的倍数关系一致，先求出倍数，再用已知量乘倍数得到结果。 优势：比常规归一法步骤更少、计算更快，适用于成正比例关系且倍数清晰的场景。 3. 相遇问题初步 题型特征：两个物体从两地同时出发相向而行，求相遇时间、总路程或各自速度。 核心公式： 解题思路：先求出两者的速度和，再结合乘法数量关系求解；本质是 “共同完成总路程” 的复合工程模型。 4. 合作工程问题初步 题型特征：两人合作完成一项工作，已知各自的工作效率，求合作完成的时间或总工作量。 核心公式： 解题思路：将单人效率相加得到合作总效率，再利用乘法数量关系计算，是单一工程模型的叠加应用。 （三）乘法错中求解问题 1. 看错数字类 题型特征：计算乘法时，将其中一个因数的某一位数字看错，得到错误的积，求正确的积或另一个不变的因数。 解题步骤： 计算看错的因数与正确因数的差值； 积的差值 ÷ 因数的差值 = 不变的另一个因数； 用正确因数乘另一个因数，得到正确的积。 2. 因数增减类 题型特征：一个因数增加固定数值，另一个因数保持不变，已知积的增加量，求原因数或原积。 核心逻辑：积的变化量 = 不变的因数 × 因数的变化量，因此用积的增量除以因数增量，即可直接求出不变的因数。 （四）和差倍与乘法综合 1. 和倍、差倍进阶 题型特征：已知两个数的和或差，以及两数的倍数关系，求这两个数分别是多少。 核心公式： 和倍问题：较小数 = 和 ÷ (倍数 + 1) 差倍问题：较小数 = 差 ÷ (倍数 - 1) 乘法关联：求出 1 份量（较小数）后，用 “较小数 × 倍数” 即可得到较大数，是乘法数量关系在倍比场景的典型应用。 2. 年龄差倍问题 题型特征：已知两人的年龄差与倍数关系，求各自的年龄。 解题关键：年龄差始终不变，利用差倍公式求出 1 份量，再通过乘法计算对应年龄。 （五）积的极值问题 1. 和定积最大 题型特征：两个数的和固定，求它们乘积的最大值；对应几何场景为 “周长固定求长方形最大面积”。 核心结论：两个数的和一定时，两数越接近，乘积越大；当两数相等时，乘积达到最大值。 整数约束：若要求长、宽或数量为整数，则选择数值最接近的一组因数，对应乘积最大。 2. 积定和最小 题型特征：两个数的乘积固定，求两数之和的最小值；对应几何场景为 “面积固定求最短周长”。 核心结论：两个数乘积一定时，两数越接近，和越小；当两数相等时，和达到最小值。 （六）拓展提升类 1. 乘法型定义新运算 题型特征：自定义包含乘法的新运算符号与规则，求指定算式的结果，或已知结果反求输入参数。 解题策略：严格按照定义的规则代入数字，转化为常规四则运算后按顺序计算；反求未知数时建立等量关系求解。 2. 实心方阵问题 题型特征：正方形队列排列，已知每边人数求总人数，或已知总人数反推最外层人数。 核心公式： 总人数 = 每边人数 × 每边人数（平方乘法） 最外层人数 = 4×(每边人数 - 1) 3. 植树问题总长度计算 题型特征：已知间隔长度与间隔数，求线路总长度，是乘法数量关系的典型场景应用。 核心公式：总长度 = 间隔长度 × 间隔数，结合 “两端栽 / 两端不栽” 的规则调整间隔数与棵数的对应关系。 五、核心解题方法汇总 公式代入法：基础数量关系题的通用解法，找准每份数、份数与总数的对应关系，代入核心公式计算。 凑整巧算法：乘法巧算的核心思路，通过运算律构造 25×4、125×8 等整十整百组合，简化运算过程。 差量对应法：错中求解问题的核心思路，通过因数的变化量对应积的变化量，求出不变量再推导正确结果。 归一归总法：复杂应用题的通用建模思路，要么先求单一量，要么先求固定总量，再解决目标问题。 倍比法：同类量成正比例关系时，通过倍数关系直接求解，避免分步归一的繁琐计算。 和定积优法：极值问题的核心规律，和固定时两数越接近乘积越大，可快速定位最值方案。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 数量关系颠倒：已知总数求每份数时误用乘法，核心判断标准：求总数用乘法，求每份数 / 份数用除法。 单位不匹配：速度、单价与对应时间、数量单位不统一，未换算直接计算，导致结果数量级完全错误。 运算律混淆：乘法结合律与分配律混用，该用结合律时错误拆分，或分配律漏乘其中一项。 积变化规律记反：因数扩大时误认为积缩小，或积不变规律中两个因数同向变化，导致结果偏差。 2. 计算类易错点 分配律漏项：计算时只计算，漏算，是乘法分配律最高频错误。 凑整拆分符号错：将 99 拆为，忽略减号，导致最终结果多算了 2 倍的另一个因数。 乘除混合符号错：括号前是除号时，去括号后内部运算符号未变号，或带符号搬家时遗漏数字前的符号。 多位数乘法数位错位：竖式计算时部分积的末位对错数位，导致最终积的数值出现量级偏差。 3. 应用类易错点 双归一漏维度：两个维度的归一问题只除以一个维度的数量，遗漏另一个维度，导致单一量计算偏大。 相遇问题速度用错：相向而行求总路程时误用速度差，正确应为速度和；同向追及才用速度差。 极值忽略整数约束：实际场景中人数、物品个数必须为整数，直接套用小数最优解不符合题目要求与现实逻辑。 植树问题棵数与间隔数混淆：直接用棵数乘间隔长度算总长度，忽略 “两端都栽时间隔数 = 棵数 - 1” 的基础规则。 培优练习 一、选择题 1．妈妈4时行了212千米到达奶奶家，妈妈可能是（    ）去奶奶家。 A．步行 B．骑自行车 C．开汽车 【答案】C 【分析】先通过路程和时间计算出行速度，再结合常见出行方式的常规速度判断即可。 【详解】（千米/时） 根据生活常识，步行每小时约4~6千米，骑自行车每小时约10~20千米，开汽车每小时可达几十千米，53千米/时符合开汽车的速度。 所以妈妈可能是开汽车去奶奶家。 2．已知△×□＝☆，下面列式正确的是（    ）。 A．△×☆＝□ B．□÷☆＝△ C．☆÷□＝△ 【答案】C 【分析】根据乘法算式中各部分之间的关系，因数×因数＝积，积÷一个因数＝另一个因数，据此判断，即可解答。 【详解】A．根据积÷一个因数＝另一个因数，☆÷△＝□或☆÷□＝△，不是△×☆＝□，列式错误； B．△×□＝☆可得☆÷△＝□或☆÷□＝△，不是□÷☆＝△，列式错误； C．△×□＝☆可得☆÷□＝△，列式正确。 3．下面能用12×（3＋7）解决的问题是（    ）。 A．图中大长方形的周长是多少米？ B．现有3盒红色水性笔，每盒12支；7盒黑色水性笔，每盒12支，两种笔共有多少支？ C．一箱汽水有12瓶，每瓶3元，买7箱汽水需要多少钱？ 【答案】B 【分析】逐一分析每个选项的数量关系： 求大长方形周长，用到公式长方形的周长＝（长＋宽）×2，列出对应算式后和题干算式对比。 求两种笔总数量，可以先分别计算两种笔的数量再求和，或者先放到一起，一盒中红色水性笔和黑色水性笔的数量之和，再求12盒的总数量，列出算式后和题干算式对比。 求买汽水的总费用，用公式总价＝单价×数量，列出对应算式后和题干算式对比。 【详解】A．列式为（12＋3＋7）×2，不符合题意。 B．列式为（3＋7）×12或者3×12＋7×12，符合题意。 C．列式为12×3×7，不符合题意。 4．在一个有余数的除法算式中，除数和商都是15，被除数最大是（    ）。 A．375 B．239 C．240 【答案】B 【分析】在有余数的除法中，余数总比除数小，所以余数最大为：除数－1。当余数最大时，被除数最大，根据“被除数＝商×除数＋余数”求解即可。 【详解】余数最大为：15－1＝14 15×15＋14 ＝225＋14 ＝239 所以被除数最大是239。 故答案为：B 5．小娟买了一些笔记本和4支钢笔，一共花了53.7元。每支钢笔7.8元，每本笔记本4.5元。小娟买了（    ）本笔记本。 A．4 B．5 C．6 【答案】B 【分析】已知买了4支钢笔，每支钢笔7.8元，根据“总价＝单价×数量”求出买钢笔所花的钱数； 再用花的总钱数减去买钢笔所花的钱数，即是买笔记本所花的钱数； 已知每本笔记本4.5元，根据“数量＝总价÷单价”，即可求出买笔记本的本数。 【详解】买钢笔所花的钱数：7.8×4＝31.2（元） 买笔记本所花的钱数：53.7－31.2＝22.5（元） 买笔记本的本数：22.5÷4.5＝5（本） 小娟买了5本笔记本。 故答案为：B 二、填空题 6．□÷13＝42……△，□最大是( )。 【答案】558 【分析】在除法算式中，被除数÷除数＝商……余数，余数要小于除数，根据被除数＝商×除数＋余数可知，当余数最大为12时，此时的被除数最大，据此解答。 【详解】由分析可知，△最大为12， ＝ ＝ 所以□最大是558。 7．如果○÷△＝□，那么○÷（□×△）＝( )（○、△均不为0）。 【答案】 1 【分析】已知○÷△＝□（○、△均不为0），根据除法算式的关系：被除数÷除数＝商，可得○＝□×△，据此解答。 【详解】由分析可知，○＝□×△ ○÷（□×△） ＝○÷○ ＝1 8．一辆汽车行驶了270千米，平均每小时行驶90千米，这辆汽车行驶了几个小时？要求这辆汽车行驶了几小时，用到的数量关系是( )，列式计算( )。 【答案】 路程÷速度＝时间 270÷90＝3（小时） 【分析】已知汽车行驶的路程是270千米，平均速度是每小时90千米，要求行驶的时间。根据数量关系“路程÷速度＝时间”，用路程除以速度，即可求出时间。 【详解】一辆汽车行驶了270千米，平均每小时行驶90千米，这辆汽车行驶了几个小时？要求这辆汽车行驶了几小时，用到的数量关系是路程÷速度＝时间，列式计算270÷90＝3（小时）。 9．( )×13＝975     302－( )＝125    365÷( )＝9……5 【答案】 75 177 40 【分析】乘法中已知一个因数和积，用积除以这个已知的因数即可求出另一个因数； 减法中已知被减数和差，用被减数减去差即可求出减数； 除法中已知被除数、商和余数，用被除数减去余数，再除以商即可求出除数。 【详解】975÷13＝75，则75×13＝975； 302－125＝177，则302－177＝125； （365－5）÷9 ＝360÷9 ＝40 则365÷40＝9……5。 10．已知两数的( )与其中的一个加数，求另一个( )的运算，叫做减法。乘除法各部分间也有这样的关系：一个因数＝( )。 【答案】 和 加数 积另一个因数 【分析】减法是加法的逆运算，依据加法算式：加数＋加数＝和推导减法关系式；乘法算式：因数×因数＝积，推出求一个因数的计算方法。 【详解】加减法各部分关系法则：加数＋加数＝和；已知和与其中一个加数，求另一个加数用减法，另一个加数＝和－一个加数； 乘除法各部分关系法则：因数×因数＝积；一个因数＝积另一个因数。 所以已知两数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。乘除法各部分间也有这样的关系：一个因数＝积另一个因数。 11．有A、B、C、D四个数，已知A×21＝B÷0.8＝C×0.8＝D÷21，这四个数中最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 D A 【分析】设A×21＝B÷0.8＝C×0.8＝D÷21＝1，分别求出A、B、C、D的值，再进行比较，即可解答。 【详解】设A×21＝B÷0.8＝C×0.8＝D÷21＝1 A×21＝1 A＝1÷21 A≈0.048 B÷0.8＝1 B＝1×0.8 B＝0.8 C×0.8＝1 C＝1÷0.8 C＝1.25 D÷21＝1 D＝1×21 D＝21 21＞1.25＞0.8＞0.048 即D＞C＞B＞A，最大是D，最小是A。 所以有A、B、C、D四个数，已知A×21＝B÷0.8＝C×0.8＝D÷21，这四个数中最大的数是D，最小的数是A。 12．小华和小力出同样多的钱买一箱苹果，结果小华拿了8千克，小力拿了12千克。这样，小力就要给小华16元。苹果每千克( )元。 【答案】8 【分析】小华和小力出了同样多的钱，说明两人应拿到同样重量的苹果，即两人一共买了8＋12＝20（千克）苹果，所以平均每人应拿20÷2＝10（千克）苹果。据题意可知，实际上小华拿了8千克，小力拿了12千克，即小力多拿了12－10＝2（千克）苹果。这多拿的2千克，对应的就是小力给小华的16元。根据“总价＝单价×数量”，用16元除以2千克，即可求出苹果每千克多少元。 【详解】一箱的苹果总数为：8＋12＝20（千克） 一箱苹果平均分成两份，每份的数量为：20÷2＝10（千克） 据题意可知，小力多拿的数量为：12－10＝2（千克） 苹果的单价为：16÷2＝8（元） 即苹果每千克8元。 【点睛】抓住“出同样多的钱，即应得同样多的量”这一核心逻辑，先算“平均应拿的重量”，再找“实际多拿的重量”，最后用“补的钱÷多拿的重量”得到单价。 13．在一个除法算式里，除数是62，商是15，余数是32，则被除数是( )。 【答案】962 【分析】根据除法算式各部分的关系：被除数＝除数×商＋余数。已知除数是62，商是15，余数是32，代入公式计算即可。 【详解】62×15＋32 ＝930＋32 ＝962 所以被除数是962。 14．已知A×48＝240，那么竖式的积为( )；被除数的最高位上的数是( )。 【答案】 2640 4 【分析】根据一个因数＝积÷另一个因数求出A，再根据两位数乘两位数的计算方法，先用两位数个位上的数乘另一个两位数，得数的末位与个位对齐，再用十位上的数乘另一个两位数，得数的末位与十位对齐，最后把两次的乘积相加即可计算48×AA的值；商6在十位上，表示6个10，为60，用商×除数求出被除数即可。 【详解】根据分析，240÷48＝5 A＝5 48×AA＝48×55＝2640 60×7＝420 竖式的积为2640；被除数的最高位上的数是4。 15．春季开学期间，新华书店举行“买四赠一”活动，王老师买15本同样的故事书共付了60元，则每本故事书的原价是( )元，是按( )折优惠的。 【答案】 5 八 【分析】根据题意，把“买四赠一”看作一组，先用除法求出15本里有几组，再用每组买的本数乘组数，求出实际需买的本数；根据“总价÷数量＝单价”，用实际付的钱数除以实际购买的本数，求出每本书的原价； 根据“总价＝单价×数量”，用每本书的原价乘15，求出原价买15本需要的总钱数；然后用实际支付的钱数除以原来需付的总钱数，求出现价是原价的百分之几，再根据折扣的意义把百分数化成折扣即可。 【详解】15÷（4＋1） ＝15÷5 ＝3（组） 实际购买的本数：4×3＝12（本） 每本书的原价：60÷12＝5（元） 原价买15本的价钱：5×15＝75（元） 60÷75＝80% 80%＝八折 则每本故事书的原价是（5）元，是按（八）折优惠的。 三、判断题 16．一个商店购进50辆自行车，总价是a元，单价是（a÷50）元。( ) 【答案】√ 【分析】根据单价、总价、数量三者的关系判断即可。 【详解】单价＝总价÷数量，已知总价为a元，数量为50辆，则单价为（a÷50）元，原题说法正确。 故答案为：√ 17．已知☆÷□＝△，则☆＝△×□（□不为0）。( ) 【答案】√ 【分析】根据除法算式中各部分关系解答，除法算式中：被除数÷除数＝商、被除数＝商×除数。 【详解】已知，且，☆是被除数、□是除数，△是商， 根据除法各部分间的关系：被除数＝商×除数，可得。 故答案为：√ 18．□×（36÷6）＝72，根据运算顺序和乘法各部分之间的关系，可以得出□表示的数是12。( ) 【答案】√ 【分析】先计算括号内的除法，再根据乘法各部分之间的关系求出□代表的数值。 【详解】 ，原题说法正确。 故答案为：√ 19．同样的路程，如果甲车行了2小时，乙车行了4小时，那么乙车的速度就是甲车的2倍。( ) 【答案】× 【分析】路程相同时，所用时间越长，速度越慢。 【详解】根据题意，乙车用的时间比甲车长，那么乙车的速度就比甲车慢，不可能是甲车的2倍，原题说法错误。 故答案为：× 20．一个冰墩墩卖198元，共卖了19个，那么总收入不会超过4000元。( ) 【答案】√ 【分析】根据单价×数量＝总价，先求出收入的钱数，然后再比较解答。 【详解】198×19＝3762（元） 3762＜4000，所以原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】考查了单价、数量和总价之间的关系的运用。 四、解答题 21．礼品店从玩具厂批发了90个毛绒玩具，每个进价150元，按照每个170元出售，如果这些玩具全部卖完，礼品店一共可以赚多少元钱？ 【答案】1800元 【分析】先用售价减去进价算出单个毛绒玩具的利润，再乘玩具的总数量，即可得到全部卖完的总利润。 【详解】（170－150）×90 ＝20×90 ＝1800（元） 答：礼品店一共可以赚1800元钱。 22．一辆客车的速度是95千米/时，一辆货车的速度是75千米/时。如果两车从甲、乙两城同时出发相向而行，3小时后两车还相距120千米。甲、乙两城相距多少千米？ 【答案】630千米 【分析】相向而行，先求出两车1小时一共行驶的路程，也就是速度和，再乘行驶时间得到3小时两车一共走的路程；3小时后还相距120千米，说明两城总距离等于两车已走路程加上还没走的相距路程。 【详解】（95＋75）×3 ＝170×3 ＝510（千米） 510＋120＝630（千米） 答：甲、乙两城相距630千米。 23．一辆汽车从甲地到乙地，每小时行60千米，4小时到达。返回时因载重，每小时只行48千米，返回时用了多少小时？ 【答案】 5小时 【分析】往返的路程相同，先根据去时的速度和时间，用速度乘时间求出甲乙两地的总路程，再用总路程除以返回时的速度，即可求出返回所用的时间。 【详解】60×4÷48 ＝240÷48 ＝5（小时） 答：返回时用了5小时。 24．亮亮一家开车前往北戴河，去时汽车每小时行驶90千米，连续开了4小时顺利到达。游玩结束原路返回，遇上堵车，车速变慢，每小时只能行驶60千米。请你帮忙算一算：返回时一共需要几小时？ 【答案】 6小时 【分析】要求返回所需时间，已知返回速度，需先求出总路程；由于原路返回，总路程与去时行驶的路程相等，因此先计算去时的路程。路程＝速度×时间。 【详解】（千米） （小时） 答：返回时一共需要6小时。 25．甲、乙、丙三个乡各出相等的钱购买若干辆相同的农用车，买好后，由于丙乡需要量少，结果丙乡比甲、乙两乡各少要15辆，因此，甲、乙两乡各偿还给丙乡9万元，问：每辆汽车的价格是多少元？ 【答案】18000元 【分析】先用乘法计算出甲、乙两乡比丙乡共多的辆数15+15=30（辆），再除以3，即可计算出这30辆车平均每乡应得的辆数，然后用减法计算出甲乙两乡分别从丙乡买了5辆，最后根据单价总价数量，即可计算出每辆农用车的价格是多少元。 【详解】 （辆 （万元） 1.8万元元 答：每辆农用车的价格是18000元。 26．上海到南京的高速公路全长370千米，卡车从南京出发，开往上海，每小时行90千米，已经行了190千米，卡车到上海还要行几小时？（列综合算式解答） 【答案】2小时；（370－190）÷90＝2（小时） 【分析】先算出剩余的路程，用总路程减去已经行驶的路程，再用剩余路程除以行驶速度，即可得到还需的行驶时间。 【详解】（370－190）÷90 ＝180÷90 ＝2（小时） 答：卡车到上海还要行2小时。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 乘法数量关系（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 主题定义与本质 本单元是小学 “数与代数” 模块中应用类计算的核心单元，以整数乘法计算为基础，系统梳理常见的乘法数量关系模型，建立 “每份数 × 份数 = 总数” 的通用数量关系框架，实现从 “会计算乘法” 到 “会用乘法解决实际问题” 的能力升级。 核心本质：提炼现实场景中 “相同累加” 的共性规律，用统一的乘法模型刻画不同场景下的数量对应关系，是数学建模思想的初级载体，也是后续小数、分数乘除应用题的底层基础。 核心通用公式：，所有乘法数量关系均是该公式在不同场景下的具体变形。 2. 核心数量关系分类 小学阶段最基础的四类乘法数量模型，覆盖绝大多数生活与应用题场景： 价格模型：单价 × 数量 = 总价 行程模型：速度 × 时间 = 路程 工程模型：工作效率 × 工作时间 = 工作总量 产量模型：单产量 × 数量 = 总产量 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：承接两、三位数乘两位数的计算知识，是整数乘法从纯计算走向实际应用的关键过渡，也是小学阶段系统学习数量关系的起始单元，为后续分数应用题、比例问题、复杂行程与工程问题筑牢模型基础。 奥数价值：以乘法数量关系为载体，延伸出巧算速算、错中求解、倍比推理、行程工程初步、极值构造等经典题型，强化运算巧算能力、建模思维与逆向推理能力，是小升初计算与应用模块的高频核心考点。 二、核心基础性质与必备知识点 1. 四大基础数量关系及变形 每类模型均对应 “知二求一” 的三组公式，依托乘除互逆关系实现灵活转换： 价格类 单价 × 数量 = 总价 总价 ÷ 数量 = 单价 总价 ÷ 单价 = 数量 行程类 速度 × 时间 = 路程 路程 ÷ 时间 = 速度 路程 ÷ 速度 = 时间 工程类 工作效率 × 工作时间 = 工作总量 工作总量 ÷ 工作时间 = 工作效率 工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间 产量类 单产量 × 种植数量 = 总产量 总产量 ÷ 种植数量 = 单产量 总产量 ÷ 单产量 = 种植数量 2. 乘法运算定律（巧算核心依据） 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 字母表示： 乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数或先乘后两个数，积不变。 字母表示： 乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加（或相减）。 字母表示： 3. 积的变化规律 同向变化：一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0 除外），积也同步乘（或除以）几。 积不变规律：一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（0 除外），积保持不变。 拓展规律：两个因数分别扩大到原来的倍和倍，积扩大到原来的倍。 4. 单位匹配规则 乘法数量关系中，三个量的单位必须一一对应： 速度单位（如千米 / 时）需与路程单位、时间单位匹配； 单价单位（如元 / 件）需与总价单位、数量单位匹配； 单位不统一时，必须先换算单位再代入计算，避免数量级错误。 三、基础应用题型与标准解法 1. 基础公式正向计算 题型特征：给出两个相关联的已知量，直接求第三个量，如已知商品单价与购买数量求总价。 解题策略：先判断所属数量模型，找准每份数与份数，直接代入 “每份数 × 份数 = 总数” 的核心公式计算。 2. 公式逆用求单一量 题型特征：已知总数与其中一个分量，求另一个分量，如已知总路程与行驶时间求速度。 解题策略：根据乘除互逆关系，用 “总数 ÷ 已知分量 = 未知分量” 求解；核心是区分 “求每份数” 与 “求份数”，避免除法关系颠倒。 3. 简单连乘实际问题 题型特征：涉及两个维度的份数叠加，如 “每箱有 6 盒，每盒有 8 个，5 箱一共有多少个”。 解题策略：有两种等价思路： 先求每份的总数，再乘总份数； 先求总份数，再乘单份数量。 两种方法结果一致，可互相验算。 4. 运算律基础简便计算 题型特征：算式中出现可凑整的组合，或接近整十整百的因数，可通过运算律简化计算。 解题策略： 遇 25 找 4、遇 125 找 8，用结合律凑出整百、整千数； 99、101 等接近整百的数，拆成 “整百 ±1” 的形式，用分配律口算。 5. 简单归一与归总问题 归一问题：已知几份的总量，先求出单一量，再求多份对应的总量，解题逻辑是 “先除后乘”。 归总问题：已知每份数与份数，先求出固定总量，再求新的每份数或份数，解题逻辑是 “先乘后除”。 四、奥数进阶题型与解题策略 （一）乘法巧算进阶 1. 乘法分配律拓展应用 题型特征：多个乘法算式相加减且存在公共因数，或因数可拆分为整十整百加减零头，直接笔算繁琐易错。 三类高频考法： 提取公因数型：，多个算式有相同因数时，提取后合并计算。 凑整拆分型：将 99 拆为、102 拆为，用分配律转化为口算级运算。 隐藏公因数型：通过积不变规律构造相同因数，如可转化为，再提取公因数。 解题策略：先观察数字特征，主动构造公共因数，再用分配律合并，大幅降低计算量。 2. 特殊数凑整巧算 题型特征：算式中出现 25、125、5 等特殊因数，可通过配对凑成整十、整百、整千数。 核心配对：，， 解题技巧：缺少对应凑整数时，从另一个因数中拆分出来；例如，。 3. 乘除混合运算巧算 题型特征：乘除混合算式，按顺序计算繁琐，可调整运算顺序简化。 核心规则： 带符号搬家：只有乘除运算时，数字可带着前面的运算符号移动位置，结果不变。 去 / 添括号：括号前是乘号，去括号后内部符号不变；括号前是除号，去括号后乘号变除号、除号变乘号。 解题策略：优先将能凑整、能整除的组合放在一起计算，提升运算效率。 4. 重码数巧算 题型特征：出现 101、1001、123123 等具有重复结构的特殊数。 核心规律：，，正向可直接写结果，反向可拆分简化计算。 （二）数量关系进阶应用 1. 双归一问题 题型特征：涉及两个维度的数量，如 “3 台机器 4 小时生产零件 120 个”，求 5 台机器 6 小时的产量。 解题策略：用连除逐步归一，先求出 “1 台 1 小时” 的最小单一量，再用连乘求出目标总量；反向求数量时用连除逐步归位。 易错提醒：必须两个维度都做归一，只除以一个维度会导致单一量偏大。 2. 倍比问题 题型特征：同类量之间存在清晰的倍数关系，单一量不便直接计算，可通过倍数关系快速求解。 核心逻辑：同类量的倍数关系与总量的倍数关系一致，先求出倍数，再用已知量乘倍数得到结果。 优势：比常规归一法步骤更少、计算更快，适用于成正比例关系且倍数清晰的场景。 3. 相遇问题初步 题型特征：两个物体从两地同时出发相向而行，求相遇时间、总路程或各自速度。 核心公式： 解题思路：先求出两者的速度和，再结合乘法数量关系求解；本质是 “共同完成总路程” 的复合工程模型。 4. 合作工程问题初步 题型特征：两人合作完成一项工作，已知各自的工作效率，求合作完成的时间或总工作量。 核心公式： 解题思路：将单人效率相加得到合作总效率，再利用乘法数量关系计算，是单一工程模型的叠加应用。 （三）乘法错中求解问题 1. 看错数字类 题型特征：计算乘法时，将其中一个因数的某一位数字看错，得到错误的积，求正确的积或另一个不变的因数。 解题步骤： 计算看错的因数与正确因数的差值； 积的差值 ÷ 因数的差值 = 不变的另一个因数； 用正确因数乘另一个因数，得到正确的积。 2. 因数增减类 题型特征：一个因数增加固定数值，另一个因数保持不变，已知积的增加量，求原因数或原积。 核心逻辑：积的变化量 = 不变的因数 × 因数的变化量，因此用积的增量除以因数增量，即可直接求出不变的因数。 （四）和差倍与乘法综合 1. 和倍、差倍进阶 题型特征：已知两个数的和或差，以及两数的倍数关系，求这两个数分别是多少。 核心公式： 和倍问题：较小数 = 和 ÷ (倍数 + 1) 差倍问题：较小数 = 差 ÷ (倍数 - 1) 乘法关联：求出 1 份量（较小数）后，用 “较小数 × 倍数” 即可得到较大数，是乘法数量关系在倍比场景的典型应用。 2. 年龄差倍问题 题型特征：已知两人的年龄差与倍数关系，求各自的年龄。 解题关键：年龄差始终不变，利用差倍公式求出 1 份量，再通过乘法计算对应年龄。 （五）积的极值问题 1. 和定积最大 题型特征：两个数的和固定，求它们乘积的最大值；对应几何场景为 “周长固定求长方形最大面积”。 核心结论：两个数的和一定时，两数越接近，乘积越大；当两数相等时，乘积达到最大值。 整数约束：若要求长、宽或数量为整数，则选择数值最接近的一组因数，对应乘积最大。 2. 积定和最小 题型特征：两个数的乘积固定，求两数之和的最小值；对应几何场景为 “面积固定求最短周长”。 核心结论：两个数乘积一定时，两数越接近，和越小；当两数相等时，和达到最小值。 （六）拓展提升类 1. 乘法型定义新运算 题型特征：自定义包含乘法的新运算符号与规则，求指定算式的结果，或已知结果反求输入参数。 解题策略：严格按照定义的规则代入数字，转化为常规四则运算后按顺序计算；反求未知数时建立等量关系求解。 2. 实心方阵问题 题型特征：正方形队列排列，已知每边人数求总人数，或已知总人数反推最外层人数。 核心公式： 总人数 = 每边人数 × 每边人数（平方乘法） 最外层人数 = 4×(每边人数 - 1) 3. 植树问题总长度计算 题型特征：已知间隔长度与间隔数，求线路总长度，是乘法数量关系的典型场景应用。 核心公式：总长度 = 间隔长度 × 间隔数，结合 “两端栽 / 两端不栽” 的规则调整间隔数与棵数的对应关系。 五、核心解题方法汇总 公式代入法：基础数量关系题的通用解法，找准每份数、份数与总数的对应关系，代入核心公式计算。 凑整巧算法：乘法巧算的核心思路，通过运算律构造 25×4、125×8 等整十整百组合，简化运算过程。 差量对应法：错中求解问题的核心思路，通过因数的变化量对应积的变化量，求出不变量再推导正确结果。 归一归总法：复杂应用题的通用建模思路，要么先求单一量，要么先求固定总量，再解决目标问题。 倍比法：同类量成正比例关系时，通过倍数关系直接求解，避免分步归一的繁琐计算。 和定积优法：极值问题的核心规律，和固定时两数越接近乘积越大，可快速定位最值方案。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 数量关系颠倒：已知总数求每份数时误用乘法，核心判断标准：求总数用乘法，求每份数 / 份数用除法。 单位不匹配：速度、单价与对应时间、数量单位不统一，未换算直接计算，导致结果数量级完全错误。 运算律混淆：乘法结合律与分配律混用，该用结合律时错误拆分，或分配律漏乘其中一项。 积变化规律记反：因数扩大时误认为积缩小，或积不变规律中两个因数同向变化，导致结果偏差。 2. 计算类易错点 分配律漏项：计算时只计算，漏算，是乘法分配律最高频错误。 凑整拆分符号错：将 99 拆为，忽略减号，导致最终结果多算了 2 倍的另一个因数。 乘除混合符号错：括号前是除号时，去括号后内部运算符号未变号，或带符号搬家时遗漏数字前的符号。 多位数乘法数位错位：竖式计算时部分积的末位对错数位，导致最终积的数值出现量级偏差。 3. 应用类易错点 双归一漏维度：两个维度的归一问题只除以一个维度的数量，遗漏另一个维度，导致单一量计算偏大。 相遇问题速度用错：相向而行求总路程时误用速度差，正确应为速度和；同向追及才用速度差。 极值忽略整数约束：实际场景中人数、物品个数必须为整数，直接套用小数最优解不符合题目要求与现实逻辑。 植树问题棵数与间隔数混淆：直接用棵数乘间隔长度算总长度，忽略 “两端都栽时间隔数 = 棵数 - 1” 的基础规则。 培优练习 一、选择题 1．妈妈4时行了212千米到达奶奶家，妈妈可能是（    ）去奶奶家。 A．步行 B．骑自行车 C．开汽车 2．已知△×□＝☆，下面列式正确的是（    ）。 A．△×☆＝□ B．□÷☆＝△ C．☆÷□＝△ 3．下面能用12×（3＋7）解决的问题是（    ）。 A．图中大长方形的周长是多少米？ B．现有3盒红色水性笔，每盒12支；7盒黑色水性笔，每盒12支，两种笔共有多少支？ C．一箱汽水有12瓶，每瓶3元，买7箱汽水需要多少钱？ 4．在一个有余数的除法算式中，除数和商都是15，被除数最大是（    ）。 A．375 B．239 C．240 5．小娟买了一些笔记本和4支钢笔，一共花了53.7元。每支钢笔7.8元，每本笔记本4.5元。小娟买了（    ）本笔记本。 A．4 B．5 C．6 二、填空题 6．□÷13＝42……△，□最大是( )。 7．如果○÷△＝□，那么○÷（□×△）＝( )（○、△均不为0）。 8．一辆汽车行驶了270千米，平均每小时行驶90千米，这辆汽车行驶了几个小时？要求这辆汽车行驶了几小时，用到的数量关系是( )，列式计算( )。 9．( )×13＝975     302－( )＝125    365÷( )＝9……5 10．已知两数的( )与其中的一个加数，求另一个( )的运算，叫做减法。乘除法各部分间也有这样的关系：一个因数＝( )。 11．有A、B、C、D四个数，已知A×21＝B÷0.8＝C×0.8＝D÷21，这四个数中最大的数是( )，最小的数是( )。 12．小华和小力出同样多的钱买一箱苹果，结果小华拿了8千克，小力拿了12千克。这样，小力就要给小华16元。苹果每千克( )元。 13．在一个除法算式里，除数是62，商是15，余数是32，则被除数是( )。 14．已知A×48＝240，那么竖式的积为( )；被除数的最高位上的数是( )。 15．春季开学期间，新华书店举行“买四赠一”活动，王老师买15本同样的故事书共付了60元，则每本故事书的原价是( )元，是按( )折优惠的。 三、判断题 16．一个商店购进50辆自行车，总价是a元，单价是（a÷50）元。( ) 17．已知☆÷□＝△，则☆＝△×□（□不为0）。( ) 18．□×（36÷6）＝72，根据运算顺序和乘法各部分之间的关系，可以得出□表示的数是12。( ) 19．同样的路程，如果甲车行了2小时，乙车行了4小时，那么乙车的速度就是甲车的2倍。( ) 20．一个冰墩墩卖198元，共卖了19个，那么总收入不会超过4000元。( ) 四、解答题 21．礼品店从玩具厂批发了90个毛绒玩具，每个进价150元，按照每个170元出售，如果这些玩具全部卖完，礼品店一共可以赚多少元钱？ 22．一辆客车的速度是95千米/时，一辆货车的速度是75千米/时。如果两车从甲、乙两城同时出发相向而行，3小时后两车还相距120千米。甲、乙两城相距多少千米？ 23．一辆汽车从甲地到乙地，每小时行60千米，4小时到达。返回时因载重，每小时只行48千米，返回时用了多少小时？ 24．亮亮一家开车前往北戴河，去时汽车每小时行驶90千米，连续开了4小时顺利到达。游玩结束原路返回，遇上堵车，车速变慢，每小时只能行驶60千米。请你帮忙算一算：返回时一共需要几小时？ 25．甲、乙、丙三个乡各出相等的钱购买若干辆相同的农用车，买好后，由于丙乡需要量少，结果丙乡比甲、乙两乡各少要15辆，因此，甲、乙两乡各偿还给丙乡9万元，问：每辆汽车的价格是多少元？ 26．上海到南京的高速公路全长370千米，卡车从南京出发，开往上海，每小时行90千米，已经行了190千米，卡车到上海还要行几小时？（列综合算式解答） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $