第一单元 一个数除以小数（综合题型）奥数思维训练-2026-2027学年苏教版数学六年级上册(新教材)

**基本信息** 以转化思想为核心，构建“概念-法则-规律-应用”四层方法体系，系统覆盖小数除法基础运算与奥数拓展，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与法则|多题型覆盖|四步转化法（看-移-算-验）、商不变规律推导|从除法意义切入，通过商不变规律构建小数转整数的算理逻辑| |商的规律与应用|典型例题|商与被除数大小比较、进一/去尾取整法|结合运算性质延伸规律应用，形成“规律判断-实际取值”的推理链条| |奥数拓展|错中求解等5类题型|除数凑整、被除数拆分等简便技巧|以基础方法为依托，通过变式题型提升问题转化与模型应用能力|

第一单元 一个数除以小数（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 一个数除以小数的意义 小数除法与整数除法的意义完全一致，是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，也是小数乘法的逆运算。 包含除意义：求一个数里包含多少个另一个数。例：一根绳子长 7.2 米，每 0.8 米剪一段，可以剪几段，列式为。 平均分意义：把一个数平均分成若干份，求每份是多少。例：把 3.6 千克糖平均分成 0.4 千克一份，对应除法运算。 倍数意义：已知一个数的几倍是多少，求这个数。例：已知一个数的 0.5 倍是 3.6，求这个数，列式为。 2. 核心数学思想与概念 转化思想：本单元核心数学方法，将 “除数是小数的除法” 转化为已学的 “除数是整数的除法”，化未知为已知。 被除数、除数、商：除法运算中，被平均分的数叫被除数，平均分的份数 / 每份大小叫除数，运算结果叫商。 余数：除不尽时剩余的数，有余数的小数除法中，余数的小数点需与原被除数的小数点对齐，而非移动后的被除数。 除尽与除不尽：商是有限小数为除尽，商是无限小数（循环小数）为除不尽。 二、核心计算法则与算理推导 1. 通用计算法则 计算一个数除以小数，遵循 “一看二移三算四验” 的四步标准流程： 看：观察除数有几位小数； 移：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同位数，使除数变为整数；被除数位数不够时，在末尾用 0 补足； 算：按照除数是整数的小数除法法则计算，商的小数点要和移动后的被除数小数点对齐；除到被除数末尾仍有余数时，添 0 继续除； 验：用 “商 × 除数 = 被除数” 验算结果是否正确。 特殊规则：被除数整数部分不够除时，商 0，点上小数点继续除；商的某一位不够商 1 时，必须商 0 占位。 例：，除数有 2 位小数，被除数同步扩大 100 倍变为 1200，转化为计算。 2. 算理推导（商不变规律） 小数除法的算理核心是商不变规律：被除数和除数同时乘或除以同一个不为 0 的数，商不变。 推导逻辑：将除数扩大到原来的 10 倍、100 倍…… 转化为整数，为保证商不变，被除数必须同步扩大相同倍数。 示例推导：计算 除数 0.85 扩大 100 倍→85，被除数 7.65 同步扩大 100 倍→765； 转化为整数除法：； 根据商不变规律，原式的商也为 9。 3. 验算方法 方法一：商 × 除数 = 被除数（最常用，利用乘除互逆关系）； 方法二：被除数 ÷ 商 = 除数； 方法三：利用商与被除数的大小关系做估算检验，快速排查明显错误。 三、商的变化规律与大小比较 1. 商不变规律（核心基础） 被除数和除数同时乘或除以同一个不为 0 的数，商不变。 奥数应用：简便计算、错中求解、规律探究题的核心依据。 2. 商的单向变化规律 除数不变，被除数扩大（或缩小）n 倍，商也随之扩大（或缩小）n 倍； 被除数不变，除数扩大（或缩小）n 倍，商反而缩小（或扩大）n 倍； 被除数扩大 a 倍，除数扩大 b 倍，商的变化为倍（a>b 时商扩大，b>a 时商缩小）。 3. 商与被除数的大小关系（无需计算直接比较） 一个数（0 除外）除以另一个数时，存在固定大小规律： 除数 大于 1 → 商 < 被除数 除数 小于 1 → 商 > 被除数 除数 等于 1 → 商 = 被除数 奥数应用：快速比较算式大小、判断计算正误、估算取值范围。 例：比较和，因为 0.9<1，所以。 4. 小数点移动对商的影响 除数小数点右移 n 位（扩大 10ⁿ倍），被除数不变 → 商的小数点左移 n 位（缩小 10ⁿ倍）； 被除数小数点右移 n 位（扩大 10ⁿ倍），除数不变 → 商的小数点右移 n 位（扩大 10ⁿ倍）。 四、商的近似数 1. 求商的近似数的基本方法 通常使用四舍五入法，标准步骤： 明确题目要求保留的小数位数； 计算时，除到比需要保留的位数多一位即可，无需除尽； 观察多除出的那一位数字，≥5 向前一位进 1，<5 直接舍去。 2. 核心注意事项 求商的近似数无需算出完整商，只需除到保留位数的下一位，提升计算效率； 近似数末尾的 0不能随意去掉，它代表计算精确度。例：保留两位小数结果是，不能写成，前者精确到百分位，后者精确到个位； 求近似数时必须用 “≈” 连接，不能使用 “=”。 3. 实际问题中的取整方法（奥数拓展） 进一法：不管尾数是多少，都向前一位进 1。适用于装油、租车、运货等必须保证 “全部装下 / 运完” 的场景。 例：每个油桶最多装 4.5kg 油，装 10kg 油需要几个油桶？，进一法得 3 个。 去尾法：不管尾数是多少，都直接舍去。适用于做衣服、裁布料、买商品等 “不够完整一份就舍弃” 的场景。 例：做一套衣服用布 2.2m，20m 布最多可以做几套？，去尾法得 9 套。 五、小数除法运算性质与简便计算 整数除法的运算性质对小数除法完全适用，是奥数简便计算的核心工具。 1. 核心运算性质 性质名称 字母表示 核心应用场景 连除性质 连除算式中，除数相乘可凑整，简化计算 连除性质逆用 除以两个数的积，转化为连续相除 商不变性质 除数凑整，转化为 1、10、100 等整数 除法分配律（被除数拆分） 被除数拆成和 / 差，分别相除再加减 易错提醒：除法没有 “除数分配律”， 不能拆分为 ，属于高频错误。 2. 奥数常用简便计算技巧 （1）除数凑整法 利用商不变规律，将除数转化为 1、10、100 等整数，常见凑整组合： 除数是 0.25 → 被除数、除数同时 ×4，除数变 1； 除数是 0.125 → 被除数、除数同时 ×8，除数变 1； 除数是 0.5 → 被除数、除数同时 ×2，除数变 1。 例： （2）连除凑整法 利用连除性质，将能凑成整数的除数先相乘，再用被除数除以它们的积。 例： （3）被除数拆分法 把被除数拆成两个便于计算的数的和或差，利用除法分配律分别相除后再加减。 例： （4）扩缩抵消法 对于复杂小数连除、乘除混合运算，通过同步扩倍 / 缩倍构造相同因数，实现抵消简化计算。 六、奥数常见题型及解题策略 （一）基础计算类 竖式计算一个数除以小数 解题要点：先移小数点转化为整数除法，商的小数点与移动后的被除数对齐；不够商 1 时商 0 占位，末尾有余数添 0 继续除。 易错提醒：被除数位数不够时末尾补 0，不能漏补；商中间的 0 不能省略。 根据已知算式写商 题型特征：已知一道除法算式的商，根据商不变规律直接写出相关小数除法的结果。 解题策略：观察被除数和除数的小数点移动位数，判断商是否变化。 例：已知，则，，。 商的小数位数判断 解题策略：先转化为除数是整数的除法，商的小数位数通常与被除数移动后的小数位数一致；注意末位相除为 0 时，小数位数会减少。 （二）错中求解问题（奥数经典题型） 题型特征：计算时看错除数 / 被除数的小数点、看错数字，得到错误的商，求正确的商或原数。 解题策略：抓住不变量，根据小数点移动引起的商的变化规律倒推还原。 例：小明计算小数除法时，把除数 0.5 的小数点漏看了，算得商是 3.6，求正确的商。 解析：漏看 0.5 的小数点，除数扩大 10 倍，被除数不变，商缩小 10 倍；正确的商 = 。 （三）规律探究与周期问题 算式大小比较 解题策略：利用商与被除数的大小关系、商的变化规律快速判断，避免繁琐计算。 循环小数周期问题 题型特征：一个数除以小数得到循环商，求商的第 n 位数字、前 n 位数字和。 解题策略：先计算出循环节，确定周期长度，再用周期问题公式求解。 （四）实际应用类 基础数量关系问题 覆盖场景：购物（单价 = 总价 ÷ 数量）、行程（速度 = 路程 ÷ 时间）、工程（效率 = 总量 ÷ 时间）、平均数问题。 解题策略：找准对应数量关系，统一单位后列式，根据实际需求取近似数。 归一归总问题 归一问题：先求单一量（如每小时工作量、每千克单价），再用总量 ÷ 单一量求份数； 归总问题：先求出总数量，再按新的单一量计算对应份数。 奥数拓展：双归一问题，需两次求解单一量。 （五）拓展提升类 定义新运算 题型特征：规定新运算符号与规则，代入小数除法计算。 解题策略：严格按定义转化为常规四则运算，注意运算顺序。 例：规定，求的值。 解析： 和差倍问题 将小数除法与和倍、差倍问题结合，已知两数的和 / 差及倍数关系，通过除法求 1 倍量。 核心公式：和 ÷(倍数 + 1)=1 倍量，差 ÷(倍数 - 1)=1 倍量。 复杂巧算：分组与抵消 针对多个乘除混合运算的题型，通过分组、构造相同除数、利用商不变规律实现抵消，简化复杂计算。 七、易错点与注意事项 小数点移动不同步：只移动除数的小数点，忘记同步移动被除数的小数点，或二者移动位数不一致。 被除数补 0 遗漏：被除数位数不够时，忘记在末尾补 0，导致计算位数不足出错。 商的小数点错位：商的小数点未对齐移动后的被除数，仍对齐原被除数的小数点。 商中间漏商 0：除到某一位不够商 1 时，没有用 0 占位，导致商的位数减少、结果偏大。 除法分配律误用：错误拆分除数，将拆分为，违背运算规则。 余数处理错误：有余数的除法中，误将移动后的余数当作最终余数，余数需对应原被除数的小数点。 取整方法混淆：实际问题中误用进一法和去尾法，导致结果不符合现实场景。 近似数精确度问题：随意去掉近似数末尾的 0，或除的位数不足就进行四舍五入。 单位不统一：应用题中单位不一致，未换算直接计算，导致结果数量级偏差。 培优练习 一、选择题 1．下面的算式中，商大于被除数的是（    ）。 A．5.6÷7 B．125÷0.5 C．0.8÷4 D．3.2÷8 【答案】B 【分析】当被除数不为0时，除数大于1，商小于被除数；除数小于1（0除外），商大于被除数；除数等于1，商等于被除数。据此解答。 【详解】A．除数是7，7＞1，商小于5.6，此选项错误； B．除数是0.5，0.5＜1，商大于125，此选项正确； C．除数是4，4＞1，商小于0.8，此选项错误； D．除数是8，8＞1，商小于3.2，此选项错误。 因此，商大于被除数的是125÷0.5。 2．“智能大脑”能在0.2秒内计算出300件不同货物各自的分装路线，同样的工作，过去平均每件货物需要每名工人用时3秒，“智能大脑”的工作效率相当于（    ）名工人。 A．300 B．900 C．1500 D．4500 【答案】D 【分析】先计算1名工人完成300件货物需要的总时长，再用总时长除以智能大脑的工作时间，就能得到相当于的工人数量。 【详解】（秒） （名） “智能大脑”的工作效率相当于4500名工人。 3．根据2026年6月20日的汇率数据，1新加坡元约等于5.2466元人民币。妈妈准备去新加坡旅游，手里有10000元人民币，按照当日汇率计算，妈妈能兑换多少新加坡元？下面列式正确的是（    ）。 A．10000×5.2466 B．10000÷5.2466 C．5.2466÷10000 D．10000＋5.2466 【答案】B 【分析】已知1新加坡元约兑换5.2466元人民币，求10000元人民币能兑换多少新加坡元，就是求10000里包含多少个5.2466，用除法计算。 【详解】兑换的新加坡元数量＝人民币总额÷1新加坡元可兑换的人民币数额，列式为：。 4．王阿姨买了14个脐橙，共2.1千克，估算一下，如果买13千克这样的脐橙，有（    ）脐橙。 A．200个以上 B．80多个 C．不到50个 D．30个左右 【答案】B 【分析】先求出单个脐橙的质量，再用总质量除以单个脐橙的质量得到总个数，匹配对应选项即可。 【详解】单个脐橙的质量： （千克） 13千克脐橙的总个数： （个） 87个属于80多个的范围，所以正确选项是B。 5．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，制作原料为紫砂泥。马师傅做一个紫砂壶需要0.45千克紫砂泥，现有3.5千克紫砂泥，最多可以做（    ）个这样的紫砂壶。 A．7 B．8 C．9 D．6 【答案】A 【分析】据题意就是找出3.5里面有几个0.45，可以做7个，剩下的0.35不能做出一个紫砂壶。 【详解】3.5÷0.45＝7（个）……0.35（千克） 最多可以做7个这样的紫砂壶。 故答案为：A 6．小珍妈妈趁超市活动买了一袋20千克的大米，回家将大米装入一样的玻璃容器中，每个玻璃容器最多可以装3.6千克大米，装完这些大米至少需要（    ）个这种玻璃容器。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】已知每个玻璃容器最多能容纳3.6千克大米，求装完20千克的大米需要几个这样的容器，就是求20里面有几个3.6，用除法计算，结果不是整数时采用“进一法”保留整数。 【详解】20÷3.6≈6（个） 装完这些大米至少需要6个这种玻璃容器。 故答案为：A 二、填空题 7．两个因数的积是2.64，其中一个因数是1.2，另一个因数是( )。 【答案】2.2 【分析】由“因数×因数＝积”可知，因数＝积÷另一个因数，把题中数据代入计算，据此解答。 【详解】2.64÷1.2＝2.2 所以，另一个因数是2.2。 8．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.5×0.9( )3.5        4.6÷0.02( )4.6÷0.2         3.2÷1.01( )3.2        0.58÷0.99( )0.58 【答案】 ＜ ＞ ＜ ＞ 【分析】第一小题：一个非0数，乘大于1的数，积大于原数；一个非0数，乘小于1的数，积小于原数，据此解答； 第二小题：被除数相同，除数越大，商越小，除数越小，商越大；据此解答； 第三、四小题：一个非0数，除以大于1的数，商小于被除数；一个非0数，除以小于1的数，商大于被除数，据此解答。 【详解】3.5×0.9和3.5 因为0.9＜1，所以3.5×0.9＜3.5 4.6÷0.02和4.6÷0.2 因为0.02＜0.2，所以4.6÷0.02＞4.6÷0.2 3.2÷1.01和3.2 因为1.01＞1，所以3.2÷1.01＜3.2 0.58÷0.99和0.58 因为0.99＜1，所以0.58÷0.99＞0.58 9．张师傅制作蛋糕，每个需要0.47千克面粉，张师傅领了6千克面粉，他最多可以制作( )个蛋糕。 【答案】12 【分析】张师傅领了6千克面粉，每个需要0.47千克面粉，求最多可以制作多少个蛋糕，也就是求6千克里面有几个0.47千克。用6除以0.47，结合实际情况用去尾法保留整数即可。 【详解】6÷0.47≈12（个） 所以他最多可以制作12个蛋糕。 10．“奶奶买了31.2元的鸡蛋，每个1.3元。”根据题意：竖式中箭头所指的“26”表示( )个鸡蛋的价钱，“52”表示52个( )元。 【答案】 20 0.1 【分析】“奶奶买了31.2元的鸡蛋，每个1.3元”，用总价÷单价＝数量。 小数除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 竖式中划去小数点，相当于奶奶买了312角的鸡蛋，每个13角，求出的商表示可以买的个数，据此分析竖式中各部分的意义即可。 【详解】由分析可得：箭头所指的“26”是2×13＝26，即20×13＝260（角），表示20个鸡蛋的价钱，箭头所指的“52”表示4×13＝52（角），4个鸡蛋52角，即52个0.1元。 11．加工一个黑芝麻元宵要用1.4g芝麻，700g芝麻可以加工________个元宵。把这些元宵都装到袋子里，每15个装一袋，至少需要________个袋子。 【答案】 500 34 【分析】芝麻质量÷一个黑芝麻元宵要用的芝麻质量＝可以加工的元宵个数；最后无论剩下多少元宵，都得需要一个袋子来装，元宵个数÷一袋装的个数，结果用进一法保留近似数，是需要的袋子个数，据此列式计算。 【详解】700÷1.4＝500（个） 500÷15≈34（个） 700g芝麻可以加工500个元宵。至少需要34个袋子。 12．长4.88米的木料锯成0.06米长的小段，可以锯( )段，余( )米。 【答案】 81 0.02 【分析】将木料长4.88米除以0.06米，求出商的整数部分以及此时的余数。商表示段数，余数表示余下多少米。 【详解】4.88÷0.06＝81（段）……0.02（米） 所以，长4.88米的木料锯成0.06米长的小段，可以锯81段，余0.02米。 13．做一个布娃娃需要用布0.6m，13m布最多可以做( )个这样的布娃娃。 【答案】21 【分析】用总米数除以每个布娃娃需要用的米数，即可求得布娃娃的个数，结果用“去尾法”取值。 【详解】13÷0.6≈21（个） 即13m布最多可以做21个这样的布娃娃。 14．买一本笔记本需要8.5元，40元最多可以买( )本。若每个油瓶最多可装0.75千克油，装10千克油至少需要( )个这样的油瓶。 【答案】 4 14 【分析】总价÷单价＝数量，将40元除以笔记本单价8.5元，利用“去尾法”将商保留到整数部分，求出最多可以买多少本； 将10千克油除以0.75千克，利用“进一法”将商保留到整数部分，求出至少需要多少个这样的油瓶。 【详解】40÷8.5≈4（本） 10÷0.75≈14（个） 所以，40元最多可以买4本；装10千克油至少需要14个这样的油瓶。 15．磁县华龙商场小米每千克6.4元，买8千克小米用( )元，19.2元能买( )千克小米。 【答案】 51.2 3 【分析】单价×数量＝总价，据此用6.4乘8，即可求出买8千克小米用多少元；总价÷单价＝数量，据此用19.2除以6.4，即可求出19.2元能买多少千克小米。 【详解】6.4×8＝51.2（元），买8千克小米用51.2元； 19.2÷6.4＝3（千克），19.2元能买3千克小米。 16．一块布料有10.4米，每套衣服用布1.6米，这块布料最多可以做多少套衣服？10.4÷1.6＝6.5（套），制作的衣服必须是整套，所以不管尾数是多少，都要( )，这块布料最多可以做( )套衣服。 【答案】 舍去 6 【分析】由题意可知，做衣服时，剩下的布料无法再做一套衣服，所以不管尾数是多少，都要舍去，只能保留整数部分，据此解答即可。 【详解】一块布料有10.4米，每套衣服用布1.6米，这块布料最多可以做多少套衣服？10.4÷1.6＝6.5（套），制作的衣服必须是整套，所以不管尾数是多少，都要舍去，这块布料最多可以做6套衣服。 三、判断题 17．任意两个数（0除外）的积都比它们的商大。( ) 【答案】× 【分析】运用举例的方法进行验证解答。如举例计算4×2与4÷2，1×1与1÷1，6×0.5与6÷0.5；据此解答。 【详解】4×2＝8，4÷2＝2，8＞2； 1×1＝1，1÷1＝1，1＝1； 6×0.5＝3，6÷0.5＝12，3＜12； 所以，任意两个数（0除外）的积不一定比它们的商大。原说法错误。 故答案为：× 18．7.2除以一个小数，所得的商一定小于7.2。( ) 【答案】× 【分析】一个数（0除外）除以一个大于1的数，商比原来的数小。一个数（0除外）除以一个小于1的数（不为0），商比原来的数大。据此，结合举例子的方式，判断题干正误。 【详解】7.2÷0.1＝72，72＞7.2 7.2÷1.5＝4.8，4.8＜7.2 所以，7.2除以一个小数，所得的商不一定小于7.2。 故答案为：× 19．2.8÷0.9的商是3，余数是0.1。( ) 【答案】√ 【分析】根据被除数＝商×除数＋余数，直接计算并验证即可。 【详解】3×0.9＋0.1 ＝2.7＋0.1 ＝2.8 2.8÷0.9的商是3，余数是0.1，说法正确。 故答案为：√ 20．一个不为0的数除以大于1的数，商应该小于被除数。( ) 【答案】√ 【分析】根据被除数和商的关系：当除数大于1，商小于被除数，据此可得出答案。 【详解】一个不为0的数除以大于1的数，商应该小于被除数。如：，除数，商。原题说法正确。 故答案为：√ 21．小强的妈妈要将2.5kg香油分装在一些相同的玻璃瓶里带走，每个玻璃瓶最多可盛0.45kg香油，至少需要5个玻璃瓶。( ) 【答案】× 【分析】要求装2.5千克香油需要这样的瓶子多少个，根据题意，也就是求2.5里面有多少个0.45，根据除法的意义用除法解答即可，其结果要根据实际情况运用进一法保留整数。 【详解】2.5÷0.45≈6（个） 则至少需要6个玻璃瓶。故原题干说法错误。 【点睛】此题属于有余数的除法应用题，要注意联系生活实际，用进一法进行解答。 22．两位小数除以两位小数，商一定小于被除数。( ) 【答案】× 【分析】一个数（0除外）除以一个大于1的数，结果比原来的数小；一个数（0除外）除以一个小于1的数，结果比原来的数大。据此判断即可。 【详解】由分析可知： 如0.68÷0.01＞0.68，所以原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查小数除法，明确小数除法的计算方法是解题的关键。 四、计算题 23．口算。 2.1＋0.7＝          1.25×0.8＝         7.4－4＝           3.5÷10＝         8.3－4.7＝ 2.3×0.2＝          0.56÷0.8＝         3.2＋0.8＝         5.4－2.4＝         5.4÷0.18＝ 【答案】2.8；1；3.4；0.35；3.6 0.46；0.7；4；3；30 【解析】略 24．列竖式计算。                            【答案】0.35；0.12；4； 1.1；19；10.5； 10.2；0.9；5.6 【分析】除数是小数的小数除法法则：移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用“0”补足）；再按照“除数是整数的小数除法”的法则进行计算。 【详解】                                                                                                                             五、解答题 25．甜心蛋糕房特制一种生日蛋糕，做1个这样的生日蛋糕大约需要0.32千克的面粉。王师傅准备了5千克的面粉，最多能做多少个这样的生日蛋糕？ 【答案】15个 【分析】用5千克除以每个蛋糕需要的0.32千克面粉，商的小数部分代表不够做一个蛋糕，则采用“去尾法”，商保留到整数部分，求出她最多能做多少个这样的生日蛋糕。 【详解】5÷0.32≈15（个） 答：最多能做15个这样的生日蛋糕。 26．茸茸准备用面积是0.0225平方米的方砖铺地，已知待装修的卧室的面积是14.56平方米，茸茸至少要买多少块方砖？ 【答案】648块 【分析】根据题意，利用卧室的面积除以每块方砖的面积即可，注意块数要采用进一法解答。 【详解】14.56÷0.0225≈648（块） 答：茸茸至少要买648块方砖。 【点睛】本题考查了小数除法的应用，注意结果要采用进一法取得。 27．小玲带了50元钱去买文具，她花了6.9元买了3支笔，剩下的钱准备买笔记本，每本笔记本5.6元，小玲还可以买几本笔记本？ 【答案】7本 【分析】将50元减去6.9元，求出剩下的钱。将剩下的钱除以笔记本的单价，利用去尾法将商保留到整数部分，求出能购买的笔记本数量。 【详解】（50－6.9）÷5.6 ＝43.1÷5.6 ≈7（本） 答：小玲还可以买7本笔记本。 【点睛】本题考查了经济问题，明确“数量＝总价÷单价”是解题关键。 28．红星玩具厂制作一组冬奥吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”的布偶需用布1.4米，改进裁剪方法后，每套节约用布0.2米，原来做240套布偶用的布，现在可做多少套？ 【答案】280套 【分析】已知原来做一套布偶需用布1.4米，可做240套，用乘法求出布的总长度；又已知现在每套节约用布0.2米，则现在做一套布偶需用布（1.4－0.2）米；用布的总长度除以现在做一套布偶用布的长度，即可求出现在可做布偶的套数。 【详解】布的总长度：1.4×240＝336（米） 现在每套需用布：1.4－0.2＝1.2（米） 现在可做：336÷1.2＝280（套） 答：现在可做280套。 【点睛】本题考查小数乘除法的应用，求出布的总长度和现在做一套布偶用布的长度是解题的关键。 29．有两袋大米，甲袋的质量是乙袋的2.4倍，如果再往乙袋里装28kg，两袋就一样重了。原来两袋大米各有多少千克？ 【答案】乙袋：20kg；甲袋：48kg 【分析】把乙袋装的质量看作1，则甲袋质量就是2.4，乙袋比甲袋少2.4－1倍，再用数量差28除以倍数差2.4－1得乙袋的质量；再乘2.4即可得出甲袋的质量。 【详解】乙袋：28÷（2.4－1） ＝28÷1.4 ＝20（kg） 甲袋：20×2.4＝48（kg） 答：原来甲袋48千克，乙袋20千克。 【点睛】此题考查的是差倍问题，掌握数量差÷倍数差＝1倍数是解题关键。 30．2020年12月30日，盐城至南通铁路正式开通运营，此段路程全长约159千米，0.53小时可以行驶完成此段路程，盐通铁路的运营速度是多少千米/时？ 【答案】300千米/时 【分析】根据速度＝路程÷时间，代入数据计算即可。 【详解】159÷0.53＝300（千米/时） 答：盐通铁路的运营速度是300千米/时。 【点睛】本题主要考查简单的行程问题，明确速度＝路程÷时间是解题的关键。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 一个数除以小数（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 一个数除以小数的意义 小数除法与整数除法的意义完全一致，是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，也是小数乘法的逆运算。 包含除意义：求一个数里包含多少个另一个数。例：一根绳子长 7.2 米，每 0.8 米剪一段，可以剪几段，列式为。 平均分意义：把一个数平均分成若干份，求每份是多少。例：把 3.6 千克糖平均分成 0.4 千克一份，对应除法运算。 倍数意义：已知一个数的几倍是多少，求这个数。例：已知一个数的 0.5 倍是 3.6，求这个数，列式为。 2. 核心数学思想与概念 转化思想：本单元核心数学方法，将 “除数是小数的除法” 转化为已学的 “除数是整数的除法”，化未知为已知。 被除数、除数、商：除法运算中，被平均分的数叫被除数，平均分的份数 / 每份大小叫除数，运算结果叫商。 余数：除不尽时剩余的数，有余数的小数除法中，余数的小数点需与原被除数的小数点对齐，而非移动后的被除数。 除尽与除不尽：商是有限小数为除尽，商是无限小数（循环小数）为除不尽。 二、核心计算法则与算理推导 1. 通用计算法则 计算一个数除以小数，遵循 “一看二移三算四验” 的四步标准流程： 看：观察除数有几位小数； 移：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同位数，使除数变为整数；被除数位数不够时，在末尾用 0 补足； 算：按照除数是整数的小数除法法则计算，商的小数点要和移动后的被除数小数点对齐；除到被除数末尾仍有余数时，添 0 继续除； 验：用 “商 × 除数 = 被除数” 验算结果是否正确。 特殊规则：被除数整数部分不够除时，商 0，点上小数点继续除；商的某一位不够商 1 时，必须商 0 占位。 例：，除数有 2 位小数，被除数同步扩大 100 倍变为 1200，转化为计算。 2. 算理推导（商不变规律） 小数除法的算理核心是商不变规律：被除数和除数同时乘或除以同一个不为 0 的数，商不变。 推导逻辑：将除数扩大到原来的 10 倍、100 倍…… 转化为整数，为保证商不变，被除数必须同步扩大相同倍数。 示例推导：计算 除数 0.85 扩大 100 倍→85，被除数 7.65 同步扩大 100 倍→765； 转化为整数除法：； 根据商不变规律，原式的商也为 9。 3. 验算方法 方法一：商 × 除数 = 被除数（最常用，利用乘除互逆关系）； 方法二：被除数 ÷ 商 = 除数； 方法三：利用商与被除数的大小关系做估算检验，快速排查明显错误。 三、商的变化规律与大小比较 1. 商不变规律（核心基础） 被除数和除数同时乘或除以同一个不为 0 的数，商不变。 奥数应用：简便计算、错中求解、规律探究题的核心依据。 2. 商的单向变化规律 除数不变，被除数扩大（或缩小）n 倍，商也随之扩大（或缩小）n 倍； 被除数不变，除数扩大（或缩小）n 倍，商反而缩小（或扩大）n 倍； 被除数扩大 a 倍，除数扩大 b 倍，商的变化为倍（a>b 时商扩大，b>a 时商缩小）。 3. 商与被除数的大小关系（无需计算直接比较） 一个数（0 除外）除以另一个数时，存在固定大小规律： 除数 大于 1 → 商 < 被除数 除数 小于 1 → 商 > 被除数 除数 等于 1 → 商 = 被除数 奥数应用：快速比较算式大小、判断计算正误、估算取值范围。 例：比较和，因为 0.9<1，所以。 4. 小数点移动对商的影响 除数小数点右移 n 位（扩大 10ⁿ倍），被除数不变 → 商的小数点左移 n 位（缩小 10ⁿ倍）； 被除数小数点右移 n 位（扩大 10ⁿ倍），除数不变 → 商的小数点右移 n 位（扩大 10ⁿ倍）。 四、商的近似数 1. 求商的近似数的基本方法 通常使用四舍五入法，标准步骤： 明确题目要求保留的小数位数； 计算时，除到比需要保留的位数多一位即可，无需除尽； 观察多除出的那一位数字，≥5 向前一位进 1，<5 直接舍去。 2. 核心注意事项 求商的近似数无需算出完整商，只需除到保留位数的下一位，提升计算效率； 近似数末尾的 0不能随意去掉，它代表计算精确度。例：保留两位小数结果是，不能写成，前者精确到百分位，后者精确到个位； 求近似数时必须用 “≈” 连接，不能使用 “=”。 3. 实际问题中的取整方法（奥数拓展） 进一法：不管尾数是多少，都向前一位进 1。适用于装油、租车、运货等必须保证 “全部装下 / 运完” 的场景。 例：每个油桶最多装 4.5kg 油，装 10kg 油需要几个油桶？，进一法得 3 个。 去尾法：不管尾数是多少，都直接舍去。适用于做衣服、裁布料、买商品等 “不够完整一份就舍弃” 的场景。 例：做一套衣服用布 2.2m，20m 布最多可以做几套？，去尾法得 9 套。 五、小数除法运算性质与简便计算 整数除法的运算性质对小数除法完全适用，是奥数简便计算的核心工具。 1. 核心运算性质 性质名称 字母表示 核心应用场景 连除性质 连除算式中，除数相乘可凑整，简化计算 连除性质逆用 除以两个数的积，转化为连续相除 商不变性质 除数凑整，转化为 1、10、100 等整数 除法分配律（被除数拆分） 被除数拆成和 / 差，分别相除再加减 易错提醒：除法没有 “除数分配律”， 不能拆分为 ，属于高频错误。 2. 奥数常用简便计算技巧 （1）除数凑整法 利用商不变规律，将除数转化为 1、10、100 等整数，常见凑整组合： 除数是 0.25 → 被除数、除数同时 ×4，除数变 1； 除数是 0.125 → 被除数、除数同时 ×8，除数变 1； 除数是 0.5 → 被除数、除数同时 ×2，除数变 1。 例： （2）连除凑整法 利用连除性质，将能凑成整数的除数先相乘，再用被除数除以它们的积。 例： （3）被除数拆分法 把被除数拆成两个便于计算的数的和或差，利用除法分配律分别相除后再加减。 例： （4）扩缩抵消法 对于复杂小数连除、乘除混合运算，通过同步扩倍 / 缩倍构造相同因数，实现抵消简化计算。 六、奥数常见题型及解题策略 （一）基础计算类 竖式计算一个数除以小数 解题要点：先移小数点转化为整数除法，商的小数点与移动后的被除数对齐；不够商 1 时商 0 占位，末尾有余数添 0 继续除。 易错提醒：被除数位数不够时末尾补 0，不能漏补；商中间的 0 不能省略。 根据已知算式写商 题型特征：已知一道除法算式的商，根据商不变规律直接写出相关小数除法的结果。 解题策略：观察被除数和除数的小数点移动位数，判断商是否变化。 例：已知，则，，。 商的小数位数判断 解题策略：先转化为除数是整数的除法，商的小数位数通常与被除数移动后的小数位数一致；注意末位相除为 0 时，小数位数会减少。 （二）错中求解问题（奥数经典题型） 题型特征：计算时看错除数 / 被除数的小数点、看错数字，得到错误的商，求正确的商或原数。 解题策略：抓住不变量，根据小数点移动引起的商的变化规律倒推还原。 例：小明计算小数除法时，把除数 0.5 的小数点漏看了，算得商是 3.6，求正确的商。 解析：漏看 0.5 的小数点，除数扩大 10 倍，被除数不变，商缩小 10 倍；正确的商 = 。 （三）规律探究与周期问题 算式大小比较 解题策略：利用商与被除数的大小关系、商的变化规律快速判断，避免繁琐计算。 循环小数周期问题 题型特征：一个数除以小数得到循环商，求商的第 n 位数字、前 n 位数字和。 解题策略：先计算出循环节，确定周期长度，再用周期问题公式求解。 （四）实际应用类 基础数量关系问题 覆盖场景：购物（单价 = 总价 ÷ 数量）、行程（速度 = 路程 ÷ 时间）、工程（效率 = 总量 ÷ 时间）、平均数问题。 解题策略：找准对应数量关系，统一单位后列式，根据实际需求取近似数。 归一归总问题 归一问题：先求单一量（如每小时工作量、每千克单价），再用总量 ÷ 单一量求份数； 归总问题：先求出总数量，再按新的单一量计算对应份数。 奥数拓展：双归一问题，需两次求解单一量。 （五）拓展提升类 定义新运算 题型特征：规定新运算符号与规则，代入小数除法计算。 解题策略：严格按定义转化为常规四则运算，注意运算顺序。 例：规定，求的值。 解析： 和差倍问题 将小数除法与和倍、差倍问题结合，已知两数的和 / 差及倍数关系，通过除法求 1 倍量。 核心公式：和 ÷(倍数 + 1)=1 倍量，差 ÷(倍数 - 1)=1 倍量。 复杂巧算：分组与抵消 针对多个乘除混合运算的题型，通过分组、构造相同除数、利用商不变规律实现抵消，简化复杂计算。 七、易错点与注意事项 小数点移动不同步：只移动除数的小数点，忘记同步移动被除数的小数点，或二者移动位数不一致。 被除数补 0 遗漏：被除数位数不够时，忘记在末尾补 0，导致计算位数不足出错。 商的小数点错位：商的小数点未对齐移动后的被除数，仍对齐原被除数的小数点。 商中间漏商 0：除到某一位不够商 1 时，没有用 0 占位，导致商的位数减少、结果偏大。 除法分配律误用：错误拆分除数，将拆分为，违背运算规则。 余数处理错误：有余数的除法中，误将移动后的余数当作最终余数，余数需对应原被除数的小数点。 取整方法混淆：实际问题中误用进一法和去尾法，导致结果不符合现实场景。 近似数精确度问题：随意去掉近似数末尾的 0，或除的位数不足就进行四舍五入。 单位不统一：应用题中单位不一致，未换算直接计算，导致结果数量级偏差。 培优练习 一、选择题 1．下面的算式中，商大于被除数的是（    ）。 A．5.6÷7 B．125÷0.5 C．0.8÷4 D．3.2÷8 2．“智能大脑”能在0.2秒内计算出300件不同货物各自的分装路线，同样的工作，过去平均每件货物需要每名工人用时3秒，“智能大脑”的工作效率相当于（    ）名工人。 A．300 B．900 C．1500 D．4500 3．根据2026年6月20日的汇率数据，1新加坡元约等于5.2466元人民币。妈妈准备去新加坡旅游，手里有10000元人民币，按照当日汇率计算，妈妈能兑换多少新加坡元？下面列式正确的是（    ）。 A．10000×5.2466 B．10000÷5.2466 C．5.2466÷10000 D．10000＋5.2466 4．王阿姨买了14个脐橙，共2.1千克，估算一下，如果买13千克这样的脐橙，有（    ）脐橙。 A．200个以上 B．80多个 C．不到50个 D．30个左右 5．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，制作原料为紫砂泥。马师傅做一个紫砂壶需要0.45千克紫砂泥，现有3.5千克紫砂泥，最多可以做（    ）个这样的紫砂壶。 A．7 B．8 C．9 D．6 6．小珍妈妈趁超市活动买了一袋20千克的大米，回家将大米装入一样的玻璃容器中，每个玻璃容器最多可以装3.6千克大米，装完这些大米至少需要（    ）个这种玻璃容器。 A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 7．两个因数的积是2.64，其中一个因数是1.2，另一个因数是( )。 8．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.5×0.9( )3.5        4.6÷0.02( )4.6÷0.2         3.2÷1.01( )3.2        0.58÷0.99( )0.58 9．张师傅制作蛋糕，每个需要0.47千克面粉，张师傅领了6千克面粉，他最多可以制作( )个蛋糕。 10．“奶奶买了31.2元的鸡蛋，每个1.3元。”根据题意：竖式中箭头所指的“26”表示( )个鸡蛋的价钱，“52”表示52个( )元。 11．加工一个黑芝麻元宵要用1.4g芝麻，700g芝麻可以加工________个元宵。把这些元宵都装到袋子里，每15个装一袋，至少需要________个袋子。 12．长4.88米的木料锯成0.06米长的小段，可以锯( )段，余( )米。 13．做一个布娃娃需要用布0.6m，13m布最多可以做( )个这样的布娃娃。 14．买一本笔记本需要8.5元，40元最多可以买( )本。若每个油瓶最多可装0.75千克油，装10千克油至少需要( )个这样的油瓶。 15．磁县华龙商场小米每千克6.4元，买8千克小米用( )元，19.2元能买( )千克小米。 16．一块布料有10.4米，每套衣服用布1.6米，这块布料最多可以做多少套衣服？10.4÷1.6＝6.5（套），制作的衣服必须是整套，所以不管尾数是多少，都要( )，这块布料最多可以做( )套衣服。 三、判断题 17．任意两个数（0除外）的积都比它们的商大。( ) 18．7.2除以一个小数，所得的商一定小于7.2。( ) 19．2.8÷0.9的商是3，余数是0.1。( ) 20．一个不为0的数除以大于1的数，商应该小于被除数。( ) 21．小强的妈妈要将2.5kg香油分装在一些相同的玻璃瓶里带走，每个玻璃瓶最多可盛0.45kg香油，至少需要5个玻璃瓶。( ) 22．两位小数除以两位小数，商一定小于被除数。( ) 四、计算题 23．口算。 2.1＋0.7＝          1.25×0.8＝         7.4－4＝           3.5÷10＝         8.3－4.7＝ 2.3×0.2＝          0.56÷0.8＝         3.2＋0.8＝         5.4－2.4＝         5.4÷0.18＝ 24．列竖式计算。                            五、解答题 25．甜心蛋糕房特制一种生日蛋糕，做1个这样的生日蛋糕大约需要0.32千克的面粉。王师傅准备了5千克的面粉，最多能做多少个这样的生日蛋糕？ 26．茸茸准备用面积是0.0225平方米的方砖铺地，已知待装修的卧室的面积是14.56平方米，茸茸至少要买多少块方砖？ 27．小玲带了50元钱去买文具，她花了6.9元买了3支笔，剩下的钱准备买笔记本，每本笔记本5.6元，小玲还可以买几本笔记本？ 28．红星玩具厂制作一组冬奥吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”的布偶需用布1.4米，改进裁剪方法后，每套节约用布0.2米，原来做240套布偶用的布，现在可做多少套？ 29．有两袋大米，甲袋的质量是乙袋的2.4倍，如果再往乙袋里装28kg，两袋就一样重了。原来两袋大米各有多少千克？ 30．2020年12月30日，盐城至南通铁路正式开通运营，此段路程全长约159千米，0.53小时可以行驶完成此段路程，盐通铁路的运营速度是多少千米/时？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $