第二单元 混合运算和数量关系（三）（综合题型）奥数思维训练-2026-2027学年苏教版数学六年级上册(新教材)

**基本信息** 聚焦六年级混合运算与数量关系，构建“概念-法则-模型-技巧”四维方法体系，渗透转化、量率对应等数学思想，实现从基础运算到奥数应用的系统突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|5大核心思想、7个基础概念|转化、量率对应、建模等思想|从定义延伸至数学思想，构建运算体系逻辑| |计算法则|6类运算规则、3类验算方法|统一乘法、带符号搬家等技巧|整数运算规则迁移至小数分数，形成完整运算链| |运算定律|8大通用定律、11项专项技巧|裂项相消、提取公因数等|从通用定律到小数分数专项技巧，分层递进| |数量关系模型|7类核心模型|画线段图、单位“1”转化等|连乘连除→行程工程→分率应用，由简到繁构建模型网络| |奥数题型|6类典型题型|逆推法、假设法等|基础计算→错中求解→方案优化，梯度提升解题能力|

第二单元 混合运算和数量关系（三）（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 四则混合运算的定义与单元定位 小数、分数四则混合运算是指同时包含加、减、乘、除中两种及以上运算，或带有括号的小数、分数复合运算，是整数四则混合运算规则的延伸，也是单一小数、分数运算的综合升级。 教材定位：本单元是六年级上册 “数量关系” 系列的第三阶段，在掌握单一小数乘除、分数乘除的基础上，拓展至多步复合运算与复杂实际问题，完成整数→小数→分数运算体系的完整闭环。 应用价值：对应生活中多步骤的实际场景（如购物优惠、行程规划、工程测算、分率分配），是将数学计算落地到复杂实际问题的核心工具。 2. 核心数学思想 转化思想：将小数混合运算通过扩倍转化为整数运算，将分数除法转化为分数乘法，将复杂数量关系拆解为多个基础数量关系，化繁为简、化未知为已知。 量率对应思想：解决分率、倍比类问题的核心，精准匹配具体数量与对应分率 / 倍数，是分数应用题的底层逻辑。 建模思想：将同类实际问题抽象为固定的数量关系模型（如相遇模型、工程模型），实现 “解一道会一类” 的高效解题。 逆推思想：从结果反向推导初始条件，是还原类、错中求解类题型的核心思路。 凑整思想：通过运算定律调整运算顺序，将零散的数凑成整数、整十整百数，简化计算过程，是简便运算的核心思路。 3. 核心基础概念 一级运算：加法和减法，属于运算优先级最低的同级运算。 二级运算：乘法和除法，运算优先级高于一级运算。 单位 “1”：作为比较标准的基准量，是倍比、分率问题的参照整体，分数应用题的核心基准。 对应量：与分率、倍数一一对应的具体数值，量率对应是解分数应用题的关键。 数量关系式：用运算符号连接不同数量、表达等量关系的等式，是列综合算式、分析应用题的核心依据。 分率：表示部分占整体的几分之几，不带单位，区别于具体的数量。 倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数，分数除法计算的核心桥梁。 二、核心计算法则与运算规范 1. 通用运算顺序规则 小数、分数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算完全一致，遵循统一原则： 同级运算（只有加减或只有乘除）：从左往右依次计算； 两级运算（同时有加减和乘除）：先算乘除法，后算加减法； 含括号运算：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的；有多层括号时，从最内层向外逐层计算。 2. 小数四则混合运算要点 加减运算：相同数位对齐（小数点对齐），从低位算起，满十进一、退一当十； 乘法运算：末位对齐，先按整数乘法算出积，再根据因数总小数位数点小数点； 除法运算：除数是小数时，先利用商不变规律转化为除数是整数的除法，商的小数点与移动后的被除数对齐； 混合运算中，每一步计算都要保证数位、小数点位置正确，中间步骤的小数末尾 0 可暂不去除，最终结果再化简。 3. 分数四则混合运算要点 加减运算：同分母分数分母不变、分子相加减；异分母分数先通分转化为同分母，再计算，结果化为最简分数。 乘法运算：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母；计算前优先交叉约分，减少计算量。 除法运算：所有除法统一转化为 “乘除数的倒数”，再按分数乘法规则计算；注意除数不能为 0。 带分数运算：加减运算可拆分为整数部分和分数部分分别计算；乘除运算需先化为假分数再计算。 混合运算中，乘除步骤优先约分，加减步骤最后通分，避免大数运算。 4. 小数与分数混合运算策略 根据数字特征灵活选择计算形式，提升计算效率与准确率： 优先化分数：当小数为 0.25、0.125、0.375、0.625 等特殊值，或运算为乘除时，小数化分数后可直接约分，计算更简便。 优先化小数：当分数的分母仅含质因数 2、5、可化为有限小数，且运算为简单加减时，可统一为小数计算。 强制化分数：加减运算中，若分数不能化为有限小数，必须统一为分数形式计算，禁止取近似值；乘除运算优先统一为分数约分。 5. 乘除混合运算核心技巧 小数、分数乘除混合运算可通过规则转化简化计算，避免分步计算的误差与繁琐： 统一乘法：所有除法转化为 “乘除数的倒数”，将算式统一为连乘形式，一次性约分后计算最终结果。 带符号搬家：同级运算中，数字可以连同它前面的运算符号一起移动位置，计算结果不变；常用于调整顺序凑整。 例： 例： 去 / 添括号法则：括号前是乘号，去添括号后内部符号不变；括号前是除号，去添括号后内部乘除符号互变。 6. 验算方法 方法一：按正确运算顺序重新计算，对比两次结果是否一致； 方法二：逆运算验算，利用加减互逆、乘除互逆，从最终结果倒推初始数值； 方法三：估算检验，通过凑整估算结果的大致范围，快速排查数量级、小数点类明显错误。 三、运算定律与简便计算体系 整数的所有运算定律、运算性质对小数和分数完全适用，是奥数简便计算的核心工具。 1. 通用运算定律与性质（全类型通用） 类别 名称 字母表示 核心应用场景 加法类 加法交换律 调整加数位置，凑整计算 加法结合律 两两结合，凑出整数简化计算 乘法类 乘法交换律 交换因数位置，优先凑整 / 约分 乘法结合律 两两结合，凑整或交叉约分 乘法分配律 拆数凑整、提取公因数，应用最广 减法性质 连减性质 减数相加可凑整时，合并后再减 除法性质 连除性质 除数相乘可凑整时，合并后再除 商不变性质 商不变规律 除数凑整，转化为整数 / 1 括号规则 去 / 添括号法则 括号前是 +、×，符号不变；括号前是 -、÷，符号全变 调整运算顺序，构造凑整条件 易错提醒：除法没有 “除数分配律”， 不能拆分为 ，小数、分数运算中均适用该规则。 2. 小数专项简便计算技巧 （1）凑整拆分法 将接近整数的数拆成 “整数 + 小数” 或 “整数 - 小数”，利用乘法分配律简化计算。 例： （2）提取公因数（乘法分配律逆用） 基础型：直接提取相同公因数，剩余部分合并计算。 变形型：利用积不变规律构造相同公因数，再提取。 例： （3）连除凑整法 利用连除性质，将能凑成整数的除数先相乘，再用被除数除以它们的积。 例： （4）除数凑整法 利用商不变规律，将除数转化为 1、10、100 等整数，常见组合：0.25 配 4、0.125 配 8、0.5 配 2。 例： （5）扩缩抵消法 通过对部分因数同步扩倍、缩倍，构造相同数值，在乘除运算中实现抵消，简化复杂小数运算。 3. 分数专项简便计算技巧 （1）约分凑整法 计算分数连乘、乘除混合运算时，先观察所有分子与分母的公因数，提前交叉约分消去相同因数，再计算剩余部分，避免大数运算。 例： （2）提取公因数法 基础型：算式各部分含有相同分数因数时，提取公因数后将剩余部分合并，凑整简化。 例： 变形型：利用分数基本性质，通过扩缩分子分母构造相同公因数，再提取计算。 （3）拆分凑整法 带分数拆分：将接近整数的带分数拆成 “整数 + 真分数”，利用乘法分配律拆分计算。 例： 凑整拆分：将接近单位 “1” 的分数拆成的形式，简化乘法计算。 （4）裂项相消法 针对分母为相邻 / 间隔自然数乘积的分数，拆分为两个分数的差或和，加减后中间项相互抵消，大幅简化长算式计算。 核心裂差公式： 拓展裂差公式： 例： （5）繁分数化简 分子或分母中含有四则运算的复杂分数称为繁分数。 基础方法：分子和分母分别按运算顺序计算出结果，再转化为分子除以分母，约分为最简分数。 技巧方法：利用分数的基本性质，分子分母同时乘所有分母的最小公倍数，一次性消去所有分母，转化为整数运算。 （6）分组抵消法 长算式加减混合时，将能凑整、能抵消的分数两两分组，分组后再求和，大幅减少计算量。 4. 小数与分数混合简算技巧 特殊数值优先转化：牢记、、等常用对应关系，乘除运算中直接转化约分。 例： 构造统一公因数：通过小数与分数的互化，将不同形式的数转化为相同形式的公因数，再用乘法分配律简化。 整体约分：乘除混合运算中，将小数统一化为分数后，整体交叉约分，无需分步计算。 四、核心数量关系模型（数量关系三核心） 本单元数量关系聚焦多步复合应用题，覆盖小数、分数两类数值，是小学阶段数量关系体系的高阶部分。 1. 连乘连除与乘除复合模型 连乘问题：连续求一个数的几倍 / 几分之几是多少，多步正向计算总量。 例：每箱有 12 盒牛奶，每盒 2.5 元，买 4 箱一共多少钱；一根绳子长 20 米，第一次剪去，第二次剪去余下的，求第二次剪去的长度。 连除问题：连续归一，从总量反求最小单一量。 例：3 台抽水机 2.5 小时抽水 60 吨，平均每台每小时抽水多少吨。 乘除混合：先归一、再归总，或先求总量、再按新标准分配；解题核心是先判断求单一量还是总量，确定第一步乘除。 2. 归一归总进阶模型 单归一问题：仅含一个变量的归一，先求 1 份的量，再求总量或份数。 双归一问题：含两个变量（如 “每人每天”“每台每小时”），需连续两次除法求出单一量。 归总问题：先求出不变的总数量，再按新的单一量计算对应份数；奥数常考隐藏总量不变的题型，需先挖掘不变量。 3. 平均数进阶模型 加权平均数：不同权重的数值求平均，总数量 ÷ 总份数 = 加权平均数，常与分数占比结合考查。 移多补少法：利用 “多出的总量 = 缺少的总量”，不计算总数量直接求解平均数问题。 平均数反推：已知平均数和部分数值，反求某一个未知量；常结合错中求解考查。 4. 行程问题进阶模型 相遇问题：路程和 = 速度和 × 相遇时间；相遇时间 = 路程和 ÷ 速度和。 追及问题：路程差 = 速度差 × 追及时间；追及时间 = 路程差 ÷ 速度差。 流水行船初步：顺水速度 = 船速 + 水速；逆水速度 = 船速 - 水速。 解题核心：画线段图辅助分析，拆分运动过程，分段套用公式；速度、时间、路程单位必须统一。 5. 工程问题初步模型 核心公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间 合作问题：工作效率和 × 合作时间 = 工作总量 常用技巧：将总工作量看作单位 “1”，用分率表示工作效率，转化为分数运算求解；常考中途休息、交替工作等变式。 6. 分段计费进阶模型 正向计费：已知总用量求总费用，划分区间后分别计算各段费用再求和。 反向计费：已知总费用反求总用量，先判断费用所在区间，算出超出部分的用量，再加基础区间用量。 常见场景：阶梯水费、电费、话费、出租车费、个人所得税等，数值多为小数。 7. 和差倍与分率应用题模型 和倍问题：和 ÷ (倍数 + 1) = 1 倍量；分数版中，和 ÷ 对应分率和 = 单位 “1” 的量。 差倍问题：差 ÷ (倍数 - 1) = 1 倍量；分数版中，差 ÷ 对应分率差 = 单位 “1” 的量。 和差问题：(和 + 差) ÷ 2 = 大数；(和 - 差) ÷ 2 = 小数。 量率对应问题：已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用对应量 ÷ 对应分率 = 单位 “1” 的量，是分数应用题的核心模型。 奥数拓展：暗差、暗和问题，需先通过条件计算出隐藏的和、差或对应分率。 五、奥数常见题型及解题策略 （一）基础计算类 脱式计算四则混合运算 解题要点：先标记运算级别和顺序，按规则逐步计算；能简便的优先用简便方法；分数结果必须化为最简。 易错提醒：禁止随意跳步，括号内的运算必须先完成；分数除法必须先转乘法再计算。 按要求添加括号改变运算顺序 题型特征：给出不带括号的算式，指定运算顺序，要求添加括号。 解题策略：根据括号提升运算优先级的规则，需要先算的部分用括号包裹；注意中括号与小括号的嵌套规则。 文字列式计算 题型特征：用文字描述运算关系，列综合算式并计算。 解题策略：抓住 “和、差、积、商、除、除以、的几分之几” 等关键词，确定运算顺序；需要改变优先级时主动添加括号。 繁分数化简计算 解题策略：多层繁分数从最内层开始计算，逐层向外；也可整体扩倍消去分母，转化为整数运算。 （二）简便计算类 直接运用运算定律：识别算式特征，直接套用交换律、结合律、分配律。 构造公因数计算：通过积不变规律、分数基本性质统一公因数，再用乘法分配律逆运算简化。 分组抵消计算：长算式中通过分组、带符号搬家，实现凑整或数值抵消。 拆数凑整计算：将接近整十、整百的数或特殊分数拆分，转化为易计算的形式。 裂项相消计算：识别分数分母的乘积特征，套用裂差 / 裂和公式，利用中间项抵消简化。 （三）错中求解问题（奥数经典题型） 题型特征：计算时看错数字、漏看括号、看错运算符号或分子分母，得到错误结果，求正确结果或原数。 解题策略：抓住不变量，从错误的算式中倒推求出原数，再代入正确算式计算。 例：小明计算时，漏看了括号，算成，结果相差多少？ 解析：展开原式得，与错式对比，相差。 （四）规律探究类 算式大小比较 解题策略：利用积 / 商与因数 / 被除数的大小关系、运算定律快速判断，避免繁琐计算；分数可通过通分、交叉相乘比较。 循环与周期问题 题型特征：算式结果存在循环规律，或数列、图形存在周期，求第 n 项、前 n 项和。 解题策略：先找出循环周期，用总数除以周期求余数，根据余数确定对应位置。 （五）实际应用类 方案优化问题 常见场景：购物优惠对比、租车租船方案、购票方案选择。 解题策略：分别计算每种方案的总费用，再比较大小，选择最优方案；常涉及小数、分数的混合计算。 行程综合问题 涵盖相遇、追及、往返、中途休息等复合场景。 解题策略：画线段图辅助分析，拆分运动过程，分段套用公式计算；注意单位统一。 工程合作问题 常见场景：多人合作、中途有人休息 / 加入、交替工作。 解题策略：以工作总量为单位 “1”，先算各自效率，再根据合作方式计算时间；常用分数运算。 盈亏问题 题型特征：将物品按两种标准分配，一次有余（盈）、一次不足（亏），求份数和总量。 核心公式：总差额 ÷ 每份差额 = 份数。 分数分率应用题 题型特征：涉及 “几分之几”“占比”“比多比少” 的分数应用题。 解题策略：先找准单位 “1”，已知单位 “1” 用乘法，求单位 “1” 用除法；量率对应是核心。 （六）拓展提升类 定义新运算 题型特征：规定新的运算符号与规则，代入小数、分数进行四则混合运算。 解题策略：严格按照定义转化为常规四则运算，注意运算顺序和括号。 还原问题（倒推法） 题型特征：已知最终结果和运算过程，求初始数值。 解题策略：从结果出发，逆用运算规则（加变减、乘变除），从后往前逐步倒推；可借助流程图梳理过程。 假设法解题 典型题型：鸡兔同笼类问题、对错题得分问题。 解题策略：假设全是同一种量，计算出理论值与实际值的差，再通过差值调整求出另一种量的数量。 转化法解复杂应用题 题型特征：数量关系隐蔽、直接列式困难的复合应用题。 解题策略：通过转化单位 “1”、统一分率标准、将分数转化为比等方式，将复杂问题转化为基础模型求解。 六、易错点与注意事项 计算类易错点 运算顺序混淆：两级运算时先算加减后算乘除，或同级运算不按从左到右顺序，导致结果错误。 括号处理失误：去括号、添括号时，括号前是减号或除号，忘记改变括号内的运算符号。 运算定律误用：错误使用 “除法分配律” 拆分除数；混淆乘法结合律与分配律。 小数计算错误：小数点位置点错、末尾 0 化简过早、除法补 0 遗漏、商中间漏商 0。 分数计算错误：异分母加减忘记通分、分数除法直接分子分母分别相除、结果未约分为最简分数、带分数乘除未化假分数。 混合形式错误：小数分数混合运算时，形式不统一就盲目计算，或错误将不能化有限小数的分数取近似值。 跳步漏算错误：多步混合运算中随意跳步，遗漏中间步骤，导致计算偏差。 应用类易错点 单位 “1” 判断错误：分数应用题中找错基准量，导致乘除法用反，量率不对应。 分率与数量混淆：将带单位的具体数量和不带单位的分率混淆，错误直接相加减。 单位不统一：行程、工程等应用题中，单位不一致未换算直接计算，出现数量级错误。 取整方法误用：实际问题中混淆进一法和去尾法，导致结果不符合现实场景。 答非所问：审题不仔细，计算的量与题目所求不一致，遗漏最终问题的转化步骤。 分段区间划分错误：分段计费问题中忘记扣除基础区间，或对 “不足按整算” 的规则使用错误。 近似值使用不当：计算过程中过早取近似值，导致最终结果误差过大。 培优练习 一、选择题 1．一种商品，先按原价提高，再降价，最后的价钱与原价相比，（    ）。 A．等于原价 B．高于原价 C．低于原价 D．无法确定 【答案】C 【分析】把原价看作单位“1”，先按原价提高，即提高后的价钱是原价的（1＋）；再降价，此时把提高后的价钱看作单位“1”，最后的价钱是提高后价钱的（1－），根据分数乘法的意义，用连乘计算出最后的价钱，然后与原价相比较，得出结论。 【详解】设原价为1。 1×（1＋）×（1－） ＝1×× ＝ ＜1 最后的价钱低于原价。 故答案为：C 【点睛】找准单位“1”，求出最后的价钱相当于原价的几分之几是解题的关键。 2．20吨货物，第一天卖出全部的，第二天卖出全部的，两天共卖（    ）吨。 A．4 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】根据题意，第一天卖出全部的，用总吨数×，求出第一天卖出的吨数；第二天卖出全部的，用总吨数×，求出第二天卖出的吨数，再把第一天和第二天卖的吨数相加，即可解答。 【详解】20×＋20× ＝5＋4 ＝9（吨） 故答案选：C 【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少。 3．在里填上（    ），使算式305÷＋305×能用乘法分配律简便计算。 A．1 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，要使算式305÷＋305×□能用乘法分配律简便计算，首先把除法换成乘法，原式化为：305×91＋305×□；根据乘法分配律，原式化为：305×（91＋□）；因为是简便计算，所以91＋□＝100，由此可以计算出□的值，据此解答。 【详解】305÷＋305×□ ＝305×91＋305×□ ＝305×（91＋□） 91＋□＝100 □＝100－91 □＝9 故答案选：B 【点睛】本题考查乘法分配律的应用，根据乘法分配律简便方法进行解答。 4．一根绳子原长1m，小东截去这根绳子的，小明又把它接上m，现在这根绳子长（    ）。 A．m B．m C．m D．m 【答案】D 【分析】将绳子原长看成单位“1”，截去，截去的长度是1×＝米，再接上米，用原长减去用去的长度加上接上的长度求出现在绳子长度即可。 【详解】1－1×＋ ＝1－＋ ＝1（米） 现在绳子的长度还是1米。 故答案为：D 【点睛】解题时要明确分数带单位表示集体的量，分数不带单位表示整体的几分之几。 5．两根同样长的绳子长度都大于1米，第一根剪去它的，第二根剪去米，剩下的绳子（    ）长。 A．一样长 B．第一根 C．第二根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意，设这两根绳子长4米，则第一根剩下全长的（1－），用4乘（1－）即可求出第一根剩下的长度；用绳子的全长减去米求出第二根剩下的长度。最后进行比较。 【详解】设这两根绳子长4米。 第一根剩下：4×（1－）＝1（米） 第二根剩下：4－＝3（米） 1米＜3米，则第二根剩下的绳子长。 故答案为：C 【点睛】本题是关于分数中“两根”绳子的问题。已知两根绳子的原长度与1的关系，用设数法解答比较简便。要注意区分和“米”的区别。 6．下列算式，与78×9.9得数不相等的是（    ）。 A．78×9＋0.9 B．（10－0.1）×78 C．7.8÷0.1×9.9 D．78×10－7.8 【答案】A 【分析】将原算式利用乘法分配律进行变形，把看作或，或者把看作，逐一分析选项比较作答。 【详解】A．，选项中第二项为，缺少因数，与原算式得数不相等； B．，与原算式得数相等； C．，与原算式得数相等； D．，与原算式得数相等。 二、填空题 7．比25米多是( )米，比25米多米是( )米。 【答案】 【分析】（1）先区分两个的含义：第一个是分率，第二个是具体长度，这是解题的关键；“比25米多”，是多25米的，单位“1”已知，求比已知数多（或少）几分之几的数是多少，用乘法，用25米乘，可求得，用到分数乘法的意义。 （2）“比25米多米”，是多具体的长度，所以直接用25米加上米即可求得结果，用到加法的意义。 【详解】（1） （米） （2）（或）（米） 所以：比25米多是40米，比25米多米是（或）米，还可以是25.6米，（答案不唯一）。 8．比25千克多是( )千克。 【答案】30 【分析】把25千克看作单位“1”，单位“1”已知，求比它多的重量，先用1加求出对应分率，再用25乘这个分率即可解答。 【详解】25×（1＋） ＝25× ＝30（千克） 9．壮壮同学把10×（□＋0.6）错算成了10×□＋0.6，得到的结果与正确答案相差( )。 【答案】 5.4 【分析】根据乘法分配律，正确的算式可以展开为：10×（□＋0.6）＝10×□＋10×0.6＝10×□＋6  错误的计算结果是10×□＋0.6，两个结果里的10×□部分是相同的，相差的部分就是6－0.6＝5.4。 【详解】10×（□＋0.6） ＝10×□＋10×0.6 ＝10×□＋6 10×□＋6－（10×□＋0.6） ＝10×□＋6－10×□－0.6 ＝6－0.6 ＝5.4 壮壮同学把10×（□＋0.6）错算成了10×□＋0.6，得到的结果与正确答案相差5.4。 10．一个长方形的长是6厘米，宽是4厘米，长、宽分别增加它的后，面积是( )平方厘米。 【答案】54 【分析】长、宽分别增加它的，单位“1”分别是原来的长和宽，单位“1”已知，用乘法。新长＝原长×（1＋），新宽＝原宽×（1＋）。长方形面积＝长×宽。用新长乘新宽求出新面积。 【详解】新长：6×（1＋） ＝6× ＝9（厘米） 新宽：4×（1＋） ＝4× ＝6（厘米） 新面积：9×6＝54（平方厘米） 11．买3支圆珠笔和2支铅笔要9.9元，买4支圆珠笔和6支铅笔要17.2元，买1支圆珠笔和1支铅笔共要( )元。 【答案】 3.7 【分析】根据3支圆珠笔和2支铅笔的总价，可以推算出9支圆珠笔和6支铅笔的总价，再结合题干第二个信息4支圆珠笔和6支铅笔的总价，算出5支圆珠笔的总价，进而算出圆珠笔的单价；最后利用3支圆珠笔和2支铅笔的总价及圆珠笔单价，算出铅笔的单价，再算各买1支共多少元。 【详解】3支圆珠笔2支铅笔9.9元 ，所以9支圆珠笔6支铅笔29.7元：①式 4支圆珠笔6支铅笔17.2元：②式 ①②两式铅笔数量相同，相差（支）圆珠笔，价格差是（元） 圆珠笔单价：（元） 铅笔单价： （元） （元），即1支圆珠笔和1支铅笔共3.7元。 12．在端午节活动中，参加包粽子的有45人，参加香囊制作的人数比包粽子的人数多，参加香囊制作的有( )人。 【答案】54 【分析】参加香囊制作的人数比包粽子多，单位“1”是包粽子的人数45人，单位“1”已知，用乘法计算。香囊制作人数＝包粽子人数×（1＋）。 【详解】45×（1＋） ＝45× ＝54（人） 13．甲、乙两人共同运一批大米，甲单独一人24天运完，乙单独一人36天运完，甲乙两人合作( )天可以运完。 【答案】 【分析】分析题目，把这批大米的质量看作单位“1”，先根据工作效率＝工作总量÷工作时间分别计算甲、乙每天可以完成几分之几；再用加法求出他们两人合作1天可以完成几分之几，最后根据工作总量÷工作效率＝工作时间算出合作完成需要的天数。 【详解】1÷24＝ 1÷36＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（天） 甲、乙两人共同运一批大米，甲单独一人24天运完，乙单独一人36天运完，甲乙两人合作天可以运完。 14．八月我市迎来强降雨，某水库开闸泄洪，若只开A泄洪口，4小时完成任务，若只开B泄洪口，6小时完成任务，如果两个泄洪口同时打开，( )小时可以完成任务。 【答案】/2.4 【分析】先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”表示出A口的工作效率和B口的工作效率，再根据“工作时间＝工作总量÷（A口的工作效率＋B口的工作效率）”求出两个泄洪口同时打开需要的时间，据此解答。 【详解】假设工作总量为1。 A口的工作效率：1÷4＝ B口的工作效率：1÷6＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝ 所以，如果两个泄洪口同时打开，小时可以完成任务。 15．学校兴趣小组添置了一些足球和篮球。如果篮球个数不变，把足球个数增加，两种球的总数将达到147个，把篮球个数减少，两种球的总数是115个。学校兴趣小组添置的足球有________个，篮球有________个。 【答案】 76 52 【分析】由题意可知，原足球个数×＋原篮球个数×＝147－115，根据乘法分配律可得（原足球个数＋原篮球个数）×＝147－115。根据分数除法的意义，用（147－115）除以即可求出原来足球、篮球的总个数。原来两球的总个数与147个之差就是增加足球的个数，原来两球的总个数与115个之差就是增加篮球的个数。分别用两种球增加的个数除以即可求出它们各自添置的个数。 【详解】（147－115）÷ ＝32÷ ＝128（个） 147－128＝19（个） 足球：19÷＝76（个） 128－115＝13（个） 篮球：13÷＝52（个） 【点睛】解答此题的关键和难点是：明白147个与115个之差是原来两种球总个数的，然后根据分数除法的意义求出原来两种球的总个数。 16．新开超市1月16日上午营业额是2500元，下午营业额比上午多，下午营业额是_____元。 【答案】3000 【分析】根据题目可知：单位“1”上午营业额，下午营业额比上午多，则下午营业额相当于上午营业额的（1＋），单位“1”已知，用乘法，即2500×（1＋）。 【详解】2500×（1＋） ＝2500× ＝3000（元） 【点睛】本题主要考查了分数乘法应用题，解题的关键是正确找出单位“1”。 三、判断题 17．把一根50米长的绳子先增加后再减少，还是50米。( ) 【答案】× 【分析】将绳子长度看作单位“1”，绳子长度×增加后的对应分率×减少后的对应分率＝现在长度。 【详解】50×（1＋）×（1－） ＝50×× ＝48（米） 故答案为：× 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数乘法的意义。 18．从里面连续减去1000个，结果等于0。( ) 【答案】√ 【分析】根据题干描述，列出算式，计算即可。 【详解】－1000× ＝－ ＝0 故答案为：√ 【点睛】关键是掌握分数乘法的计算方法。 19．一种儿童太阳帽先提价，再降价，现价与原价相等。( ) 【答案】× 【分析】先提价是将原价看作“单位1”，提价后是原价的（1＋）；再降价，是将提价后的价格看成单位“1”，则现价是原价的（1＋）×（1－），再与原价“1”比较即可。 【详解】（1＋）×（1－） ＝× ＝ ＜1，所以现价小于原价。 故答案为：× 【点睛】虽然提价、降价都是，但是提价、降价的单位“1”不同，现价和原价也不相等。 20．甲数比乙数多，乙数比甲数少。( ) 【答案】× 【分析】甲数比乙数多，单位“1”是乙数，甲数则为1＋，乙数比甲数少（1＋－1）÷（1＋） 【详解】（1＋－1）÷（1＋） ＝÷ ＝ 甲数比乙数多，乙数比甲数少，所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】这种类型的题目属于基本的分数乘除的应用，只要找清单位“1”，利用基本数量关系解决问题。 21．笑笑录入一份稿件，录入后还剩700字，这份稿件共有980字。( ) 【答案】× 【分析】把这份稿子的总字数看作单位“1”，那么还剩下（1－），对应的是700字，根据分数除法的意义，用除法解答即可。 【详解】700÷（1－） ＝700÷ ＝2450（字），这份稿件共有2450字，原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题考查了分数四则混合运算，明确已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，先找出700字对应的分率是解题关键。 22．一本故事书125页，小明看了它的，还剩72页没有看。( ) 【答案】× 【分析】将这本故事书的总页数看作单位“1”，小明看了它的，则还剩这本书的1－＝，根据分数乘法的意义，用总页数乘，即可求出还剩多少页没看。 【详解】125×（1－） ＝125× ＝75（页） 即还剩75页没看。 故答案为：× 【点睛】本题考查分数乘法意义的应用，关键是求出剩下这本书的几分之几。 四、计算题 23．脱式计算，能简算的要简算。 0.78×4.8＋0.78×5.2      10.2×4.7 68.7－18.7×2.6        15.74－（5.74＋6.98） 【答案】7.8；47.94；20.08；3.02 【分析】（1）利用乘法分配律：a×c＋b×c＝（a＋b）×c，简化计算； （2）把10.2拆成10＋0.2，运用乘法分配律简便计算； （3）先算乘法，再算减法； （4）利用减法性质：a－（b＋c）＝a－b－c去括号，简化计算。 【详解】0.78×4.8＋0.78×5.2 ＝0.78×（4.8＋5.2） ＝0.78×10 ＝7.8 10.2×4.7 ＝（10＋0.2）×4.7 ＝10×4.7＋0.2×4.7 ＝47＋0.94 ＝47.94 68.7－18.7×2.6 ＝68.7－48.62 ＝20.08 15.74－（5.74＋6.98） ＝15.74－5.74－6.98 ＝10－6.98 ＝3.02 24．计算下面各题，能简算的要简算。 16.8－3.07＋3.2－5.93                                                      【答案】11；7； 5； 【分析】（1）先用带符号搬家规则，再利用加法结合律和减法的性质进行简便计算； （2）先将除法转化为乘法，再按照从左往右的顺序计算； （3）先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律进行简便计算； （4）先算小括号里的加法，再计算中括号里的乘法，最后计算除法，计算除法要先转化为乘法。 【详解】16.8－3.07＋3.2－5.93 ＝16.8＋3.2－3.07－5.93 ＝（16.8＋3.2）－（3.07＋5.93） ＝20－9 ＝11 ＝ ＝ ＝7 ＝ ＝ ＝30＋3－28 ＝5 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 五、解答题 25．一项工程，甲队单独做30天完成，乙队单独做50天完成。两队合作10天后，余下的由甲队单独完成，还需要多少天？ 【答案】14天 【分析】把这项工程看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出甲队的工作效率和乙队的工作效率；再根据工作量＝工作效率×工作时间，用甲队和乙队的工作效率的和×10，求出两队合作10天的工作量；再用工作量－两队合作10天的工作量，求出剩下的工作量，再根据工作时间＝工作量÷工作效率，用剩余工作量÷甲队工作效率，即可解答。 【详解】1÷30＝；1÷50＝ （＋）×10 ＝（＋）×10 ＝×10 ＝ （1－）÷ ＝÷ ＝×30 ＝14（天） 答：还需要14天。 26．某工程队修一条长16.8千米的水渠，计划7天修完。实际施工时，前3天每天修了2.5千米。剩下的路程如果要按原计划天数完工，剩下的几天平均每天要修多少千米？ 【答案】2.325千米 【分析】先求出剩余的工作量和剩余的工作时间。剩余路程等于水渠总长度减去前天已修的路程，剩余天数等于原计划总天数减去已用的天数。最后根据数量关系“工作效率工作总量工作时间”，用剩余路程除以剩余天数即可求出剩下的几天平均每天要修的长度。 【详解】 （千米） 答：剩下的几天平均每天要修千米。 27．修一条路，甲工程队单独修，5天修完全长的；乙工程队单独修，3天修完全长的。照这样计算，如果甲乙两队合修此路，多少天修完这条路的？ 【答案】4天 【分析】把这条路的长度看作单位“1”。根据数量关系“工作效率＝工作总量÷工作时间”分别计算出甲队和乙队每天修这条路几分之几。再根据“工作时间＝工作总量÷工作效率之和”，用需要修的路程分率除以甲、乙两队的工作效率之和，即可求出所需天数。 【详解】甲队的工作效率是： 乙队的工作效率是： （天） 答：4天修完这条路的。 28．一款燃油汽车行驶100千米需消耗汽油8升，一款新能源汽车行驶1千米的电费为0.2元。按每升汽油7.5元计算，从怀远到合肥160千米的路程，新能源汽车比燃油汽车可节省费用多少元？ 【答案】 64 元 【分析】解题思路是先求出燃油汽车行驶160千米的耗油量，再根据汽油单价求出燃油汽车的总费用；接着根据新能源汽车每千米的电费求出行驶160千米的总电费；最后用燃油汽车的总费用减去新能源汽车的总电费，即可求出节省的费用。 【详解】燃油汽车行驶160千米的耗油量： （升） 新能源汽车比燃油汽车可节省的费用： （元） 答：新能源汽车比燃油汽车可节省费用64元。 29．2025年4月23日是第30个世界读书日。读书日的主题是“阅读：通往未来的桥梁”。一本故事书有180页，淘气已经看了这本书的，还剩多少页没有看？ 【答案】60页 【分析】将这本书的总页数看作单位“1”，剩下的页数占总页数的。求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，剩下的页数＝总页数×对应分率。 【详解】 （页） 答：还剩60页没有看。 30．一辆汽车从甲城开往乙城，第一小时行驶了全程的，第二小时行驶了120千米，这时距乙城还有全程的，甲、乙两城相距多少千米？ 【答案】360千米 【分析】第一小时行驶了全程的，第二小时行驶了120千米，这时距乙城还有全程的，根据分数减法的意义，第二小时行驶的120千米占全程的1－－，根据分数除法的意义，用这120千米除以其占全程的分率，即得全程是多少千米。 【详解】120÷（1－－） ＝120÷ ＝360（千米） 答：甲、乙两城相距360千米。 【点睛】首先根据已知条件求出已知数量占全程的分率是完成本题的关键。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 混合运算和数量关系（三）（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 四则混合运算的定义与单元定位 小数、分数四则混合运算是指同时包含加、减、乘、除中两种及以上运算，或带有括号的小数、分数复合运算，是整数四则混合运算规则的延伸，也是单一小数、分数运算的综合升级。 教材定位：本单元是六年级上册 “数量关系” 系列的第三阶段，在掌握单一小数乘除、分数乘除的基础上，拓展至多步复合运算与复杂实际问题，完成整数→小数→分数运算体系的完整闭环。 应用价值：对应生活中多步骤的实际场景（如购物优惠、行程规划、工程测算、分率分配），是将数学计算落地到复杂实际问题的核心工具。 2. 核心数学思想 转化思想：将小数混合运算通过扩倍转化为整数运算，将分数除法转化为分数乘法，将复杂数量关系拆解为多个基础数量关系，化繁为简、化未知为已知。 量率对应思想：解决分率、倍比类问题的核心，精准匹配具体数量与对应分率 / 倍数，是分数应用题的底层逻辑。 建模思想：将同类实际问题抽象为固定的数量关系模型（如相遇模型、工程模型），实现 “解一道会一类” 的高效解题。 逆推思想：从结果反向推导初始条件，是还原类、错中求解类题型的核心思路。 凑整思想：通过运算定律调整运算顺序，将零散的数凑成整数、整十整百数，简化计算过程，是简便运算的核心思路。 3. 核心基础概念 一级运算：加法和减法，属于运算优先级最低的同级运算。 二级运算：乘法和除法，运算优先级高于一级运算。 单位 “1”：作为比较标准的基准量，是倍比、分率问题的参照整体，分数应用题的核心基准。 对应量：与分率、倍数一一对应的具体数值，量率对应是解分数应用题的关键。 数量关系式：用运算符号连接不同数量、表达等量关系的等式，是列综合算式、分析应用题的核心依据。 分率：表示部分占整体的几分之几，不带单位，区别于具体的数量。 倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数，分数除法计算的核心桥梁。 二、核心计算法则与运算规范 1. 通用运算顺序规则 小数、分数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算完全一致，遵循统一原则： 同级运算（只有加减或只有乘除）：从左往右依次计算； 两级运算（同时有加减和乘除）：先算乘除法，后算加减法； 含括号运算：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的；有多层括号时，从最内层向外逐层计算。 2. 小数四则混合运算要点 加减运算：相同数位对齐（小数点对齐），从低位算起，满十进一、退一当十； 乘法运算：末位对齐，先按整数乘法算出积，再根据因数总小数位数点小数点； 除法运算：除数是小数时，先利用商不变规律转化为除数是整数的除法，商的小数点与移动后的被除数对齐； 混合运算中，每一步计算都要保证数位、小数点位置正确，中间步骤的小数末尾 0 可暂不去除，最终结果再化简。 3. 分数四则混合运算要点 加减运算：同分母分数分母不变、分子相加减；异分母分数先通分转化为同分母，再计算，结果化为最简分数。 乘法运算：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母；计算前优先交叉约分，减少计算量。 除法运算：所有除法统一转化为 “乘除数的倒数”，再按分数乘法规则计算；注意除数不能为 0。 带分数运算：加减运算可拆分为整数部分和分数部分分别计算；乘除运算需先化为假分数再计算。 混合运算中，乘除步骤优先约分，加减步骤最后通分，避免大数运算。 4. 小数与分数混合运算策略 根据数字特征灵活选择计算形式，提升计算效率与准确率： 优先化分数：当小数为 0.25、0.125、0.375、0.625 等特殊值，或运算为乘除时，小数化分数后可直接约分，计算更简便。 优先化小数：当分数的分母仅含质因数 2、5、可化为有限小数，且运算为简单加减时，可统一为小数计算。 强制化分数：加减运算中，若分数不能化为有限小数，必须统一为分数形式计算，禁止取近似值；乘除运算优先统一为分数约分。 5. 乘除混合运算核心技巧 小数、分数乘除混合运算可通过规则转化简化计算，避免分步计算的误差与繁琐： 统一乘法：所有除法转化为 “乘除数的倒数”，将算式统一为连乘形式，一次性约分后计算最终结果。 带符号搬家：同级运算中，数字可以连同它前面的运算符号一起移动位置，计算结果不变；常用于调整顺序凑整。 例： 例： 去 / 添括号法则：括号前是乘号，去添括号后内部符号不变；括号前是除号，去添括号后内部乘除符号互变。 6. 验算方法 方法一：按正确运算顺序重新计算，对比两次结果是否一致； 方法二：逆运算验算，利用加减互逆、乘除互逆，从最终结果倒推初始数值； 方法三：估算检验，通过凑整估算结果的大致范围，快速排查数量级、小数点类明显错误。 三、运算定律与简便计算体系 整数的所有运算定律、运算性质对小数和分数完全适用，是奥数简便计算的核心工具。 1. 通用运算定律与性质（全类型通用） 类别 名称 字母表示 核心应用场景 加法类 加法交换律 调整加数位置，凑整计算 加法结合律 两两结合，凑出整数简化计算 乘法类 乘法交换律 交换因数位置，优先凑整 / 约分 乘法结合律 两两结合，凑整或交叉约分 乘法分配律 拆数凑整、提取公因数，应用最广 减法性质 连减性质 减数相加可凑整时，合并后再减 除法性质 连除性质 除数相乘可凑整时，合并后再除 商不变性质 商不变规律 除数凑整，转化为整数 / 1 括号规则 去 / 添括号法则 括号前是 +、×，符号不变；括号前是 -、÷，符号全变 调整运算顺序，构造凑整条件 易错提醒：除法没有 “除数分配律”， 不能拆分为 ，小数、分数运算中均适用该规则。 2. 小数专项简便计算技巧 （1）凑整拆分法 将接近整数的数拆成 “整数 + 小数” 或 “整数 - 小数”，利用乘法分配律简化计算。 例： （2）提取公因数（乘法分配律逆用） 基础型：直接提取相同公因数，剩余部分合并计算。 变形型：利用积不变规律构造相同公因数，再提取。 例： （3）连除凑整法 利用连除性质，将能凑成整数的除数先相乘，再用被除数除以它们的积。 例： （4）除数凑整法 利用商不变规律，将除数转化为 1、10、100 等整数，常见组合：0.25 配 4、0.125 配 8、0.5 配 2。 例： （5）扩缩抵消法 通过对部分因数同步扩倍、缩倍，构造相同数值，在乘除运算中实现抵消，简化复杂小数运算。 3. 分数专项简便计算技巧 （1）约分凑整法 计算分数连乘、乘除混合运算时，先观察所有分子与分母的公因数，提前交叉约分消去相同因数，再计算剩余部分，避免大数运算。 例： （2）提取公因数法 基础型：算式各部分含有相同分数因数时，提取公因数后将剩余部分合并，凑整简化。 例： 变形型：利用分数基本性质，通过扩缩分子分母构造相同公因数，再提取计算。 （3）拆分凑整法 带分数拆分：将接近整数的带分数拆成 “整数 + 真分数”，利用乘法分配律拆分计算。 例： 凑整拆分：将接近单位 “1” 的分数拆成的形式，简化乘法计算。 （4）裂项相消法 针对分母为相邻 / 间隔自然数乘积的分数，拆分为两个分数的差或和，加减后中间项相互抵消，大幅简化长算式计算。 核心裂差公式： 拓展裂差公式： 例： （5）繁分数化简 分子或分母中含有四则运算的复杂分数称为繁分数。 基础方法：分子和分母分别按运算顺序计算出结果，再转化为分子除以分母，约分为最简分数。 技巧方法：利用分数的基本性质，分子分母同时乘所有分母的最小公倍数，一次性消去所有分母，转化为整数运算。 （6）分组抵消法 长算式加减混合时，将能凑整、能抵消的分数两两分组，分组后再求和，大幅减少计算量。 4. 小数与分数混合简算技巧 特殊数值优先转化：牢记、、等常用对应关系，乘除运算中直接转化约分。 例： 构造统一公因数：通过小数与分数的互化，将不同形式的数转化为相同形式的公因数，再用乘法分配律简化。 整体约分：乘除混合运算中，将小数统一化为分数后，整体交叉约分，无需分步计算。 四、核心数量关系模型（数量关系三核心） 本单元数量关系聚焦多步复合应用题，覆盖小数、分数两类数值，是小学阶段数量关系体系的高阶部分。 1. 连乘连除与乘除复合模型 连乘问题：连续求一个数的几倍 / 几分之几是多少，多步正向计算总量。 例：每箱有 12 盒牛奶，每盒 2.5 元，买 4 箱一共多少钱；一根绳子长 20 米，第一次剪去，第二次剪去余下的，求第二次剪去的长度。 连除问题：连续归一，从总量反求最小单一量。 例：3 台抽水机 2.5 小时抽水 60 吨，平均每台每小时抽水多少吨。 乘除混合：先归一、再归总，或先求总量、再按新标准分配；解题核心是先判断求单一量还是总量，确定第一步乘除。 2. 归一归总进阶模型 单归一问题：仅含一个变量的归一，先求 1 份的量，再求总量或份数。 双归一问题：含两个变量（如 “每人每天”“每台每小时”），需连续两次除法求出单一量。 归总问题：先求出不变的总数量，再按新的单一量计算对应份数；奥数常考隐藏总量不变的题型，需先挖掘不变量。 3. 平均数进阶模型 加权平均数：不同权重的数值求平均，总数量 ÷ 总份数 = 加权平均数，常与分数占比结合考查。 移多补少法：利用 “多出的总量 = 缺少的总量”，不计算总数量直接求解平均数问题。 平均数反推：已知平均数和部分数值，反求某一个未知量；常结合错中求解考查。 4. 行程问题进阶模型 相遇问题：路程和 = 速度和 × 相遇时间；相遇时间 = 路程和 ÷ 速度和。 追及问题：路程差 = 速度差 × 追及时间；追及时间 = 路程差 ÷ 速度差。 流水行船初步：顺水速度 = 船速 + 水速；逆水速度 = 船速 - 水速。 解题核心：画线段图辅助分析，拆分运动过程，分段套用公式；速度、时间、路程单位必须统一。 5. 工程问题初步模型 核心公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间 合作问题：工作效率和 × 合作时间 = 工作总量 常用技巧：将总工作量看作单位 “1”，用分率表示工作效率，转化为分数运算求解；常考中途休息、交替工作等变式。 6. 分段计费进阶模型 正向计费：已知总用量求总费用，划分区间后分别计算各段费用再求和。 反向计费：已知总费用反求总用量，先判断费用所在区间，算出超出部分的用量，再加基础区间用量。 常见场景：阶梯水费、电费、话费、出租车费、个人所得税等，数值多为小数。 7. 和差倍与分率应用题模型 和倍问题：和 ÷ (倍数 + 1) = 1 倍量；分数版中，和 ÷ 对应分率和 = 单位 “1” 的量。 差倍问题：差 ÷ (倍数 - 1) = 1 倍量；分数版中，差 ÷ 对应分率差 = 单位 “1” 的量。 和差问题：(和 + 差) ÷ 2 = 大数；(和 - 差) ÷ 2 = 小数。 量率对应问题：已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用对应量 ÷ 对应分率 = 单位 “1” 的量，是分数应用题的核心模型。 奥数拓展：暗差、暗和问题，需先通过条件计算出隐藏的和、差或对应分率。 五、奥数常见题型及解题策略 （一）基础计算类 脱式计算四则混合运算 解题要点：先标记运算级别和顺序，按规则逐步计算；能简便的优先用简便方法；分数结果必须化为最简。 易错提醒：禁止随意跳步，括号内的运算必须先完成；分数除法必须先转乘法再计算。 按要求添加括号改变运算顺序 题型特征：给出不带括号的算式，指定运算顺序，要求添加括号。 解题策略：根据括号提升运算优先级的规则，需要先算的部分用括号包裹；注意中括号与小括号的嵌套规则。 文字列式计算 题型特征：用文字描述运算关系，列综合算式并计算。 解题策略：抓住 “和、差、积、商、除、除以、的几分之几” 等关键词，确定运算顺序；需要改变优先级时主动添加括号。 繁分数化简计算 解题策略：多层繁分数从最内层开始计算，逐层向外；也可整体扩倍消去分母，转化为整数运算。 （二）简便计算类 直接运用运算定律：识别算式特征，直接套用交换律、结合律、分配律。 构造公因数计算：通过积不变规律、分数基本性质统一公因数，再用乘法分配律逆运算简化。 分组抵消计算：长算式中通过分组、带符号搬家，实现凑整或数值抵消。 拆数凑整计算：将接近整十、整百的数或特殊分数拆分，转化为易计算的形式。 裂项相消计算：识别分数分母的乘积特征，套用裂差 / 裂和公式，利用中间项抵消简化。 （三）错中求解问题（奥数经典题型） 题型特征：计算时看错数字、漏看括号、看错运算符号或分子分母，得到错误结果，求正确结果或原数。 解题策略：抓住不变量，从错误的算式中倒推求出原数，再代入正确算式计算。 例：小明计算时，漏看了括号，算成，结果相差多少？ 解析：展开原式得，与错式对比，相差。 （四）规律探究类 算式大小比较 解题策略：利用积 / 商与因数 / 被除数的大小关系、运算定律快速判断，避免繁琐计算；分数可通过通分、交叉相乘比较。 循环与周期问题 题型特征：算式结果存在循环规律，或数列、图形存在周期，求第 n 项、前 n 项和。 解题策略：先找出循环周期，用总数除以周期求余数，根据余数确定对应位置。 （五）实际应用类 方案优化问题 常见场景：购物优惠对比、租车租船方案、购票方案选择。 解题策略：分别计算每种方案的总费用，再比较大小，选择最优方案；常涉及小数、分数的混合计算。 行程综合问题 涵盖相遇、追及、往返、中途休息等复合场景。 解题策略：画线段图辅助分析，拆分运动过程，分段套用公式计算；注意单位统一。 工程合作问题 常见场景：多人合作、中途有人休息 / 加入、交替工作。 解题策略：以工作总量为单位 “1”，先算各自效率，再根据合作方式计算时间；常用分数运算。 盈亏问题 题型特征：将物品按两种标准分配，一次有余（盈）、一次不足（亏），求份数和总量。 核心公式：总差额 ÷ 每份差额 = 份数。 分数分率应用题 题型特征：涉及 “几分之几”“占比”“比多比少” 的分数应用题。 解题策略：先找准单位 “1”，已知单位 “1” 用乘法，求单位 “1” 用除法；量率对应是核心。 （六）拓展提升类 定义新运算 题型特征：规定新的运算符号与规则，代入小数、分数进行四则混合运算。 解题策略：严格按照定义转化为常规四则运算，注意运算顺序和括号。 还原问题（倒推法） 题型特征：已知最终结果和运算过程，求初始数值。 解题策略：从结果出发，逆用运算规则（加变减、乘变除），从后往前逐步倒推；可借助流程图梳理过程。 假设法解题 典型题型：鸡兔同笼类问题、对错题得分问题。 解题策略：假设全是同一种量，计算出理论值与实际值的差，再通过差值调整求出另一种量的数量。 转化法解复杂应用题 题型特征：数量关系隐蔽、直接列式困难的复合应用题。 解题策略：通过转化单位 “1”、统一分率标准、将分数转化为比等方式，将复杂问题转化为基础模型求解。 六、易错点与注意事项 计算类易错点 运算顺序混淆：两级运算时先算加减后算乘除，或同级运算不按从左到右顺序，导致结果错误。 括号处理失误：去括号、添括号时，括号前是减号或除号，忘记改变括号内的运算符号。 运算定律误用：错误使用 “除法分配律” 拆分除数；混淆乘法结合律与分配律。 小数计算错误：小数点位置点错、末尾 0 化简过早、除法补 0 遗漏、商中间漏商 0。 分数计算错误：异分母加减忘记通分、分数除法直接分子分母分别相除、结果未约分为最简分数、带分数乘除未化假分数。 混合形式错误：小数分数混合运算时，形式不统一就盲目计算，或错误将不能化有限小数的分数取近似值。 跳步漏算错误：多步混合运算中随意跳步，遗漏中间步骤，导致计算偏差。 应用类易错点 单位 “1” 判断错误：分数应用题中找错基准量，导致乘除法用反，量率不对应。 分率与数量混淆：将带单位的具体数量和不带单位的分率混淆，错误直接相加减。 单位不统一：行程、工程等应用题中，单位不一致未换算直接计算，出现数量级错误。 取整方法误用：实际问题中混淆进一法和去尾法，导致结果不符合现实场景。 答非所问：审题不仔细，计算的量与题目所求不一致，遗漏最终问题的转化步骤。 分段区间划分错误：分段计费问题中忘记扣除基础区间，或对 “不足按整算” 的规则使用错误。 近似值使用不当：计算过程中过早取近似值，导致最终结果误差过大。 培优练习 一、选择题 1．一种商品，先按原价提高，再降价，最后的价钱与原价相比，（    ）。 A．等于原价 B．高于原价 C．低于原价 D．无法确定 2．20吨货物，第一天卖出全部的，第二天卖出全部的，两天共卖（    ）吨。 A．4 B．5 C．9 D．11 3．在里填上（    ），使算式305÷＋305×能用乘法分配律简便计算。 A．1 B．9 C． D． 4．一根绳子原长1m，小东截去这根绳子的，小明又把它接上m，现在这根绳子长（    ）。 A．m B．m C．m D．m 5．两根同样长的绳子长度都大于1米，第一根剪去它的，第二根剪去米，剩下的绳子（    ）长。 A．一样长 B．第一根 C．第二根 D．无法确定 6．下列算式，与78×9.9得数不相等的是（    ）。 A．78×9＋0.9 B．（10－0.1）×78 C．7.8÷0.1×9.9 D．78×10－7.8 二、填空题 7．比25米多是( )米，比25米多米是( )米。 8．比25千克多是( )千克。 9．壮壮同学把10×（□＋0.6）错算成了10×□＋0.6，得到的结果与正确答案相差( )。 10．一个长方形的长是6厘米，宽是4厘米，长、宽分别增加它的后，面积是( )平方厘米。 11．买3支圆珠笔和2支铅笔要9.9元，买4支圆珠笔和6支铅笔要17.2元，买1支圆珠笔和1支铅笔共要( )元。 12．在端午节活动中，参加包粽子的有45人，参加香囊制作的人数比包粽子的人数多，参加香囊制作的有( )人。 13．甲、乙两人共同运一批大米，甲单独一人24天运完，乙单独一人36天运完，甲乙两人合作( )天可以运完。 14．八月我市迎来强降雨，某水库开闸泄洪，若只开A泄洪口，4小时完成任务，若只开B泄洪口，6小时完成任务，如果两个泄洪口同时打开，( )小时可以完成任务。 15．学校兴趣小组添置了一些足球和篮球。如果篮球个数不变，把足球个数增加，两种球的总数将达到147个，把篮球个数减少，两种球的总数是115个。学校兴趣小组添置的足球有________个，篮球有________个。 16．新开超市1月16日上午营业额是2500元，下午营业额比上午多，下午营业额是_____元。 三、判断题 17．把一根50米长的绳子先增加后再减少，还是50米。( ) 18．从里面连续减去1000个，结果等于0。( ) 19．一种儿童太阳帽先提价，再降价，现价与原价相等。( ) 20．甲数比乙数多，乙数比甲数少。( ) 21．笑笑录入一份稿件，录入后还剩700字，这份稿件共有980字。( ) 22．一本故事书125页，小明看了它的，还剩72页没有看。( ) 四、计算题 23．脱式计算，能简算的要简算。 0.78×4.8＋0.78×5.2      10.2×4.7 68.7－18.7×2.6        15.74－（5.74＋6.98） 24．计算下面各题，能简算的要简算。 16.8－3.07＋3.2－5.93                                                      五、解答题 25．一项工程，甲队单独做30天完成，乙队单独做50天完成。两队合作10天后，余下的由甲队单独完成，还需要多少天？ 26．某工程队修一条长16.8千米的水渠，计划7天修完。实际施工时，前3天每天修了2.5千米。剩下的路程如果要按原计划天数完工，剩下的几天平均每天要修多少千米？ 27．修一条路，甲工程队单独修，5天修完全长的；乙工程队单独修，3天修完全长的。照这样计算，如果甲乙两队合修此路，多少天修完这条路的？ 28．一款燃油汽车行驶100千米需消耗汽油8升，一款新能源汽车行驶1千米的电费为0.2元。按每升汽油7.5元计算，从怀远到合肥160千米的路程，新能源汽车比燃油汽车可节省费用多少元？ 29．2025年4月23日是第30个世界读书日。读书日的主题是“阅读：通往未来的桥梁”。一本故事书有180页，淘气已经看了这本书的，还剩多少页没有看？ 30．一辆汽车从甲城开往乙城，第一小时行驶了全程的，第二小时行驶了120千米，这时距乙城还有全程的，甲、乙两城相距多少千米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $