专题03 函数的图象、函数与方程、函数模型及应用（题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统梳理函数的图象、方程与模型应用专题，涵盖图象变换、解析式与图象互选、零点判定、参数求解、二分法及函数模型等10大题型，构建从基础方法到综合应用的完整知识脉络。 清单采用题型脑图构建核心考法，考法深研模块详解解题技能，如用零点存在性定理结合数形结合判断零点个数，培养数学思维与应用意识。每个题型配典型例题与方法总结，助力学生自主高效复习，教师可据此精准指导备考方向。

专题03 函数的图象、函数与方程、函数模型及应用 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 函数图象的画法及图象变换 作函数图象的方法 1、直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出． 2、转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． 3、图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 1．（2026·重庆·模拟预测）把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】把函数的图象向右平移2个单位长度， 得到函数表达式为， 再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍， 得到图象的函数表达式为， 因为图象与重合，所以， 即，解得，. 2．（25-26高三上·河南·阶段检测）（多选）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（    ） A．横坐标变成原来的（纵坐标不变） B．横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C．向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度 【答案】AC 【解析】因为， 即将函数图象上所有点横坐标变成原来的（纵坐标不变），可得到的图象； 又因为， 所以还可以将函数图象上所有点向上平移1个单位长度，可得到的图象． 故选：AC． 3．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）（多选）已知曲线，，则（    ） A．把向上平行移动1个单位长度，得到曲线 B．把向左平行移动1个单位长度，得到曲线 C．把向右平行移动1个单位长度，得到曲线 D．把上各点的纵坐标变成原来的2倍（横坐标不变），得到曲线 【答案】BD 【解析】对于A，把曲线向上平行移动1个单位长度得到曲线， 不为曲线，故A错误； 对于B，把曲线向左平行移动1个单位长度得到曲线，为曲线，故B正确； 对于C，把曲线向右平行移动1个单位长度得到曲线， 不为曲线，故C错误； 对于D，把曲线上各点的纵坐标变成原来的2倍（横坐标不变）， 得到曲线，为曲线，故D正确.故选：BD. 4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，曲线与函数的图象关于直线对称，则__________． 【答案】 【解析】图象向左平移个单位得到曲线：， 设上一点，则点关于直线对称的点为， 将点代入曲线方程可得：， 即. 题型02 由复杂函数解析式选择图象 图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选” 1、求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）； 2、判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）； 3、找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）； 4、判断单调性：可取特殊值判断单调性． 5．（2026·安徽合肥·三模）当时，函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于函数，因为，由可得且， 故函数的定义域为，排除AC， 当时，，排除D. 6．（2026·山东枣庄·三模）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】定义域为，， 则是偶函数，排除A选项； 当时，，则， 当时，，则； 当时，，则，排除CD选项. 7．（2026·陕西渭南·三模）函数的部分图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的定义域为， 且， 所以函数是奇函数，故AB错误； 当时，，又因为，所以，则， 所以当 时，，即 轴右侧附近的图象应在 轴下方， 排除选项D，选项C符合. 8．（2026·四川自贡·三模）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，，故选A. 题型03 由函数图象选择解析式 （1）从图像的最高点、最低点分析函数的最值、极值； （2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性； （3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． 9．（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设图象对应函数为，由图可得为奇函数， 注意到为偶函数，为奇函数. 则为偶函数，不满足题设，故BC错误； 又由图可得，，则D不满足题意，故选A 10．（2026·辽宁大连·一模）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图像可知函数关于原点对称，是奇函数， 对于选项C，，， 故是偶函数，不符合，排除C； 对于选项A，，求导得， 故在上单调递增， 不符合图像中时先增后减的趋势，排除A； 根据图像，极大值点在左侧， 对于选项B，，求导得， 令，得， 1 0 单调递增 单调递减 故的极大值点为，不符合图像，排除B. 11．（2026·福建泉州·一模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数的图像，可得函数的定义域为， 且其图像关于原点对称，即函数为奇函数， 且当时，且， 对于A，函数的定义域为，且， 所以函数为奇函数，且当时，且，所以A符合题意； 对于B，函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数，所以B不符合题意； 对于C，函数为最小周期为的周期函数，所以C不符合题意； 对于D，函数的定义域为， 且满足，所以函数为奇函数， 当时，且，所以D不符合题意. 12．（2025·广西柳州·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，定义域为， 又，所以为偶函数，故A错误； 对于B，当时， 易知，，所以，不满足，故B错误； 对于D，当时，， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误； 检验选项C，满足图中性质。故选：C 题型04 函数零点所在区间的判断 确定的零点所在区间的常用方法： （1）利用函数零点的存在性定理：首先看函数在区间上的图象是否连续，再看是否有，若有，则函数在区间内必有零点； （2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断． 13．（2026·广东深圳·模拟预测）已知，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令的值即的零点． 而，即，， 而，所以， 所以函数的零点就是，． 要比较与的大小，等价于比较2与的大小，等价于比较与大小， 显然，，． 14．（2026·甘肃嘉峪关·三模）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是增函数，是增函数，所以函数是增函数. 又， 所以由零点存在性定理可得，函数的零点所在的区间为. 15．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是.故选：D. 16．（25-26高三·全国·一轮复习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】函数在上的图象连续不断， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 若在区间上存在零点， 根据函数零点存在定理可知， 只需满足， 即，解得， 所以实数m的取值范围是. 题型05 函数零点个数的判定 零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到； 若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． 17．（25-26高三上·四川广元·阶段检测）方程的实根个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】， 令，方程的实根个数等价于两个函数的图象的交点个数. 画出函数图象， 如图可知两个函数的图象的交点个数为1个， 即方程的实根个数为1个.故选：B. 18．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）方程在内的根的个数是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】由，得或，所以或 当时，，，，，， 所以方程在内的根的个数是5．故选：B 19．（25-26高三下·河南南阳·阶段检测）已知定义域为的单调函数满足：，则函数的零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】根据题意，对任意的，都有， 由是定义在上的单调函数，得为定值． 设，则， 因为，所以，解得， 所以． 因为函数的零点的个数，即函数与的图象的交点个数． 所以可作出函数和的大致图象，如图． 结合图象可知，这两个函数的图象有3个交点．故选：C． 20．（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）已知是上的偶函数，，若在上单调递增，且，，则与函数交点个数为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【解析】由可得， 即函数的图象关于直线对称，且， 又是上的偶函数，则，故得，即函数的一个周期为2. 因在上单调递增，且，， 故可以作出函数与的示意图如下： 由图可知，与函数交点个数为10.故选：A. 题型06 根据函数零点个数求参数 已知零点个数求参数范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． 21．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）已知函数若方程有四个不等实数解，则a的取值范围是_________． 【答案】 【解析】作出函数图象： 因为，，所以在处是连续的， 根据方程有四个不等实数解，则直线与函数的图象有四个交点， 即a的取值范围是. 22．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若方程只有一个实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在上单调递减，在单调递增， 则的图像如下： 方程只有一个实数解，则的取值范围为．故选：A 23．（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数在定义域上恰有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】①当时，，则，所以在上单调递增， 因为，而， 由零点存在定理得，函数在上有且只有一个零点； ②时，，该二次函数的图象开口向上，对称轴为， 要使原分段函数在定义域上恰有三个零点，则需使在上要有2个零点， 即需使在上有两个不相等的实数根， 即，解得， 综上可得. 24．（2026·河南焦作·一模）已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】时，，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，时，，故， 当时，单调递增，且， 画出的图象如下： 方程恰有2个实根，即与有2个交点， 则，则实数的取值范围是. 题型07 求函数零点的和及范围 利用函数零点位置的对称性求和 （1）将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题； （2）①如果两个函数图象都关于直线对称，那么这两个函数图象的交点也关于直线对称，则对应的两零点之和为； ②如果两个函数图象都关于点对称，那么这两个函数图象的交点也关于点对称，则对应的两零点之和为． 25．（2026·河北·模拟预测）已知函数，有4个不同的实数根，，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出的图象如图， 因为方程有4个不同的实数根，且， 所以，且， 则，， 所以，，，， 所以，， ，令，， 则， ，，， ，，， 所以，， 所以，即在上单调递减， ，即，故.故选：C. 26．（2026·陕西延安·三模）（多选）已知函数，若函数有4个零点，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】BC 【解析】对A，画出函数的图象，如图所示， 因为函数有4个零点，即有4个解， 也即直线与图象有4个交点，所以，所以A错误； 对B，因为有4个零点，，，，且， 所以零点位置如图所示，因为， 结合图象可知，两零点关于直线对称，所以，B正确； 对C，时，或， 解得或， 对，令，则，则由图可知， 所以， 因为函数在单调递增，所以，故C正确： 对D，，是方程的两个解，且，所以，，所以，， 令，所以，， 令，，根据对勾函数的性质，该函数在上单调递增， 所以，所以的取值范围为，所以D错误. 27．（2026·广东佛山·模拟预测）设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】根据，可得图象如下： 因为有四个实数根，且， 由图知时，有四个实数根，且， 又， 则，即， 所以，所以，且， 由，在上单调递增，， 可知， 则的取值范围为. 28．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知函数有三个不同的零点，且 ，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】由题意得， 所以是函数的一个零点， 当时，令，可得， 令，， ， 所以关于对称， 若要函数有三个不同的零点， 则需满足方程有两个实数根， 即函数与有两个交点，且两交点关于直线对称， 又，可得，， 所以， 当且仅当，，时，等号成立， 此时的最小值为． 题型08 复合函数的零点问题 处理复合函数的零点问题的方法： ①确定内层函数和外层函数； ②确定外层函数的零点； ③确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、…、，则函数的零点个数为． 29．（2026·河北沧州·一模）已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，对称轴为，所以在上单调递增，函数图象如下： 令，解得或， 即或，根据图象有2个解， 有1个解，所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下： 令，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又至少有7个零点，所以至少有2个解， 即，解得．故选:D． 30．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】已知，其值域为， 令，则原方程可化为，即：， 设该方程的两根为（），要使有4个不同实根，需满足： 有两个不同的实根，这两个根均大于. 即有两个不同实根，则 设，要使的两根均大于，需满足： 其中. 同时，当时，， 若，则是方程的一个根，此时仅有1个根， 有2个根，总根个数为3，不符合题意. 当时，（二重根），此时有2个不同实根，总根个数为2，不符合题意. 综上，的取值范围为. 31．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，开口向下，对称轴为， ； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增； 作出的大致图象如下， 设，则关于的方程有2个不同的根和， 且关于的方程分别有4个不同的根． 不妨设，则关于的方程需满足：， ①若，则，故， 且，即，解得； ②若，则，此时，符合题意，故． 32．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数，且关于的方程有8个不相等的实数根，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】当时，是开口向下的抛物线，对称轴， 顶点为，此时， 当时，， 若，则单调递减，且， 若，则单调递增且， 根据原方程的根的结构， 设，则原方程变为①， 原方程的根的个数由的取值及的根的个数共同决定， 的根的个数分析如下： 当时，若在有1个根；若在有2个根； 若在有2个根；若在有1个根； 若在无根； 当时，若在有2个根；若在有1个根； 若在无根； 若原方程有8个根，需满足①有两个不同的正根（否则根的总个数不是8个）， 对于每个的根的个数之和为4，结合的根的个数， 要使的根的个数为4个，需，此时当时，有2个根， 当时，有2个根，共4个根， 方程①，令， 需满足，解得， 故答案为：. 题型09 二分法及其应用 明确二分法适用前提：函数在区间上连续且端点函数值异号。固定解题流程：确定初始区间→取区间中点→计算中点函数值→判断零点所在子区间→不断缩小区间，循环迭代直至满足题目精度要求．主要用于求解方程近似解、锁定零点精准区间，迭代过程严格依据符号判断区间取舍． 33．（25-26高三上·江西宜春·阶段检测）那么方程的一个近似解（误差不超过0.02）为 （    ） A．1.437 5 B．1.375 C．1.25 D．1.422 【答案】D 【解析】设近似解为， 由零点存在性定理及二分法计算数据： 因为，，所以， 又，所以， 又，所以， 又，所以， 又，所以， 因为 且，， 所以可取近似解．故选：D 34．（24-25高三上·海南海口·阶段检测）若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则实数和分别等于（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】∵， ∴根据二分法的定义可知： ∴，解得故选：B 35．（25-26高三·全国·一轮复习）在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为，大约有根电线杆的线路，试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅至多检测______次就能找出故障地点所在区域（精确到范围内）？ 【答案】 【解析】如图，工人师傅首先从中点检测，用随身带的话机向两端测试， 不妨设发现段正常，可见故障在段； 再从线段的中点检测，假设发现段正常，可见故障在段； 再从段的中点检测；， 由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半， 可以算出经过次检测，所剩线路的长度为 m， 则有，即，由于，， 故至多检测次就能找到故障地点所在区域． 36．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若用二分法求函数在区间上零点的近似值，第一次取区间的中点为，则第二次应该取区间的中点为________． 【答案】 【解析】设， 因为所以零点在区间内， 所以第二次应该取区间的中点为. 题型10 函数模型的应用 严格遵循建模解题流程，先设变量、提炼实际等量关系，精准匹配对应函数模型；必须结合实际场景约束自变量取值范围，在有效定义域内求解函数性质，最终将数学结果还原为实际问题答案，规范作答． 37．（2026·浙江·模拟预测）古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持在一定的水平，设为.当生物体死亡后，碳14会发生衰变，且碳14含量随时间（单位：年）的变化规律满足，其中是衰变常数.已知碳14的半衰期约为5730年，即每经过5730年，碳14含量就会变为原来的.现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为.由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，得， 两边同时取对数得，，解得，则， 令，得，两边同时取对数得，， 所以. 38．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）为实现国家“十四五”污水处理目标要求：城市污水处理率，某市污水处理厂升级了过滤系统.已知过滤过程中，污水中的剩余污染物数量与时间的关系为，其中为初始污染物数量，为常数.若在某次过滤过程中，前2小时过滤掉了污染物的，则可得到前4小时共能过滤掉污染物的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，，因为前2小时过滤掉了污染物的， 则剩余污染物为，即，得， 则前4小时的剩余污染物量：， 即剩余污染物是，则前4小时过滤掉的污染物比例为. 39．（2026·广东汕头·一模）溶液酸碱度用pH值表示，其计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且pH越大，酸度越弱，碱性越大.下列命题中，真命题是（    ） A．已知纯净水的，则纯净水中摩尔/升 B．已知胃酸中摩尔/升，则胃酸的 C．溶液中摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强 D．溶液中摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大 【答案】C 【解析】对于A，令，则摩尔/升，故A错误； 对于B，胃酸的，故B错误； 对于C，当摩尔/升时， 根据可得当越大时，越小，故酸性越大，故C正确； 对于D，当摩尔/升时， 根据可得若溶液的碱性越大，则越大，故越小，故D错误. 40．（2026·江苏南京·一模）在“M型无人机”物流配送场景中，无人机的载重（单位：kg，）会直接影响其每千米能耗（单位：Wh/km，Wh为电能单位）．某技术团队对该无人机进行载重测试，得到如下实验数据： 载重（kg） 0 1 4 9 16 每千米能耗（Wh/km） 2 7 12 17 22 为精准预测不同载重下的每千米能耗，现有以下三种模型供选择： ①，②，③． (1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并求出其函数解析式； (2)若该无人机电池容量为300Wh，飞行环境、飞行参数控制不变．根据（1）中所得的函数模型， （i）某单程配送任务要求该无人机飞行20km，且载重9kg，判断该无人机是否能完成本次配送任务，并说明理由； （ii）若该无人机执行往返配送任务，去程与返程均需飞行（单位：km），去程载重25kg，返程空载，且往返总能耗不大于电池容量的，求的最大值． 【答案】(1)选择模型为，理由如下： 依题意可知，所选的函数模型必须满足两个条件： 一是函数的定义域为； 二是“每千米能耗”随着“载重”的增多而增大． 因为模型①的定义域不可能为，所以不符合： 因为模型②是单调递减函数，所以不符合； 因为模型③在有意义，且当时，单调递增，符合题意， 故应选择模型为． 函数解析式为. (2)（i）不能；（ii）9km 【解析】（1）选择函数模型③，理由略， 将点（0，2），（1，7）代入得，解得， 所以． 经检验，点（4，12），（9，17），（16，22）都在函数的图象上， 所以所求的函数解析式为， 且当时，表示空载能耗. （2）由（1）得． （i）依题意，得，所以该无人机不能完成本次配送任务． （ii）依题意，得， 所以，解得， 所以的最大值为9km． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的图象、函数与方程、函数模型及应用 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 函数图象的画法及图象变换 作函数图象的方法 1、直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出． 2、转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． 3、图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 1．（2026·重庆·模拟预测）把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 2．（25-26高三上·河南·阶段检测）（多选）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（    ） A．横坐标变成原来的（纵坐标不变） B．横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C．向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度 3．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）（多选）已知曲线，，则（    ） A．把向上平行移动1个单位长度，得到曲线 B．把向左平行移动1个单位长度，得到曲线 C．把向右平行移动1个单位长度，得到曲线 D．把上各点的纵坐标变成原来的2倍（横坐标不变），得到曲线 4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，曲线与函数的图象关于直线对称，则__________． 题型02 由复杂函数解析式选择图象 图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选” 1、求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）； 2、判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）； 3、找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）； 4、判断单调性：可取特殊值判断单调性． 5．（2026·安徽合肥·三模）当时，函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山东枣庄·三模）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西渭南·三模）函数的部分图象为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·四川自贡·三模）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 题型03 由函数图象选择解析式 （1）从图像的最高点、最低点分析函数的最值、极值； （2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性； （3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． 9．（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·辽宁大连·一模）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 1 0 单调递增 单调递减 11．（2026·福建泉州·一模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·广西柳州·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 题型04 函数零点所在区间的判断 确定的零点所在区间的常用方法： （1）利用函数零点的存在性定理：首先看函数在区间上的图象是否连续，再看是否有，若有，则函数在区间内必有零点； （2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断． 13．（2026·广东深圳·模拟预测）已知，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 14．（2026·甘肃嘉峪关·三模）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高三·全国·一轮复习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 题型05 函数零点个数的判定 零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到； 若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． 17．（25-26高三上·四川广元·阶段检测）方程的实根个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 18．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）方程在内的根的个数是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 19．（25-26高三下·河南南阳·阶段检测）已知定义域为的单调函数满足：，则函数的零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）已知是上的偶函数，，若在上单调递增，且，，则与函数交点个数为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 题型06 根据函数零点个数求参数 已知零点个数求参数范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． 21．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）已知函数若方程有四个不等实数解，则a的取值范围是_________． 22．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若方程只有一个实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数在定义域上恰有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（2026·河南焦作·一模）已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型07 求函数零点的和及范围 利用函数零点位置的对称性求和 （1）将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题； （2）①如果两个函数图象都关于直线对称，那么这两个函数图象的交点也关于直线对称，则对应的两零点之和为； ②如果两个函数图象都关于点对称，那么这两个函数图象的交点也关于点对称，则对应的两零点之和为． 25．（2026·河北·模拟预测）已知函数，有4个不同的实数根，，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（2026·陕西延安·三模）（多选）已知函数，若函数有4个零点，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 27．（2026·广东佛山·模拟预测）设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是_____. 28．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知函数有三个不同的零点，且 ，则的最小值为_________. 题型08 复合函数的零点问题 处理复合函数的零点问题的方法： ①确定内层函数和外层函数； ②确定外层函数的零点； ③确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、…、，则函数的零点个数为． 29．（2026·河北沧州·一模）已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为_____． 31．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数，且关于的方程有8个不相等的实数根，则的取值范围是______. 题型09 二分法及其应用 明确二分法适用前提：函数在区间上连续且端点函数值异号。固定解题流程：确定初始区间→取区间中点→计算中点函数值→判断零点所在子区间→不断缩小区间，循环迭代直至满足题目精度要求．主要用于求解方程近似解、锁定零点精准区间，迭代过程严格依据符号判断区间取舍． 33．（25-26高三上·江西宜春·阶段检测）那么方程的一个近似解（误差不超过0.02）为 （    ） A．1.437 5 B．1.375 C．1.25 D．1.422 34．（24-25高三上·海南海口·阶段检测）若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则实数和分别等于（    ） A．， B．， C．， D．， 35．（25-26高三·全国·一轮复习）在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为，大约有根电线杆的线路，试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅至多检测______次就能找出故障地点所在区域（精确到范围内）？ 36．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若用二分法求函数在区间上零点的近似值，第一次取区间的中点为，则第二次应该取区间的中点为________． 题型10 函数模型的应用 严格遵循建模解题流程，先设变量、提炼实际等量关系，精准匹配对应函数模型；必须结合实际场景约束自变量取值范围，在有效定义域内求解函数性质，最终将数学结果还原为实际问题答案，规范作答． 37．（2026·浙江·模拟预测）古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持在一定的水平，设为.当生物体死亡后，碳14会发生衰变，且碳14含量随时间（单位：年）的变化规律满足，其中是衰变常数.已知碳14的半衰期约为5730年，即每经过5730年，碳14含量就会变为原来的.现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为.由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 38．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）为实现国家“十四五”污水处理目标要求：城市污水处理率，某市污水处理厂升级了过滤系统.已知过滤过程中，污水中的剩余污染物数量与时间的关系为，其中为初始污染物数量，为常数.若在某次过滤过程中，前2小时过滤掉了污染物的，则可得到前4小时共能过滤掉污染物的（    ） A． B． C． D． 39．（2026·广东汕头·一模）溶液酸碱度用pH值表示，其计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且pH越大，酸度越弱，碱性越大.下列命题中，真命题是（    ） A．已知纯净水的，则纯净水中摩尔/升 B．已知胃酸中摩尔/升，则胃酸的 C．溶液中摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强 D．溶液中摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大 40．（2026·江苏南京·一模）在“M型无人机”物流配送场景中，无人机的载重（单位：kg，）会直接影响其每千米能耗（单位：Wh/km，Wh为电能单位）．某技术团队对该无人机进行载重测试，得到如下实验数据： 载重（kg） 0 1 4 9 16 每千米能耗（Wh/km） 2 7 12 17 22 为精准预测不同载重下的每千米能耗，现有以下三种模型供选择： ①，②，③． (1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并求出其函数解析式； (2)若该无人机电池容量为300Wh，飞行环境、飞行参数控制不变．根据（1）中所得的函数模型， （i）某单程配送任务要求该无人机飞行20km，且载重9kg，判断该无人机是否能完成本次配送任务，并说明理由； （ii）若该无人机执行往返配送任务，去程与返程均需飞行（单位：km），去程载重25kg，返程空载，且往返总能耗不大于电池容量的，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $