第20天 用配方法解一元二次方程-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9北师大版）

预学·新知储备 第20天 用配方法解一元二次方程 新知导学 知识点1 方法归纳 用直接开平方法 二次方程 用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要 正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个， 1.对于方程x2=a,当a≥ 它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 数根为x=土√a. 对形如(mx十n)2=p(m≠0，且p≥0)的一元二次 方程，也可用直接开平方法求解，其根为x= 2.一般地，根据平方根的意义，方程(x十h)2 -n土√p k(h,k为常数，k≥0)的两个实数根为x= m -h±√E 练1解下列方程： 例1解下列方程： (1)25.x2-14=14: (2)x2-16=0; (2)121x2-7=2; (1)x2=100: (3)4x2-25=0; (4)7x2-36=6x2, 解：(1)原方程的两个实数根为x1=10, x2=-10. (2)移项，得x2=16.∴.原方程的两个实数根 为x1=4,x2=一4. (3)移项，得4x2=25.两边都除以4，得x2= 小原方程的两个实数根为心1= 25 2x2 (3)(x+3)2=121;(4)(x+1)2-4=0. 、6 2 (4)移项，得7x2一6x2=36.合并同类项，得 x2=36..原方程的两个实数根为x1=6, x2=-6. 例2解方程：(x-2)2-25=0. 解：移项，得 直接开平方，得 知识点2用配方法解二次项系数 即x-2=5或x-2=-5. 为1的一元二次方程 解得x1= x2= 解一元二次方程的思路是将方程转化为 解析：.(x一2)2一25=0，.移项，得(x (x十m)2=n的形式，它的一边是一个完全平 2)2=25.直接开平方，得x一2=士5，即x一2= 方式，另一边是一个常数.当n≥0时，两边同时 5或x一2=-5..原方程的两个实数根为 开平方，转化为一元一次方程，便可求出原一元 x1=7,x2=一3. 二次方程的根.这种解一元二次方程的方法称 答案：(x-2)2=25;x-2=土5；7；-3. 为配方法。 55 期升级训练数学（北师版）八年级 例3将一元二次方程x2+4x-3=0化成(x十 例4将一元二次方程2x2一8x+4=0变形，下 m)2=n的形式，则m,n的值分别是() 列变形过程错误的是 () A.2,7 B.-2,7 A.x2-4x+2=0 B.x2-4x=-2 C.2,-7 D.-2,-7 C.x2-4x+4=-2D.(x-2)2=2 解析：原方程移项，得x2+4x=3.方程两边同 解析：方程2x2一8x十4=0两边同时除以2，得 时加4，得x2十2×2x十2=7.配方，得(x十 x2一4x十2=0.∴.选项A正确.移项，得x2 2)2=7.∴.m=2,n=7. 4x=一2.∴.选项B正确.配方时，方程两边应 答案：A 同时加4，得x2一4x十4=一2十4，即x2一4x十 练2用配方法解方程x2十6x一8=0时，配方 4=2.∴.选项C错误，符合题意.x2一4x十4= 结果正确的是 ( 2可化为(x一2)2=2，.选项D正确. A.(x-3)2=17 B.(x+3)2=17 答案：C C.(x-6)2=44 D.(x-3)2=1 练4将一元二次方程2x2+3x=一1变形正确 练3解方程： 的结果是 (1)[无锡中考]x2-2x-2=0; A(+°-8 R6+)- c(e+》-8 练5用配方法解方程： (1)3.x2+6.x-12=0; (2)x2-4x-10=0. 知识点3 用配方法解二次项系数 不为1的一元二次方程 (2)2x2-9=8x. 用配方法解一元二次方程ax2十bx十c=0 (a≠0)的一般步骤： (1)转化：方程两边同除以二次项系数，将 二次项系数化为1； (2)移项：把常数项移到方程的右边： (3)配方：在方程的两边都加上一次项系 数一半的平方，使方程的左边成为完全平方式： (4)直接开平方：利用直接开平方法求方 程的解 56 预学·新知储备 预学过关 1.用配方法解一元二次方程x2一2x=0时，应 2x2=2=0 在方程两边同时加上 ) A.1 B.2 C.-1D.4 2.一元二次方程-2x2-12x+16=0变形正 确的是 ( A.(x+3)2=17 B x 2 C.(x+3)2=1 D 3.如果关于x的方程(x m一1没有实数根，那 7.数学课堂上，张老师让嘉琪解答如下问题： 的条件是 用配方法解x2一4√2x一17=0.嘉琪的解答 A.m>1 B.m<1 C 过程如下： 4.用配方法解一元二次方程x2+8x一5=0，得 解：原方程可化为x2一4√2x=17.…第 到(x十k)2=p,则p的值为 一步 5.将一元二次方程x2一2x十a=0变形后得到 配方，得x2一2X2√2x+(4√2)2=17+ (x一1)2=2，则a的值为 (4√2)2，…第二步 6.解下列一元二次方程： 即(x-4√2)2=49.…第三步 (1)x2-1=26: 直接开平方，得x一4√2=士7.…第四步 ∴.x1=4√2+7，x2=4√2-7.…第五步 (1)嘉琪的解答过程从第 步开始出 现错误； (2)请写出正确的解答过程， (2)7x2-28=0: (3)2x-52-8=0: 5718.:四边形ABCD为正方形，∴.AD=AB=4, ∠DAB=90°.△ADE为等边三角形，∴.AE=AD= 4,∠DAE=60°..∠FAE=30°.EF⊥AB,∴.EF= 2AE-2.AF-AE-EF-2/3.BF-AB- AF=4-2√3 19.(1)四边形ABCD为正方形，∴.AD=BC,BC∥ AD.∴.∠ADE=∠CBF.在△ADE和△CBF中， AD=CB. ∠ADE=∠CBF,∴.△ADE≌△CBF(2)如图，连接 DE-BE. AC交BD于点O.:四边形ABCD为正方形，BD=10, ·BD垂直平分AC,OA=OC=OB=OD=令BD= 5.∴.AF=CF,AE=CE.由(1)，可知△ADE≌△CBF, .AE=CF.∴.AF=CF=AE=CE..四边形AECF 是菱形.∴.OF=OE..EF=2OF.四边形AECF的 周长为4AF=4√3A,∴.AF=√34.在Rt△AOF中，由 勾股定理，得OF=√AF2-OA=3.∴.EF=2OF=6, 即EF的长为6 (第19题)》 第二章一元二次方程 第19天认识一元二次方程 【新知导学】 1.C解析：：方程一x十1=口是关于x的一元二次方 程，“☐”应含x2,观察选项可知可以是一x2. 2.D解析：3x2=5x-1化为a.x2+bx十c=0的形式， 且a=3,为3x2-5.x+1=0.∴.b=-5,c=1 3.A解析：围栏的长度为24m,矩形的宽为xm .矩形的长为(24一2x)m.根据题意，得x(24 2x)=40. 4.A解析：由题意，可得4十4十c=0,解得c=一8. 5.不能根据题表中的数据可以发现，当x=2时，5.x2 24x+28=0,.方程5.x2-24x+28=0有一个根是x 2.:当x=2.5时，5x2-24x十28=-0.75，当x=3时， 5x2一24x十28=1，∴.方程5x2-24x+28=0的另一个 根的取值范围是2.5<x<3 【预学过关】 1.D解析：对于选项A,x的最高次数为1，不符合题 意.对于选项B,当a=0时，方程没有二次项，∴.该方程 不一定是一元二次方程，不符合题意.对于选项C,方程含 分式是，不是整式方程，不符合题意对于选项D,方程是 一元二次方程，符合题意、 2.C解析：一元二次方程(3x一1)2=5.x的一般形式为 9x2一11x十1=0，其中二次项系数为9，一次项系数为 一11，常数项为1. 3.C解析：将选项逐一代入验证，1一9=一8≠0，选项 A不符合题意；2-9=-5≠0，选项B不符合题意；32一 9=0,选项C符合题意；42一9=7≠0，选项D不符合 题意 4.D解析：较小的奇数为x,.较大的奇数为x十 2.∴.可列方程为x(x十2)=143. 5.C解析：kx2+3x=x2+5,.(k-1)x2+3x- 5=0..方程kx2十3x=x2十5是关于x的一元二次方 程，∴.k-1≠0，解得k≠1. 6.1.7解析：由题表可知，当x=1.7时，y=0.09与 y=0最接近，∴.一元二次方程x2一x一1.1=0最精确的 一个近似解是1.7. 7.9解析：.一元二次方程2x2一x一3=0的一个根为 m,.22-m-3=0.∴.2m2-m=3.∴.原式= 2(2m2-m)+3=2×3+3=9. 8.(1)不是一元二次方程(2)是一元二次方程化为 一般形式为x2一2=0，∴.二次项为x2,其系数为1，一次 项和一次项系数都是0，常数项为一2(3)是一元二次方 程化为一般形式为x2一x一7=0，∴二次项为x2,其系 数为1，一次项为一x,其系数为一1，常数项为一7 m一2≠0， 9.根据题意，得 (Iml=2, 解得m=一2 第20天用配方法解一元二次方程 【新知导学】 1.(1)原方程两边同时加14，得25x2=28.两边同时除以 52-27 25得-器两边开子方，得，-29 5 (2)原方程两边同时加7，得121x2=9.两边同时除以 9 3 3 121,得x2=12两边开平方，得x=x,=一品 (3)两边开平方，得x十3=士11..x1=8,x2=-14 (4)原方程两边同时加4，得(x+1)2=4.两边开平方，得 x+1=士2.∴.x1=1,x2=一3 9 2.B解析：原方程配方，可得x2+6x十9=8十9，即(x十 3)2=17. 3.（1)原方程配方，得(x一1)2=3.两边开平方，得x 1=土√3..x1=1十√3，x2=1一√3(2)原方程移项， 可得x2一4x=10.配方，得x2-4x+4=10+4,即(x 2)2=14.两边开平方，得x-2=±√14.∴.x1=2十 √14，x2=2-√14 4.D解析：原方程为2x2十3=一1，∴.两边同时除 以2，得2+=一一次项系数的一-半为子其 平方为品小方程两边同时如品得+号x十品 +品整得(+)广= 5.(1)原方程两边同除以3，得x2十2x一4=0.移项，得 x2十2x=4.配方，得x2+2x十1=4十1，即(x十1)2= 5.两边开平方，得x+1=±5，即x+1=√5或x+1= -5..x1=-1+√5，x2=-1-√5(2)移项，得 2x-8x-9=Q方程两边同除以2，得x2-4红一号 0移项，得2-4女=号配方，得2-4十4号+4，即 （一2)-是两边开平方，得x一2=土，即x一2= √3M 2=2-3 1成x-2=2一···x1三2十34 2 【预学过关】 1.A解析：由题意，得x2-2x+1=1,即(x一1)2= 1.∴.用配方法解一元二次方程x2一2x=0时，应在方程 两边同时加上1. 2.A解析：-2x2一12x十16=0，.x2+6x-8= 0...x2+6x=8..x2+6.x+9=8+9,即(x+3)2=17. 3.B解析：关于x的方程（x一2)2=m一1没有实数 根，.m-1<0,解得m<1. 4.21解析：x2+8x-5=0,.x2+8x+16=5+16, 即(x十4)2=21..p=21. 5.-1解析：展开(x-1)2=2,得x2一2x+1=2,即 x2-2x-1=0..a=-1. 6.(1)移项，得x2=27.直接开平方，得x1=33,x2 一3√5(2)移项，得7x2=28.系数化为1，得x2=4.直 接开平方，得x1=-2,x2=2(3)去分母，得(x-5)2 16=0.移项，得(x一5)2=16.直接开平方，得x一5=士4， 解得x1=9,x2=1(4)去分母，得x2一2x一4=0.移 项，得x2-2x=4.∴.x2-2x+1=5,即(x-1)2=5.直 接开平方，得x-1=±5，解得x=1-√5，x2=1十√5 2 7.(1)二(2)原方程可化为x2一42x=17.配方，得 x2-4W2x+(22)2=17+(2√2)2，即(x-2√2)2= 25.直接开平方，得x-2√2=±5，解得x1=22-5, x2=2W2+5 第21天用公式法解一元二次方程 【新知导学】 1.B解析：：关于x的一元二次方程的根为x= 1±w√(-1)2-4×3×(-5) ,.一b=1,a=3,c= 2×3 一5.∴.原方程可以是3x2-x-5=0. 2.(1)a=2,b=-7,c=3,.b2-4ac=(-7)2-4X 2X3=25>0x=7-3=2 (2)5x2+x=7,∴.5x2+x-7=0..a=5,b=1, c=-7...b2-4ac=12-4×5×(-7)=141>0...x= -1±√14 10 .,=1十 10 ,,=-1-14 10 3.D解析：根据题意，得△=（一2）2一4c=0,解得c=1. 4.方程有两个不相等的实数根解析：，△=1一4× 2×(一1)=9>0，∴.方程有两个不相等的实数根. 【预学过关】 1.A解析：由题意，得3x2+5x-7=0.∴.a=3,b=5, c=-7.x=-b±6-4ac_ 2a -5±√5-4×3×(-7万 2×3 “口”处填-5 2.A解析：由题意，可得△=(-2)2一4×1×0=4>0， .方程有两个不相等的实数根， 3.D解析：a=3,b=一11，c=一1，.△=（一11）2 4X3×(-1)=133>0..x=11±13 2×3 11±愿：a>6a的值为1+图 6 6 42641=1,=号 解析：由题意，得5x2+6x一 11=0,.a=5,b=6,c=一11...△=62-4×5× (-1D=2564=-6:n=1= 11 2×5 1 5.m>日解析：一元二次方程2x2+x十m=0没有 实数根，△=12-4X2m=1-8m<0,解得m>8: 1 .m的取值范围是m>8 1 6.(1).a=1,b=-3,c=1,∴.b2一4ac=9-4X1×