第19天 认识一元二次方程-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9北师大版）

期升级训练数学（北师版）八年级 第二章 一元二次方程 第19天 认识一元二次方程 新知导学 知识点1 知识点2 元二次方程 元二次方程的一般形式 只含有一个未知数 我们把a.x2+bx+c=0(a,b 可以化成a.x2+bx十c=0(a,b,c为常数，a≠ a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中 0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程. ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项， 例1下列方程一定是一元二次方程的是() a,b分别称为二次项系数和一次项系数， 例2将下列方程化为一元二次方程的一般形 =0 式（二次项系数大于0），并指出二次项系数、一 B.ax2+bx+c=0 次项系数和常数项. C.x2-3x十2=0 (1)5.x2=81; D.(x+1)(x-2)=x2 (2)2x(x-1)=0; 解析：+是0不是整武方想5进须A (3)5x(x-5)=4x-25; (4)2(x-3)2-4=x(x-1). 中的方程不是一元二次方程..：在ax2+bx+ 解：(1)化为一元二次方程的一般形式为5x2 c=0中，当a=0时，方程设有二次项，.选项 81=0.二次项系数为5，一次项系数为0，常数 B中的方程不一定是一元二次方程.：x2一 项为-81. 3x十2=0符合一元二次方程的定义，∴.选项C (2)化为一元二次方程的一般形式为2x2 中的方程是一元二次方程..(x十1)(x一2)= 2x=0.二次项系数为2，一次项系数为一2，常 x2可化为一x=2,.选项D中的方程不是一 数项为0. (3)化为一元二次方程的一般形式为5x2 元二次方程. 29x+25=0.二次项系数为5，一次项系数为 答案：C 一29，常数项为25. 方法归纳 (4)化为一元二次方程的一般形式为x2 判断一个方程是否为一元二次方程，首先看方 程是否是整式方程.若不是整式方程，则直接排除； 11x+14=0.二次项系数为1，一次项系数为 若是整式方程，则进行化简，看方程是否同时满足 一11，常数项为14. “一元”“二次”且二次项的系数不能为0，这几个条 方法归纳 件缺一不可. 任何一个一元二次方程都可以通过去分母、去括 号、移项、合并同类项等步骤化为一般形式，一般形式 练1若方程一x十1=口是关于x的一元二次 不是唯一的，但习惯上都把二次项系数化为正整数 方程，则“☐”可以是 在一般形式中，a.x2是二次项，bx是一次项，c是常 A.y2B.22 数项.其中a,b分别是二次项系数和一次项系数. C.-x2 D.-x 52 预学·新知储备 练2将一元二次方程3.x2=5.x-1化为ax2+ 例4下列哪些数是一元二次方程x2一3x+2= bx十c=0的形式.若a=3,则b,c的值分别为 0的根？ -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. A.5,1 B.-5,-1C 解：分别将这9个数代入方程，一一验证，发现 当x=1或x=2时，方程的左边等于右边， 知识点3 根据实际问题 .x=1和x=2是方程的根， 二次方程 将一4，一3，-2，一1,0,3,4代入方程，方程 从实际问题列一元二次方程，遵循审、设、 的左边都不等于右边， 找、列四步骤，找准等量关系是关键 .一4，一3，一2，一1,0,3,4不是这个方程的根 例3[龙东地区中考]随着“低碳生活，绿色出 练4若x=一2是方程x2-2.x十c=0的一个 行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们 根，则c的值为 () 喜爱的交通工具.某新能源汽车的月销售量由 A.-8 B.8 一月份的8000辆增加到三月份的12000辆， C.9 D.-9 设该汽车一月份至三月份的销售量平均每月的 知识点5估计一元二次方程的 增长率为x,则可列方程为 ( 近似解 A.8000(1+2x)=1200 一元二次方程解的估算：要估算由实际问 B.8000(1+x)2=12000 题所列的一元二次方程的近似解，先根据问题 C.8000+8000(1+x)+8000(1+x)2= 确定解的大致范围，再把一元二次方程化为一 12000 般形式，最后通过计算进行两边夹逼，逐步获得 D.8000×2(1+x)=12000 方程的近似解， 解析：由题意，可得8000(1+x)2=12000. 例5根据下表中的对应值判断，关于x的一元 答案：B 二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)的一个解x的 练3[新疆中考]如图，小明在数学综合实践活 取值范围是 () 动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏 x 4.21 4.22 4.23 围成一个面积为40m的矩形场地.设矩形场 ax2+bx+c -0.11 -0.05 0.02 地的宽为xm,根据题意可列方程为 A.x<4.21 B.4.21<x<4.22 (练3图) C.4.22<x4.23 A.x(24-2x)=40B.x(24-x)=40 D.x>4.23 C.2x(24-2x)=40D.2x(24-x)=40 解析：由表格可知，当x=4.22时，ax2十bx十 c=-0.05,当x=4.23时，ax2+bx+c= 知识点4 一元二次方程的解 0.02,∴.关于x的-元二次方程ax2十bx十c= 0(a≠0)的一个解x的取值范围是4.22<x< 一元二次方程的解通常也称为一元二次方 4.23. 程的根 答案：C 53 期升级训练数学（北师版）八年级 方法归纳 从表中你能得出方程5x2一24x十28=0的根是 在估算一元二次方程的近似解时，要细心观察 多少吗？如果能，写出方程的根；如果不能，请 表格中的对应数据，再根据方程的数据找到x的值 写出方程根的取值范围. 或取值范围. 练5观察下表： 1 1.5 2 2.5 3 3.5 5x2-24x+289 3.25 0 -0.751 5.25 预学过关 1.下列方程一定是一元二次方程的为() 8.下列方程是否为关于x的一元二次方程？ A.x十3=0 B.a.x2+4x-5=0 若是，将其化为一般形式（二次项系数大于 c+是-l D.x2-1=0 0),并分别指出它们的二次项、一次项、常数 项及二次项系数、一次项系数. 2.一元二次方程(3x一1)2=5x化成一般形式 后，二次项系数为9，一次项系数为( )3x2-1-2-0: A.1 B.-1C.-11D.11 3.在数1,2,3和4中，是关于x的一元二次方 程x2一9=0的根的是 A.1 B.2 C.3 D.4 4.两个相邻奇数的积是143，求这两个奇数.设 (2)x2=2; 较小的奇数为x,则可列方程为 () A.x(x+1)=143 B.(2x+1)(2x-1)=143 C.x(x-2)=143 D.x(x+2)=143 (3)(x+1)(x-2)=5. 5.若方程kx2+3x=x2+5是关于x的一元二 次方程，则k的取值范围是 () A.k≠0 B k C.k≠1 D 6.观察表格，一元二次方 9.已知(m-2)xm-2x十3=0是关于x的一 x一1.1=0最精确的一 元二次方程，求m的值， 是 (精确到0.1 1.4 1.5 1.6 1.71.8 x2-x-1.1-0.54-0.35-0.140.090.34 7.整体思想已知一元二次方程2x2一x一3=0 的一个根为m,则4m2一2m+3的值为 5418.:四边形ABCD为正方形，∴.AD=AB=4, ∠DAB=90°.△ADE为等边三角形，∴.AE=AD= 4,∠DAE=60°..∠FAE=30°.EF⊥AB,∴.EF= 2AE-2.AF-AE-EF-2/3.BF-AB- AF=4-2√3 19.(1)四边形ABCD为正方形，∴.AD=BC,BC∥ AD.∴.∠ADE=∠CBF.在△ADE和△CBF中， AD=CB. ∠ADE=∠CBF,∴.△ADE≌△CBF(2)如图，连接 DE-BE. AC交BD于点O.:四边形ABCD为正方形，BD=10, ·BD垂直平分AC,OA=OC=OB=OD=令BD= 5.∴.AF=CF,AE=CE.由(1)，可知△ADE≌△CBF, .AE=CF.∴.AF=CF=AE=CE..四边形AECF 是菱形.∴.OF=OE..EF=2OF.四边形AECF的 周长为4AF=4√3A,∴.AF=√34.在Rt△AOF中，由 勾股定理，得OF=√AF2-OA=3.∴.EF=2OF=6, 即EF的长为6 (第19题)》 第二章一元二次方程 第19天认识一元二次方程 【新知导学】 1.C解析：：方程一x十1=口是关于x的一元二次方 程，“☐”应含x2,观察选项可知可以是一x2. 2.D解析：3x2=5x-1化为a.x2+bx十c=0的形式， 且a=3,为3x2-5.x+1=0.∴.b=-5,c=1 3.A解析：围栏的长度为24m,矩形的宽为xm .矩形的长为(24一2x)m.根据题意，得x(24 2x)=40. 4.A解析：由题意，可得4十4十c=0,解得c=一8. 5.不能根据题表中的数据可以发现，当x=2时，5.x2 24x+28=0,.方程5.x2-24x+28=0有一个根是x 2.:当x=2.5时，5x2-24x十28=-0.75，当x=3时， 5x2一24x十28=1，∴.方程5x2-24x+28=0的另一个 根的取值范围是2.5<x<3 【预学过关】 1.D解析：对于选项A,x的最高次数为1，不符合题 意.对于选项B,当a=0时，方程没有二次项，∴.该方程 不一定是一元二次方程，不符合题意.对于选项C,方程含 分式是，不是整式方程，不符合题意对于选项D,方程是 一元二次方程，符合题意、 2.C解析：一元二次方程(3x一1)2=5.x的一般形式为 9x2一11x十1=0，其中二次项系数为9，一次项系数为 一11，常数项为1. 3.C解析：将选项逐一代入验证，1一9=一8≠0，选项 A不符合题意；2-9=-5≠0，选项B不符合题意；32一 9=0,选项C符合题意；42一9=7≠0，选项D不符合 题意 4.D解析：较小的奇数为x,.较大的奇数为x十 2.∴.可列方程为x(x十2)=143. 5.C解析：kx2+3x=x2+5,.(k-1)x2+3x- 5=0..方程kx2十3x=x2十5是关于x的一元二次方 程，∴.k-1≠0，解得k≠1. 6.1.7解析：由题表可知，当x=1.7时，y=0.09与 y=0最接近，∴.一元二次方程x2一x一1.1=0最精确的 一个近似解是1.7. 7.9解析：.一元二次方程2x2一x一3=0的一个根为 m,.22-m-3=0.∴.2m2-m=3.∴.原式= 2(2m2-m)+3=2×3+3=9. 8.(1)不是一元二次方程(2)是一元二次方程化为 一般形式为x2一2=0，∴.二次项为x2,其系数为1，一次 项和一次项系数都是0，常数项为一2(3)是一元二次方 程化为一般形式为x2一x一7=0，∴二次项为x2,其系 数为1，一次项为一x,其系数为一1，常数项为一7 m一2≠0， 9.根据题意，得 (Iml=2, 解得m=一2 第20天用配方法解一元二次方程 【新知导学】 1.(1)原方程两边同时加14，得25x2=28.两边同时除以 52-27 25得-器两边开子方，得，-29 5 (2)原方程两边同时加7，得121x2=9.两边同时除以 9 3 3 121,得x2=12两边开平方，得x=x,=一品 (3)两边开平方，得x十3=士11..x1=8,x2=-14 (4)原方程两边同时加4，得(x+1)2=4.两边开平方，得 x+1=士2.∴.x1=1,x2=一3 9