9.3　小专题 电场中的功能关系和图像问题 讲义-2027届高考物理一轮复习

该高中物理高考复习讲义围绕电场中的功能关系和图像问题两大核心考点，前者系统梳理动能定理、能量守恒等基础关系及综合应用，后者分类解析φ-x、E-x等图像的斜率与面积意义，通过考点梳理、方法指导、真题训练的教学流程，帮助学生构建知识网络，突破解题难点。 讲义采用模型建构与分层训练结合的教学策略，如功能关系中通过例3整合重力、弹力、电场力的能量转化，图像问题中引导学生用科学推理分析斜率物理意义，培养物理观念和科学思维。设置基础巩固与能力提升练习，配合详细解析，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供实用参考。

第3讲　小专题:电场中的功能关系和图像问题 考点一　电场中的功能关系 1.常见的功能关系 (1)合外力做功等于动能的变化量,即W合=Ek2-Ek1=ΔEk(动能定理)。 (2)重力做功等于物体重力势能的减少量,即WG=EpG1-EpG2=-ΔEpG。 (3)静电力做功等于电势能的减少量,即W电=Ep电1-Ep电2=-ΔEp电。 (4)弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量,即W弹=Ep弹1-Ep弹2=-ΔEp弹。 (5)除了重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于物体机械能的变化,即W其他力=E机2-E机1=ΔE机。 2.电场中常见的能量关系 (1)若只有电场力做功,则动能和电势能之间相互转化,二者之和保持不变,即ΔEk=-ΔEp。 (2)若只有电场力和重力做功,则机械能和电势能之间相互转化,电势能、重力势能、动能之和保持不变。 注意:动能定理可以把不同力对物体做的功联系起来;能量守恒定律可以把系统中参与变化的所有能量联系起来。 [例1] 【仅在静电力作用下的功能关系】 (2024·贵州模拟)如图所示,虚线a、b、c、d、e是电场中的一组平行等差等势面,相邻两等势面间的电势差为3 V,其中a等势面的电势为9 V,电子以某初速度从P点平行纸面射入,速度方向与a等势面夹角为45°,已知该电子恰好能运动到e等势面(不计电子重力)。则(　　) [A] 电子在电场中做匀减速直线运动 [B] 电子运动到e等势面时动能为0 [C] 电子运动到c等势面时动能为18 eV [D] 电子返回a等势面时动能为12 eV [例2] 【重力和静电力作用下的功能关系】 (2024·黑吉辽卷,6)在水平方向的匀强电场中,一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面(纸面)内运动。如图,若小球的初速度方向沿虚线,则其运动轨迹为直线,若小球的初速度方向垂直于虚线,则其从O点出发运动到O点等高处的过程中(　　) [A] 动能减小,电势能增大 [B] 动能增大,电势能增大 [C] 动能减小,电势能减小 [D] 动能增大,电势能减小 [例3] 【重力、弹力和静电力作用下的功能关系】 如图所示,在空间中存在竖直向上的匀强电场,质量为m、电荷量为+q的物块从A点由静止开始下落,加速度大小为g,下落高度H到B点后与一轻弹簧接触,又下落2H后到达最低点C,整个过程中不计空气阻力,且弹簧始终在弹性限度内,重力加速度为g,则带电物块在由A点运动到C点过程中,下列说法正确的是(　　) [A] 该匀强电场的电场强度大小为 [B] 带电物块和弹簧组成的系统机械能减少量为mgH [C] 带电物块电势能的增加量为3mgH [D] 弹簧的弹性势能的增加量为mgH [变式] 在[例3] 中弹簧的劲度系数是多少?物块下落过程中的最大速度是多少? 考点二　静电场中的图像问题 1.-x图像(电场方向与x轴平行) (1)电场强度的大小等于-x图线的切线斜率的绝对值,如果图线是曲线,电场为非匀强电场;如果图线是倾斜的直线,电场为匀强电场(如图)。切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零。 (2)在-x图像中可以直接判断各点电势的高低,并可根据电势的高低确定电场强度的方向,进而可以判断电荷在电场中的受力方向。(如图) 2.E-x图像(电场方向与x轴平行) (1)E-x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系,若规定x轴正方向为电场强度E的正方向,则E>0时,电场强度E沿x轴正方向;E<0时,电场强度E沿x轴负方向。 (2)E-x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示),两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中,可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。 3.Ep-x图像、Ek-x图像 (1)Ep-x图像。 由静电力做功与电势能变化关系F电x=Ep1-Ep2=-ΔEp知Ep-x图像的切线斜率k=,其绝对值等于静电力大小,正负代表静电力的方向。 (2)Ek-x图像。 当只有静电力对带电体做功时,由动能定理F电x=Ek-Ek0=ΔEk知Ek-x图像的切线斜率k=,斜率表示静电力。 [例4] 【-x图像】 (2025·河南高考适应性考试)某电场的电势随位置x的变化关系如图所示,O点为坐标原点,a、b、c、d为x轴上的四个点。一带正电粒子从d点由静止释放,在电场力作用下沿x轴运动,不计重力,则粒子(　　) [A] 将在ad之间做周期性运动 [B] 在d点的电势能大于a点的电势能 [C] 在b点与c点所受电场力方向相同 [D] 将沿x轴负方向运动,可以到达O点 [例5] 【E-x图像】 (2024·江苏南京模拟)空间有一沿x轴对称分布的电场,其电场强度E随x变化的图像如图所示,以x轴正向为电场强度的正方向。则(　　) [A] x1、x2两点间和x2、x3两点间的电势差相等 [B] x1、x3两点的电势相等 [C] -x1点的电势高于x2点的电势 [D] 从x轴上x1点由静止释放一正电荷,电荷经过x2点时动能最大 [例6] 【Ep-x图像】 (多选)一带负电的微粒(电荷量不变,所受重力不计)只在电场力作用下沿x轴正方向运动,其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示,其中0～x1段是曲线,x1～x2段是平行于x轴的直线,x2～x3段是倾斜直线,则(　　) [A] 0～x1段电场强度逐渐增大 [B] 0～x1段电势逐渐升高 [C] x1～x2段电场强度为零 [D] x2～x3段微粒做匀加速直线运动 [例7] 【Ek-x图像】 (2024·江西阶段练习)(多选)如图甲所示,光滑绝缘水平地面上以水平向右为正方向建立Ox轴,O点右侧两竖直虚线中间区域存在平行x轴方向的电场,电势随x位置的变化情况如图乙所示。一带电物块以某一初速度向右由O点进入电场区域,物块仅在电场力作用下通过该电场区域。则该区域中物块的动能Ek随x位置变化的图像可能正确的是(　　) [A] [B] [C] [D] 对点1.电场中的功能关系 1.(4分)(2024·云南玉溪期中)a、b、c、d四个带电液滴在如图所示的匀强电场中,分别水平向左、水平向右、竖直向上、竖直向下做匀速直线运动,则(　　) [A] c的电势能减少,机械能增加 [B] a、b的电势能增加、机械能不变 [C] a、b为同种电荷,c、d为异种电荷 [D] d的电势能减少,机械能减少 2.(6分)(2023·全国乙卷,19)(多选)在O点处固定一个正点电荷,P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小球,小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动,其一段轨迹如图所示。M、N是轨迹上的两点,OP>OM,OM=ON,则小球(　　) [A] 在运动过程中,电势能先增加后减少 [B] 在P点的电势能大于在N点的电势能 [C] 在M点的机械能等于在N点的机械能 [D] 从M点运动到N点的过程中,电场力始终不做功 3.(4分)(2024·四川南充模拟)如图所示,水平放置的轻质绝缘弹簧左端固定在竖直墙壁上,右端连接一放置在光滑绝缘水平面上的带正电小球,水平面上方存在水平向右的匀强电场。初始时弹簧处于压缩状态,将小球由静止释放,小球运动过程中弹簧始终在弹性限度内,则在小球向右运动的过程中(　　) [A] 弹簧恢复原长时,小球的速度最大 [B] 小球运动到最右端时,小球的加速度为零 [C] 小球运动到最右端时,弹簧的弹性势能最大 [D] 小球运动到最右端时,弹簧的弹性势能与初始时相等 对点2.静电场中的图像问题 4.(6分)(2024·云南昭通模拟)(多选)如图甲所示,一绝缘带电的竖直圆环上均匀分布着电荷,一光滑绝缘细杆从圆心垂直于圆环平面穿过圆环,杆上穿一个带负电的小球(图中未画出),现使小球从a点由静止释放,并开始计时,先后经过b、c两点,其运动过程中的v-t图像如图乙所示。下列说法正确的是(　　) [A] 带电圆环在圆心处产生的电场强度为零 [B] c点场强大于b点场强 [C] a点的电势高于b点的电势 [D] 电势差Uab大于Ubc 5.(4分)(2025·内蒙古高考适应性考试)如图,一带正电小球甲固定在光滑绝缘斜面上,另一带正电小球乙在斜面上由静止释放。以释放点为原点,沿斜面向下为正方向建立x轴。在乙沿x轴加速下滑过程中,其动能Ek和机械能E随位置x变化的图像,可能正确的是(　　) 　 　 　 [A] [B] [C] [D] 6.(4分)(2024·安徽滁州模拟)如图,绝缘粗糙的水平面附近存在一与x轴平行的电场,其在x轴上的电势与坐标x的关系如图中曲线所示,图中的倾斜虚线为该曲线过点(0.15,3)的切线。质量为 0.1 kg、电荷量为1.0×10-7 C的带正电滑块P,从x1=0.1 m处由静止释放,滑块与水平面间的动摩擦因数为0.2。滑块可视为质点,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g取10 m/s2。则滑块(　　) [A] 做匀减速直线运动 [B] 经过x2=0.15 m处时,速度最大 [C] 从释放到经过x2=0.15 m处,电场力做功为 3.0×10-2 J [D] 可以滑到x3=0.30 m处 7.(6分)(2024·河南开封质检)(多选)空间中有水平方向的匀强电场,一质量为m、带电荷量为q的微粒在某平面内运动,其电势能和重力势能随时间的变化如图所示,则该微粒(　　) [A] 一定带正电 [B] 0～3 s内静电力做的功为-9 J [C] 运动过程中动能不变 [D] 0～3 s内除静电力和重力外所受其他力对微粒做的功为12 J 8.(4分)(2025·湖南衡阳模拟)在倾角为θ的光滑固定绝缘足够长的斜面上,有两个用绝缘轻弹簧连接的物块A和B,它们的质量分别为m和3m,弹簧的劲度系数为k,C为一固定挡板。开始未加电场,系统处于静止状态,A带正电,B不带电,现加一沿斜面向上的匀强电场,物块A沿斜面向上运动,当B刚离开C时,A的速度为v,之后两物块运动中,当A的加速度为0时,B的加速度大小为a,方向沿斜面向上。下列说法正确的是(　　) [A] 未加电场时,挡板C对物块B的作用力大小为3mgsin θ [B] 从加电场到B刚离开C的过程中,A发生的位移大小为 [C] 从加电场到B刚离开C的过程中,物块A的机械能和电势能之和保持不变 [D] B刚离开C时,电场力对A做功的瞬时功率为(4mgsin θ+3ma)v 9.(4分)(2024·吉林二模)一个封闭绝缘环由两个直径相同的半圆环BCD、EFA和两段直杆AB、DE组成,ABDE是矩形,封闭环固定在绝缘水平面上,ABCD段和DEFA段分别均匀分布等量的异种电荷,在环的中心O垂直于水平面固定一根粗细均匀的粗糙绝缘杆,一只带正电的小球套在杆上,从P点由静止释放,小球向下运动,在小球从P点运动到O点的过程中,则(　　) [A] 小球的电势能越来越大 [B] 小球受到的摩擦力越来越大 [C] 小球运动的加速度越来越大 [D] 小球的动能一定越来越大 参考答案：[例1] 【答案】 C 【解析】 根据题意可知,电子在电场中仅受电场力,电子的初速度方向与电场力方向不在一条直线上,则电子在电场方向上做匀减速直线运动,在垂直于电场方向上做匀速直线运动,即电子在电场中做匀变速曲线运动,故A错误;电子运动到e等势面时,沿电场方向的速度为0,垂直于电场方向的速度不为0,则电子在e等势面时动能不为0,故B错误;设电子的初速度为v0,电子由a等势面到e等势面,由动能定理有-eUae=m(v0sin 45°)2-m,解得电子的初动能Eka=m=24 eV,电子由a等势面到c等势面,由动能定理有-eUac=Ekc-Eka,解得Ekc=18 eV,电子返回a等势面时,电场力做功为0,则电子动能为初动能24 eV,故C正确,D错误。 [例2] 【答案】 D 【解析】 根据题意,若小球的初速度方向沿虚线,则其运动轨迹为直线,可知电场力和重力的合力沿着虚线方向,又电场强度方向为水平方向,根据力的合成可知,电场力方向水平向右;若小球的初速度方向垂直于虚线,则其从O点出发运动到O点等高处的过程中重力对小球做功为零,电场力的方向与小球的位移方向相同,则电场力对小球做正功,小球的动能增大,电势能减小。 [例3] 【答案】 D 【解析】 带电物块从静止开始下落到接触弹簧前的加速度为g,对带电物块由牛顿第二定律得 mg-qE=ma,解得E=,故A错误;从A到C的过程中,除重力和弹簧弹力以外,只有电场力做功,电场力做功W=-qE·3H=-2mgH,可知物块和弹簧组成系统的机械能减少量为2mgH,物块电势能增加量为2mgH,故B、C错误;由系统能量守恒得减少的重力势能等于增加的电势能和弹性势能,即mg·3H=2mgH+Δ,得Δ=mgH,故D正确。 [变式] 【答案】 　 【解析】 物块从A点下落到C点的过程中,克服弹簧弹力做功 W弹=·2H=k(2H)2,A到C过程由动能定理得mg·3H-qE·3H-k(2H)2=0, 解得k=。 物块下落过程中加速度a=0时,速度最大,设物块速度最大时弹簧的压缩量为x,对物块速度最大时进行受力分析可得mg=qE+kx, 解得x=H; 对物块由A位置下落至速度最大位置过程由动能定理得 mg·H-k(H)2-qE·H=m, 解得vm=。 [例4] 【答案】 A 【解析】 a、d两点电势相等,则带正电粒子在a、d两点的电势能相等,故B错误;沿着电场线方向电势降低,在b点电场线方向沿x轴正方向,在c点电场线方向沿x轴负方向,因此带正电粒子在b点与c点所受电场力方向不同,故C错误;带正电粒子从d点由静止释放先沿x轴负方向加速,再沿x轴负方向减速,到达a点时速度为0,然后粒子沿x轴正方向先加速后减速,到达d点时速度为0,则带正电粒子在ad之间做周期性运动,故A正确,D错误。 [例5] 【答案】 C 【解析】 E-x图像中图线与x轴所围面积表示电势差,由题图无法判断x1、x2两点间和x2、x3两点间的电势差的大小关系,故A错误;在O点右侧场强方向沿x轴正向,由于沿电场线方向电势逐渐降低,则x1点电势高于x3点电势,故B错误;由于E-x图像中图线与x轴所围面积表示电势差,故从O点到x2的电势降落大于O点到-x1电势降落,所以-x1的电势高于x2的电势,故C正确;从x轴上x1点由静止释放一正电荷,电场力一直对电荷做正功,其动能一直增大,故D错误。 [例6] 【答案】 CD 【解析】 Ep-x图线的斜率的绝对值表示电场力的大小,0～x1段微粒所受电场力减小,故0～x1段电场强度减小,同理,x1～x2段电场强度为零,故A错误,C正确;0～x1段微粒的电势能逐渐增大,而微粒带负电荷,所以电势逐渐降低,故B错误;x2～x3段微粒受到的电场力大小不变,电势能减少,动能增加,则微粒做匀加速直线运动,故D正确。 [例7] 【答案】 BD 【解析】 -x图像斜率表示电场强度,根据题图乙图像可知,电场强度逐渐减小,物块受到的电场力逐渐减小,根据Fx=ΔEk得F=,因此Ek-x图像的斜率表示合力,而合力逐渐减小,则Ek-x图像的斜率逐渐减小。故选BD。 对点1.电场中的功能关系 1. 【答案】 A 【解析】 四个带电液滴均做匀速直线运动,则所受电场力均向上且大小等于重力,故带电液滴均带正电,C错误;电场力对c做正功,电势能减少,重力对c做负功,机械能增加,A正确;在运动过程中,电场力和重力对a、b都不做功,a、b的电势能、机械能均不变,B错误;电场力对d做负功,电势能增加,机械能减少,D错误。 2. 【答案】 BC 【解析】 由题知,OP>OM,OM=ON,则根据点电荷的电势分布情况可知M=N>P,则带负电的小球在运动过程中,电势能先减少后增加,且EpP>EpM=EpN,则带负电的小球在M点的机械能等于在N点的机械能,A错误,B、C正确;从M点运动到N点的过程中,电场力先做正功后做负功,D错误。 3 【答案】 C 【解析】 当小球在水平方向上受到电场力和弹簧弹力平衡时,加速度为零,小球速度有最大值,此时弹簧处于伸长状态,故A错误;小球做简谐运动,电场力和弹簧弹力的合力提供回复力,小球运动到最右端时弹簧的弹性势能最大,此时小球速度为零,小球的加速度最大,故B错误,C正确;在小球向右运动到最右端的过程,电场力做正功,根据动能定理W电+W弹=0,可知弹簧弹力做负功,小球运动到最右端时,弹簧的弹性势能比初始时的大,D错误。 对点2.静电场中的图像问题 4 【答案】 AD 【解析】 根据电场的叠加原理和对称性可知,带电圆环在圆心处产生的场强为零,故A正确;v-t图像的斜率表示加速度,由题图乙可知,小球在c点的加速度小于在b点的加速度,根据qE=ma可知,c点场强小于b点场强,故B错误;根据题图乙可知小球在做加速运动,可知小球受到圆环的斥力作用,圆环带负电,由于沿电场线方向电势降低,则a点的电势低于b点的电势,故C错误;根据动能定理有qUab=m-0,qUbc=m-m,可得 qUab<qUbc,由于小球带负电,所以Uab>Ubc,故D正确。 5. 【答案】 D 【解析】 设两个带电小球间距为r,对小球乙,由动能定理可知(mgsin θ-k)x=Ek,则Ek-x图像的斜率表示小球乙所受合外力,则F合=mgsin θ-k,所以在乙沿x轴加速下滑过程中,两个带电小球间距r逐渐减小,小球乙所受合外力沿斜面向下且逐渐减小,则Ek-x图像斜率逐渐减小,故A、B不符合题意;由E-x图像的斜率表示库仑力,则E-x图像斜率k斜=k,所以在乙沿x轴加速下滑过程中,库仑力逐渐增大,E-x图像的斜率逐渐增大,故C不符合题意,D符合题意。 6. 【答案】 B 【解析】 x2=0.15 m处,场强E== N/C=2×106 N/C,滑块受到的电场力F=qE=1.0×10-7×2×106 N=0.2 N,滑动摩擦力Ff=μmg=0.2×0.1×10 N=0.2 N,此时加速度为零,滑块的速度最大,故B正确;-x图像中,某点切线的斜率绝对值k=||表示该点电场强度的大小,由此可知沿x轴正方向,电场强度逐渐减小,根据牛顿第二定律可知刚开始运动时qE-Ff=ma,滑块在整个过程中先做加速度减小的变加速运动,加速度为零后,有Ff-qE=ma,所以后做加速度增大的减速运动,故A错误;从释放到经过x2=0.15 m处,电场力做功W=q(1-2)=1.0×10-7×(4.5×105-3×105) J=1.5×10-2 J,故C错误;若滑块能在0.3 m处停下,则电场力做功WE=q(1-3)=1.0×10-7×(4.5×105-1.5×105) J=3×10-2 J,摩擦力做功Wf=-μmg(x3-x1)=-0.2×0.1×10×(0.3-0.1) J=-4×10-2 J,由于WE+Wf<0,所以滑块不能够滑到x3=0.30 m处,故D错误。 7. 【答案】 BCD 【解析】 由于不清楚电场强度的方向,故无法确定微粒的电性,故A错误;由题图可知,0～3 s内电势能增加9 J,则0～3 s静电力做的功为-9 J,故B正确;由题图可知,电势能均匀增加,即静电力做的功与时间成正比,说明微粒沿静电力方向做匀速直线运动,同理,沿重力方向也做匀速直线运动,则微粒的合运动为匀速直线运动,所以运动过程中速度不变,动能不变,故C正确;由功能关系可知,0～3 s 内重力势能与电势能共增加12 J,又微粒的动能不变,故0～3 s内除静电力和重力外所受其他力对微粒做的功为12 J,故D正确。 8. 【答案】 D 【解析】 开始未加电场,系统处于静止状态,挡板C对物块B的作用力大小等于A和B的总重力在沿斜面方向上的分力大小,即FN=4mgsin θ,A错误;刚加电场时,弹簧处于压缩状态,对物块A受力分析,根据平衡条件有mgsin θ=kx1,解得弹簧的压缩量x1=;物块B刚要离开C时,弹簧处于拉伸状态,对B由平衡条件可得 3mgsin θ=kx2,解得弹簧的伸长量x2=,B刚离开C的过程中,A发生的位移大小为x=x1+x2=,B错误;对A、B和弹簧组成的系统,从加电场到B刚离开C的过程中,物块A的机械能、电势能与弹簧的弹性势能之和保持不变,弹簧的弹性势能先减小后增大,故物块A的机械能和电势能之和先增大后减小,C错误;设A所受的电场力大小为F,由题意知当A的加速度为零时,B的加速度大小为a,方向沿斜面向上,根据牛顿第二定律,对A有F-mgsin θ-F弹=0,对B有F弹-3mgsin θ=3ma,故有F=4mgsin θ+3ma,当B刚离开C时,A的速度为v,则电场力对A做功的瞬时功率为P=Fv=(4mgsin θ+3ma)v,D正确。 9. 【答案】 B 【解析】 将封闭环上的电荷看成是由若干组等量异种电荷组成,根据电场的叠加可知,绝缘杆所在处的电场方向与杆垂直且从上向下电场强度越来越大,根据等量异种电荷的电势分布可知小球向下运动过程中,电势能不变,A错误;电场力越来越大,正压力越来越大,滑动摩擦力越来越大,B正确;由于有摩擦力,小球可能先做加速运动后做减速运动,即可能加速度先减小后反向增大,速度先增大后减小,则动能可能先增大后减小,C、D错误。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $