10.3 直线与平面的位置关系（讲义）高二数学沪教版必修第三册

本讲义聚焦空间直线与平面位置关系核心知识点，系统梳理线面平行、垂直的判定与性质定理，线面角的作图计算及三垂线定理，构建从定理条件严谨性（如线面平行三要素、线面垂直需两相交直线）到性质应用，再到证明、角度计算、补全条件的完整学习支架。 该资料突出核心素养培养，通过“特别提醒”强调定理条件（如线面垂直避免平行直线），强化数学思维；结合正方体等模型辨析命题，发展空间观念（数学眼光）；题型分层设计（即学即练、变式巩固），规范证明书写（数学语言）。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，提升空间几何推理能力。

第10章 空间直线与平面 10.3 直线与平面的位置关系 课标要点 1.熟记线面平行、垂直的判定与性质定理，能规范写出证明的完整逻辑条件，区分定理适用前提。 2.掌握斜线射影画法，会构造直角三角形求解线面角，理解线面角的定义与取值范围。 3.熟练运用三垂线定理判断空间垂直关系，分清定理的充分、必要双向推导逻辑。 4.能结合正方体等模型辨析空间命题真假，规避定理条件缺失、概念混淆等常见易错点。 学习重难点 重点： 1.线面平行、线面垂直两大判定定理，证明时完整罗列全部必备条件，规范书写几何证明步骤。 2.线面角的作图方法与计算流程，准确找到斜线在平面内射影，借助直角三角形求角度。 3.线面平行、垂直的性质定理，能通过作辅助平面实现线面、线线位置关系互相转化。 难点： 1.立体空间想象力不足，难以快速作出垂线、射影，无法准确构造线面角对应的直角三角形。 2.容易遗漏判定定理关键条件，如线面平行缺、线面垂直缺少直线相交条件。 知识点一 直线与平面平行 1.判定定理：平面外一条直线，若与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。 使用三大必备条件： ①直线在平面外：；②平行线在平面内：；③两直线互相平行： 2.性质定理：若直线与平面平行，过这条直线的平面与原平面相交，则该直线与交线平行。 特别提醒 （1）判定定理条件缺失，忽略核心前提 很多解题时仅证明平面内直线与已知直线平行，直接得出线面平行。若已知直线本身落在平面内部，线线平行只能说明直线在平面内，不存在线面平行关系，证明过程逻辑不完整，大题会扣分。 （2）误用线面平行性质定理，缺少“两平面相交”条件 使用性质定理推导线线平行时，必须说明经过已知直线的平面和原平面产生交线。若未交代面面相交，不能直接判定直线与平面内任意直线平行，线面平行只能推出直线平行于交线，不是平面内全部直线。 即学即练 1．在三棱锥中，E，F分别是棱，的中点，则与平面的位置关系为（    ） A．异面 B．平行 C．相交 D．无法判断 【答案】B 【详解】因为，分别是棱，的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. 2．如图，在四棱锥中，底面为梯形，．若平面与平面相交于直线，求证：． 【答案】因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，故． 【详解】略 知识点二 直线与平面垂直 1.定义：若一条直线垂直平面内任意一条直线，称直线垂直于该平面；直线为垂线，平面为垂面，交点为垂足。 基础结论：过一点有且仅有一条直线垂直已知平面；过一点有且仅有一个平面垂直已知直线。 2.判定定理：一条直线垂直平面内两条相交直线，则直线垂直这个平面。 3.性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 4.拓展重要结论 （1）线面垂直，则直线垂直平面内所有直线； （2）两直线平行，一条垂直平面，另一条也垂直该平面； （3）同垂直于一条直线的两个平面互相平行； （4）过一点有且只有一条直线垂直已知平面；过一点有且仅有一个平面垂直已知直线。 特别提醒 证明线面垂直时，仅证明直线垂直平面内两条互相平行的直线，就判定线面垂直。两条平行线无法撑起平面，无法保证直线和整个平面垂直，必须保证两条直线相交于一点才能使用判定定理。 即学即练 3．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为四边形是正方形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为四边形是正方形， 所以， 因为平面，平面， 所以， 由于平面，， 所以平面. 知识点三 直线与平面所成角 直线与平面相交且不垂直，这条直线为平面斜线，交点为斜足；斜线上取点作平面垂线，垂足与斜足连线为斜线射影；斜线和自身射影形成的锐角，即为直线与平面所成角。 即学即练 4．如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面,为的中点. (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1） 如图，连接，交于点，连接， 因四边形是正方形，故，又为的中点， 故，因平面，平面，故平面. （2）因平面，则为直线与平面所成的角， 也即直线与平面所成的角，在中，因，故. 即直线与平面所成的角为. 知识点四 三垂线定理 平面内一条直线与平面斜线垂直的充要条件：该直线垂直斜线在平面内的射影。 题型01 线面平行，垂直命题的判断 典｜例｜精｜析 【例1】若，是两条不同的直线，是平面，，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】已知，，当时，满足线面平行判定定理的条件， 可以推出，因此充分性成立； 若，说明直线与平面内的直线没有交点，和平面内的直线可能平行，也可能异面， 所以与给定的直线不一定平行，二者也可能为异面直线， 因此由不能必然推出，必要性不成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 【例2】已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】若，则m，n平行或异面，A选项错误； 若，则或，B选项错误； 若，则m，不一定垂直，也可能平行或相交，C选项错误； 若，，则，D选项正确. 故选：D 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对选项A：若，，则或，因此A错误； 对选项B：该命题是线面平行的性质定理，即如果一条直线与一个平面平行， 如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行，因此B正确； 对选项C：若，，则或，因此C错误； 对选项D：若，，则与的位置关系为平行或异面，因此D错误. 【变式1-2】已知直线和平面，则“与内无数条直线垂直”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】“”，则“与内所有直线垂直”，故“与内无数条直线垂直”，必要性成立， 若“与内无数条直线垂直”，但这些直线均平行，则无法得到“”，充分性不成立， 故“与内无数条直线垂直”是“”的必要不充分条件. 【变式1-3】设、为两个平面，、为两条直线，且，则下述四个命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若且，则 D．若与，所成的角相等，则 【答案】C 【详解】对A，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故A错误； 对B，若，则与不一定垂直，故B错误； 对C，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故C正确； 对D，若与和所成的角相等，如果，则，故D错误； 综上只有C正确， 故选：C. 题型02 证明线面平行 典｜例｜精｜析 【例3】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点．求证：平面； 【答案】 证明：在四棱锥中，底面为正方形，连接交于点，连接，如下图所示： 则是的中点，而为中点，于是， 又平面，平面， 所以平面. 【详解】略 【例4】（实战演练06立体几何中的平行问题）如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，底面是直角梯形，，，.若为棱的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】取的中点，连接、， 因为为棱的中点，所以且， 又且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】如图所示，在三棱柱中，H为的中点，为的中点，求证：平面.    【答案】证明见解析 【详解】如图所示，连接，因为为的中点，为的中点，所以． 又因为平面，平面，所以平面．    【变式2-2】如图，在四棱锥中，，，，点在上，且，．若为线段中点，求证：平面． 【答案】 取的中点为，接，如下图所示： 则， 而，故， 故四边形为平行四边形， 可得， 又平面，平面， 所以平面. 【详解】略 【变式2-3】如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），，分别是，的中点.证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】连接， 因为底面是正方形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以是的中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面 题型03 线面平行的性质及其应用 典｜例｜精｜析 【例5】在四棱锥中，底面为平行四边形，点M满足，点N在棱上，使得平面，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】底面为平行四边形，因此. 因为平面，平面，所以平面. 平面和平面有公共点，两平面相交，设交线为过 的直线. 因为平面，所以，结合，可得 . 已知平面，且平面PAB，由线面平行性质得. 结合，所以. 在中，由平行线分线段成比例定理. 因为，所以，即， 所以， 因此. 【例6】如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，、、分别为、、的中点，平面平面. (1)判断直线与的位置关系并证明； (2)求证：平面； 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）.证明如下： 因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. （2）取中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以且， 因为四边形为平行四边形，所以且， 因为为的中点，所以且， 所以，故四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知三棱锥，点M为棱的中点，点P在线段上，且，点Q为棱上一点，且平面，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图所示，作中点，连接， 所以的交点为的重心，所以， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以，所以； 可知，所以与不共线，没有固定的长度关系. 【变式3-2】如图，在正方体中，已知，分别为棱，的中点，过，，三点的平面交棱于点，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 延长交的延长线于点，连接，如图所示. 因为为的中点，且在正方体中， 所以， 所以. 设正方体的棱长为1，则. 因为为平面与棱的交点，且均在平面与平面的交线上， 所以三点共线. 在平面中，过点作于点， 因为为的中点，所以为的中点， 且，. 因为，所以， 所以， 所以， 所以. 又，所以. 因为，所以，解得. 【变式3-3】如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点．设平面与直线相交于点，求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】因底面为平行四边形，故， 因平面，平面，故平面， 又因平面平面，平面，故， 因平面，平面， 故平面． 题型04 补全线面平行的条件 解题贴士 先明确判定定理必备三要素，对比题干现有条件，找出缺失的限制，优先补充直线在平面外、平面内存在平行线两类核心条件。 补充完成后反向验证，将补齐条件代入定理，检验能否严谨推出线面平行，排除多余或错误的限定语句。 典｜例｜精｜析 【例7】如图，在正方体中，M，N分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若在棱上有一点P，满足平面，请你求出的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为分别是，的中点，所以. 因为平面，而不在平面内， 所以平面. （2）设交于点，在线段上取一点，使得为靠近的四分之一处的点. 连接，在中，因为， 所以，又平面，而不在平面内， 所以平面，符合题意，此时. 【例8】已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设点为的中点，取的中点，连接，，    则，又平面，平面，∴平面， 易知，故平面与平面是同一个平面， ∴平面，此时， 故选：B 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 【答案】在中点与中点连线上 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，即点在中点与中点连线上， 故答案为：在中点与中点连线上. 【变式4-2】如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论． 【答案】(1) (2)存在，当是棱中点时，平面，证明如下： 取中点，连接，，则， 因为平面，平面，所以平面， 在中，为中点，为中点，， 平面，平面，所以平面；， 所以平面平面，因为平面，所以平面. 【分析】 【详解】（1）取的中点，因为为中点，所以在 中， 为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，又， 所以为锐角，所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）略. 【变式4-3】如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，． （1）求证：平面． （2）试问：在上是否存在一点，使平面成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，证明见解析. 【分析】 【详解】（1）证明：连接，由，得， 又得， 所以四边形是平行四边形 所以， 又平面，平面， ∴平面． （2）解：存在中点，使平面成立． 取中点，连，，使，连． ∵是矩形，∴是的中点， 又∵是上靠近点的一个三等分点，且是中点， ∴是的中点，∴中，， 又∵平面，平面， ∴平面， 故在上是存在中点，使平面成立． 题型05 线面垂直的判定定理和性质定理 典｜例｜精｜析 【例9】如图，在正四棱柱中，，，为线段中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)连接交于点，连接， 因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. (2)因为正四棱柱中，，，为线段中点， 所以， 因为，所以， 因为，所以平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 【例10】如图，在正方体中为的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面； 【答案】(1) (2)如图所示，在正方体中，平面，平面，因此. 由四边形是正方形，可知. 又因为平面，平面，且， 所以平面. 【分析】 【详解】（1）在正方体中，，因此正方体棱长为，平面. 因为是中点，所以到平面的距离. 底面是直角三角形，. . （2）略 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】如图，在直三棱柱中，，，，分别为的中点. (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）由，，分别为的中点，所以， 由为直三棱柱，则为矩形，故， 所以均为等腰直角三角形，故， 结合题图及三角形内角和为，的夹角为，即； （2）由，则， 由为直三棱柱，则为矩形，故， 由，平面，则平面， 又平面，则，而， 由，平面，则平面. 【变式5-2】如图，在直四棱柱中，底面是菱形，点E，F分别为棱，的中点． (1)求证：∥平面； (2)求证：． 【答案】(1)取的中点，连接，，如图所示，又点为棱的中点，所以∥，， 在直四棱柱中，∥，， 所以∥，． 又底面是菱形，点为棱的中点，所以∥，， 所以∥，， 所以四边形是平行四边形，所以∥． 又平面，平面， 所以∥平面． (2)连接，因为底面是菱形，所以， 在直四棱柱中，平面， 又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 【变式5-3】如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）连接，交于，连接． 直三棱柱中，侧面为矩形，所以点为中点． 因为点是的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）直三棱柱中，平面，因为平面，所以． 在中，，，，则，所以． 因为，平面，， 所以平面，所以． 题型06 补全线面垂直的条件 解题贴士 对照线面垂直判定定理，检查题干是否存在 “平面内两条相交直线”，缺少相交条件则优先补充交点，缺少垂直关系则补充线线垂直条件。 完成条件补充后逆向推演，确认依据现有+ 补充条件，能够严格推出直线与平面垂直，排除无法支撑结论的无效条件。 典｜例｜精｜析 【例11】如图，在正方体中，，. （1）求证：； （2）在线段上，是否存在点，使得平面？并说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析. 【分析】 【详解】（1）如图，连接，因为，，所以，分别为，的中点，所以， 又，所以. （2）如图，取的中点，连接，， 因为平面，所以，又，所以. 因为，，所以. 因为，所以平面， 所以在线段上，存在点，使得平面. 【点睛】关键点睛：本题考查空间中的线线垂直，线面垂直关系的证明，关键在于准确地应用判定定理，满足判定定理所需的条件得以证明． 【例12】如图，在直三棱柱中，，，，点N为AB中点，点M在边AB上. （1）当点M为AB中点时，求证：平面； （2）试确定点M的位置，使得平面. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】 【详解】（1）在直三棱柱中， 点为中点，为中点， ， 平面，平面， 平面． （2）当点是中点时，使得平面． 证明如下： 在直三棱柱中，，，， 点为中点，点是中点， ，， ，平面， 平面，， ，， ，△， ，， ， ，平面． 【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】在三棱柱中，侧棱平面，，，为棱的中点，在侧棱上存在一点，使得平面，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为侧棱平面，所以侧棱平面， 又，平面，所以，， 又，且， 平面， 则平面， 由直三棱柱的性质可得，，， 所以侧面，又侧面， 则， 取的中点，连接，， 所以为的中位线， 则，且， 则点在平面内，即平面， 若平面，而平面， 则，设， 若，则， 又， 所以， 则， 解得，即为的中点， 所以． 故选：C 【点睛】关键点睛：根据线面垂直的判定定理得到是解题的关键. 【变式6-2】如图，正三棱柱中底面边长为a，D、E分别在与上，且. （1）求截面的面积； （2）上是否存在一点P，使得面？若不存在，说明理由；若存在，指出P的位置. 【答案】（1）；（2）存在，P为中点. 【分析】 【详解】（1）如图所示，取的中点，连接， ∵，∴,， ∴，，， 在等腰三角形中，高为， ∴. （2）存在，P为中点，证明如下： 取，中点，连接，，， ∵，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 由正三棱柱的性质可得，， ∵，∴面， ∴面 【点睛】本题主要考查了正三棱柱的性质、线面与面面垂直的判定和性质定理、三角形的面积计算公式是解题的关键，属于中档题. 【变式6-3】如图，在四棱锥中，底面，，，，． （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析（2）在棱上存在点，，使得平面． 【分析】 【详解】解（1）由题意，可得， ∴，即， 又底面， ∴， 且， ∴平面； （2）过点作，垂足为， 由（1）可得， 又， ∴平面. 在中，∵，， ∴. 即在棱上存在点，且，使得平面. 【点睛】本题主要考查了勾股定理，线面垂直的性质，线面垂直的判定，考查了数形结合思想和推理论证能力，属于中档题. 题型07 求直线与平面所成的角 典｜例｜精｜析 【例13】如图，在四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，且E，F分别为AB，的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：连接，， 由条件可知四边形为平行四边形， 而F为的中点，故F为的中点． ∵E为AB的中点， ∴EF为的中位线，即． ∵平面，平面， ∴平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略． （2）连接DE，，，过F作于点N．    设， 则由条件及余弦定理可得， 故，均为等边三角形． ∵E为AB的中点，∴，． ∵，∴平面． ∵平面，∴， ∵，∴平面ABD， ∴为直线EF与平面ABCD所成角． 由于， 故为等腰三角形，即， 而，则，故， 则直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为． 【例14】如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，，点为的中点，是等边三角形，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)如图，因为，点为的中点，所以，所以； 又因为是等边三角形，所以，所以，所以； 因为平面，所以平面； (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）设点到平面的距离为，则， 由（1）知，平面，所以为三棱锥的高，所以， 又因为，所以，所以； 所以，； 所以，解得； 设直线与平面所成角为，则； 所以直线与平面所成角的正弦值为. 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】在多面体中，底面为矩形，，，，平面，则直线与底面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设中点为，连接， 因为，所以， 因为，所以四边形是平行四边形，， 又因为平面，所以即为直线与底面所成角的平面角， 因为底面为矩形，，，所以， 因为平面，所以，， 所以， 即直线与底面所成角的正弦值为. 【变式7-2】如图，在四棱锥中，底面，底面是菱形，且，．    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明：如图，连接． 因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面， 所以， 又，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以，则在中，， 设，所以， 在等边中，，所以， 所以． 如图，取的中点，连接，，    则，，， 因为平面，平面，所以平面平面， 因为平面平面，平面， 所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 在中，， 所以在中，， 所以直线与平面所成角的正切值为． 【变式7-3】如图，四边形是圆柱的轴截面，C是下底面圆周上一点，点D是线段中点 (1)证明：直线平面； (2)若，，，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)连接，令，连接，则是、的中点， 在△中， 是线段中点，是的中点，∴∥， 又∵平面，平面， ∴直线平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2） 法一:因为，所以与平面所成角即为与平面所成角， 假设点到平面的距离为， 在三棱锥中，平面， 在中，为中点，，，， 所以三棱锥的体积， 因为为中点，所以， 又在中，所以， 同理， 又在中，所以， 又因为，即有， 解得， 假设与平面所成角的为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 方法二：以为原点，以、、分别为轴、轴、轴的正方向， 建立如图空间直角坐标系，则 ， 所以， 设平面的法向量， 所以， 令，则， 所以平面的一个法向量， 与平面所成角的， ， 所以与平面所成角的正弦值为. 题型08 求直线与平面所成角的最值范围问题 典｜例｜精｜析 【例15】如图，在矩形中，，，，分别为，的中点，将沿直线翻折成，与，不重合，连结，则在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为______. 【答案】 【详解】连接、，设其交点为，连接，由矩形中，，， 故四边形为正方形，且，， 又由点关于折叠而来，故，且， 又、平面，且， 故平面，过点作于点， 由、，故，又平面， 故平面，连接，则为与平面所成角， 由平面，故， 故与平面所成角的正切值即为， 由，，， 故与全等，故， ， 过点作于点，则有， 设，则， 当点在线段上（可在点，不可在点）时，则， 有， 则， 则， 易得在上时随的增大而增大， 故， 当点在线段上（不在两端）时，， 则， 则， 则， 易得在上时随的增大而增大， 此时， 综上所述，， 即在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为. 故答案为：. 【例16】如图，在矩形中，，，M为线段上的点，且，将沿着折起，点B翻折至的位置，连接，，形成四棱锥．    (1)求证：平面； (2)若N为棱上的点，且满足平面，求的值； (3)求直线与平面所成角的正切值的取值范围． 【答案】(1)证明：因为四边形为矩形，所以，     又因为平面，平面，     所以平面． (2)2 (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）在中，，，，则， ，在线段上截取，连接，，， 由，可得四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面，则平面，因为平面，又， ，平面，则平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 又，，则；    （3）在原图中连接，交于点，在中，，，则， 又在中，，，则，且, 在翻折后的图中，,又因平面, 则平面，又平面，∴平面平面， 则即直线与平面所成角. 由题可知，在以P为圆心，为半径的圆上，则当直线与圆相切时，取得最大值， 此时,，则， 故直线与平面所成角的正切值取值范围为    变｜式｜巩｜固 【变式8-1】如图，在正四面体中，点满足，点在棱上运动，设与平面所成角为，则的最大值为______． 【答案】/ 【详解】设二面角的平面角为， 由最大角定理知，当且仅当时取等号． 如图，取的中点O，连接， 在正四面体中，得到，由三线合一性质得， 同理可得，则是二面角的平面角． 设三棱锥的棱长为，则，由勾股定理得, 由余弦定理得， 而，得到，由同角三角函数的基本关系得， 解得（负根舍去），故，即的最大值为． 故答案为： 【变式8-2】如图，在直三棱柱中，平面⊥侧面，点到平面的距离等于1. (1)求证：； (2)若，设直线与平面所成的角为θ，求θ的最大值. 【答案】(1)证明：过作垂直于， 因为平面⊥侧面，平面侧面，侧面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，又平面， 所以，又因为，平面， 所以平面，又平面，所以， (2)θ的最大值为 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，所以在平面内的射影为， 所以直线与平面所成的角，所以， 又点A到平面的距离等于1，所以， 设，所以，， 所以，又， 所以，所以，取得等号， 解得或（舍去），所以， 所以，又，所以， 所以θ的最大值为. 【变式8-3】如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若点在的三边上运动，直线与平面所成的角为，求的取值范围. 【答案】(1)证明：分别为的中点，． 平面平面平面． (2)证明：如图，连接．易得. ， . 平面平面， 平面. (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）将直三棱柱补成直四棱柱， ，设的中点分别为，，连接， 设与的交点为． ， 四边形是平行四边形，． ，即，，，四点共面． ， 四边形是平行四边形，． 由（2）可知平面平面， 由，得，即点到平面的距离为， 当点在的三边上运动时， ， 易得， 当与重合时，取得最大值，则取得最小值，最小值为， 此时取得最小值，最小值为．如图，过作，垂足为。 易得， 则， . 当与重合时，取得最大值，则取得最大值，最大值为． 故的取值范围为． 【点睛】 题型09 根据线面角求其他 典｜例｜精｜析 【例17】已知三棱锥中，是等边三角形，，，与平面所成角的余弦值为，则______． 【答案】3 【详解】作的中点，连接，，是等边三角形， ，即为与平面所成角， 作为在平面内的投影，则在上，，， ，， ， ， 在直角中，， ． 故答案为：3． 【例18】如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是______    【答案】 【详解】连接，相交于点，连接， 则⊥平面，故， 因为，所以，， 故，故， 正四棱锥的高为.    故答案为： 变｜式｜巩｜固 【变式9-1】如图，长方体中，，与底面所成的角为，则异面直线与所成角的大小为__________． 【答案】arccos 【详解】如图，连接， 因为平面，所以为与平面所成的角，即， 所以，因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，为异面直线与所成的角， 因为，， 所以，所以. 故答案为： 【变式9-2】在四棱锥中，已知平面，底面四边形是正方形，，直线与平面所成角的正切值是，则______． 【答案】 【详解】四棱锥中， 平面， 平面，，， 底面四边形是正方形，则， 平面，，平面， 则直线与平面所成角为，   中，，， 中，. 故答案为： 【变式9-3】如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面ABCD，为的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：为的中点； (2)若，，直线与平面所成角的大小为，求PD的长． 【答案】(1)过作交于，连接, 由于,所以, 因此平面即为平面， 由于为的中点，所以为中点， (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由于四边形为菱形，且，， 所以, 取中点，连接, 由于平面，平面，所以, 又平面, 所以平面, 故即为直线与平面所成角，故， 故，因此 基础通关 一、填空题 1．梯形中，，平面，平面，则直线与平面的位置关系是________． 【答案】平行 【详解】因为，平面，平面， 所以直线与平面的位置关系是平行. 2．如图，在空间四边形中，，，，的长和两条对角线，都相等，且E为的中点，F为的中点，则直线和平面所成的角的正弦值为______________，正切值为______________． 【答案】 / / 【详解】由已知得，和是全等的等边三角形且F是的中点，所以，．又，故平面． 连接，则是在平面内的射影，所以是与平面所成的角． 设空间四边形的边长为a，则在等边三角形中； 在中，． 故． ，故． 故答案为：，. 3．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足________时，. 【答案】 【详解】当底面四边形的两对角线垂直时，可得到. 证明如下：如图，连接. ∵在直四棱柱中， 平面，平面， . 若，又， 则平面. 又平面， . 在直四棱柱中，且， 则四边形是平行四边形， 所以，故. 故答案为： 4．在正方体中，体对角线与平面所成角的正切值是_________. 【答案】 【详解】设正方体的棱长为1，连接， 在正方体中，可得平面， 所以体对角线与平面所成角，即为， 在直角中，，所以, 所以体对角线与平面所成角的正切值是. 故答案为：. 5．“直线平面”是“直线垂直于平面内无数条直线”_____条件.(填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”) 【答案】充分不必要 【详解】若直线与平面垂直，由线面垂直的定义知直线垂直于平面内所有直线， 故直线垂直于平面内无数条直线故充分性成立； 但是当直线垂直于平面内无数条直线时，若这些直线平行，则直线与平面不一定垂直，故必要性不成立. 所以“直线与平面垂直”是“直线垂直于平面内无数条直线”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 6．如图，在中，平面，则四面体中共有______个直角三角形． 【答案】4 【详解】因为，则为直角三角形， 又平面，则， 则为直角三角形， 因为平面，平面，所以， 又，，且平面， 所以平面，又平面， 所以，则为直角三角形， 综上，四面体的四个面均为直角三角形. 故答案为：4 二、单选题 7．已知平面，，是两条不同的直线，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若且，则 【答案】D 【详解】若，则或，故A错误； 若，则或是异面直线，故B错误； 若，，则或是异面直线或相交，故C错误； 若且，结合已知可得，， 所以，故D正确. 8．在正三棱柱中，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为平面平面， 所以直线与平面所成角即直线C1D与平面所成角. 在正三棱柱中，有平面，即平面， 故即直线C1D与平面所成角. 平面，平面， . 又因为由题可知， 故，则. 故选：D. 9．如图，在四面体中，分别是的中点，则下列结论中一定正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】C 【详解】对于A，若平面，则，又因为G、F为中点，所以，所以，但由于四面体各侧面形状不定，不一定成立，故A错误； 对于B，若平面，则，所以，但由于四面体各侧面形状不定，不一定成立，故B错误； 对于C，由题意，面EFG，面EFG，所以平面EFG，故C正确； 对于D，取AC中点H，连接GH，则，而面GHF，面GHF，所以面GHF，但显然面GHF与面EFG不是同一平面，且面面，所以平面EFG不成立，故D错误。 故选：C． 三、解答题 10．如图，在三棱柱中，底面，，，，点是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明：因为，，满足，所以， 又因底面，在平面内，所以， 又，且都在平面内，所以平面. 因为在平面内，所以. (2)证明：连接交于点，连接． 因为四边形为矩形，所以点为的中点．又因点为的中点，故． 因为平面，平面，所以平面． 【详解】（1）略 （2）略 11．如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且，. (1)求证：平面； (2)求直线与底面所成角的正切值. 【答案】(1) 连接交于，因为E为劣弧CB的中点，所以是中点， 又是中点，所以，即 因为平面，平面， 所以平面； (2) 【详解】（1）略 （2）因为平面，所以是直线与底面所成的角，， 又平面，所以 因为，所以，所以. 12．如图，在三棱锥中，．求证：平面；    【答案】证明见解析 【详解】在中，， 由余弦定理，即，解得， 所以在中，即，所以， 又，，平面， 所以平面； 素养提升 1．如图，在三棱锥中，为棱靠近点的三等分点，分别为棱的中点，若点在线段上，若连接，交于点，在中，设，则______；若平面，则______. 【答案】 【详解】第一空：因为为棱靠近点的三等分点，所以， 又，所以，又分别为棱的中点，所以， 所以，又在同一直线上，所以， 解得； 第二空：连接，因为平面，又平面，平面平面， 所以，所以，由，可得，所以. 故答案为：①；②. 2．已知l，m为直线，为平面，给出下列三个论断：①②③.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：______________________________. 【答案】若，，则 【详解】命题：以②、③为条件，①为结论； 证明：根据线面垂直的性质，若，则垂直于平面内的所有直线； 又，则的方向与平面内某条直线的方向相同，因此，该命题正确， 命题：以①、③为条件，②为结论； 该命题错误，反例：当时，仍有且，但在平面内，不满足，故无法推出该结论， 命题：以①、②为条件，③为结论； 该命题错误，反例：设，为平面内与垂直的直线，则且，但不垂直于平面，无法推出结论. 3．在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，分别取的中点, 分别连接,则平行于. 平行于,所以(或其补角)即为直线与所成角, 设,则. 在中,可得,为中位线，所以. 在中,可得,为中位线，所以. 在中,. 在中,. 在中,由余弦定理,， 由于与所成角为锐角,故直线与所成角的余弦值为. 4．如图，四棱锥中，底面，，．    (1)若，证明：平面； (2)若，且，求二面角的正弦值． 【答案】(1)因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 所以， 又平面，平面，所以平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接，    因为平面，且平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 所以即为二面角的平面角， 因为，则，，， 而为等腰直角三角形，所以， 故，所以. 5．矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，解以下问题： (1)证明：面； (2)在上是否存在点使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)如图，连接，在矩形中，，为线段的中点， ，， ，， 又平面平面，平面，平面平面， 平面； (2)存在，是线段上靠近点 的三等分点. 【分析】 【详解】（1）略 （2）存在，是线段上靠近点 的三等分点. 如图所示，连接、，设交于点， ，且， ． 取的三等分点，使，连接、、，则， 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点的三等分点． 迁移创新 1．如图，在正方体中，点是线段上一动点，则下列说法正确的是____ ①．平面 ②．当为线段的中点时，直线与直线所成角的正切值为 ③．随着的长度变长，直线与平面所成角先变大再变小 ④． 【答案】①③④ 【详解】如图， 在①选项中，因为为正方体，所以平面平面，又平面，所以平面，故①正确； 在②选项中，当为线段的中点时，因为，所以就是直线与直线所成角. 连接，在中，，所以， 即直线与直线所成角的正切值为，故②错误； 在③选项中，因为平面，所以就是直线与平面所成角， 设正方体棱长为，随着的长度变长，长度先变小后变大， 先变大后变小，直线与平面所成角先变大再变小，③正确； 在④选项中，连接，因为正方体中，平面， 平面，所以，④正确. 2．如图，四棱锥中，底面为梯形，，，，点在棱上． (1)当为的中点时，求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值． 【答案】(1)取中点，连接，为的中点，为的中点， ，，又因为，所以， 所以是平行四边形， 所以，平面，平面，所以平面； (2)， 证明如下： 连接交于，连接， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 则，可得， 又因为，可知，则， 因此. 【分析】 【详解】（1）略； （2），证明略；. 3．如图，正三棱柱的所有棱长均为，P是侧棱上任意一点． (1)求证：不可能与平面垂直； (2)当时，求线段的长． 【答案】(1)反证法．假设平面，因为平面，所以． 又正三棱柱中，平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以侧面， 因为侧面，所以，所以为直角三角形， 这与是正三角形矛盾． 故不可能与平面垂直． (2) 【分析】 【详解】（1）证明：略 （2）取的中点，连接、，因为，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以， 因为，所以， 因为，， 所以， 所以，从而． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 空间直线与平面 10.3 直线与平面的位置关系 课标要点 1.熟记线面平行、垂直的判定与性质定理，能规范写出证明的完整逻辑条件，区分定理适用前提。 2.掌握斜线射影画法，会构造直角三角形求解线面角，理解线面角的定义与取值范围。 3.熟练运用三垂线定理判断空间垂直关系，分清定理的充分、必要双向推导逻辑。 4.能结合正方体等模型辨析空间命题真假，规避定理条件缺失、概念混淆等常见易错点。 学习重难点 重点： 1.线面平行、线面垂直两大判定定理，证明时完整罗列全部必备条件，规范书写几何证明步骤。 2.线面角的作图方法与计算流程，准确找到斜线在平面内射影，借助直角三角形求角度。 3.线面平行、垂直的性质定理，能通过作辅助平面实现线面、线线位置关系互相转化。 难点： 1.立体空间想象力不足，难以快速作出垂线、射影，无法准确构造线面角对应的直角三角形。 2.容易遗漏判定定理关键条件，如线面平行缺、线面垂直缺少直线相交条件。 知识点一 直线与平面平行 1.判定定理：平面一条直线，若与平面一条直线平行，则该直线与此平面平行。 使用三大必备条件： ①直线在平面外：；②平行线在平面内：；③两直线互相平行： 2.性质定理：若直线与平面平行，过这条直线的平面与原平面相交，则该直线与平行。 特别提醒 （1）判定定理条件缺失，忽略核心前提 很多解题时仅证明平面内直线与已知直线平行，直接得出线面平行。若已知直线本身落在平面内部，线线平行只能说明直线在平面内，不存在线面平行关系，证明过程逻辑不完整，大题会扣分。 （2）误用线面平行性质定理，缺少“两平面相交”条件 使用性质定理推导线线平行时，必须说明经过已知直线的平面和原平面产生交线。若未交代面面相交，不能直接判定直线与平面内任意直线平行，线面平行只能推出直线平行于交线，不是平面内全部直线。 即学即练 1．在三棱锥中，E，F分别是棱，的中点，则与平面的位置关系为（    ） A．异面 B．平行 C．相交 D．无法判断 2．如图，在四棱锥中，底面为梯形，．若平面与平面相交于直线，求证：． 知识点二 直线与平面垂直 1.定义：若一条直线垂直平面内直线，称直线垂直于该平面；直线为垂线，平面为垂面，交点为垂足。 基础结论：过一点有且仅有一条直线垂直已知平面；过一点有且仅有一个平面垂直已知直线。 2.判定定理：一条直线垂直平面内两条直线，则直线垂直这个平面。 3.性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相。 4.拓展重要结论 （1）线面垂直，则直线垂直平面内直线； （2）两直线平行，一条垂直平面，另一条也垂直该平面； （3）同垂直于一条直线的两个平面互相； （4）过一点有且只有一条直线垂直已知平面；过一点有且仅有一个平面垂直已知直线。 特别提醒 证明线面垂直时，仅证明直线垂直平面内两条互相平行的直线，就判定线面垂直。两条平行线无法撑起平面，无法保证直线和整个平面垂直，必须保证两条直线相交于一点才能使用判定定理。 即学即练 3．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 知识点三 直线与平面所成角 直线与平面且不垂直，这条直线为平面斜线，交点为斜足；斜线上取点作平面垂线，垂足与斜足连线为斜线射影；斜线和自身射影形成的，即为直线与平面所成角。 即学即练 4．如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面,为的中点. (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角. 知识点四 三垂线定理 平面内一条直线与平面斜线垂直的充要条件：该直线垂直斜线在平面内的射影。 题型01 线面平行，垂直命题的判断 典｜例｜精｜析 【例1】若，是两条不同的直线，是平面，，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-2】已知直线和平面，则“与内无数条直线垂直”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】设、为两个平面，、为两条直线，且，则下述四个命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若且，则 D．若与，所成的角相等，则 题型02 证明线面平行 典｜例｜精｜析 【例3】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点．求证：平面； 【例4】如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，底面是直角梯形，，，.若为棱的中点，求证：平面. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】如图所示，在三棱柱中，H为的中点，为的中点，求证：平面.    【变式2-2】如图，在四棱锥中，，，，点在上，且，．若为线段中点，求证：平面． 【变式2-3】如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），，分别是，的中点.证明：平面. 题型03 线面平行的性质及其应用 典｜例｜精｜析 【例5】在四棱锥中，底面为平行四边形，点M满足，点N在棱上，使得平面，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例6】如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，、、分别为、、的中点，平面平面. (1)判断直线与的位置关系并证明； (2)求证：平面； 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知三棱锥，点M为棱的中点，点P在线段上，且，点Q为棱上一点，且平面，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在正方体中，已知，分别为棱，的中点，过，，三点的平面交棱于点，设，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点．设平面与直线相交于点，求证：平面． 题型04 补全线面平行的条件 解题贴士 先明确判定定理必备三要素，对比题干现有条件，找出缺失的限制，优先补充直线在平面外、平面内存在平行线两类核心条件。 补充完成后反向验证，将补齐条件代入定理，检验能否严谨推出线面平行，排除多余或错误的限定语句。 典｜例｜精｜析 【例7】如图，在正方体中，M，N分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若在棱上有一点P，满足平面，请你求出的值. 【例8】已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 【变式4-2】如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论． 【变式4-3】如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，． （1）求证：平面． （2）试问：在上是否存在一点，使平面成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由． 题型05 线面垂直的判定定理和性质定理 典｜例｜精｜析 【例9】如图，在正四棱柱中，，，为线段中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【例10】如图，在正方体中为的中点. 求证：平面； 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】如图，在直三棱柱中，，，，分别为的中点. (1)求证：； (2)求证：平面. 【变式5-2】如图，在直四棱柱中，底面是菱形，点E，F分别为棱，的中点． (1)求证：∥平面； (2)求证：． 【变式5-3】如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； 题型06 补全线面垂直的条件 解题贴士 对照线面垂直判定定理，检查题干是否存在 “平面内两条相交直线”，缺少相交条件则优先补充交点，缺少垂直关系则补充线线垂直条件。 完成条件补充后逆向推演，确认依据现有+ 补充条件，能够严格推出直线与平面垂直，排除无法支撑结论的无效条件。 典｜例｜精｜析 【例11】如图，在正方体中，，. （1）求证：； （2）在线段上，是否存在点，使得平面？并说明理由. 【例12】如图，在直三棱柱中，，，，点N为AB中点，点M在边AB上. （1）当点M为AB中点时，求证：平面； （2）试确定点M的位置，使得平面. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】在三棱柱中，侧棱平面，，，为棱的中点，在侧棱上存在一点，使得平面，则（    ） A．2 B． C． D． 【变式6-2】如图，正三棱柱中底面边长为a，D、E分别在与上，且. （1）求截面的面积； （2）上是否存在一点P，使得面？若不存在，说明理由；若存在，指出P的位置. 【变式6-3】如图，在四棱锥中，底面，，，，． （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 题型07 求直线与平面所成的角 典｜例｜精｜析 【例13】如图，在四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，且E，F分别为AB，的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值． 【例14】如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，，点为的中点，是等边三角形，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】在多面体中，底面为矩形，，，，平面，则直线与底面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在四棱锥中，底面，底面是菱形，且，．    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正切值． 【变式7-3】如图，四边形是圆柱的轴截面，C是下底面圆周上一点，点D是线段中点 (1)证明：直线平面； (2)若，，，求与平面所成角的正弦值． 题型08 求直线与平面所成角的最值范围问题 典｜例｜精｜析 【例15】如图，在矩形中，，，，分别为，的中点，将沿直线翻折成，与，不重合，连结，则在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为______. 【例16】如图，在矩形中，，，M为线段上的点，且，将沿着折起，点B翻折至的位置，连接，，形成四棱锥．    (1)求证：平面； (2)若N为棱上的点，且满足平面，求的值； (3)求直线与平面所成角的正切值的取值范围． 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】如图，在正四面体中，点满足，点在棱上运动，设与平面所成角为，则的最大值为______． 【变式8-2】如图，在直三棱柱中，平面⊥侧面，点到平面的距离等于1. (1)求证：； (2)若，设直线与平面所成的角为θ，求θ的最大值. 【变式8-3】如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若点在的三边上运动，直线与平面所成的角为，求的取值范围. 题型09 根据线面角求其他 典｜例｜精｜析 【例17】已知三棱锥中，是等边三角形，，，与平面所成角的余弦值为，则______． 【例18】如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是______    变｜式｜巩｜固 【变式9-1】如图，长方体中，，与底面所成的角为，则异面直线与所成角的大小为__________． 【变式9-2】在四棱锥中，已知平面，底面四边形是正方形，，直线与平面所成角的正切值是，则______． 【变式9-3】如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面ABCD，为的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：为的中点； (2)若，，直线与平面所成角的大小为，求PD的长． 基础通关 一、填空题 1．梯形中，，平面，平面，则直线与平面的位置关系是________． 2．如图，在空间四边形中，，，，的长和两条对角线，都相等，且E为的中点，F为的中点，则直线和平面所成的角的正弦值为______________，正切值为______________． 3．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足________时，. 4．在正方体中，体对角线与平面所成角的正切值是_________. 5．“直线平面”是“直线垂直于平面内无数条直线”_____条件.(填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”) 6．如图，在中，平面，则四面体中共有______个直角三角形． 二、单选题 7．已知平面，，是两条不同的直线，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若且，则 8．在正三棱柱中，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在四面体中，分别是的中点，则下列结论中一定正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 三、解答题 10．如图，在三棱柱中，底面，，，，点是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面． 11．如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且，. (1)求证：平面； (2)求直线与底面所成角的正切值. 12．如图，在三棱锥中，．求证：平面；    素养提升 1．如图，在三棱锥中，为棱靠近点的三等分点，分别为棱的中点，若点在线段上，若连接，交于点，在中，设，则______；若平面，则______. 2．已知l，m为直线，为平面，给出下列三个论断：①②③.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：______________________________. 3．在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 4．如图，四棱锥中，底面，，．    (1)若，证明：平面； (2)若，且，求二面角的正弦值． 5．矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，解以下问题： (1)证明：面； (2)在上是否存在点使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 迁移创新 1．如图，在正方体中，点是线段上一动点，则下列说法正确的是____ ①．平面 ②．当为线段的中点时，直线与直线所成角的正切值为 ③．随着的长度变长，直线与平面所成角先变大再变小 ④． 2．如图，四棱锥中，底面为梯形，，，，点在棱上． (1)当为的中点时，求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值． 3．如图，正三棱柱的所有棱长均为，P是侧棱上任意一点． (1)求证：不可能与平面垂直； (2)当时，求线段的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $