5.1.2 等式的性质（教学课件）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学课件聚焦“等式的性质”，系统讲解等式的两个基本性质及应用。通过知识回顾方程的解、练一练判断解的对错，引导学生思考复杂方程求解需求，搭建从算式到方程的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于以情境探究（如年龄问题）抽象等式性质，结合错误辨析（如小明解方程步骤）培养推理意识，归纳解方程“化归”步骤渗透模型意识。学生能提升逻辑思维与规范解题能力，教师可借助系统例题、分层练习及拓展提升高效开展教学。

从算式到方程 第 1 节 第5章 2. 等式的性质 一元一次方程 人教版 七年级上册 教学目标 学 习 目 标 1 2 理解并掌握等式的两个基本性质 能正确应用等式的性质解简单的一元一次方程 3 培养学生观察、分析、概括及逻辑思维能力，通过对解方程思路的归纳,渗透“化归”的思想. 等式的性质和运用 重点 能熟练运用等式的性质对方程进行变形. 难点 重 难 点 知识回顾 还记得什么是方程的解吗？ 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解. ►如何求方程2x－3=5x－15的解？ x=3是方程2x－3=5x－15的解吗？ 左边=2×3－3 = 3, 右边=5×3－15 = 0. 把x=3代入方程, 因为左边≠右边, 所以x=3不是方程的解. 解： 练一练 ►你能看出方程2x－3=5x－15的解吗？ ►因为方程是等式，要解决解方程的问题，所以首先我们要学习等式性质 ►像 ２ x ＝３ ， x＋１＝３ 这样的简单方程 ， 我们可以直接看出方程的解 示例： 新知讲授 探究点1 等式的性质 思 考 在小学，我们已经学习了等式和等式的基本性质，你还记得相关内容吗？ 等式 表示相等关系的式子称为等式 3x+1=5y m+n=n+m， x+2x=3x， 3×3+1=5×2 等式的形式 a = b （a和b表示任何一个代数式） 关于等式的两个基本事实: 等式两边可以交换.如果a=b,那么b=a. 相等关系可以传递.如果a=b,b=c,那么a=c. 用式子表示：如果a=b，那么 = 。 新知讲授 探究点1 等式的性质 思 考 （1）小学学习的等式的基本性质，当数的范围由正数扩大都负数时，性质还成立吗？举例说一说 等式性质1 等式两边同时加（或减）同一个数(或式子)，结果仍相等. ①等式两边同时加 （ 或减 ） 同一个正数 ，结果仍相等 如果a=b= －3 那么 a+（－5）=b+（－5）= －8 如果a=b= －3 那么 a－（－5）=b－（－5）= +2 因此，当引入负数后，这条性质仍然成立. 小莹今年a岁,小亮今年b岁,再过c年，小莹 岁，小亮 岁， 如果小莹和小亮同岁(即a=b),那么再过c年，他们的岁数 ， （ a + c ） （ b + c ） 相等 a + c b + c （2）完成下列填空，说一说有什么发现 同理：如果 a=b 那么 a－ c = b－ c 示例 思 考 小学学习的等式的基本性质，当数的范围由正数扩大都负数时，性质还成立吗？举例说一说 新知讲授 探究点1 等式的性质 ② 等式两边乘同一个正数 ， 或同时除以同一个不为0的正数 ， 结果仍相等 如果a=b= －3 那么 a×（－5）=b×（－5）= 15 如果a=b= －3 那么 a÷（－5）=b÷（－5）= 因此，当引入负数后，这条性质仍然成立. 等式性质2 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 示例 归 纳 等式的性质1： 等式两边加（或减）同一个数(或式子)，等式仍成立. 即：如果a＝b，那么a±c＝b±c. 等式的性质2： 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立. 即：如果a＝b，那么ac＝bc； 如果a＝b(c≠0)，那么 . 新知讲授 探究点1 等式的性质 典例评析 探究点1 等式的性质 例1:根据等式的性质填空，并说明依据： （1）如果 2x = 5－x，那么 2x + ______= 5； （2）如果 m + 2n = 5 + 2n，那么 m = ______； x 根据等式的性质1，等式两边加 x，结果仍相等. 5 根据等式的性质1，等式两边减 2n，结果仍相等. （3）如果 x = －4，那么 ______·x = 28； （4）如果 3m = 4n，那么m = ____·n. －7 根据等式的性质2，等式两边乘 －7，结果仍相等. 2 根据等式的性质2，等式两边除以 2，结果仍相等. 运用等式的性质时,首先要观察等式的一边是如何由上一步得到的,确定变形依据,再对等式的另一边进行相应的变形. 教材P116 下列等式变形是否正确？如果正确，说 明变形的根据；如果不正确，说明理由。 （1）由x=y，得x+3=y+3 （ ） （２）由a=6，得a－b=6+b （ ） （３）由m=n,得m－2x2=n－2x2 （ ） （４）由2x=x－5，得2x+x=－5 （ ） （５）由x=y，y=5.3，得x=5.3 （ ） （６）由－2=x，得x=－2 （ ） 依据：等式性质1：等式两边同时加上3. 依据等式性质1：等式两边同时减去2x2. 左边减b，右边加b，运算符号不一致 等式的传递性。 等式的对称性。 √ √ √ √ × × 随堂练习 探究点1 等式的性质 左边加x，右边减去x.运算符号不一致 新知巩固 1. 根据等式的性质填空： （1）如果 x = y，那么 x + 1 = y + _____； （2）如果 x + 2 = y + 2，那么 ____ = y； （3）如果 x = y，那么 ____·x = 5y； （4）如果 3x = 6y，那么 x = ____·y . 1 x 5 2 只有等式两边进行同一种运算时，等式才仍然成立. 教材P117 新知讲授 探究点2 利用等式的性质解方程 （2）是方程解吗？你有什么发现？ 讨论 把代入方程左右两边得: 左边=2×1+5=7，右边=7 左边=右边 所以是方程的解 检验： （1）已知方程 ，用等式性质填空 两边同时______,得 ____,依据是_____________. 两边同时______,得 ____,依据是_____________. 2 减 等式的性质1 除以2 1 等式的性质2 利用等式的性质可以将一元一次方程转化为x=a的形式，求出方程的解 发现： 新知讲授 探究点2 利用等式的性质解方程 思 考 如何利用等式的性质解方程:5x－7=8？ 5x－7=8 用等式性质1 将方程左边的－7消除 解：方程两边同时加7，得： 5x－7+7 = 8+7 5 x =15 用等式性质2 将未知数的系数5消除 方程两边同时除以5，得 = x =3 把代入方程左右两边得: 左边=5×3－7=8，右边=8 左边=右边 所以是方程的解 检验： 方法： 解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转化为x=a(常数)的形式，等式的性质是转化的重要依据. 典例评析 探究点2 利用等式的性质解方程 例2. 利用等式的性质解下列方程： （1）x + 7 = 26； （2）－5x = 20； （3）－ x － 5 = 4. （2）方程两边除以 －5，得 x = －4. 解：（1）方程两边减 7，得 x = 19. x + 7 － 7 = 26 － 7 方程左边常数7要消除，需要减去7，因此根据等式性质1，两边同时减去7 化简，得 方程的解是19 未知数的系数由5要化为1,因此根据等式性质2，两边同时除以5，也可以乘以 . 化简，得 方程的解是－4 典例评析 探究点2 利用等式的性质解方程 例2. 利用等式的性质解下列方程： （1）x + 7 = 26； （2）－5x = 20； （3）－ x － 5 = 4. 解：（3）方程两边加 5，得 化简，得 方程两边乘－3，得 一般地,从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个值能否使方程的两边相等. － x － 5 +5= 4+5. － x = 9. 也可以同时除以－ x = －27. 检验： 将 x = －27 代入方程左、右边， 左边 = 右边 = 4 所以 x = －27 是原方程的解. 因为 左边=右边 新知讲授 探究点2 利用等式的性质解方程 解一元一次方程就是将方程 “化归”为“x = a”的形式. 归纳 第二步：利用等式的性质2，将方程左右两边同时除以未知数的系数(或乘未知数系数的倒数)，即将未知数的系数化为1，从而求出方程的解. 即x = c (c为常数)的形式 利用等式的性质解简单的一元一次方程的一般步骤： 第一步：利用等式的性质1，将方程左右两边同时加(或减)同一个数(或式子)，使方程逐步转化为一边只有含未知数的项，另一边只有常数项的形式； 即：ax=b(a,b为常数,且a≠0)的形式, 典例评析 例3. 利用等式的性质解下列方程： （2）4x－2= 6+2x （1）－5x=20－x 解：（1）方程两边加 x，得 化简，得 方程两边除以－4，得 x = －5. －5x+ x =20－x + x －4x =20 （2）方程两边加2-2 x，得 化简，得 方程两边除以2，得 x = 4 4x－2+（ 2-2 x ）=6+2x+（ 2-2 x ） 2x =8 根据等式性质1，方程两边可以同时加上同一个数或同一个式子 典例评析 例4.阅读理解题： .③ （1）①的依据是_____________; （2）小明出错的步骤是____（填序号），错误的原因是 ________________________________________; 等式的性质1 ③ 没有确定是否为0，就在等式的两边除以 （3）给出正确的解法. 解： , 方程两边同时加上（ ） 整理得： , 方程两边同时除以-2得： . 下面是小明将等式 进行变形的过程. 等式两边只能同除以同一个不为0的数 等式两边如果需要除以一个式子，则式子值一定确定不为 0， 新知巩固 2. 利用等式的性质解下列方程，并检验： （1）x － 5 = 6； （3）5x + 4 = 0； 解:（1）方程两边加 5，得 x － 5 + 5 = 6 + 5. x = 11. 检验：将 x = 11，代入 方程的左右两边， 左边 = x － 5 = 6，右边 = 6， ∵左边 = 右边 所以 x = 11 是原方程的解. 教材P117 （2）0.3x = 45； （4）2 －x = 3. 新知巩固 2. 利用等式的性质解下列方程，并检验： （1）x － 5 = 6； （3）5x + 4 = 0； 解:（2）方程两边同除以0.3 ，得 x = 150. 检验：将 x = 150，代入方程的左右两边， 左边 = 0.3×150= 45，右边 = 45， ∵左边 = 右边 所以 x = 150是原方程的解. 教材P117 （2）0.3x = 45； （4）2 －x = 3. 新知巩固 2. 利用等式的性质解下列方程，并检验： （1）x － 5 = 6； （3）5x + 4 = 0； 解:（3）方程两边减去 4，得 5x = -4. 方程两边除以5 ，得： x = . 检验：将 x = ，代入 方程的左右两边， 左边 =5× （ ） + 4 = 0，右边 = 0， ∵左边 = 右边 所以 x = = 是原方程的解. 教材P117 （2）0.3x = 45； （4）2 －x = 3. 新知巩固 2. 利用等式的性质解下列方程，并检验： （1）x － 5 = 6； （3）5x + 4 = 0； 解:（4）方程两边减去 2，得 2 －x -2= 3-2 化简得：－x = 1 方程两边乘以-4 ，得： x = . 检验：将 x = -4，代入 方程的左右两边， 左边 =2－（ ） = 3，右边 = 3， ∵左边 = 右边 所以 x = 11 是原方程的解. 教材P117 （2）0.3x = 45； （4）2 －x = 3. 检测反馈 1.下列各式变形正确的是 (　　) A.由3x－1=2x+1得3x－2x=1+1 B.由5+1=6得5=6+1 C.由2(x+1)=2y+1得x+1=y+1 D.由2a+3b=c－6得2a=c－18b 2.下列变形，正确的是 (　 　) A.若ac=bc,则a=b B.若 = (c≠0),则a=b C.若a2=b2,则a=b D.若－x=6,则x=－2 A B 3.下列等式变形： ①如果，那么 ； ②如果，那么 ； ③如果，那么 ； ④如果，那么 . 其中正确的有( ) A A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 解：只有当时，可得； 对于 ，只有当时，可得,故①②均错误； 当 时，或故③错误； 若,两边同时除以28，则 ，故④正确. 检测反馈 （1）已知等式,两边 同时_____,得 ， 依据是_____________; （2）已知等式,两边同时______,得 ____ , 依据是_____________; （3）已知等式,两边同时______,得 -5 ____, 依据是_____________. （4）已知等式2x2+3x-5=0，两边同时 , 得2x2+3x= ， 两边同时 , 得 , 两边同时 , 得 , 加3 7 等式的性质1 减 等式的性质1 乘 等式的性质2 检测反馈 4.完成下列填空 乘-2 加5 5 -10 加6 -4 检测反馈 4.应用等式的性质解下列方程并检验: (1)x+3=6. (2) 0.2x=4. 解：方程两边减3 ，得 x+3－3=6－3， ∴ x=3 解：方程两边乘以5，得 0.2x ×5 =4 ×5 ∴x =20 解：方程两边减4，得 －2x+4－4=0－4 化简，得－2x=－4 解：方程两边减1，得 1－x －1=3－1 化简，得－ x =2 方程两边乘以 －2，得： x = －4. 方程两边除以－2，得： x=2 (3)－2x+4=0. (4)1－x=3. 1.设,,为互不相等的数， ,则下列结论正确的是( ) D A. B. C. D. 解：, 的大小关系不能确定，所以A，B选项的结论不一定正确； 将的两边同时乘5,得 ， 两边同时减去,得. 两边同时乘 ,得,所以C选项的结论不正确； 在 的两边同时减去,得. 两边同时乘 ,得 ,所以D选项的结论正确. 拓展提升 2.如图，将9个数放入“”内，分别记作，，，，，，，，，若每条边上3个“”内数字之和相等，即，则，，，四个数之间的数量关系是　 　；，，三个数之间的数量关系是　 　． 拓展提升 解：∵c+d+e=a+f+e， ∴c+d=a+f， ∵a+b+c=c+d+e， ∴a+b=d+e， ∵e+f+a=d+k+f， ∴e+a=d+k， ∴d=e+a-k， ∴a+b=d+e=e+a-k+e， ∴b+k=2e. c+d=a+f b+k=2e 真题感知 1. (2026•芜湖期末)下列说法中，正确的是(　　) A. 若ac＝bc，则a＝b B. 若 ＝ ，则a＝b C. 若a2＝b2，则a＝b D. 若｜a｜＝｜b｜，则a＝b B 2. (2026•唐山期末)已知a＝b，根据等式的基本性质，下列变形错误的是(　　) A. a＋1＝b＋1 B. a－5＝5－b C. a＝ b D. a－b＝0 B 3.（2024春•新沂市期中）阅读材料：以下给出求的值的方法． 解：设（1） 将等式两边同时乘2得：（2） 将（2）式和（1）式左右两边分别相减，可得： 此时，即． 请你仿照此法计算： （1），结果用含幂的表达式给出； （2）（其中为正整数），结果使用含的表达式给出． 真题感知 解：（1）设①， 将等式两边同时乘以3得： ②， 将②①得： ， 3.（2024春•新沂市期中）阅读材料：以下给出求的值的方法． 解：设（1） 将等式两边同时乘2得：（2） 将（2）式和（1）式左右两边分别相减，可得： 此时，即． 请你仿照此法计算： （1），结果用含幂的表达式给出； （2）（其中为正整数），结果使用含的表达式给出． 真题感知 （2）设， 将等式两边同时乘以3，得： ． 将下式减去上式得：． ． ． 课堂小结 如果 a = b，那么 a±c = b±c. 等式的性质 性质1 性质2 应用 如果 a = b，那么 ac = bc； 如果 a = b，c ≠ 0，那么 . 运用等式的性质把方程“化归”为最简的形式“x = a”. 课后练习 4. 利用等式的性质解下列方程： （1）x － 4 = 29； （2）x + 2 = 6； 解：（1）方程两边加 4， 得 x －4 + 4 = 29 + 4. x = 33. （2）方程两边减 2， 得 x + 2 － 2 = 6 － 2 . 化简，得 x = 4. 方程两边乘 2，得 x = 8. 习题 5.1 课本p118页 课后练习 4. 利用等式的性质解下列方程： （3）3x + 1 = 4； （4） 4x － 2 = 2. （3）解：方程两边减 1， 得: 3x +1－1 = 4 － 1. 化简，得: 3x = 3. 方程两边除以 3，得 x = 1. （4）解：方程两边加 2， 得： 4x －2+2 = 2 + 2. 化简，得： 4x = 4. 方程两边除以 4，得： x = 1. 习题 5.1 课本p118页 课后练习 11. 一个两位数个位上的数字是 1，十位上的数字是 x. 把 1 与 x 对调，新的两位数比原两位数小 18，x 的值是多少？请你用方程解决这个问题. 解：根据题意，得: 10x + 1－18 = 10 + x， 即 10x －17 = 10 + x， 方程两边加 17－x，得 10x －17 + 17－x = 10 + x + 17－x. 化简，得 9x = 27. 方程两边除以 9，得 x = 3. 习题 5.1 课本p119页 答：x 的值是3 数学使世界更清晰！ 人教版 七年级上册 $