5.1.1 方程 第2课时（教学课件）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的解及概念，通过登山问题情境导入，衔接知识回顾（判断方程、列方程），构建“问题—方程—解”的学习支架，帮助学生理解从算式到方程的知识脉络。 其亮点在于结合鸡兔同笼等实际问题抽象数学模型，培养模型意识，通过概念辨析（如判断分式方程是否为一元一次方程）发展抽象能力和推理思维，融入天元术数学史激发兴趣。学生提升应用与探究能力，教师获得结构化教学资源，提高教学效率。

从算式到方程 第 1 节 第5章 第2课时 方程的解及一元一次方程 一元一次方程 人教版 七年级上册 教学目标 学 习 目 标 1 2 理解方程的解的意义，掌握检验某个值是不是方程的解的方法. 使学生经历把实际问题抽象为数学方程的过程,认识到方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型,初步体会建立数学模型的思想. 3 理解一元一次方程的概念,能准确地识别一元一次方程. 一元一次方程的概念,能够根据具体问题中的数量关系列一元一次方程. 重点 识别一元一次方程. 难点 重 难 点 1.判断下列各式是不是方程；若不是，请说明理由． (1)4×5＝3×7－1；（ ） (2)2x＋5y＝3； （ ） (3)9－4x＞0； （ ） (4)＝x+1；　 （ ） (5)2x＋3. （ ） 知识回顾 解： (1)不是，因为不含有未知数； (2)是方程； (3)不是，因为不是等式； (4)是方程； (5)不是，因为不是等式． 方程是含有未知数的等式 方程定义的两个要点： ①等式；②含有未知数． 练一练 2.根据下列问题，找出等量关系，设未知数列出方程， 知识回顾 练一练 （1）一个梯形的下底比上底多2 cm，高是5 cm，面积是40 cm2，求上底 （2）甲种铅笔每支0.3 元，乙种铅笔每支0.6 元，用 9 元钱买了两种铅笔共20 支，两种铅笔各买了多少支？ 等量关系： 买甲种铅笔的钱数+买乙种铅笔的钱数= 9 元， 甲种支数+乙种支数=20支 等量关系(上底+下底）×高=梯形面积 解：设上底为x cm，则下底为(x+2)cm. 由题意得： (x+x+2=40 解：设甲种铅笔买了x支，乙种铅笔买了(20-x)支.由题意得： 0.3x+0.6(20－x)=9， 创设情境 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km的一号营地出发,每小时行进1.2 km;乙队从距大本营3 km的二号营地出发,每小时行进0.8 km,多长时间后,甲队在途中追上乙队? （3-1）÷（1.2-0.8）=5（h） 算术方法 列方程法： 1.2x +1=0.8x + 3 设x小时后,甲队在途中追上乙队 未知数x表示行进时间，是不是和算术方法计算出的5一样大呢？ 列方程是解决实际问题的重要方法 ， 要想得到实际问题的解 ， 还需要求出方程中未知数的值 ．大家还记得引言中的登山问题吗？ 新知讲授 探究点1 方程的解 讨 论 当x=5时，方程1.2x +1=0.8x + 3能成立吗？ 当x=5时，等号左边代数式的值与等号右边代数式的值相等 方程成立条件 验证： 把x＝５代入方程的左边得： 左边=1.2x +1=1.2×5+1=7 把x＝５代入方程的右边得： 右边=0.8x +3=0.8×5+3=7 方程左 、右两边的值相等 即 左边=右边 ∴当x=5时，方程1.2x +1=0.8x + 3成立 x=5称为方程1.2x +1=0.8x + 3的解 7 新知讲授 探究点1 方程的解 讨 论 未知数x＝2能让下列方程成立吗，算一算 （1）3x－2＝3 （2）－x＋6＝2x （3）4－2(x－1)＝1 （1）当x＝2时，左边= 3x－2 ＝3×2－2＝4， 右边=3，左边≠右边， 所以 x＝2不满足方程3x－2＝3 （2）当x＝2时，左边=－x＋6 ＝－2＋6＝4， 右边＝2×2＝4，左边＝右边， ∴x＝2满足方程－x＋6＝2x （3）当x＝2时，左边= 4－2(x－1) ＝4－2×(2－1)＝2 右边=1，左边≠右边， 所以 x＝2不满足方程4－2(x－1)＝1 x=2称为方程－x＋6＝2x 的解 新知讲授 探究点1 方程的解 归 纳 方程的解： 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解. 1.方程的解与解方程 求方程解的过程叫做解方程. 解方程： 2.方程的解与解方程的区别及联系： 类型 方程的解 解方程 区别 联系 是一个具体的数，是解方程的结果 方程的解是通过解方程求得的 求方程的解的过程 新知讲授 探究点2 方程的解的检验 例 1 （1）x = 2，x = 是方程 2x = 3 的解吗？ 把 x = 2 代入方程 2x = 3 的左、右两边， 右边 = 3， 方程左、右两边的值不相等，即 左边≠右边 所以 x = 2 不是方程 2x = 3 的解. 右边 = 3， 方程左、右两边的值相等，即 左边＝右边 把 x = 代入方程 2x = 3 的左、右两边 所以 x =是方程 2x = 3 的解. 左边 = 2×2 = 4， 左边 = 2× = 3， 解： 如何判断一个数值是不是某个方程的解? 解： 新知讲授 探究点2 方程的解的检验 例1（1）x = 2，x = 是方程 2x = 3 的解吗？ 把 x = 10 代入方程 3x = 4(x-5) 的的左、右两边 右边 = 4×(10-5) = 20， 方程左、右两边的值不相等，即 左边≠右边 所以 x = 10 不是方程 3x = 4(x-5) 的解. 把 x = 20 代入方程 3x = 4(x-5) 的的左、右两边 右边 = 4×(20-5) = 60， 方程左、右两边的值相等，即 左边＝右边 所以 x = 20 是方程 3x = 4(x-5) 的解. 左边 = 3×10 = 30， 左边 = 3×20 = 60， 如何判断一个数值是不是某个方程的解? 新知讲授 探究点2 方程的解的检验 归 纳 检验一个数是否是方程的解的方法： 第一步:代入 把这个数分别代入方程的左、右两边， 第二步：计算： 左边= ；右边= ； 第三步:判断 当左边＝右边时，这个数是方程的解， 当左边 ≠ 右边时，这个数不是方程的解. 新知讲授 探究点2 方程的解的检验 x = 60是方程 = 4000 的解吗？ x = 80呢？ 思 考 把 x = 60 代入方程 = 4000的的左、右两边 右边 = 4000， 方程左、右两边的值不相等，即 左边≠右边 所以 x = 60 不是方程 = 4000的解. 左边 = × = 2250， 解： 把 x = 80 代入方程 = 4000的的左、右两边 右边 = 4000， 方程左、右两边的值相等，即 左边＝右边 所以 x = 80 是方程 = 4000的解. 左边 = × = 4000， 方程有多种类型 ， 本章我们先来研究一类最简单的方程 新知讲授 探究点3 一元一次方程的概念 观察以下几个方程，它们有什么共同特征？ 1.2x+1=0.8x+3 12x=16(x-5) 0.52x-(1-0.52x)=80 思考 每个方程含有未知数的个数是 ； (2)每个未知数的次数分别是 ； (3)等号两边的式子　　　　整式.(填“是”或“不是”) 只含一个未知数的等式 未知数的次数都是 1 是 一个 1次 方程左右两边都是整式 共同特征 一元一次方程 新知讲授 探究点3 一元一次方程的概念 如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是 1，这样的方程叫作一元一次方程. 一元一次方程的三个要素： ①只含有一个未知数； ②未知数的次数都是 1； ③等号两边都是整式 三者缺一不可 思考 一元一次方程 定义 （一次） （一元） 检测反馈 探究点3 一元一次方程的概念 用“元”表示未知数，源于我国宋元时期的“天元术”.天元术指的是用“天元”表示未知数，进而列出方程，现存的使用天元术的最早著作是这一时期我国数学家李冶(1192-1279)于1248年所著的《测圆海镜》，书中的“立天元一”相当于现在的“设未知数x”。后来在研究涉及多个未知数的问题时，又引入“地元”“人元”“物元”等表示多个未知数. 数学史话 李冶（1192—1279），宋元数学四大家之一。1248 年著《测圆海镜》，全书以勾股容圆（直角三角形内切圆）为核心，收录 170 道数学题，大量求解二次、三次直至六次方程，系统总结天元术，创立中国古代设未知数列方程的代数方法。 他以勾股容圆问题为载体，开创几何与代数融合的研究范式，是世界代数发展史上重要的先驱人物 新知讲授 探究点3 一元一次方程的概念 数学史话 封龙书院李冶雕像 判断下列方程哪些是一元一次方程: ① x-2=3; ② 0.3x=1; ③ +3=5; ④ x2-4x=3; ⑤ x=0; ⑥ x+2y=0, 新知讲授 探究点3 一元一次方程的概念 概念辨析 是一元一次方程 是一元一次方程 不是一元一次方程 不是一元一次方程 是一元一次方程 不是一元一次方程 整式 未知数项最高次是2次 含有2个未知数 结 小 纳 归 新知讲授 探究点3 一元一次方程的概念 识别一元一次方程的一般步骤： 观察方程是否是整式方程 不是一元一次方程 方程是否只含有一个未知数 不是一元一次方程 方程中未知数的次数是否都是1 不是一元一次方程 是一元一次方程 是 是 是 否 否 否 例2.已知方程 （m-2）+3=m-5 是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出其方程． 解：因为方程 （m-2）+3=m-5是关于x的一元一次方程， 所以|m|－1 = 1，且m－2≠0， 解得：m = －2. 所以原方程为－4x+3 = －7. 典例评析 由一元一次方程的概念，一元一次方程必须满足未知数的次数为1且系数不等于0 分析 例3. 已知是关于 的一元一次方程的解， 求 的值。 解：把代入关于 的一元一次方程， 得：, 整理，得： , 所以 . 所以 . 典例评析 整体代入 21 例4.“鸡兔同笼”问题出自唐代的《孙子算经》，是我国古代的数学名题之一.书中：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？” 下面是三名同学展示的不同方法：你理解他们的想法吗？ 典例辨析 （1）小军选择列表的方法：先假设鸡和兔的只数，再调整. 请你根据小军的想法补充表格，完成解答. 鸡的只数 兔的只数 脚的总个数 和94个脚比较 17 18 __________ ____ ____ _____________ ______ 多了12个 23 12 相等 （2）小强选择列方程：首先设鸡有只，那么兔有 只，请你帮他列出方程：______________________. （3）小梅选择假设的策略：假设35只全是鸡．（请你帮她写出剩下的算式） 第一步：（个）， （个）． 第二步：_______________________. 第三步：___________________. 答：鸡有____只,兔有____只. （只） （只） 23 12 典例辨析 例4.“鸡兔同笼”问题出自唐代的《孙子算经》，是我国古代的数学名题之一.书中：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？” 下面是三名同学展示的不同方法：你理解他们的想法吗？ 新知巩固 教材P115 1. 判断 x = 2 和 x = 4 是不是方程 2x-3 = 5. 解:当 x = 2 时，方程 2x -3 = 5 的左边 = 2×2-3 = 1， 右边 = 5，方程左、右两边的值不相等， 所以 x = 2 不是方程 2x -3 = 5 的解； 当 x = 4 时，方程 2x -3 = 5 的左边 = 2×4-3 = 5， 右边 = 5，方程左、右两边的值相等， 所以 x = 4 是方程 2x -3 = 5 的解. 新知巩固 2. 下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？ （1）2+3 = 3+2； （2）8y-9=9-y；（3）x2+2x+1=4. 解： （1）不是方程，因为没有未知数 （2）是方程且是一元一次方程 （3）是方程，但不是一元一次方程，因为含未知数项的次数最高是2次，不是一次 教材P115 检测反馈 1. 若 x =1是方程x2 －2mx +1=0的一个解，则m的值为（ ）   A. 0 B. 2 C. 1 D. -1   2.方程(m＋1)x|m|＋1＝0是关于x的一元一次方程，则(　　) A．m＝±1　　　　B．m＝1 C．m＝－1 D．m≠－1 C B 3. 若□＋x＝0是一元一次方程，则“□”可以为(　　) A. x2 B. y C. 2 D. C 4. 已知x＝－1是关于x的方程mx－3nx＝8的解，则式子3n－m－2的值为(　 ) A. 6 B. 8 C. －2 D. 1 A 检测反馈 5.某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6·1”儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为(　　) A．1.2×0.8x＋2×0.9(60＋x)＝87 B．1.2×0.8x＋2×0.9(60－x)＝87 C．2×0.9x＋1.2×0.8(60＋x)＝87 D．2×0.9x＋1.2×0.8(60－x)＝87 B 解：设铅笔卖出x支，根据“铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元”，得出等量关系： x支铅笔的售价＋(60－x)支圆珠笔的售价＝87， 据此列出方程为1.2×0.8x＋2×0.9(60－x)＝87. 6.若(m-1)+5=0是关于x的一元一次方程. 　　 (1)求m的值,并写出这个方程. 　　 (2)判断x=1,x=2.5,x=3是否是方程的解. 解：(1)∵一元一次方程要求未知数 𝑥的指数为 1， ∴∣𝑚∣=1，解得 𝑚=1或 𝑚=−1; 又∵一元一次方程一次项系数 (𝑚−1)不能为 0 ∴(m-1) ＞0 ，∴𝑚=1 将 代入原式 ， 得 ，即 ‌‌。‌‌ 检测反馈 6.若(m-1)+5=0是关于x的一元一次方程. 　　 (1)求m的值,并写出这个方程. 　 　(2)判断x=1,x=2.5,x=3是否是方程的解. 解(2):由（1）得： ‌ 当 x = 1 时，方程 ‌−2𝒙+5=0的左边 = −2×1 +𝟓=3， 右边 = 0，方程左、右两边的值不相等， 所以 x = 1 不是方程 −2𝒙+5=0的解； 当 x = 2.5 时，方程 −2𝒙+5=0的左边 = −2×2.5+5 = 0， 右边 = 0，方程左、右两边的值相等， 所以 x = 2.5 是方程 −2𝒙+5=0的解. 当 x = 3 时，方程 −2𝒙+5=0的左边 = − 2×3+5 = −1， 右边 =0， 方程左、右两边的值不相等， 所以 x = 3 不是方程 −2𝒙+5=0的解. 检测反馈 1. 若关于的一元一次方程 的解为，则关于 的一元一次方程 的解为( ) C A. B. C. D. 解：设，则 可变形为 ： ， ∵关于的一元一次方程 的解为 所以 所以 . 拓展提升 2. 小亮在解方程时，由于粗心，错把 看成了，结果解得，则 的值为( ) A A. B. 3 C. D. 拓展提升 3.（2026亳州期中）如图，用灰白两种颜色的纸片，按灰色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第 个图案中有2 026个白色纸片，则可列方程为_______________. 真题感知 2.(2026•达州期末)已知方程(a－1)x｜a｜＋3＝0是关于x的一元一次方程，则a＝ .　 －1　 1.（2026·唐山期末）如果关于x的方程2x + k - 4 = 0的解为x = -3，那么k的值是 （ ） A. -10 B. 10 C. 2 D. -2 B 3. (2026•东莞期末)在整式mx＋n中，m，n为常数(m≠0)，下表是当x取不同值时对应的整式mx＋n的值： x －2 －1 0 1 2 mx＋n －5 －2 1 4 7 则关于x的方程mx＋n＝4的解为(　　) A. x＝－2 B. x＝－1 C C. x＝1 D. x＝2 4.（2025连云港）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭.所提问题为“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过 天能够相遇，根据题意可列出的方程是( ) A A. B. C. D. 真题感知 课堂小结 1.一元一次方程的概念: 只含有一个未知数,未知数的次数是1,等号两边都是整式,这样的方程叫作一元一次方程. 2.方程的解: 解方程就是求出使方程中等号两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解. 方 程 一元一次方程 其 他 方 程 方 程 的 解 课后练习 3. x = 3，x = 0，x = -2 分别是下列哪个方程的解？ （1）5x + 7 = 7-2x； （2）6x- 8 = 8x - 4； （3）3x - 2 = 4 + x； （4）2x - 3 = 5x - 6. x = 3 x = -2 x = 0 x = 1 习题 5.1 课本p118页 课后练习 7. 去年某镇居民人均可支配收入为 30438 元，比前年 增长了 6.8%，前年这个镇居民人均可支配收入为多少元？ 解：设前年这个镇居民人均可支配收入为 x 元. 根据题意，得 (1 + 6.8%)x = 30438. 8. 一辆汽车已行驶了 12 000 km，计划每月再行驶 800 km，几个月后这辆汽车行驶的总路程为 20 800 km？ 解：设 x 个月后这辆汽车行驶的总路程为 20800 km. 根据题意，得 12000 + 800x = 20800. 习题 5.1 课本p119页 课后练习 9. 一个圆柱形包装盒（厚度忽略不计）的高 12 cm， 表面积是 108.5π cm2. 这个包装盒的底面半径是多少厘米？ 解：设这个包装盒的底面半径是 r cm. 根据题意，得 2πr2 + 2πr·12 = 108.5π. 10. 某校号召学生用零花钱为地震灾区捐款.七年级（1）班 全体学生一共捐款 428 元，七年级（2）班平均每名学生捐款 10 元，七年级（1）班的捐款数比七年级（2） 班少 22 元. 七年级（2）班有多少名学生？ 解：设七年级（2）班有 x 名学生. 根据题意，得 10x - 428 = 22. 习题 5.1 课本p119页 37 数学使世界更清晰！ 人教版 七年级上册 $