专题15.2画轴对称的图形（知识点总结+10大题型举一反三+同步练习）易错重难点培优同步讲义 2025-2026学年人教版数学八年级上册

15.2画轴对称的图形 【题型1】轴对称图形的精准作图（单对称轴） 1.核心知识点总结 三步骤：找特殊点（线段端点、顶点、交点）→作对称点（过点作对称轴垂线，截取等长线段）→连对应线段（按原图形顺序连接）。 关键性质：对称轴垂直平分任意一组对应点的连线。 2.高频考点梳理 基础作图：线段、三角形、四边形关于直线的对称图形。 网格作图：利用方格纸作轴对称图形。 3.易错点警示 漏找特殊点（如三角形的垂足、线段中点）导致图形失真。 作对称点时未保证“垂线”和“等长”，导致对称轴不垂直平分对应点连线。 4.解题技巧拆解 口诀：“作垂线，截等线，顺次连”。 网格作图：利用方格纸的横线、竖线快速作垂线，数格子确定对称点距离。. 1．（23-24七年级下·重庆·期末）（1）网格作图：如图1，在边长为1的正方形的网格中，已知及直线．画出关于直线的对称图形； （2）尺规作图：校园一角的形状如图2所示，其中表示围墙，围墙内有一点到三面墙的距离都相等，请你用尺规作图的方法作出点（不写作法、但要保留作图痕迹）． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知和直线，作出以直线为对称轴的图形． 3．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的，并写出、、三点的坐标； (2)若点是内一点，则其在内的对应点的坐标是________． 4．（22-23七年级下·陕西铜川·期末）如图，以直线l为对称轴在网格中画出图形的另一半． 【题型2】坐标法求对称点（坐标轴/特殊直线） 1.核心知识点总结 坐标轴对称：点关于轴对称→；关于轴对称→。 特殊直线对称：关于直线对称→；关于直线对称→。 2.高频考点梳理 直接求对称点坐标。 已知对称点求参数(如点与关于轴对称，求)。 直线、的对称。 3.易错点警示 混淆轴、轴对称的坐标规律(如误将轴对称写成横相反纵不变)。 计算直线、的对称点时，漏乘2(如将对称写成)。 4.解题技巧拆解 口诀：“轴对称，看轴名；轴横不变纵相反，轴纵不变横相反；特殊线，用中点，2倍轴值减原坐标”。 验证技巧：求对称点后，检查两点中点是否在对称轴上。 5．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）“小马虎”在做作业时，将点A横纵坐标的顺序颠倒了，误写为，“小糊涂”也不细心，将点B的坐标写成其关于y轴对称的点的坐标，误写为，则A，B两点原来的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．重合 7．（25-26八年级上·河南·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在图中画出并标出字母； (2)若点P与点C关于y轴对称，则点P的坐标为______； (3)已知Q为y轴上一点，若的面积为8，请直接写出点Q的坐标． 8．（24-25八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)①与关于轴对称，在图①中画出，并写出三个顶点的坐标； ②观察图中对应点坐标之间的关系，写出平面直角坐标系中任意一点关于轴的对称点的坐标：________． (2)①直线经过点，并且与轴平行，与关于直线对称，在图（2）中画出，并写出三个顶点的坐标． ②比较图②中与图（1）中的位置关系，你发现了什么？ ③写出平面直角坐标系中任意一点关于直线的对称点的坐标：________． (3)如果要继续探究，你还能提出哪些问题？针对你提出的问题，请分别写出你的结论． 【题型3】镜面/水面对称的实际应用(时钟/车牌) 1.核心知识点总结 镜面对称(竖直镜面)：左右翻转，相当于关于竖直直线对称。 水面对称(水平镜面)：上下翻转，相当于关于水平直线对称。 2.高频考点梳理 时钟镜面时间。 车牌/数字的水面倒影。 3.易错点警示 混淆镜面和水面的对称方向(如将时钟镜面当水面对称)。 时钟读数时忽略12小时制与24小时制的转换。 4.解题技巧拆解 镜面时钟：方法一“翻折法”(沿竖直直线翻折图形读数)；方法二“24:00(12:00)减镜中时间”(如镜中20:51→24:00-20:51=3:09)。 水面车牌：将倒影上下翻转，或逐字对照“对称数字/字母”(如、、、)。 9．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）从镜子里看到位于镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段练习）从镜子中看到的这个号码  ，实际上是 ． 11．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（   ） A． B． C． D． 【题型4】网格中补全轴对称图形(单/多格点) 1.核心知识点总结 对称轴识别：水平、竖直、对角线()三种常见方向。 补全原则：每个已知点都有唯一对称点，且对称点在格点上。 2.高频考点梳理 、网格补画1个小正方形。 补画格点三角形/四边形使其成轴对称图形。 3.易错点警示 漏看对称轴的对角线方向(如仅考虑水平/竖直，忽略对角线)。 补画后未验证整体对称性(如局部对称但整体不对称)。 4.解题技巧拆解 步骤：先明确对称轴→找出已知图形的所有格点→逐一作对称格点→补画缺失部分。 验证：沿对称轴对折，观察补画部分与原部分是否完全重合。 13．（25-26八年级上·青海海西·期中）如图，在边长为1个单位长度的正方形方格图中，的顶点都在格点上． (1)画出关于直线对称的图形（和为对称点）； (2)如果以图中的为原点建立直角坐标系，写出点和的坐标． 14．（25-26八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中的顶点坐标分别为，． (1)画出关于y轴对称的； (2)直接写出点、、的坐标，______，______，______． 15．（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：    (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)在上找出点P，使最短． 16．（25-26八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，是给定的边形．我们称如下的变换为一次“－轴反射变换”：将平面内一点X沿直线进行翻折得到点；将点沿直线翻折得到点；…；将点沿直线翻折最终得到点．并记点为点X在“－轴反射变换”下的像点．请回答下列问题： (1)如图1，若是给定的等腰直角三角形，顶点坐标为，，，则点在此“－轴反射变换”下的像点的坐标为______； (2)如图2，若是给定的四边形，顶点坐标为，，，，点在此“－轴反射变换”下的像点的坐标是，则点的坐标为______；四边形内一点的像点的坐标是______（用含的代数式表示）； (3)如图3，若是给定的平面内一个等边三角形，点P是此三角形内（不含边界）一点，对点P进行一次“－轴反射变换”得到点，是否存在点P使得和P重合？如果存在，请在图中给出点P的具体位置；如果不存在，请说明理由． 【题型5】指定面积要求的轴对称涂黑设计 1.核心知识点总结 面积计算：先求原图形总面积，再确定涂黑部分面积（原面积×，明确需涂黑的格点/小图形数量。 对称原则：涂黑部分需沿指定对称轴（水平、竖直、对角线）完全重合，对应位置必须同时涂黑。 2.高频考点梳理 正方形网格涂黑（如16格正方形，需涂黑8个小三角形/小正方形）。 不规则图形（如由全等三角形组成的图形）的涂黑设计，需同时满足面积和对称要求。 3.易错点警示 面积计算错误（如误将小正方形面积算成2，导致涂黑数量偏差）。 只满足面积要求，忽略对称的“对应性”（如对称轴一侧多涂、一侧少涂）。 涂黑部分形状不对称（如一侧为连续格点，另一侧为分散格点）。 4.解题技巧拆解 步骤：①计算原图形总面积→得出需涂黑的面积及对应格点/小图形数量；②确定对称轴方向；③在对称轴一侧先涂黑一半数量的格点/小图形（保证形状规则）；④按对称规律，在对称轴另一侧涂黑对应位置的格点/小图形；⑤验证总面积和对称性是否达标。 技巧：优先选择“对称单元”涂黑（如成对的全等三角形、对称分布的小正方形），避免单独涂黑孤立格点。 17．（24-25八年级上·河南郑州·开学考试）由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中的两个小正方形涂黑（如图）．请你用两种不同的方法分别在图中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形，并用虚线画出它的对称轴． 18．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在的正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，若将剩余的白色小正方形再涂黑一个，使得到的图形是轴对称图形，满足条件的涂法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 19．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．请分别在下列四个图中用不同的方法从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形． 20．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图是小正方形的边长均为1的方格纸，请你涂出一个图形（所有顶点都在格点上），使其满足如下条件：①图形的面积为7；②图形是轴对称图形．    【题型6】轴对称图形的面积计算(网格/坐标) 1.核心知识点总结 对称性质：轴对称图形的面积对称轴一侧图形的面积。 计算方法：网格中用“割补法”，坐标中用“坐标公式法”(鞋带公式)。 2.高频考点梳理 网格中轴对称图形的面积。 坐标法求对称图形的面积(如关于轴对称的的面积)。 3.易错点警示 割补法时漏算或多算半格(正确规则：满格算1，半格算0.5)。 用鞋带公式时混淆对称点的坐标顺序。 4.解题技巧拆解 网格面积：先算对称轴一侧的满格和半格数量→计算一侧面积→乘以2(对称图形)。 坐标面积：直接用原图形面积(对称图形面积与原图形相等)→代入鞋带公式：。 21．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，的三个顶点都在格点上． (1)画出与关于y轴对称的； (2)求的面积． 22．（24-25八年级上·河南许昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，． (1)求出的面积； (2)在图中作出关于y轴的对称图形； (3)写出点的坐标． 23．（25-26八年级上·四川广元·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是，，，直线经过点且垂直于轴． (1)画出直线； (2)画出关于对称的，并写出点的坐标； (3)求的面积． 24．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，已知网格上最小的正方形的边长为1． (1)作△ABC关于y轴对称的图形，并分别写出三点的坐标； (2)求A，，C，构成图形的面积． 【题型7】含参数的坐标对称问题(提升) 1.核心知识点总结 参数方程：利用对称规律建立关于参数的方程(如点与关于轴对称→，)。 参数范围：结合图形位置(如对称点在第四象限)求参数取值范围。 2.高频考点梳理 已知对称关系求参数值。 已知对称点所在象限求参数范围(如点关于轴对称的点在第四象限，求的范围)。 3.易错点警示 列方程时混淆对称规律(如关于轴对称误列成坐标相反)。 求解参数范围时忽略端点是否可取(如“第四象限”不含坐标轴)。 4.解题技巧拆解 步骤：先根据对称规律列出参数方程/不等式→求解参数→验证参数是否符合题意(如点在象限内、图形存在等)。 口诀：“参数问题，规律先行；列方程，验范围”。 25．（25-26八年级上·辽宁营口·期中）点关于轴的对称点，则 ． 26．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期中）已知点和关于x轴对称，则的坐标为 27．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，则 ． 28．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）若点和点关于轴对称，则点在第 象限． 【题型8】新定义对称变换的综合应用(培优) 1.核心知识点总结 新定义解读：理解“一次对应点”“二次对应点”“青一对称点”等定义的操作步骤。 转化思想：将新定义转化为熟悉的轴对称变换(如“青一对称点”=先轴对称再直线对称)。 2.高频考点梳理 新定义下的坐标计算。 新定义与图形位置关系(如“对应线段与原图形无公共点，求参数范围”)。 3.易错点警示 误解新定义的操作顺序(如“先关于直线对称再关于对称”与反之不同)。 忽略新定义中的“直线条件”(如“直线垂直于轴”)。 4.解题技巧拆解 步骤：①逐字解读新定义，明确操作步骤；②将每个步骤转化为坐标变换公式；③分步计算对应点坐标；④结合题意求解问题(参数、范围、位置关系)。 示例：“青一对称点”=先轴对称(不变)再直线对称()→总变换：。 29．（2024·山东淄博·二模）定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”·若点，幸福直线是，则点A关于这条幸福直线的对称点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 30．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段练习）规定以下两种变换：①，如；②，如；按照以上变换有：，那么等于（    ） A． B． C． D． 31．（2025八年级上·全国·专题练习）已知点，规定1次变换是先作点关于轴对称的点，再将对称点向左平移1个单位长度．连续经过2025次变换后，点的坐标变为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级下·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点分别为，， ，线段在矩形的外面．给出如下定义：将线段关于直线对称，得到线段，若线段不在矩形的外面，则称线段为矩形关于直线的对称线段，线段与线段中点间的距离为线段到矩形的对称距离． (1)如图，已知点，，，在线段，中，是矩形关于轴的对称线段的是______，该线段到矩形的对称距离为______； (2)过点作轴的垂线． ①已知点，，若存在，使线段MN是矩形关于直线的对称线段，则的取值范围是______； ②已知点，，若存在，使线段是矩形关于直线的对称线段，则线段到矩形的对称距离的取值范围是______． 【题型9】轴对称中的最值综合问题(含路径优化)(培优) 1.核心知识点总结 最值原理：“两点之间线段最短”“垂线段最短”。 常见模型：饮马问题(单动点)、造桥选址(双动点)、角内找点(双对称轴)。 2.高频考点梳理 饮马问题：在直线上找一点，使最小。 造桥选址：在轴和直线上找点、(轴)，使最小。 3.易错点警示 饮马问题中误作“同侧点”的对称点(应作其中一个点关于直线的对称点，连接另一点与对称点)。 造桥选址中忽略“桥的长度固定”(需将其中一个点沿桥的方向平移桥长)。 4.解题技巧拆解 饮马问题：①作点关于直线的对称点；②连接，与的交点即为；③(最小值)。 造桥选址：①将点沿轴正方向平移的长度(如1个单位)得到；②连接，与直线的交点即为；③过作轴，交轴于，(最小值)。 33．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系内有两点．若M为x轴上一点，当MA+MB的值最小时，点M的坐标是 ． 34．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． (1)在图中作，使和关于轴对称； (2)写出点C关于轴的对称点的坐标______； (3)点Q是轴上的一个动点，当的周长最小时，在图中画出点Q的位置，并写出点的坐标为______． 35．（25-26八年级上·江苏南通·开学考试）如图，在直角坐标系中，各顶点坐标分别为，与关于y轴对称，点A的对称点为． (1)作出； (2)写出的坐标； (3)若P为x轴上一动点，当最小时，直接写出点P的坐标． 36．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，C为的中点，当的周长最小时，点P的横坐标为 ． 【题型10】动态轴对称中的循环规律探究(培优) 1.核心知识点总结 循环规律：多次轴对称变换后，图形的坐标会呈现周期性重复(如每4次变换为一个周期)。 周期计算：列举前几次变换的坐标，找出重复周期，用总次数除以周期求余数。 2.高频考点梳理 循环对称的坐标预测(如“经过2025次变换后，点的坐标”)。 弹性小球反弹问题(利用对称转化为直线运动，找循环周期)。 3.易错点警示 列举前几次变换时坐标计算错误。 误判周期长度(如将3次变换当作周期，实际为4次)。 4.解题技巧拆解 步骤：①列举前5-6次变换的坐标，找出周期；②计算总次数除以的余数(时为第次)；③根据余数确定第次变换的坐标(与第次相同)。 示例：点依次关于轴、轴、轴、轴对称，周期，余1→第2025次变换与第1次相同(关于轴对称，坐标）。 37．（25-26八年级上·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第次变换后点的对应点坐标为 ． 38．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2025次变换后点A的对应点的坐标为 ． 39．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系内，依次作点关于直线l（横、纵坐标相等的所有点组成的直线）的对称点，关于x轴的对称点，关于y轴的对称点，关于直线l的对称点，关于x轴的对称点，关于y轴的对称点，…，按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为 ． 40．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接，作如下变换：第一次：将点A绕原点O逆时针旋转得到点；第二次：作点关于x轴的对称点；第三次：将点绕点O逆时针旋转得到；第四次：作点关于x轴的对称点……按照这样的规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东佛山·期中）已知点P关于x轴对称的点为Q，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（   ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山东临沂·期中）已知点，关于轴对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是 ． 7．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，若点关于轴对称的点在直线上，则的值为 ． 8．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，这是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖点的坐标是，此时对应的虚像点的坐标是，则 ． 9．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，……．已知，则点的坐标是( ) 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变化，若原来点坐标是，经过第1次变换后得到坐标是，则经过第次变换后所得的点坐标是 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·辽宁营口·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)画出关于轴对称的图形． (2)已知为轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 12．（25-26八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，作直线垂直轴于点，已知点，点，以为斜边作等腰直角三角形，点在第一象限．关于直线的对称图形是．给出如下定义：如果点在上或内部，那么称点是关于直线的“称心点”． (1)当时，在点中，关于直线的“称心点”是 ； (2)当上只有1个点是关于直线的“称心点”时，直接写出的值； (3)点是关于直线的“称心点”，且总有的面积大于的面积，求的取值范围． 13．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在的网格中有格点三角形，请在下面的图中画出与它成轴对称的格点三角形，至少画出五个不同的方案，并画出对称轴． 14．（25-26八年级上·吉林通化·期中）项目式学习 项目主题 设计与制作风筝 项目背景 风筝制作在中国具有悠久的历史．以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”，以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程． 驱动任务一 在正方形网格（如图1）中进行风筝骨架的设计：请你以直线为对称轴画出风筝骨架的另一半． 驱动任务二 用纸竹条扎制风筝骨架，竹条与的交点为（如图2），测得．下面结论错误的是___________（单选题） A．平分    B．     C．    D． 驱动任务三 将制作的风筝进行试飞，根据试飞结果对风筝（如图2）进一步改良． （1）若，则风筝的面积是___________． （2）为了使风筝更美观，需要在风筝上画上蝴蝶图案，若以所在直线为x轴，所在直线为y轴，两轴交点O为原点建立平面直角坐标系，在的左侧选一点画上蝴蝶的一只眼睛，在（___________）上画另一只眼睛，才能使图案更美观． 项目小结 为了编写“简易风筝制作方法”，需对制作过程进行小结、用到的数学知识为：对应点所连线段被对称轴___________． 15．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线． (1)由图观察易知关于直线的对称点的坐标为，请直接写出、关于直线的对称点、的坐标：______、______； (2)结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为______； (3)已知两点、，试在直线上确定一点，使点到、两点的距离之和最小．（不写作法，保留作图痕迹） 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.2画轴对称的图形 【题型1】轴对称图形的精准作图（单对称轴） 1.核心知识点总结 三步骤：找特殊点（线段端点、顶点、交点）→作对称点（过点作对称轴垂线，截取等长线段）→连对应线段（按原图形顺序连接）。 关键性质：对称轴垂直平分任意一组对应点的连线。 2.高频考点梳理 基础作图：线段、三角形、四边形关于直线的对称图形。 网格作图：利用方格纸作轴对称图形。 3.易错点警示 漏找特殊点（如三角形的垂足、线段中点）导致图形失真。 作对称点时未保证“垂线”和“等长”，导致对称轴不垂直平分对应点连线。 4.解题技巧拆解 口诀：“作垂线，截等线，顺次连”。 网格作图：利用方格纸的横线、竖线快速作垂线，数格子确定对称点距离。 【例题1】．（23-24七年级下·重庆·期末）（1）网格作图：如图1，在边长为1的正方形的网格中，已知及直线．画出关于直线的对称图形； （2）尺规作图：校园一角的形状如图2所示，其中表示围墙，围墙内有一点到三面墙的距离都相等，请你用尺规作图的方法作出点（不写作法、但要保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了轴对称作图，角平分线的作法及性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质以及角平分线的作法及性质． （1）先画出点A、B、C关于直线l的对称点，再依次连接即可； （2）分别作和；的平分线交于点P，即为所求 【详解】解：（1）如图所示：即为所求； （2）如图所示，点P即为所求． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知和直线，作出以直线为对称轴的图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查图形的轴对称变换，得到关键点的位置是解决本题的关键．首先找出三个顶点关于直线对称的点； 然后顺次连接三个对称点，就能得到关于直线对称的图形． 【详解】解：如图所示： 【变式题1-2】．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的，并写出、、三点的坐标； (2)若点是内一点，则其在内的对应点的坐标是________． 【答案】(1)见解析，、、 (2) 【分析】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作图，确定点的坐标即可； （2）根据关于y轴对称的点的特点求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： 、、； （2）∵与关于y轴对称， ∴的对应点的坐标是， 故答案为：． 【变式题1-3】．（22-23七年级下·陕西铜川·期末）如图，以直线l为对称轴在网格中画出图形的另一半． 【答案】见解析 【分析】本题考查画轴对称图形，根据轴对称的性质，先描出关键点的对应点，再顺次连接即可得到所求图形． 【详解】解：如图所示． 【题型2】坐标法求对称点（坐标轴/特殊直线） 1.核心知识点总结 坐标轴对称：点关于轴对称→；关于轴对称→。 特殊直线对称：关于直线对称→；关于直线对称→。 2.高频考点梳理 直接求对称点坐标。 已知对称点求参数(如点与关于轴对称，求)。 直线、的对称。 3.易错点警示 混淆轴、轴对称的坐标规律(如误将轴对称写成横相反纵不变)。 计算直线、的对称点时，漏乘2(如将对称写成)。 4.解题技巧拆解 口诀：“轴对称，看轴名；轴横不变纵相反，轴纵不变横相反；特殊线，用中点，2倍轴值减原坐标”。 验证技巧：求对称点后，检查两点中点是否在对称轴上。 【例题2】．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征，掌握 “关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数” 这一性质是解题的关键．根据关于轴对称的点的坐标特点，横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】∵点关于轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴点关于轴的对称点的坐标为． 故选：A． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）“小马虎”在做作业时，将点A横纵坐标的顺序颠倒了，误写为，“小糊涂”也不细心，将点B的坐标写成其关于y轴对称的点的坐标，误写为，则A，B两点原来的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．重合 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标以及轴对称的性质，根据题意，通过逆向推理分别求出点A和点B的原始坐标，然后比较它们的坐标即可确定两点的位置关系． 根据题意确定出A、B两点坐标，进而可得答案． 【详解】解：由题意，得点A坐标应为，点B的坐标应为， 所以A，B两点原来的位置关系是重合． 故选：D． 【变式题2-2】．（25-26八年级上·河南·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在图中画出并标出字母； (2)若点P与点C关于y轴对称，则点P的坐标为______； (3)已知Q为y轴上一点，若的面积为8，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了直角坐标系下图形的绘制，点关于坐标轴对称的特征，三角形面积公式的计算，解决本题的关键是分类讨论点Q的位置． （1）根据点的坐标画三角形即可； （2）根据两个点关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标变为对应的相反数，由此求解即可； （3）设点，根据点Q位于点A上方和点Q位于点A下方两种情况，结合面积求解即可． 【详解】（1）解：如下： （2）解：∵点P与点C关于y轴对称，且， ∴； 故答案为：； （3）解：∵点Q为y轴上一点， ∴设点， 当点Q位于点A上方时， 则， 即，解得， 此时点； 当点Q位于点A下方时， 则， 即，解得， 此时点； ∴点Q的坐标为或． 【变式题2-3】．（24-25八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)①与关于轴对称，在图①中画出，并写出三个顶点的坐标； ②观察图中对应点坐标之间的关系，写出平面直角坐标系中任意一点关于轴的对称点的坐标：________． (2)①直线经过点，并且与轴平行，与关于直线对称，在图（2）中画出，并写出三个顶点的坐标． ②比较图②中与图（1）中的位置关系，你发现了什么？ ③写出平面直角坐标系中任意一点关于直线的对称点的坐标：________． (3)如果要继续探究，你还能提出哪些问题？针对你提出的问题，请分别写出你的结论． 【答案】(1)① ； ②． (2)① ； ②由图可知，向右平移2个单位即可得到； ③． (3)问题：与的横坐标与纵坐标有什么关系？ 结论：与每个顶点的纵坐标相等，比每个顶点的横坐标小2个单位长度． 【分析】本题考查的是作图-轴对称的变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． （1）①根据轴对称的性质画出三角形并写出点坐标即可； ②根据关于轴对称的点的坐标特点即可得出结论； （2）①根据对称的性质画出三角形并写出各点坐标即可； ②比较图②中两个三角形的位置关系即可得出结论； ③根据图形对称的性质即可得出结论； （3）开放性问题，根据图像作答符合题意即可． 【详解】（1）解：①如图①所示： ． 由图可知，； ②∵由①中各点的坐标可知，关于轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：， （2）解：①如图②所示：； ②由图可知，向右平移2个单位即可得到； ③由图可知，点关于直线的对称点的坐标为， 故答案为：． （3）解：可以提出问题：与的横坐标与纵坐标有什么关系？ 结论：与每个顶点的纵坐标相等，比每个顶点的横坐标小2个单位长度． 【题型3】镜面/水面对称的实际应用(时钟/车牌) 1.核心知识点总结 镜面对称(竖直镜面)：左右翻转，相当于关于竖直直线对称。 水面对称(水平镜面)：上下翻转，相当于关于水平直线对称。 2.高频考点梳理 时钟镜面时间。 车牌/数字的水面倒影。 3.易错点警示 混淆镜面和水面的对称方向(如将时钟镜面当水面对称)。 时钟读数时忽略12小时制与24小时制的转换。 4.解题技巧拆解 镜面时钟：方法一“翻折法”(沿竖直直线翻折图形读数)；方法二“24:00(12:00)减镜中时间”(如镜中20:51→24:00-20:51=3:09)。 水面车牌：将倒影上下翻转，或逐字对照“对称数字/字母”(如、、、)。 【例题3】．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）从镜子里看到位于镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2． 关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字． 【详解】解：是从镜子中看， 对称轴为竖直方向的直线， 、0的对称数字为1、0，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， 这时的时刻应是． 故选：C． 【变式题3-1】．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段练习）从镜子中看到的这个号码  ，实际上是 ． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称，正确理解轴对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同．根据镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此解答即可得． 【详解】解：由镜面对称的性质可知，这个号码实际上是， 故答案为：． 【变式题3-2】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称的性质，熟练掌握镜面对称中像与现实事物左右颠倒且关于镜面对称是解题的关键．根据镜面对称的性质，判断每个选项中镜子里的时间对应的实际时间，找出最接近8时整的． 【详解】解：∵镜面对称的性质是：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称． ∴8时整时，时针指向8，分针指向12，在镜子里看到的应该是4时整（时针指向4，分针指向12）． 对于选项A，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项B，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项C，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项D，镜子里的时间对应的实际时间最接近8时整． 故选：D． 【变式题3-3】．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查镜面对称的原理与性质，即轴对称的性质．在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称， 所以此时实际时刻为， 故选：C． 【题型4】网格中补全轴对称图形(单/多格点) 1.核心知识点总结 对称轴识别：水平、竖直、对角线()三种常见方向。 补全原则：每个已知点都有唯一对称点，且对称点在格点上。 2.高频考点梳理 、网格补画1个小正方形。 补画格点三角形/四边形使其成轴对称图形。 3.易错点警示 漏看对称轴的对角线方向(如仅考虑水平/竖直，忽略对角线)。 补画后未验证整体对称性(如局部对称但整体不对称)。 4.解题技巧拆解 步骤：先明确对称轴→找出已知图形的所有格点→逐一作对称格点→补画缺失部分。 验证：沿对称轴对折，观察补画部分与原部分是否完全重合。 【例题4】．（25-26八年级上·青海海西·期中）如图，在边长为1个单位长度的正方形方格图中，的顶点都在格点上． (1)画出关于直线对称的图形（和为对称点）； (2)如果以图中的为原点建立直角坐标系，写出点和的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了 作图-轴对称变换，直角坐标系，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键． （1）利用轴对称的性质，分别作出A、B、C三点关于直线的对称点、、，依次连接即可； （2）根据直角坐标系直接写出点和的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：由图可得，． 【变式题4-1】．（25-26八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中的顶点坐标分别为，． (1)画出关于y轴对称的； (2)直接写出点、、的坐标，______，______，______． 【答案】(1)见解析 (2)，，． 【分析】本题考查作图−轴对称变换、三角形的面积，关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据平面直角坐标系解答即可． 【详解】（1）解：如图： （2）由平面直角坐标系可知：，，． 故答案为：，，． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：    (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)在上找出点P，使最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称与最短路径问题，熟知轴对称的相关知识是解题的关键． （1）分别作出，，关于直线的对称点，，，连接，，，则即为所求； （2）连接交直线于点，由轴对称的性质可得，由两点之间线段最短可知此时最短． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）解：如图所示，点P即为所求；    【变式题4-3】．（25-26八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，是给定的边形．我们称如下的变换为一次“－轴反射变换”：将平面内一点X沿直线进行翻折得到点；将点沿直线翻折得到点；…；将点沿直线翻折最终得到点．并记点为点X在“－轴反射变换”下的像点．请回答下列问题： (1)如图1，若是给定的等腰直角三角形，顶点坐标为，，，则点在此“－轴反射变换”下的像点的坐标为______； (2)如图2，若是给定的四边形，顶点坐标为，，，，点在此“－轴反射变换”下的像点的坐标是，则点的坐标为______；四边形内一点的像点的坐标是______（用含的代数式表示）； (3)如图3，若是给定的平面内一个等边三角形，点P是此三角形内（不含边界）一点，对点P进行一次“－轴反射变换”得到点，是否存在点P使得和P重合？如果存在，请在图中给出点P的具体位置；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了坐标与图形、轴对称的性质、垂直平分线的判定，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）由题意得，直线为，直线为，直线为，再根据轴对称的性质依次求出点、、的坐标即可； （2）由题意得，直线为，直线为，直线为，直线为，设点的坐标为，根据轴对称的性质表示出点的坐标，结合点的坐标是，求出点的坐标，同理即可表示出点的坐标； （3）连接、、、，作的垂直平分线，根据轴对称的性质得到，进而推出的垂直平分线经过点，再根据轴对称的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴直线为，直线为，直线为， ∴点关于直线翻折得到点， 点关于直线翻折得到点， 点关于直线翻折得到点， 故答案为：； （2）解：∵，，，， ∴直线为，直线为，直线为，直线为， 设点的坐标为， ∴点关于直线翻折得到点， 点关于直线翻折得到点， 点关于直线翻折得到点， 点关于直线翻折得到点， ∵点的坐标是， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为； ∵点， ∴同理可得，点的坐标是； 故答案为：；； （3）解：不存在，理由如下： 由题意得，点沿直线进行翻折得到点，点沿直线进行翻折得到点，点沿直线进行翻折得到点， 如图，连接、、、，作的垂直平分线， 由翻折的性质得，， ∴的垂直平分线经过点， ∵点沿直线进行翻折得到点， ∴直线是的垂直平分线， 假设点和P重合，则直线与直线重合， ∴直线经过点，与题意矛盾， ∴点与点P不重合， 即不存在点P使得和P重合． 【题型5】指定面积要求的轴对称涂黑设计(提升) 1.核心知识点总结 面积计算：先求原图形总面积，再确定涂黑部分面积（原面积×，明确需涂黑的格点/小图形数量。 对称原则：涂黑部分需沿指定对称轴（水平、竖直、对角线）完全重合，对应位置必须同时涂黑。 2.高频考点梳理 正方形网格涂黑（如16格正方形，需涂黑8个小三角形/小正方形）。 不规则图形（如由全等三角形组成的图形）的涂黑设计，需同时满足面积和对称要求。 3.易错点警示 面积计算错误（如误将小正方形面积算成2，导致涂黑数量偏差）。 只满足面积要求，忽略对称的“对应性”（如对称轴一侧多涂、一侧少涂）。 涂黑部分形状不对称（如一侧为连续格点，另一侧为分散格点）。 4.解题技巧拆解 步骤：①计算原图形总面积→得出需涂黑的面积及对应格点/小图形数量；②确定对称轴方向；③在对称轴一侧先涂黑一半数量的格点/小图形（保证形状规则）；④按对称规律，在对称轴另一侧涂黑对应位置的格点/小图形；⑤验证总面积和对称性是否达标。 技巧：优先选择“对称单元”涂黑（如成对的全等三角形、对称分布的小正方形），避免单独涂黑孤立格点。 【例题5】．（24-25八年级上·河南郑州·开学考试）由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中的两个小正方形涂黑（如图）．请你用两种不同的方法分别在图中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形，并用虚线画出它的对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．根据轴对称图形的性质画出图形即可． 【详解】解：如图， ． 【变式题5-1】．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在的正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，若将剩余的白色小正方形再涂黑一个，使得到的图形是轴对称图形，满足条件的涂法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．利用轴对称图形定义进行补图即可． 【详解】解：如图所示： 共4种， 故选：D． 【变式题5-2】．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．请分别在下列四个图中用不同的方法从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了轴对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；据此进行作图，即可作答． 【详解】解：如图所示： 【变式题5-2】．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图是小正方形的边长均为1的方格纸，请你涂出一个图形（所有顶点都在格点上），使其满足如下条件：①图形的面积为7；②图形是轴对称图形．    【答案】见解析 【分析】此题主要考查了作图与应用设计，关键是掌握轴对称图形的定义：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义即可作图． 【详解】解：如图1所示，即为所求；    【题型6】轴对称图形的面积计算(网格/坐标)(提升) 1.核心知识点总结 对称性质：轴对称图形的面积对称轴一侧图形的面积。 计算方法：网格中用“割补法”，坐标中用“坐标公式法”(鞋带公式)。 2.高频考点梳理 网格中轴对称图形的面积。 坐标法求对称图形的面积(如关于轴对称的的面积)。 3.易错点警示 割补法时漏算或多算半格(正确规则：满格算1，半格算0.5)。 用鞋带公式时混淆对称点的坐标顺序。 4.解题技巧拆解 网格面积：先算对称轴一侧的满格和半格数量→计算一侧面积→乘以2(对称图形)。 坐标面积：直接用原图形面积(对称图形面积与原图形相等)→代入鞋带公式：。 【例题6】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，的三个顶点都在格点上． (1)画出与关于y轴对称的； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键． （1）关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此得到的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：． 【变式题6-1】．（24-25八年级上·河南许昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，． (1)求出的面积； (2)在图中作出关于y轴的对称图形； (3)写出点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用割补法求解即可； （2）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）关键（2）所求即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由（2）可得． 【变式题6-2】．（25-26八年级上·四川广元·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是，，，直线经过点且垂直于轴． (1)画出直线； (2)画出关于对称的，并写出点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)画图见详解 (2)画图见详解， (3) 【分析】本题主要考查了作图—轴对称变换，根据坐标求三角形面积，找好对应的坐标是解体的关键． （1）根据题意直线经过点且垂直于轴画出直线即可； （2）先根据轴对称的性质，指出对应点，再依次连接即可，根据所找的点可以得出点的坐标； （3）用矩形的面积减去三个小三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图． （2）解：如图，点的坐标． （3）解：． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，已知网格上最小的正方形的边长为1． (1)作△ABC关于y轴对称的图形，并分别写出三点的坐标； (2)求A，，C，构成图形的面积． 【答案】(1)见解析， ， ， (2)12 【分析】本题主要考查了作轴对称图形、借助网格线计算图形的面积． （1）分别作出点、、关于轴的对称点、、，连接点、、，得到，借助平面直角坐标系中的网格线可以求出点、、的坐标； （2）根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如下图所示，分别作出点、、关于轴的对称点、、， 连接点、、，得到， 即为所求， 从网格图中可以看出：    ； （2）解：． 【题型7】含参数的坐标对称问题(提升) 1.核心知识点总结 参数方程：利用对称规律建立关于参数的方程(如点与关于轴对称→，)。 参数范围：结合图形位置(如对称点在第四象限)求参数取值范围。 2.高频考点梳理 已知对称关系求参数值。 已知对称点所在象限求参数范围(如点关于轴对称的点在第四象限，求的范围)。 3.易错点警示 列方程时混淆对称规律(如关于轴对称误列成坐标相反)。 求解参数范围时忽略端点是否可取(如“第四象限”不含坐标轴)。 4.解题技巧拆解 步骤：先根据对称规律列出参数方程/不等式→求解参数→验证参数是否符合题意(如点在象限内、图形存在等)。 口诀：“参数问题，规律先行；列方程，验范围”。 【例题7】．（25-26八年级上·辽宁营口·期中）点关于轴的对称点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的点的坐标特征，关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同． 根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相同，列出方程求解m和n，再计算它们的和即可． 【详解】解：∵点关于轴的对称点， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式题7-1】．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期中）已知点和关于x轴对称，则的坐标为 【答案】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， 故点的坐标为． 故答案为：． 【变式题7-2】．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质．利用关于轴对称点的性质，纵坐标相等，横坐标互为相反数，进而得出答案． 【详解】解：点和点关于轴对称， ， 解得， ． 故答案为：． 【变式题7-3】．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）若点和点关于轴对称，则点在第 象限． 【答案】一 【分析】本题考查了轴对称，判断点所在的象限，关于y轴对称对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点和点关于y轴对称， ∴， 解得， ∴在第一象限， 故答案为：一． 【题型8】新定义对称变换的综合应用(培优) 1.核心知识点总结 新定义解读：理解“一次对应点”“二次对应点”“青一对称点”等定义的操作步骤。 转化思想：将新定义转化为熟悉的轴对称变换(如“青一对称点”=先轴对称再直线对称)。 2.高频考点梳理 新定义下的坐标计算。 新定义与图形位置关系(如“对应线段与原图形无公共点，求参数范围”)。 3.易错点警示 误解新定义的操作顺序(如“先关于直线对称再关于对称”与反之不同)。 忽略新定义中的“直线条件”(如“直线垂直于轴”)。 4.解题技巧拆解 步骤：①逐字解读新定义，明确操作步骤；②将每个步骤转化为坐标变换公式；③分步计算对应点坐标；④结合题意求解问题(参数、范围、位置关系)。 示例：“青一对称点”=先轴对称(不变)再直线对称()→总变换：。 【例题8】．（2024·山东淄博·二模）定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”·若点，幸福直线是，则点A关于这条幸福直线的对称点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于直线对称的点坐标的特征．熟练掌握关于直线对称的点坐标的特征是解题的关键． 由点A关于幸福直线的对称点的坐标，可知A、B的纵坐标相同，横坐标和的一半等于，即，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，对称点到对称轴的距离相等，且对称点之间的连线与对称轴垂直， ∴点A与点B的纵坐标都相同 ，即， 故选：D． 【变式题8-1】．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段练习）规定以下两种变换：①，如；②，如；按照以上变换有：，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一种新型的运算法则，此类题的难点是判断先进行哪个运算，关键是理解两种运算改变了哪个坐标的符号．根据变换定义，先计算内层函数，再计算外层函数g的结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式题8-2】．（2025八年级上·全国·专题练习）已知点，规定1次变换是先作点关于轴对称的点，再将对称点向左平移1个单位长度．连续经过2025次变换后，点的坐标变为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称判断出点M 变换后在x轴的上方或下方，然后求出点M 纵坐标，再根据平移的距离求出点M 变换后的横坐标，最后写出坐标即可． 【详解】解：第一次变换的坐标为； 第二次变换的坐标为； 第三次变换的坐标为； ... 当翻折次数为奇数时，纵坐标为，翻折次数为偶数时，纵坐标为， 连续经过2025次变换后，点的纵坐标变为， 连续经过2025次变换后，点的横坐标变为， ∴第2025次变换的坐标为； 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化−平移，读懂题目信息，确定点的位置是解题的关键． 【变式题8-3】．（24-25八年级下·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点分别为，， ，线段在矩形的外面．给出如下定义：将线段关于直线对称，得到线段，若线段不在矩形的外面，则称线段为矩形关于直线的对称线段，线段与线段中点间的距离为线段到矩形的对称距离． (1)如图，已知点，，，在线段，中，是矩形关于轴的对称线段的是______，该线段到矩形的对称距离为______； (2)过点作轴的垂线． ①已知点，，若存在，使线段MN是矩形关于直线的对称线段，则的取值范围是______； ②已知点，，若存在，使线段是矩形关于直线的对称线段，则线段到矩形的对称距离的取值范围是______． 【答案】(1)，； (2)①；②． 【分析】（1）分别写出，，，关于轴对称的坐标，即可得出答案，然后再写出相应的中点坐标，求出其距离即可； （2）①过点作轴的垂线，那么该直线为，然后写出点，关于直线的对称点为，，据题意可知，点，，在矩形的外面，，在矩形的内部，那么有，那么有，然后分成和讨论即可得出答案；②点，关于直线的对称点为，，根据题意可知，点，在矩形的外面，，，在矩形的内部，那么有，那么有，然后分成和分别讨论出的范围，进而得到的范围． 【详解】（1）解：由题意可知，，，关于轴对称的坐标分别为，，在矩形的内部，，关于轴对称的坐标分别为，，不在矩形的内部， 那么矩形关于轴的对称线段的是，如图所示： 那么、的中点为，，即、， 那么、之间的距离为，该线段到矩形的对称距离为， 故答案为：，； （2）解：①过点作轴的垂线，那么该直线为， 点，关于直线的对称点为，， 根据题意可知，点，，在矩形的外面， ，在矩形的内部， 那么有，那么有， 那么当时，点为，， ，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 那么当时，点为，， ，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 综上，； 故答案为：； ②过点作轴的垂线，那么该直线为， 点，关于直线的对称点为，， 根据题意可知，点，在矩形的外面，，，在矩形的内部， 那么有，那么有， 那么当时，点为，，，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 此时，点为，的中点为，，的中点为，则线段到矩形的对称距离为，那么； 那么当时，点为，，，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 此时，点为，的中点为，，的中点为，则线段到矩形的对称距离为，那么； 综上，； 则线段到矩形的对称距离的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了“对称线段”，“对称距离”，两点距离公式，两点的中点公式，轴对称的性质，理解“对称线段”和“对称距离”，画出图形数形结合是解题的关键． 【题型9】轴对称中的最值综合问题(含路径优化)(培优) 1.核心知识点总结 最值原理：“两点之间线段最短”“垂线段最短”。 常见模型：饮马问题(单动点)、造桥选址(双动点)、角内找点(双对称轴)。 2.高频考点梳理 饮马问题：在直线上找一点，使最小。 造桥选址：在轴和直线上找点、(轴)，使最小。 3.易错点警示 饮马问题中误作“同侧点”的对称点(应作其中一个点关于直线的对称点，连接另一点与对称点)。 造桥选址中忽略“桥的长度固定”(需将其中一个点沿桥的方向平移桥长)。 4.解题技巧拆解 饮马问题：①作点关于直线的对称点；②连接，与的交点即为；③(最小值)。 造桥选址：①将点沿轴正方向平移的长度(如1个单位)得到；②连接，与直线的交点即为；③过作轴，交轴于，(最小值)。 【例题9】．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系内有两点．若M为x轴上一点，当MA+MB的值最小时，点M的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题以及一次函数的应用，掌握利用轴对称性质将折线转化为线段求最短路径，再通过求直线解析式确定交点坐标是解题的关键． 要使的值最小，根据两点之间线段最短和轴对称的性质，作出点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，再通过求直线的解析式，进而求出点的坐标 【详解】解：点关于轴的对称点为 设直线的解析式为， 把代入可得： 解得： 直线的解析式为 令，则， 解得． ∴ 点的坐标是． 故答案为：． 【变式题9-1】．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． (1)在图中作，使和关于轴对称； (2)写出点C关于轴的对称点的坐标______； (3)点Q是轴上的一个动点，当的周长最小时，在图中画出点Q的位置，并写出点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图见解析， 【分析】本题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路径，正确得出对应点的位置是解题的关键． （1）直接利用关于轴对称点的性质得出答案； （2）根据关于轴对称点的性质得出关于点C关于轴的对称点的坐标； （3）利用轴对称求最短路径的方法得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：点C关于轴的对称点的坐标为； 故答案为：； （3）解：如图所示：连接交轴于点，此时的周长最小． 点的坐标为． 故答案为：． 【变式题9-2】．（25-26八年级上·江苏南通·开学考试）如图，在直角坐标系中，各顶点坐标分别为，与关于y轴对称，点A的对称点为． (1)作出； (2)写出的坐标； (3)若P为x轴上一动点，当最小时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)点P的坐标为． 【分析】本题考查作图中的轴对称变换、最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由图可得答案； （3）取点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）由图可得，． （3）取点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 此时，为最小值， 则点P即为所求， 点P的坐标为． 【变式题9-3】．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，C为的中点，当的周长最小时，点P的横坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称的性质，一次函数解析式．由题意知，，如图，作关于轴的对称点，连接，，则，，由的周长为，可知当三点共线时，的周长最小，直线与轴的交点即为点P，待定系数法求直线的解析式为，当时，，计算求解即可得点P的横坐标． 【详解】解：由题意知，， 如图，作关于轴的对称点，连接，， ∴，， 的周长为， ∴当三点共线时，的周长最小，直线与轴的交点即为点P， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴点P的横坐标为， 故答案为：． 【题型10】动态轴对称中的循环规律探究(培优) 1.核心知识点总结 循环规律：多次轴对称变换后，图形的坐标会呈现周期性重复(如每4次变换为一个周期)。 周期计算：列举前几次变换的坐标，找出重复周期，用总次数除以周期求余数。 2.高频考点梳理 循环对称的坐标预测(如“经过2025次变换后，点的坐标”)。 弹性小球反弹问题(利用对称转化为直线运动，找循环周期)。 3.易错点警示 列举前几次变换时坐标计算错误。 误判周期长度(如将3次变换当作周期，实际为4次)。 4.解题技巧拆解 步骤：①列举前5-6次变换的坐标，找出周期；②计算总次数除以的余数(时为第次)；③根据余数确定第次变换的坐标(与第次相同)。 示例：点依次关于轴、轴、轴、轴对称，周期，余1→第2025次变换与第1次相同(关于轴对称，坐标）。 【例题10】．（25-26八年级上·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第次变换后点的对应点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次轴对称变换为一个循环组，依次循环是解题的关键．观察图形可知每四次轴对称变换为一个循环组，依次循环，用除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，然后解答即可． 【详解】解：点第一次关于轴对称后在第三象限，坐标为； 第二次关于轴对称后在第四象限，坐标为； 第三次关于轴对称后在第一象限，坐标为； 第四次关于轴对称后在第二象限，即点回到原始位置，坐标为； 每四次轴对称变换为一个循环组依次循环， ， 经过第次变换后，所得的点与第一次变换的位置相同，在第三象限，坐标为． 故答案为：． 【变式题10-1】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2025次变换后点A的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了点的坐标变化规律和轴对称．根据题意点的坐标变化规律为每4次对称变换为一个循环．据此进行解答即可． 【详解】解：点A第1次关于y轴对称后的对应点在第一象限，坐标为， 第2次关于x轴对称后的对应点在第四象限，坐标为， 第3次关于y轴对称后的对应点在第三象限，坐标为， 第4次关于x轴对称后的对应点在第二象限，坐标为， 即点A回到了原始位置， ∴每4次对称变换为一个循环． ∵， ∴经过第2025次变换后点A的对应点与第1次变换后的位置相同，在第一象限，坐标为． 故答案为： 【变式题10-2】．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系内，依次作点关于直线l（横、纵坐标相等的所有点组成的直线）的对称点，关于x轴的对称点，关于y轴的对称点，关于直线l的对称点，关于x轴的对称点，关于y轴的对称点，…，按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的变化-对称，探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：如图， 观察图象可知，6次一个循环， ∵余2， ∴的坐标与的坐标相同，坐标为， 故答案为：． 【变式题10-2】．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接，作如下变换：第一次：将点A绕原点O逆时针旋转得到点；第二次：作点关于x轴的对称点；第三次：将点绕点O逆时针旋转得到；第四次：作点关于x轴的对称点……按照这样的规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图-轴对称、旋转变换、全等三角形的判定与性质，找规律等知识，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义和性质，并找出规律． 先根据旋转变换和轴对称变换得出、、、、，从而可知每4个点的坐标为一周期循环，据此可得． 【详解】解：过点作轴于M，过点作轴于N， 由题意得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，则， 同上可求、、， ∴每4个点的坐标为一周期循环， ∵余1， ∴点的坐标与点的坐标一致，为， 故选：B． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于y轴对称的点的坐标．根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可求解． 【详解】解：∵点关于y轴对称， ∴点N的横坐标为，纵坐标为1， ∴点N的坐标为． 故选：A． 2．（25-26八年级上·广东佛山·期中）已知点P关于x轴对称的点为Q，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴点A的坐标为； 故选B． 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（   ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称．    所以在图中与成轴对称的格点三角形可以画出6个． 故选：D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于直线对称的点的坐标特征．熟练掌握平面直角坐标系中关于直线对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于直线对称的点的坐标特征来求解点的坐标即可． 【详解】关于直线对称，且直线上各点的横坐标都为1， 关于直线对称． 点的坐标为，设点坐标为， ， 解得，故点坐标为． 故选A． 5．（25-26八年级上·山东临沂·期中）已知点，关于轴对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的特征、求代数式的值，根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，列方程求解和，再计算的值． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 解得：，， ， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称，准确计算是解题的关键． 根据点关于x轴的对称点的特征，横坐标不变，纵坐标变为相反数，即可解答． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，若点关于轴对称的点在直线上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，通常把点坐标代入函数表达式即可求解．点A关于x轴的对称点B的坐标为：，将点B的坐标代入直线表达式，即可求解． 【详解】解：点A关于x轴的对称点B的坐标为：， 将点B的坐标代入直线表达式得：， 解得：， 故答案为1． 8．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，这是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖点的坐标是，此时对应的虚像点的坐标是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，求代数式的值，根据点和关于轴对称，得出，，代入进行计算即可，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：点和关于轴对称， ，， ，， ， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，……．已知，则点的坐标是( ) 【答案】 【分析】本题主要考查了关于轴、轴对称的点的坐标规律，关键是熟练掌握点关于坐标轴对称的变化规律．关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】解：点的坐标是， 点与点关于轴对称， 点的坐标是， 点与点关于轴对称， 点的坐标是， 点与点关于轴对称， 点的坐标是， 点与点关于轴对称， 点的坐标是， 根据规律可知点的坐标是， ， 点的坐标是． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变化，若原来点坐标是，经过第1次变换后得到坐标是，则经过第次变换后所得的点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的轴对称变换规律．熟练掌握平面直角坐标系中的轴对称变换规律是解题的关键． 可先找出点坐标变换的规律，再根据规律确定第次变换后点坐标即可． 【详解】点第一次关于轴对称后在第四象限，点第二次关于轴对称后在第三象限，点第三次关于轴对称后在第二象限，点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置， 每四次对称为一个循环组依次循环． ， 经过第2025次变换后所得的点与第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为． 故答案为． 三、解答题 11．（25-26八年级上·辽宁营口·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)画出关于轴对称的图形． (2)已知为轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，画轴对称图形，解题的关键是数形结合． （1）根据关于轴轴对称的特点，找到各个点的对应点，再依次连接即可； （2）根据三角形的面积公式求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2） ， 点的坐标为或． 12．（25-26八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，作直线垂直轴于点，已知点，点，以为斜边作等腰直角三角形，点在第一象限．关于直线的对称图形是．给出如下定义：如果点在上或内部，那么称点是关于直线的“称心点”． (1)当时，在点中，关于直线的“称心点”是 ； (2)当上只有1个点是关于直线的“称心点”时，直接写出的值； (3)点是关于直线的“称心点”，且总有的面积大于的面积，求的取值范围． 【答案】(1)点，点 (2) (3)或 【分析】本题考查了图形在平面直角坐标系中的轴对称，掌握图像轴对称的性质，并根据题意画出相应的图形，数形结合是解题的关键． （1）由题意确定点坐标，作出图形，即可判断； （2）由图形的轴对称判定即可； （3）过点作直线，延长至点，使，过点作直线，①当点在直线的点上时，，过点作轴的平行线交直线于点，根据轴，直线，可得，即有，结合图形可得点的坐标为，则有，当点与点重合时，即有，根据，点还应往左边移动，此时点也应该往左移动，即此时对称轴直线也相应往左移动，可得；②当点在直线的点上时，，同理可求，问题随之得解． 【详解】（1）∵， ∴直线与轴重合， ∵点，点，以为斜边作等腰直角三角形，点在第一象限． ∴， 画出图形如下： 结合图形可知，当时，在点，，中，关于直线的“称心点”是点，点； 故答案为：点，点； （2）如图，当上只有1个点是关于直线的“称心点”时，点在直线上， 结合图像可知：； 故答案为：； （3）如图，过点作直线，延长至点，使，过点作直线， ∵点，点，是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，且轴，， ①当点在直线的点上时，， 过点作轴的平行线交直线于点， 又∵，且轴，直线， ∴， ∴， ∴结合图形可得点的坐标为， ∴， 当点与点重合时，即有， ∵， ∴点还应往左边移动，此时点也应该往左移动， 即此时对称轴直线也相应往左移动， ∴； ②当点在直线的点上时，， 结合图形同（1）可求出， ∴点的坐标为， ∴， 当点与点重合时，即有， ∵， ∴点还应往右边移动，此时点也应该往右移动，即此时对称轴直线也相应往右移动， ∴． 综上所述，或． 故答案为：或． 13．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在的网格中有格点三角形，请在下面的图中画出与它成轴对称的格点三角形，至少画出五个不同的方案，并画出对称轴． 【答案】图见解析 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，解题关键是正确掌握轴对称图形的性质．直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案． 【详解】解：如图： 14．（25-26八年级上·吉林通化·期中）项目式学习 项目主题 设计与制作风筝 项目背景 风筝制作在中国具有悠久的历史．以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”，以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程． 驱动任务一 在正方形网格（如图1）中进行风筝骨架的设计：请你以直线为对称轴画出风筝骨架的另一半． 驱动任务二 用纸竹条扎制风筝骨架，竹条与的交点为（如图2），测得．下面结论错误的是___________（单选题） A．平分    B．     C．    D． 驱动任务三 将制作的风筝进行试飞，根据试飞结果对风筝（如图2）进一步改良． （1）若，则风筝的面积是___________． （2）为了使风筝更美观，需要在风筝上画上蝴蝶图案，若以所在直线为x轴，所在直线为y轴，两轴交点O为原点建立平面直角坐标系，在的左侧选一点画上蝴蝶的一只眼睛，在（___________）上画另一只眼睛，才能使图案更美观． 项目小结 为了编写“简易风筝制作方法”，需对制作过程进行小结、用到的数学知识为：对应点所连线段被对称轴___________． 【答案】任务一：见解析 ；任务二：C ；任务三：（1）（2） ；项目小结：垂直平分 【分析】本题考查轴利用方格纸作图，轴对称性质，四边形面积，掌握相关知识是解决问题的关键． 任务一：根据轴对称变换的性质作出图形； 任务二：利用轴对称图形的性质判断即可； 任务三：（1）四边形的面积，可证得四边形的面积等于四边形两对角线乘积的一半，据此求解即可；（2）关于轴对称，利用轴对称图形的性质确定位置 项目小结：根据轴对称性质补全问题即可． 【详解】解：任务一：图形如图所示： 任务二：∵ ∴在的垂直平分线上， ∴，故D正确； ∵，， ∴， ∴， 即平分， 故A正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故B正确， 但无法推出， 故选：； 任务三：（1）四边形的面积 ． 故答案为：； （2）关于轴对称，∵， ∴， 故答案为：； 项目小结：对应点的连线被对称轴垂直平分． 故答案为：垂直平分． 15．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线． (1)由图观察易知关于直线的对称点的坐标为，请直接写出、关于直线的对称点、的坐标：______、______； (2)结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为______； (3)已知两点、，试在直线上确定一点，使点到、两点的距离之和最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)，； (2)； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的求解问题，以及求最短距离的问题． 分别作出点、关于直线的对称点、，根据网格可知点的坐标是，点的坐标是； 由可知当直线是第一、三象限的角平分线，关于直线对称的两个点的坐标，只需将该点横纵坐标互换即可得到对称点； 根据将军饮马问题，求点到两点之间距离之和最小，点关于直线的对称点，连接，交直线于点，当点、、三点共线时，的值最小. 【详解】（1）解：如下图所示，分别作出点、关于直线的对称点、， 根据网格可知点的坐标是，点的坐标是， 故答案为：，； （2）解：由可知，坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为， 故答案为：； （3）解：如下图所示，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 由对称可知， ， 当点、、三点共线时，的值最小. 学科网（北京）股份有限公司 $