重难点12 三角函数的图象与性质的综合应用（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 聚焦三角函数图象与性质综合应用，以8大题型为框架，融合方法提炼与知识逻辑，通过“题型-方法-知识”三维体系培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象识别与应用|1例+3变式|特征分析（奇偶性、特殊点）|从图象直观到解析式确定| |图象变换|1例+3变式|平移伸缩法则（先平移后伸缩/反之）|变换规律→解析式推导| |定义域值域|1例+3变式|整体代换、二次函数转化|性质应用→最值求解| |性质综合|1例+3变式|单调性/对称性/周期性联动|单一性质→多性质综合| |ω取值|1例+3变式|方程根分布、单调性约束|参数控制→图象特征| |含二次式|1例+3变式|换元法（sinx=t）|三角问题→二次函数模型| |含绝对值|1例+3变式|分段讨论、图象翻折|绝对值对性质的影响| |恒等变换综合|1例+3变式|化简为y=Asin(ωx+φ)形式|变换工具→性质研究|

重难点12 三角函数的图象与性质的综合应用（举一反三专项训练） 【全国通用】 【题型1 三角函数的图象识别与应用】 3 【题型2 三角函数的图象变换问题】 6 【题型3 三角函数的定义域、值域（最值）问题】 8 【题型4 三角函数的性质综合】 9 【题型5 ω的取值与最值（范围）问题】 13 【题型6 含三角函数的二次式问题】 15 【题型7 含绝对值的三角函数（型）问题】 19 【题型8 三角恒等变换与三角函数综合】 23 1、三角函数的图象与性质的综合应用 三角函数是高考考查的重点和热点内容，从近三年的高考情况来看，三角函数的图象与性质主要从以下几个方面进行考查： (1)三角函数的图象，涉及三角函数图象变换问题以及由部分图象确定函数解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查，试题难度较低。 (2)利用三角函数的图象与性质来求解三角函数的值域、最值、单调性、奇偶性、对称性、周期性、零点等问题，主要以选择题、填空题的形式考查，试题难度中等。 (3)三角恒等变换的化简求值是高考命题的热点，常与三角函数的图象与性质结合在一起综合考查，如果单独命题，多以选择题、填空题的形式考查，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解三角形相结合来研究最值、范围问题，多以解答题形式考察，此时要灵活求解，试题难度中等。 考点1 三角函数的图象与性质 知识点1 三角函数的图象变换规律 1．平移变换与伸缩变换法则 (1)平移变换 函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对作的变换； (2)伸缩变换 ①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的（倍）（纵坐标y不变）； ②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A（倍）（横坐标x不变）． 2．三角函数的图象变换问题的求解方法 解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下： (1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象； (2)变同名：函数的名称要变得一样； (3)选方法：即选择变换方法. 知识点2 三角函数的单调性问题的求解策略 1．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 知识点3 三角函数的值域与最值问题的求解策略 1．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型： (1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)； (2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； (3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值). 2．求三角函数最值的基本思路 (1)将问题化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式，结合三角函数的图象和性质求解. (2)将问题化为关于sinx或cosx的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解. (3)利用导数判断单调性从而求解. 知识点4 三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解策略 1．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 2．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx+φ= kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可. 3．三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). 考点2 三角恒等变换 知识点5 三角恒等变换的综合应用 1．三角恒等变换的综合应用的解题策略 三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题. 【题型1 三角函数的图象识别与应用】 【例1】（2026·贵州黔东南·模拟预测）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数的奇偶性，排除C，再由当时，排除A，B，即可求解. 【解答过程】由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 且所以函数是奇函数，其图象关于原点中心对称，排除C； 又由当时，排除A，B； 故选：D． 【变式1-1】（2026·天津·二模）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过观察图象，根据函数的奇偶性和定义域即可用排除法进行作答. 【解答过程】根据图象可以看出，函数的定义域不包括， 这说明函数在这两个点上无意义，而选项C,D的定义域包括，所以排除C,D. 由图象可以看出，函数关于原点对称，是奇函数，而选项B中， 因为，说明选项B中的函数为偶函数，不符合图象，所以排除. 故选：A. 【变式1-2】（2026·江苏扬州·三模）当时，曲线与的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解题思路】根据五点法作图，在同一坐标系中画出函数图形，判断交点个数. 【解答过程】作图像，列表： 0 0 1 0 0 1 0 0 作图像，列表： 0 0 2 0 0 2 0 在同一坐标系中画出图形，如下图所示， 则两个函数在上有4个交点. 故选：B. 【变式1-3】（2026·天津和平·三模）函数在区间的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】根据函数的奇偶性以及函数值的正负即可排除求解. 【解答过程】由于， 故为奇函数，其图象关于原点对称，此时可排除CD, 又，故排除B， 故选：A. 【题型2 三角函数的图象变换问题】 【例2】（2026·四川泸州·一模）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用三角函数图象变换规则，先对函数进行伸长变换，再对所得图象进行向右平移变换，最终得出函数解析式． 【解答过程】若把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 则需将替换为，即， 再把所得图象向右平移个单位长度，则需将替换为， 即， 最终得到的函数解析式为，故D正确． 故选：D． 【变式2-1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，若，的图像关于轴对称，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的平移变换和对称性可得，再利用余弦函数的周期性列式求解即可. 【解答过程】由题意可得， 因为，的图像关于轴对称， 则， 所以，，解得，， 又，所以的最小值为4， 故选：A. 【变式2-2】（2026高三上·江苏南通·专题练习）已知函数的图象过点，将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的图象的对称轴为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】根据题意先求，再利用三角恒等变换化简，最后由图像的变换得即可求解. 【解答过程】因为函数的图象过点，所以， 所以， 将其图象向右平移个单位长度得到的图象， 令，，解得，. 故选：B. 【变式2-3】（2026·广东佛山·三模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C．在上的值域为 D．在上单调递增 【答案】C 【解题思路】首先根据平移规律求函数的解析式，根据奇函数的性质，判断A，利用代入法，判断BCD. 【解答过程】由题意知不是奇函数，故A错误． 不关于直线对称，故B错误． 由，得，则，故C正确． 当时，，而在上不单调， 所以在上不单调，故D错误． 故选：C. 【题型3 三角函数的定义域、值域（最值）问题】 【例3】（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】由周期公式求得，然后由换元法即可求解. 【解答过程】由题意，解得，， 所以的最大值为3. 故选：D. 【变式3-1】（2026·河北·模拟预测）函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先运用差角公式，二倍角公式，辅助角公式化简函数表达式，再换元求解函数值域即可. 【解答过程】根据题意，， 根据倍角公式可得， 令，因为，则，可得， 故选：A. 【变式3-2】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由正弦函数的单调性和在区间上单调递增确定的最大值，再由正弦函数的单调性求出值域即可. 【解答过程】因为，所以当时，， 因为在区间上单调递增，所以，则，即， 所以，所以，解得，则的最大值为1， 此时， 当时，，则在区间上的值域为. 故选：C. 【变式3-3】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数为奇函数，则在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先化简函数的解析式，然后根据是奇函数求出的值，然后根据正弦函数的性质和的范围确定的最大值. 【解答过程】因为， 所以. 因为为奇函数，所以. 所以. 当时，， 所以， 所以的最大值为. 故选：D. 【题型4 三角函数的性质综合】 【例4】（2026·河北·模拟预测）函数，若的一个单调递增区间为，且，下面说法正确的是（    ） A． B． C．在上有2个零点 D． 【答案】C 【解题思路】利用单调区间求出判断A；由求出判断B；求出在上的零点判断C；求出函数值判断D. 【解答过程】对于A，由的一个单调递增区间为，得最小正周期，，A错误； 对于B，由，得或，而， 当时，，在不单调；当时， ，符合题意，，B错误； 对于C，由，得， 解得，当时，或，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C. 【变式4-1】（2026·天津·一模）已知是函数图象的一个对称轴，则下列说法错误的是（    ） A．是函数图象的一个对称中心 B．函数的图象可由图象向左平移个单位长度得到 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上有且仅有一个零点 【答案】D 【解题思路】根据题意，求得，结合正弦型函数的图象与性质，逐项分析求解，即可得到答案. 【解答过程】由是函数图象的一个对称轴， 可得，可得，即， 因为，所以，所以， 对于A中，由， 所以是函数图象的一个对称中心，所以A正确； 对于B中，将函数图象向左平移个单位长度得到，所以B正确； 对于C中，由，可得， 因为函数在上单调递减，所以在区间上递减，所以C正确； 对于D中，，可得， 当时，即时，可得，即是的一个零点； 当时，即时，可得，即是的一个零点， 所以函数在上有两个零点，所以D错误. 故选：D. 【变式4-2】（2026·海南·模拟预测）已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（    ） A．的最小正周期为2 B．的图象关于点对称 C．将的图象向左平移个单位长度可得到的图象 D．与的图象关于轴对称 【答案】D 【解题思路】根据相邻对称轴之间的距离求出周期后可判断A的正误，利用代入检验法可判断B的正误，利用平移变换的规律求出平移后图象对应的解析可判断C的正误，利用坐标变换可判断D的正误. 【解答过程】对于A，因为相邻对称轴之间的距离为，故最小正周期为， 故A错误； 对于B，由A可得，故， 而，故的图象不关于点对称， 故B错误； 对于C，将的图象向左平移个单位长度后， 所得图象对应的解析式为， 故的图象左平移个单位长度得不到的图象，故C错误； 对于D，， 而， 所以与的图象关于轴对称，故D正确； 故选：D. 【变式4-3】（2026·天津·二模）已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为， D．在上的最小值为 【答案】D 【解题思路】由题意先求，再逐项验证即可. 【解答过程】因为对任意，恒有，所以为的一条对称轴， 所以， 又在上单调递增，所以， 所以当时，，故A正确；所以， 由为奇函数，故B正确； 由函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数， 令，解得，，故C正确； 由，所以，当，即时，故D错误； 故选：D. 【题型5 ω的取值与最值（范围）问题】 【例5】（2026·福建福州·模拟预测）已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意可得，从而得或，再根据，求出的可能取值，由有3个实根，列出不等式组求解即可. 【解答过程】若方程， 则， 即或， 当时， ， 则大于的取值为， 因为原方程在区间上恰有3个实根， 所以，解得． 所以的取值范围. 故选：D. 【变式5-1】（2026·江苏镇江·模拟预测）已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（    ） A．3 B．6 C．12 D． 【答案】A 【解题思路】由题可得在上单调递增，且，得，得解. 【解答过程】因为点在函数的图象上，所以， 由，则，且在上单调递减， 所以在上单调递增，由余弦型函数的对称性易知， 所以，即，故. 故选：A. 【变式5-2】（2026·广东清远·二模）已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用辅助角公式化简后，根据正弦函数的图象与性质列出不等式求解即可. 【解答过程】因为， 且当时，， 因为函数在内恰有3个最值点和3个零点， 所以，解得， 故选：D． 【变式5-3】（2026·甘肃金昌·二模）已知，函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 B．若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则实数的最小值为 C．若在区间上单调递增，则的取值范围为 D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围为 【答案】D 【解题思路】由三角函数平移法则，可判断AB，由可判断C，由可判断D. 【解答过程】对于选项A，若，则将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，故选项A错误； 对于选项B，，则，解得， 又因为，故当时，取得最小值，最小值为，故选项B错误； 对于选项C，若在区间上单调递增，则有， 解得，又， 所以，所以的取值范围为，故选项C错误； 对于选项D，若在区间上只有一个零点，则有， 解得，故选项D正确. 故选：D. 【题型6 含三角函数的二次式问题】 【例6】（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）设a为常数，函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围； 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用换元法结合三角函数值域，由二次函数性质即可得出函数的值域； （2）根据零点个数可得函数在上仅有一个零点，再由二次函数根的分布可得； 【解答过程】（1）由题意， 令，则， 当时，， 所以当时，取最大值； 当时，取最小值， 所以的值域为； （2）由题意函数在区间上有两个不同的零点， 即函数在上仅有一个零点，因为， 由零点存在性定理，只需，得； 所以实数a的取值范围为. 【变式6-1】（25-26高一下·江西九江·阶段检测）设函数． (1)若对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)若关于x的方程在有实数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）转化为求函数的最值，再根据不等式，列式求解； （2）首先换元，转化为关于的二次方程，再利用参变分离为在上有实数解，转化为求函数的值域问题. 【解答过程】（1）由函数， 令，可得， 因为对一切实数恒成立，即对任意的，恒成立， 又函数的图象开口向下，对称轴为， 当时，；当时，， 则，解得，所以实数a的取值范围为. （2）由，令， 要使得关于x的方程在有实数解， 即在上有实数解，即在上有实数解， 令，，由， 可当在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当或时，， 则，即实数的取值范围为. 【变式6-2】（25-26高一上·江苏连云港·期末）设函数，其中，，为实数. (1)若，求函数的值域； (2)若，当时，函数的最大值为，最小值为，求，的值； (3)若，讨论函数在区间上的零点的个数. 【答案】(1) (2)或 (3) 若，则函数在区间上零点的个数为； 若或，则函数在区间上零点的个数为. 【解题思路】（1）运用三角基本关系式对函数化简整理，换元法将函数转化成一元二次函数求最值，即为函数的值域； （2）先求出的范围，再分类讨论与的关系，结合函数最值求解； （3）利用换元法构造二次函数，运用零点存在定理判断即可. 【解答过程】（1）由题可得 设，则， 当时，；当时，； 故函数的值域为. （2）， 因为，所以. 若，则，不符合题意； 若，则，解得； 若，则，解得. （3） 令，，则在区间上是单调减函数，且 设，则在区间上是减函数，且图象不间断， ， 若，，即，则在区间上有且只有一个零点， 从而在区间上有且只有一个零点； 若或，即或，则在区间上没有零点， 从而在区间上没有零点. 综上，若，则函数在区间上零点的个数为； 若或，则函数在区间上零点的个数为. 【变式6-3】（25-26高一上·甘肃·期末）设函数. (1)求函数在上的最大值； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【解题思路】（1）令，根据正弦函数的有界性知，原函数变为以为自变量的开口向下的二次函数，讨论对称轴与区间端点的关系分别求解即可； （2）利用换元法将问题转化为在上恒成立求解即可； （3）利用换元法将问题转化为二次函数在上有两个零点求的范围，将所有满足条件的不等式列出来，求解出的范围即可. 【解答过程】（1）令， 则变为， ①当，即时，， ②当，即时，， ③当，即时，， 综上可知，. （2）若要，则需， 当时，， 函数变为， 所求问题变为恒成立， 易知的图象是开口向下的抛物线的一部分， 最小值一定在区间端点处取得，所以有 ， 解得，故的取值范围是； （3）令.由题意可知，当时， 关于的方程在时有两个不等实数解， 所以原题可转化为在内有两个不等实数根， 令，则有， 解得，即的取值范围是. 【题型7 含绝对值的三角函数（型）问题】 【例7】（2026·安徽安庆·模拟预测）下列关于函数说法正确的是（    ） A．是函数图象的一个对称中心 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．直线是函数图象的一条对称轴 【答案】B 【解题思路】令，求出相应的的取值范围，即可化简的解析式，从而求出的取值范围，类似的求出时的取值范围，即可求出的值域，画出函数图象，结合图象判断即可. 【解答过程】令，即，解得； 所以当时， 由，所以， 所以； 令，即，解得； 所以当时， 由，所以， 所以； 综上可得， 且的值域为，故B正确； 作出函数的大致图象： 由图可知不是中心对称图形，即没有对称中心，故A错误； 因为，，， 由图可知在上单调递减，在上单调递增， 则在上不单调，故C错误； 的对称轴为，故D错误； 故选：B. 【变式7-1】（2026·山西·三模）已知函数在上单调递减，则正数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用函数图象的特征，可得，，求解即可. 【解答过程】原函数为， 相当于把位于轴下方的图象翻折到上方， 则有，， 当时，. 故选：D． 【变式7-2】（2026·江苏常州·一模）已知函数，对于有四个结论：①为偶函数；②的最小正周期是π：③在上单调递增；④的最小值为．则四个结论正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 【答案】D 【解题思路】由偶函数的定义可得①正确；由周期函数的定义可得②错误；由正弦函数的取值范围化简原函数后再结合辅助角公式可得③错误；先求出函数的周期，再结合辅助角公式和正余弦函数的取值可得④正确； 【解答过程】对于①，因为， 所以，故①正确； 对于②，， 所以不是的周期，故②错误； 对于③，当时，， 所以， 又，所以， 所以由正弦函数的单调性可得在上不是单调的， 故③错误； 对于④，由于， 所以是的一个周期， 又时，，则， 又，所以，； 当时，，则， 又，所以，； 综上可得，所以的最小值为，故④正确； 故选：D. 【变式7-3】（2026·四川攀枝花·模拟预测）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论不正确的是（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递增 D．的最小值为1 【答案】C 【解题思路】根据偶函数的定义判断A，根据周期函数的定义可判断B，利用辅助角公式结合正弦函数的性质可判断C，由C中函数的单调性结合函数的奇偶性、周期性可求的最小值，从而可判断D的正误. 【解答过程】对于A，的定义域为，它关于原点对称， 而，， 所以是偶函数，故A正确； 对于B，因为， 故为的一个周期，设为的最小正周期，则， 则， 令，则，即， 所以，化简得， 故或. 令，则，若，则， 故，矛盾，故， 而，故，故的最小正周期为，故B正确； 对于C，当时，， 此时，而在为增函数，在为减函数， 所以在区间上单调递增，在上单调递减，故C错误； 对于D，因为为偶函数且最小正周期为， 故在上的最小值即为在上的最小值. 由C分析中的的单调性可得在上的最小值为， 而，故在上的最小值为， 所以的最小值为1，故D正确 故选：C. 【题型8 三角恒等变换与三角函数综合】 【例8】（2026·天津·二模）已知函数，，则下列描述正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．在上单调递增 C．是的一条对称轴 D．的最大值是 【答案】B 【解题思路】运用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化简，逐一判断四个选项即可得到正确答案. 【解答过程】 ， 对于A，的最小正周期是，故A错误； 对于B，当时，， 故在上单调递增，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，的最大值是4，故D错误． 故选：B． 【变式8-1】（2026·天津宝坻·三模）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（    ） A． B．将函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称 C．关于点对称 D．在区间上的最大值为 【答案】B 【解题思路】先利用辅助角公式化简函数解析式，结合周期公式求出的值，再逐一验证各选项的正误． 【解答过程】对于A，，由的最小正周期为得， 则，故A错误； 对于B，由，将函数图象向左平移个单位长度， 得到，为偶函数，关于y轴对称，故B正确； 对于C，， 则不关于点对称，故C错误； 对于D，当时，，则，即， 故的最大值为，故D错误． 故选：B． 【变式8-2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数. (1)求的最小正周期及对称轴方程； (2)若函数的最大值为1，求使成立的的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用平方差公式、二倍角公式化简三角函数为正弦型形式，再由正弦型函数性质计算即可求得结果； （2）借助正弦函数最值求解参数，再求解三角不等式即可. 【解答过程】（1）因为 ， 所以， 令，所以， 所以的对称轴方程为. （2）由题意知，， 因为的最大值为1，即，所以， 由， 即，所以， 所以，即. 【变式8-3】（2026·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将的图象向右平移个单位后，再将纵坐标变为原来的，最终得到的图象，若，满足不等式，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）由三角恒等变换公式化简，再由正弦型函数的单调区间，代入计算，即可得到结果； （2）先由三角函数的图像变换得到的解析式，再将问题转化为最值问题，结合换元法以及二次函数的值域，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1） ， 所以， 所以的周期为， 由得， 所以的单调递减区间为. （2）将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，即可得到， 再将的图象向右平移个单位，得到， 再将纵坐标变为原来的，即可得到， 因为，， 所以当，时， ， 令，，则 ，所以当时，取得最小值，最小值为 所以，解得或， 故的取值范围为． 一、单选题 1．（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据函数奇偶性的定义与判断方法，求得为奇函数，再结合，即可得到答案. 【解答过程】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D选项； 又由，可排除C选项，所以选项A符合题意. 故选：A. 2．（2026·四川绵阳·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是偶函数，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据图象平移变换得到，结合是偶函数求解即可. 【解答过程】由题意知，. 因为是偶函数，所以，， 解得，， 又，所以的最小值是. 故选：A. 3．（2026·湖北武汉·模拟预测）将函数（）的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，若在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据图象平移得，将问题化为在上单调，结合正弦函数性质求参数的取值范围． 【解答过程】函数的图象向右平移个单位长度， 得到，， 则，即在上单调， ，解得． 故选：B. 4．（2026·湖南怀化·三模）已知函数 在区间上单调递增，直线为的图象的一条对称轴，则方程在区间上所有不相等的实数根之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据对称轴求出或，再根据单调性得到，分为和两种情况分别解方程即可求出答案. 【解答过程】因为直线为的图象的一条对称轴， 所以，即， 又，所以或. 当时，，当时，， 函数在上单调递增， 故在上单调递增，符合题意； 当时，，当时，， 函数在上不单调递增， 故在上不单调递增，不符合题意. 所以，， 当时，方程可化为，方程无解， 当时，方程可化为， 所以， 当时，， 所以或或，解得或或， 所以方程在区间上所有不相等的实数根之和为. 故选：C. 5．（2026·天津北辰·三模）函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的单调递增区间是 B．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象 C．图象的对称中心是 D．图象的一条对称轴方程是 【答案】D 【解题思路】根据函数图像易得，从而可得出，再将点代入求得，从而得到函数的解析式，再根据正弦函数的性质逐一判断即可得出答案. 【解答过程】由图像可得，，， ，将点代入可得， 又，，所以函数， 令，解得，， 故函数的增区间为，，故A错误； 由，所以是函数的一条对称轴，故D正确； 令，解得，所以函数的对称中心为，，故C错误； 将函数的图像向左平移个单位，得到，该函数为偶函数，故B错误. 故选：D. 6．（2026·天津河东·三模）已知函数，则下列结论正确的个数是（   ） ①的图象关于点对称； ②在区间内有2个极大值点； ③； ④将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于直线对称． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】先用辅助角公式把函数化成的形式，再结合函数的图象和性质进行判断. 【解答过程】. 对于①，因为，所以是的一条对称轴，故①错误； 对于②，由，得，，所以，， 所以可能为：，等等，在内只有两个极大值点和，故②正确； 对于③，因为， ， 又在上单调递减，所以，即，故③正确； 对于④，把的图象向左平移个单位，可得， 当时，为函数最小值，是所得函数的一条对称轴，故④正确. 综上，结论正确的个数是3. 故选：C. 7．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，则下列说法错误的是（     ） A．函数的最小正周期为 B．为函数的一个对称轴 C．要得到函数，需将函数向右平移个单位长度 D．函数在区间上单调递增 【答案】C 【解题思路】先确定，再结合正弦型函数的性质及平移变换逐项判断即可． 【解答过程】如图，，分别过点作轴的垂线，与过点的轴的垂线交于点， 由对称性可知，阴影部分的面积等于矩形的面积，即， 解得，函数的最小正周期为，故A正确； 由，解得，又函数过点，则，即， ，，则， 又为最小值，所以为函数的一条对称轴，故B正确； 因，则要得到该函数的图象，需将函数向右平移个单位长度，故C错误； 因，，而在上单调递增，故函数在区间上单调递增，故D正确． 故选：C. 8．（2026·天津滨海新区·三模）若函数（，）在区间上单调递增，且，，则以下说法中正确的个数是（     ） ①； ②； ③函数是偶函数； ④若函数在区间内有个零点，则在此区间内有且只有个极大值点． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解题思路】先根据正弦函数的性质结合题设条件列出关于的方程组，求解并利用单调性确定的值，再根据各选项要求，利用函数奇偶性定义，函数与方程思想等判断即得. 【解答过程】由题意，可得且， 即，则有， 解得， 因函数在区间上单调递增，则该函数的最小正周期满足， 即，故由（*）可得，则， 又由可得，则得， 即，因，则，故①错误； 由上分析，得，则，故②错误； 于是，因为，故为偶函数，故③正确； 当时，，要使函数在区间内有个零点，需使， 此时若，则函数有3个极大值，若，则函数有2个极大值，故④错误. 故选：A． 二、多选题 9．（2026·甘肃·模拟预测）设函数，则下列说法正确的是（   ） A．若函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则 B．若将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则的最小值为 C．若函数在上单调递增，则的取值范围是 D．若函数在上恰有两个极值点和三个零点，则的取值范围是 【答案】BD 【解题思路】对于A，结合余弦函数的性质可得，进而结合余弦型函数的周期公式求解判断即可；对于B，先根据函数的平移求得函数解析式，再根据余弦函数的奇偶性判断即可；对于C，根据余弦函数的单调性列不等式组求解判断即可；对于D，结合余弦函数的图象、极值点、零点的定义求解判断即可. 【解答过程】对于A，因为函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为， 所以，则，即，故A错误； 对于B，将函数的图象向右平移个单位长度，得到， 因为所得函数图象关于原点对称，所以， 则，又，则时，取得最小值，故B正确； 对于C，当，时，， 因为函数在上单调递增， 所以，，则，， 又，则，，即的取值范围是，故C错误； 对于D，当，时，， 因为函数在上恰有两个极值点和三个零点， 所以，则， 即的取值范围是，故D正确. 故选：BD. 10．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，（，，）的部分图象如图所示，下列选项正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 C．的图象关于点对称 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的范围是 【答案】BD 【解题思路】根据函数部分图象求出函数解析式，由且可判断A； 根据图象平移原则可判断B；由可判断C；利用数形结合可判断D. 【解答过程】由题意得，最小正周期满足，即，则，即， 代入得，即， 由此可得，解得， 因为，令，则，综上可得. 对于A，若为对称轴，则或， 代入得，故A错误； 对于B，函数的图象向左平移个单位得到的函数为 ，故B正确； 对于C，若的图象关于点对称，则， 因为，故C错误； 对于D,若，则， 令，即， 则与在上有两个交点，如下图可得， 解得，故D正确. 故选：BD.    11．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数（），则（     ） A．的最大值为2 B．当时，在区间上单调递增 C．将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 D．若在上有两个零点，则的取值范围是 【答案】AD 【解题思路】由辅助角公式化简原函数，结合正弦型函数的性质可以判断A；结合正弦型函数的单调性可以判断B；结合三角函数图象平移变换规律可以判断C；结合“整体法”和正弦型函数零点的性质可以判断D. 【解答过程】由题意得 选项A，当时，的最大值为2，正确； 选项B，当时，，时，， 在上单调递减，因此在区间上单调递减，错误； 选项C，图象右移个单位可得：， 仅当时才得到，对任意不成立，错误； 选项D，时，，即， 要区间内有两个零点，即有两个落在内， 对应两个零点为、， 则，解得， 即，正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（2026·安徽淮南·二模）已知函数在区间上单调递减，且函数图象关于中心对称，则___________. 【答案】 【解题思路】先利用正弦型函数的单调性，求得，得到，再由的对称性，求得，进而得到的值. 【解答过程】由函数，令 解得， 所以函数的单调递减区间为 因为在区间上单调递减，所以，且， 解得， 因为，当时，；当时，，无解（舍去）， 又由函数图象关于中心对称， 可得，可得，解得， 所以满足且，所以当时，. 故答案为：. 13．（2026·宁夏·一模）函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得到的函数的解析式为___________． 【答案】（答案不唯一） 【解题思路】根据最值可得，代入点可得，代入点结合函数周期性可得，即可得函数的解析式，结合函数图象变换运算求解. 【解答过程】由图可知：，则， 因为函数的图象过点，则，即， 且，则，可得， 又因为函数的图象过点，则，即， 设函数的最小正周期为，则，即， 且，则，解得， 则，可得，解得，所以. 将的图象向左平移个单位长度后得到的函数的解析式为. 故答案为：. 14．（2026·河南周口·三模）若函数是偶函数，则当的最小正周期最大时，___________． 【答案】4 【解题思路】根据函数的奇偶性得到方程，求出，代入求值即可 【解答过程】是偶函数，故， 则，即， ， ， ，， 由于对恒成立，故， 所以，， 由于，故的最小正周期为， 故当时，取得最小值，最小值为，此时最大，满足要求， 故， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数 ，若，在上有最大值，且无最小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若，求函数图象的对称中心. 【答案】(1)， (2)， 【解题思路】（1）由求出，根据在上有最大值，且无最小值求出的取值范围. （2）结合（1）得的值，进而得到的解析式，化简得到的解析式进而求出对称中心. 【解答过程】（1）因为，，所以， 由于，则，即. 由可得， 又因在上有最大值，且无最小值， 根据正弦函数的图象可知， 解得，故的取值范围为. （2）由结合（1）可知，则， 所以 . 令，，解得，， 则函数图象的对称中心为，. 16．（2026·广东广州·三模）函数（，，）在一个周期内的图象如图所示， (1)求函数的解析式； (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)，单调增区间为，单调减区间为 【解题思路】（1）根据图象求振幅、周期，由公式求出，代入点求出即可得出函数解析式； （2）化简，由正弦函数性质求函数的值域，由正弦函数单调性求出函数的单调区间. 【解答过程】（1）由题意可知，， 又因为函数的最小正周期为，， 所以，此时， 由，可得， 因为，所以，所以，解得， 所以函数的解析式为． （2）因为． 所以． 化简得. 所以函数的值域为． 令，解得， 令，解得． 所以函数的单调增区间为， 单调减区间为. 17．（2026·宁夏·模拟预测）已知函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【解题思路】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为 ，根据对称中心间距确定周期 从而求出 ，最后代入 计算函数值. （2）根据自变量 的范围求出相位 的取值范围，结合正弦函数的图像与性质，找出该范围内使函数取得最大值和最小值的点并求解. 【解答过程】（1） 根据题意，解得，即， 因为，所以，则， ． （2）据题意，，， 当，即时，，所以的最大值为． 当，即时，，所以的最小值为. 18．（2026·广东广州·三模）已知函数，满足对于任意实数，都有恒成立，且函数相邻两个零点的距离是. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)若，且满足，求. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【解题思路】（1）根据正弦型函数的性质得且，结合已知求出函数解析式，进而求其递增区间； （2）根据已知有且，利用平方关系求余弦值，再由和差角余弦公式求值即可. 【解答过程】（1）函数相邻两个零点的距离是，故，解得， 对于任意实数，都有恒成立，故 即 ，故 ， 因为，故，所以， 若，，则，， 故的单调递增区间为； （2）若，则，故， 因为，                 故 故 19．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期． 条件①：；条件②：是的一个极值点；条件③：是的一个零点． 注：如果选择的条件不符合题目要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)，，． (2)条件③不符合题目要求，选①或②时的最小正周期均为． 【解题思路】（1）利用三角函数恒等式化简函数解析式，根据整体思想，结合正弦函数单调性以及复合函数单调性，可得答案； （2）根据正弦型函数的单调性以及周期内的零点，可得参数的范围，再根据所给条件，结合三角函数的周期性与对称性，可得答案. 【解答过程】（1）因为 ， 当时，， 所以． 令，， 解得，． 所以的单调递增区间为，． （2）因为，在区间上单调递增，且， 所以，解得． 若选①：因为，又在区间上单调递增， 所以曲线关于对称． 所以，所以，． 解得，． 又，所以． 所以的最小正周期为． 若选②：是的一个极值点，又在区间上单调递增， 所以在处取得最大值． 所以． 所以，．解得，． 又，所以． 所以的最小正周期为． 若选③：因为，，则， 由于在区间上单调递增，所以， 解得. 因为是的一个零点，所以， 解得， 又，所以或， 所以函数不唯一确定，故条件③不符合题目要求. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点12 三角函数的图象与性质的综合应用（举一反三专项训练） 【全国通用】 【题型1 三角函数的图象识别与应用】 3 【题型2 三角函数的图象变换问题】 4 【题型3 三角函数的定义域、值域（最值）问题】 5 【题型4 三角函数的性质综合】 5 【题型5 ω的取值与最值（范围）问题】 6 【题型6 含三角函数的二次式问题】 7 【题型7 含绝对值的三角函数（型）问题】 8 【题型8 三角恒等变换与三角函数综合】 9 1、三角函数的图象与性质的综合应用 三角函数是高考考查的重点和热点内容，从近三年的高考情况来看，三角函数的图象与性质主要从以下几个方面进行考查： (1)三角函数的图象，涉及三角函数图象变换问题以及由部分图象确定函数解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查，试题难度较低。 (2)利用三角函数的图象与性质来求解三角函数的值域、最值、单调性、奇偶性、对称性、周期性、零点等问题，主要以选择题、填空题的形式考查，试题难度中等。 (3)三角恒等变换的化简求值是高考命题的热点，常与三角函数的图象与性质结合在一起综合考查，如果单独命题，多以选择题、填空题的形式考查，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解三角形相结合来研究最值、范围问题，多以解答题形式考察，此时要灵活求解，试题难度中等。 考点1 三角函数的图象与性质 知识点1 三角函数的图象变换规律 1．平移变换与伸缩变换法则 (1)平移变换 函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对作的变换； (2)伸缩变换 ①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的（倍）（纵坐标y不变）； ②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A（倍）（横坐标x不变）． 2．三角函数的图象变换问题的求解方法 解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下： (1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象； (2)变同名：函数的名称要变得一样； (3)选方法：即选择变换方法. 知识点2 三角函数的单调性问题的求解策略 1．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 知识点3 三角函数的值域与最值问题的求解策略 1．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型： (1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)； (2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； (3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值). 2．求三角函数最值的基本思路 (1)将问题化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式，结合三角函数的图象和性质求解. (2)将问题化为关于sinx或cosx的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解. (3)利用导数判断单调性从而求解. 知识点4 三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解策略 1．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 2．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx+φ= kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可. 3．三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). 考点2 三角恒等变换 知识点5 三角恒等变换的综合应用 1．三角恒等变换的综合应用的解题策略 三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题. 【题型1 三角函数的图象识别与应用】 【例1】（2026·贵州黔东南·模拟预测）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·天津·二模）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·江苏扬州·三模）当时，曲线与的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式1-3】（2026·天津和平·三模）函数在区间的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【题型2 三角函数的图象变换问题】 【例2】（2026·四川泸州·一模）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，若，的图像关于轴对称，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【变式2-2】（2026高三上·江苏南通·专题练习）已知函数的图象过点，将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的图象的对称轴为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-3】（2026·广东佛山·三模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C．在上的值域为 D．在上单调递增 【题型3 三角函数的定义域、值域（最值）问题】 【例3】（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式3-1】（2026·河北·模拟预测）函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数为奇函数，则在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【题型4 三角函数的性质综合】 【例4】（2026·河北·模拟预测）函数，若的一个单调递增区间为，且，下面说法正确的是（    ） A． B． C．在上有2个零点 D． 【变式4-1】（2026·天津·一模）已知是函数图象的一个对称轴，则下列说法错误的是（    ） A．是函数图象的一个对称中心 B．函数的图象可由图象向左平移个单位长度得到 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上有且仅有一个零点 【变式4-2】（2026·海南·模拟预测）已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（    ） A．的最小正周期为2 B．的图象关于点对称 C．将的图象向左平移个单位长度可得到的图象 D．与的图象关于轴对称 【变式4-3】（2026·天津·二模）已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为， D．在上的最小值为 【题型5 ω的取值与最值（范围）问题】 【例5】（2026·福建福州·模拟预测）已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·江苏镇江·模拟预测）已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（    ） A．3 B．6 C．12 D． 【变式5-2】（2026·广东清远·二模）已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·甘肃金昌·二模）已知，函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 B．若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则实数的最小值为 C．若在区间上单调递增，则的取值范围为 D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围为 【题型6 含三角函数的二次式问题】 【例6】（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）设a为常数，函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围； 【变式6-1】（25-26高一下·江西九江·阶段检测）设函数． (1)若对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)若关于x的方程在有实数解，求实数a的取值范围． 【变式6-2】（25-26高一上·江苏连云港·期末）设函数，其中，，为实数. (1)若，求函数的值域； (2)若，当时，函数的最大值为，最小值为，求，的值； (3)若，讨论函数在区间上的零点的个数. 【变式6-3】（25-26高一上·甘肃·期末）设函数. (1)求函数在上的最大值； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围. 【题型7 含绝对值的三角函数（型）问题】 【例7】（2026·安徽安庆·模拟预测）下列关于函数说法正确的是（    ） A．是函数图象的一个对称中心 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．直线是函数图象的一条对称轴 【变式7-1】（2026·山西·三模）已知函数在上单调递减，则正数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·江苏常州·一模）已知函数，对于有四个结论：①为偶函数；②的最小正周期是π：③在上单调递增；④的最小值为．则四个结论正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 【变式7-3】（2026·四川攀枝花·模拟预测）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论不正确的是（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递增 D．的最小值为1 【题型8 三角恒等变换与三角函数综合】 【例8】（2026·天津·二模）已知函数，，则下列描述正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．在上单调递增 C．是的一条对称轴 D．的最大值是 【变式8-1】（2026·天津宝坻·三模）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（    ） A． B．将函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称 C．关于点对称 D．在区间上的最大值为 【变式8-2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数. (1)求的最小正周期及对称轴方程； (2)若函数的最大值为1，求使成立的的取值范围. 【变式8-3】（2026·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将的图象向右平移个单位后，再将纵坐标变为原来的，最终得到的图象，若，满足不等式，求的取值范围． 一、单选题 1．（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·四川绵阳·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是偶函数，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 3．（2026·湖北武汉·模拟预测）将函数（）的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，若在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南怀化·三模）已知函数 在区间上单调递增，直线为的图象的一条对称轴，则方程在区间上所有不相等的实数根之和为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·天津北辰·三模）函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的单调递增区间是 B．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象 C．图象的对称中心是 D．图象的一条对称轴方程是 6．（2026·天津河东·三模）已知函数，则下列结论正确的个数是（   ） ①的图象关于点对称； ②在区间内有2个极大值点； ③； ④将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于直线对称． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，则下列说法错误的是（     ） A．函数的最小正周期为 B．为函数的一个对称轴 C．要得到函数，需将函数向右平移个单位长度 D．函数在区间上单调递增 8．（2026·天津滨海新区·三模）若函数（，）在区间上单调递增，且，，则以下说法中正确的个数是（     ） ①； ②； ③函数是偶函数； ④若函数在区间内有个零点，则在此区间内有且只有个极大值点． A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（2026·甘肃·模拟预测）设函数，则下列说法正确的是（   ） A．若函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则 B．若将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则的最小值为 C．若函数在上单调递增，则的取值范围是 D．若函数在上恰有两个极值点和三个零点，则的取值范围是 10．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，（，，）的部分图象如图所示，下列选项正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 C．的图象关于点对称 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的范围是 11．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数（），则（     ） A．的最大值为2 B．当时，在区间上单调递增 C．将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 D．若在上有两个零点，则的取值范围是 三、填空题 12．（2026·安徽淮南·二模）已知函数在区间上单调递减，且函数图象关于中心对称，则___________. 13．（2026·宁夏·一模）函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得到的函数的解析式为___________． 14．（2026·河南周口·三模）若函数是偶函数，则当的最小正周期最大时，___________． 四、解答题 15．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数 ，若，在上有最大值，且无最小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若，求函数图象的对称中心. 16．（2026·广东广州·三模）函数（，，）在一个周期内的图象如图所示， (1)求函数的解析式； (2)设函数，求的值域和单调区间． 17．（2026·宁夏·模拟预测）已知函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值． 18．（2026·广东广州·三模）已知函数，满足对于任意实数，都有恒成立，且函数相邻两个零点的距离是. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)若，且满足，求. 19．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期． 条件①：；条件②：是的一个极值点；条件③：是的一个零点． 注：如果选择的条件不符合题目要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $