重难点11 三角函数中ω的范围与最值问题（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 聚焦三角函数性质与ω关系，通过7类题型系统构建“性质分析-不等式建立-范围求解”方法体系，培养数学思维与推理能力，实现知识逻辑与解题策略深度融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单调性|1例+3变式|子集关系+整体代换|单调区间与ω的制约关系| |对称性|1例+3变式|对称间隔+周期关联|对称轴/中心与ω的推导| |最值|1例+3变式|最值条件+不等式组|最值点与ω的范围确定| |周期|1例+3变式|周期公式+零点约束|周期与ω的数量关系| |零点|1例+3变式|零点个数+区间限制|零点分布与ω的取值范围| |极值|1例+3变式|极值点个数+导数应用|极值点与ω的关联推导| |综合|1例+3变式|多性质融合+分类讨论|性质综合应用与ω的综合求解|

重难点11 三角函数中ω的范围与最值问题（举一反三专项训练） 【全国通用】 【题型1 与三角函数的单调性有关的ω的范围与最值问题】 2 【题型2 与三角函数的对称性有关的ω的范围与最值问题】 4 【题型3 与三角函数的最值有关的ω的范围与最值问题】 6 【题型4 与三角函数的周期有关的ω的范围与最值问题】 8 【题型5 与三角函数的零点有关的ω的范围与最值问题】 11 【题型6 与三角函数的极值有关的ω的范围与最值问题】 14 【题型7 ω的范围与最值问题：三角函数性质综合】 16 1、三角函数中ω的范围与最值问题 三角函数的图象与性质是高考的重要内容，在三角函数的图象与性质中，ω的范围与最值问题的求解是近几年高考中的一个重点、热点内容，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，难度中等；但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的重点，学生在复习中要加强训练，灵活求解。 考点1 三角函数中ω的范围与最值问题 知识点1 三角函数中有关ω的范围与最值问题的类型 1．三角函数中ω的范围与最值的求解一般要利用其性质，此类问题主要有以下几大类型： (1)三角函数的单调性与ω的关系； (2)三角函数的对称性与ω的关系； (3)三角函数的最值与ω的关系； (4)三角函数的周期性与ω的关系； (5)三角函数的零点与ω的关系； (6)三角函数的极值与ω的关系. 知识点2 三角函数中ω的范围与最值问题的解题策略 1．利用三角函数的单调性求ω的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 2．利用三角函数的对称性求ω的解题策略 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围. 3．利用三角函数的最值求ω的解题策略 若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围. 4．利用三角函数的周期性求ω的解题策略 若已知三角函数的周期性，则利用三角函数的周期与对称轴、最值的关系，列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围. 【题型1 与三角函数的单调性有关的ω的范围与最值问题】 【例1】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由正弦函数的周期性求出的大致范围，再根据正弦函数的递增区间求出的具体范围. 【解答过程】令，因为，所以 因为函数在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增，且，即． 因为， 所以函数在上单调递增，等价于或， 解不等式得或，所以的取值范围是． 故选：C. 【变式1-1】（2026·甘肃定西·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由正切函数单调性、复合函数单调性可列不等式即可求解. 【解答过程】当时，，由在区间上单调递增， 得，解得. 故选：C. 【变式1-2】（2026·陕西西安·二模）已知函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【解题思路】法一：由，求得单调增区间，再结合集合包含关系即可求解，法二：由得到，再结合集合包含关系即可求解. 【解答过程】方法一：由正弦函数的单调性，令， 解得， 又在单调， 所以当时，，即， 解得，所以的最大值为3. 方法二：在单调， 故， 所以的最大值为3. 故选：B. 【变式1-3】（2026·山西·三模）已知函数在上单调递减，则正数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用函数图象的特征，可得，，求解即可. 【解答过程】原函数为， 相当于把位于轴下方的图象翻折到上方， 则有，， 当时，. 故选：D． 【题型2 与三角函数的对称性有关的ω的范围与最值问题】 【例2】（2026·江苏·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【解题思路】通过平移得到，再利用对称性列方程，即可求解. 【解答过程】函数的图象向左平移个单位后， 得到的函数， 因为曲线关于直线对称， 所以，， 解得：，， 因为，令，得，所以的最小值是. 故选：B. 【变式2-1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，若，的图像关于轴对称，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的平移变换和对称性可得，再利用余弦函数的周期性列式求解即可. 【解答过程】由题意可得， 因为，的图像关于轴对称， 则， 所以，，解得，， 又，所以的最小值为4， 故选：A. 【变式2-2】（2026·全国·模拟预测）已知函数，若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据的对称性求出 ，再结合其单调性确定的范围，二者结合，即可求得答案. 【解答过程】由题意知直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心， 故，则，， 又在上单调递减，则， 即得，结合，即， 故当时，；当时，； 取其它值时，不合题意， 故的最大值为， 故选：B． 【变式2-3】（2026·河北·一模）将函数 的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】化简，由三角函数的图象变换，得到，结合的图象关于轴对称，求得，进而得到答案. 【解答过程】由函数， 将函数的图象向右平移个单位长度， 得到， 因为的图象关于轴对称，可得， 解得， 又因为，所以的最小值为. 故选：B. 【题型3 与三角函数的最值有关的ω的范围与最值问题】 【例3】（2026·北京平谷·一模）已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】由，得，进而结合题意可得，进而求解即可. 【解答过程】由，， 则， 因为在区间上没有最值， 所以， 则，解得， 所以的最大值为. 故选：A. 【变式3-1】（2026·广西桂林·三模）已知函数在上有最小值没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用差角的余弦公式化简函数，再由指定范围求出相位范围，结合余弦函数的性质列式求解即得. 【解答过程】依题意，， 当时，，若在上有最小值没有最大值， 则，所以. 故选：D. 【变式3-2】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数 在上有两个最值点，则的取值范围为____________． 【答案】 【解题思路】结合正弦函数图象，根据题意列不等式计算即可求解. 【解答过程】因为，所以， 由正弦函数性质可知，要使函数有两个最值点， 则，且，解得且， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式3-3】（2026·海南·三模）已知函数在上的最小值为，则的最小值为____________． 【答案】 【解题思路】通过换元，问题转换成在可取到，进而可求解； 【解答过程】由，可得：， 令 由题意可知：在可取到， 结合余弦函数的性质可知需满足：， 解得， 所以的最小值为， 故答案为：. 【题型4 与三角函数的周期有关的ω的范围与最值问题】 【例4】（25-26高三下·重庆·阶段检测）记函数的最小正周期为T．若，且对恒成立，则最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【解题思路】由得出或，再由对恒成立，得出，分类讨论的值即可求解． 【解答过程】或， 因为对恒成立，所以， ①； ②； 故选：B． 【变式4-1】（25-26高三上·山西吕梁·开学考试）已知函数的最小正周期为，若，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据余弦函数的周期公式和求出，再根据余弦函数的图象可得结果. 【解答过程】由题意的最小正周期为T，则， 又，可得，即， 又，所以， 在区间上恰有3个零点， 当时，， 结合函数的图象如图所示：      则在原点右侧的零点依次为，，，，…， 所以，解得，即的取值范围为． 故选：D． 【变式4-2】（2026·陕西商洛·一模）已知函数的最小正周期为，若对任意的恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合题意得，求得，再结合三角函数的单调性得，，最后结合求解即可. 【解答过程】因为，所以， 又，所以，即， 又在区间上单调递增，所以， 故，，解得，． 令得，又，所以； 令得； 当时，，不合题意． 综上，的取值范围为． 故选：D． 【变式4-3】（25-26高二下·江苏南京·期末）已知函数的最小正周期为，若在区间上恰有8个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意得到曲线的一条对称轴为，设零点从小到大依次为，从而得到，从而得到，得到答案. 【解答过程】因为的最小正周期为， 所以曲线的一条对称轴为， 所以， 设零点从小到大依次为，其中， 有，即，解得， 所以的取值范围是． 故选：A． 【题型5 与三角函数的零点有关的ω的范围与最值问题】 【例5】（2026·安徽·模拟预测）已知函数在上无零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出，结合正弦函数的零点可得存在整数，使得成立，故可求的取值范围. 【解答过程】函数在上无零点， 当时， ， 由题设可得存在整数，使得成立， 解得， 而，故且，故. 当时，；当时，． 结合可得的取值范围为． 故选：D． 【变式5-1】（2026·重庆·二模）若函数 在 上有且仅有 1 个零点和 1 个极值点，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出整体角的范围，根据题意，结合函数的图象，即可确定的范围，继而求出的取值范围. 【解答过程】 对于，因，则， 作出函数在上的图象， 要使原函数在 上有且仅有 1 个零点和 1 个极值点，需使， 解得. 故选：A. 【变式5-2】（2026·山东济宁·二模）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先利用辅助角公式将函数化简为的形式，然后根据的取值范围求出的取值范围，再结合图象与性质，找出函数在给定区间上有且仅有个零点时的取值范围． 【解答过程】对进行化简： 令，即，则． 根据正弦函数的性质，所以或，解得或． 因为且， 当时，，； 当时，，． 如图函数和大致图像， 由于函数在区间上有且仅有个零点，则需满足，解不等式组得到可得． 所以实数的取值范围是． 故选：D． 【变式5-3】（2026·四川·模拟预测）已知函数（）在区间上只有1个零点，且当时，单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由范围求得的范围，结合整体思想转化为在上只有1个零点，在上单调递增，求解即可. 【解答过程】当时，， 因为在上只有1个零点， 所以，解得， 当时，， 因为，所以， 又因为在上单调递增， 所以，解得. 综上可得. 故选：C. 【题型6 与三角函数的极值有关的ω的范围与最值问题】 【例6】（2026·河南驻马店·模拟预测）已知函数在区间上恰有3个极值点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将函数在区间上恰有3个极值点转化为在上有三个极值点的问题，再数形结合即可得解. 【解答过程】，，， 令，则，， 作出的图象，    要使函数在区间上有三个极值点，则， 解得，则的取值范围为. 故选：B. 【变式6-1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）若函数在区间上至少有2024个极值点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据极值点的概念，结合正弦函数型图象特征，构造不等式计算即可. 【解答过程】由，得，即，． 所以第2024个极值点为，令，得． 故选：C． 【变式6-2】（2026·四川绵阳·模拟预测）已知函数，，函数在上有且仅有一个极大值但没有极小值，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由求出，再由题意知时，函数取得最大值，从而求出，得到答案. 【解答过程】∵，∴．又，∴，所以， 因为，且函数在上有且仅有一个极大值但没有极小值， 所以当时，函数取到最大值（也是极大值），此时，． 解得，． 所以当时，,此时， 令，则， 所以函数图象在轴右侧的第一个最小值点的横坐标为，因， 故符合题设, 故选：B. 【变式6-3】（2026·河南南阳·模拟预测）若函数的图象关于点中心对称，且是的极值点，在区间内有唯一的极大值点，则的最大值为（    ） A．8 B．7 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，结合三角函数的图象与性质，得到，进而得到，求得，分类讨论，即可求解. 【解答过程】由函数的图象关于点中心对称，且是的极值点， 可得，即，其中， 因为，当时，当时， 因为在区间内有唯一的极大值点，所以， 解得，即，所以， 当时，，此时，此时有两个极大值点，舍去； 当时，，此时，此时有两个极大值点，舍去； 当时，，此时，此时有一个极大值点， 所以的最大值为. 故选：C. 【题型7 ω的范围与最值问题：三角函数性质综合】 【例7】（2026·辽宁·二模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据平移伸缩得到函数的解析式，再根据在上有两个零点列出不等式组，解出取值范围即可． 【解答过程】由题可知，， 当时，， 因为函数在上有两个零点， 所以，解得， 故选：A． 【变式7-1】（2026·山东青岛·一模）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 【答案】C 【解题思路】先根据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断为奇数，由在，单调，分在单调递增、单调递减两种情况，分别求得的最大值，综合可得它的最大值． 【解答过程】函数，，为的零点，为图象的对称轴， ，，且，， 相减可得，，即，即为奇数． 在单调， ①若在单调递增， 则，且，， 即①，且，②， 把①②可得：，，故有奇数的最大值为11． 当时，，，，． 此时在上不单调，不满足题意． 当时，，，，， 此时在上单调递减，不满足题意； 故此时无解． ②若在单调递减， 则，且，， 即③，且，④， 把③④可得：，，故有奇数的最大值为11． 当时，，，，． 此时在上不单调，不满足题意． 当时，由①在上单调递减，满足题意； 故的最大值为9． 故选：C. 【变式7-2】（2026·湖南邵阳·三模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出，结合在区间上单调递增可得，再由在区间上有且仅有1个零点，可得可能的零点，再分类讨论结合三角函数的性质即可得得出答案. 【解答过程】由题意可得：， 因为在区间上单调递增， 因为，， 所以，解得：， 又在区间上有且仅有1个零点， 所以，， 结合，所以， 所以这个零点可能为或或， 当时，，， 解得：， 当时，，， 解得：， 当时，无解， 综上：的取值范围为. 故选：A. 【变式7-3】（2026·四川绵阳·模拟预测）函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由结合函数单调性，即可确定的一个对称中心为，即可求得；利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得，求出，再结合函数零点个数，列出不等式求得，综合，即可求得的取值范围. 【解答过程】因为函数在区间上单调， 且满足，而，, 即的一个对称中心为，故； 而，故在区间上单调， 设函数的最小正周期为T，则； 函数在区间上恰有2个零点，则恰好为第一个零点， 相邻两个零点之间相距半个周期， 故，即， 解得，结合， 可得的取值范围为， 故选：B. 一、单选题 1．（2026·江苏南京·三模）已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】由正切函数的单调递增区间为，求得函数的单调递增区间为；再根据函数在上单调，得，从而得到不等式组，确定的取值，结合的条件，确定的最大值. 【解答过程】由正切函数的单调递增区间为； 令，解得； 函数的单调递增区间为. 由()在上单调，得； ，解得； ， ，解得； ，； ，得； 的最大值为. 故选：C. 2．（2026·北京·三模）已知函数．若在区间上既不是增函数也不是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用辅助角公式化简三角函数，再结合内层函数的取值范围与正弦函数的单调性，判断给定区间内是否存在极值点，进而求解的取值范围. 【解答过程】， 当时，令，因，故随单调递增，。 正弦函数在上单调递增，在上单调递减， 若在上既不是增函数也不是减函数，则的取值区间需包含的极值点，即，解得，故的取值范围为. 故选：C. 3．（2026·湖北武汉·模拟预测）将函数（）的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，若在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据图象平移得，将问题化为在上单调，结合正弦函数性质求参数的取值范围． 【解答过程】函数的图象向右平移个单位长度， 得到，， 则，即在上单调， ，解得． 故选：B. 4．（2026·广东茂名·二模）若函数图象的一条对称轴是，且在上有唯一零点，则的最小值为（     ） A． B．4 C．5 D． 【答案】A 【解题思路】整理可得，根据对称性可得，，结合正弦函数零点可得，进而运算求解. 【解答过程】由题意可得：， 因为函数图象的一条对称轴是， 则，，解得，， 又因为，，则， 若函数在上有唯一零点，则，解得， 即，可得， 所以的最小值为. 故选：A. 5．（2026·山东威海·二模）设函数，若，且的图象在上存在对称轴，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【解题思路】先化简函数解析式，结合周期可得为正整数，利用对称轴可得答案. 【解答过程】，因为，所以是的一个周期， 所以，即，其中； 令，则， 因为的图象在上存在对称轴，所以，即； 当时，不合题意；当时，解得，且为正整数， 所以的最小值为3，此时对称轴为，符合题意； 当时，解得，综上，的最小值为3. 故选：D. 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）设函数在区间上恰有2个极值点､1个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据正弦函数的图像和性质进行求解即可. 【解答过程】， 若，则. 要使得在区间上恰有2个极值点、1个零点， 则，解得. 若，则. 要使在区间上恰有2个极值点、1个零点， 则，解得. 故的取值范围是. 故选：C. 7．（2026·甘肃白银·三模）已知函数在上恰有两个零点，两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据在区间上恰有两个极值点、两个零点，结合正弦函数图象列式进行求解即可. 【解答过程】由 令，则． 设，则在上恰有两个极值点和两个零点， 如图，， 解得． 故选：A. 8．（2026·广东清远·二模）已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用辅助角公式化简后，根据正弦函数的图象与性质列出不等式求解即可. 【解答过程】因为， 且当时，， 因为函数在内恰有3个最值点和3个零点， 所以，解得， 故选：D． 二、多选题 9．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若函数周期为4，则 B．当时，函数的图象关于点对称 C．若函数在单调，则有最大值 D．若函数在区间上恰有三个零点，则 【答案】BCD 【解题思路】A选项由周期公式可判断；B选项代入对称中心公式计算即可；用整体法计算的范围，要保证函数单调，这个区间必须落在正弦函数的单调递增区间内，进而判断C选项；D选项同样由整体法计算零点落在对应区间即可计算范围. 【解答过程】对于选项A，若函数周期为4，可得，解得，即选项A错误； 对于选项B，当时，函数的对称中心横坐标满足，解得，可得选项B正确； 对于选项C，当时，，所以， 若函数在单调，则，解得，即有最大值，可得选项C正确； 对于选项D，令. 设的零点为，因为函数在区间上恰有三个零点， 则，解得，可得选项D正确. 故选：BCD. 10．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数（），则（     ） A．的最大值为2 B．当时，在区间上单调递增 C．将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 D．若在上有两个零点，则的取值范围是 【答案】AD 【解题思路】由辅助角公式化简原函数，结合正弦型函数的性质可以判断A；结合正弦型函数的单调性可以判断B；结合三角函数图象平移变换规律可以判断C；结合“整体法”和正弦型函数零点的性质可以判断D. 【解答过程】由题意得 选项A，当时，的最大值为2，正确； 选项B，当时，，时，， 在上单调递减，因此在区间上单调递减，错误； 选项C，图象右移个单位可得：， 仅当时才得到，对任意不成立，错误； 选项D，时，，即， 要区间内有两个零点，即有两个落在内， 对应两个零点为、， 则，解得， 即，正确. 故选：AD. 11．（2026·甘肃·模拟预测）设函数，则下列说法正确的是（   ） A．若函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则 B．若将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则的最小值为 C．若函数在上单调递增，则的取值范围是 D．若函数在上恰有两个极值点和三个零点，则的取值范围是 【答案】BD 【解题思路】对于A，结合余弦函数的性质可得，进而结合余弦型函数的周期公式求解判断即可；对于B，先根据函数的平移求得函数解析式，再根据余弦函数的奇偶性判断即可；对于C，根据余弦函数的单调性列不等式组求解判断即可；对于D，结合余弦函数的图象、极值点、零点的定义求解判断即可. 【解答过程】对于A，因为函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为， 所以，则，即，故A错误； 对于B，将函数的图象向右平移个单位长度，得到， 因为所得函数图象关于原点对称，所以， 则，又，则时，取得最小值，故B正确； 对于C，当，时，， 因为函数在上单调递增， 所以，，则，， 又，则，，即的取值范围是，故C错误； 对于D，当，时，， 因为函数在上恰有两个极值点和三个零点， 所以，则， 即的取值范围是，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（2026·广东佛山·一模）若函数在区间上至少有2个零点，则的最小值是___________. 【答案】 【解题思路】根据正弦函数性质列不等式求解即可. 【解答过程】函数零点满足，，即，， 因为且，所以为正整数， 因为函数在区间上至少有2个零点， 所以即至少有两个正整数解， 为保证区间至少包含两个正整数，该区间须至少能覆盖一对连续的正整数和， 所以，即，为使该不等式有解，须满足， 得，又，所以，当时，所以，即的最小值为. 故答案为：. 13．（2026·湖北黄石·模拟预测）已知函数（）在区间上是增函数，若函数在上有且仅有一个最大值2，则的范围为___________. 【答案】 【解题思路】利用正弦函数的单调性得到不等式组，解出的范围，利用正弦函数的图象和性质结合条件可得不等式，进而求出的范围. 【解答过程】因为，所以， 因为函数在区间（）上单调递增， 所以，，而令，解得， 结合，可得； 由正弦函数的性质得的最大值为2， 令，得到（）， 则在上取得的第一个最大值的横坐标为， 而取得的第二个最大值的横坐标为， 可得，解得， 综上，，即. 故答案为：. 14．（2026·上海·三模）已知，函数在区间有10个零点与10个极值点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】利用正弦型函数性质，函数的导数，结合函数在给定区间的零点个数以及极值点个数建立不等式求解即可. 【解答过程】令， 令，因为，所以， 即，所以方程变为：， 若函数在区间有10个零点， 则等价于函数与函数在上有10个交点， 则需满足，解得：， 由，令 ， 即，由，则， 又，所以要使函数在区间有10个极值点， 即方程在上有10个实数解， 则需满足，解得：， 所以函数在区间要有10个零点与10个极值点，则的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数． (1)若的最小正周期为，求当时的值域； (2)若在区间内无零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先利用辅助角公式将函数化简，再根据周期公式求出的值，最后结合给定区间求出函数的值域. （2）通过令函数值为求出零点表达式，再根据函数在给定区间内无零点的条件，确定的取值范围. 【解答过程】（1）由已知，． 因为的最小正周期为，则，所以． 当时，，则，所以的值域是． （2）法一：令，则，即． 因为在内无零点，则， 所以，且， 即，且． 因为，则，且，即．因为，则． 所以的取值范围是． 法二：令，则当时，． 据题意，函数在区间内无零点， 则，且， 即，且． 因为，则，且，即．因为，则． 所以的取值范围是． 16．（25-26高一下·云南昭通·期中）已知函数，. (1)若，求在上的值域； (2)若在内恰有两个的值，使得函数关于点对称，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）利用三角恒等变换公式化简的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）由的取值范围求出的范围，依题意在内有且仅有2个对称中心，即可得到不等式组，解得即可. 【解答过程】（1）因为 ， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以在上的值域为. （2）因为在内恰有两个的值，使得函数关于点对称， 所以在内有且仅有2个对称中心， 当时，因为，所以， 所以，解得，即的取值范围为. 17．（2026·全国·模拟预测）已知函数. (1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式； (2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）依题意可得函数的周期求出，又过点B取最值求； （2）根据求，由已知条件及正弦函数的性质求的取值范围. 【解答过程】（1）依题意可知：，即，所以， 又过点，所以,即， 又，所以，即. （2）因为，且，所以，即， 又当时恰有两个零点，， 依题意：，即， 又在上单调，所以， 依题意;若，即，所以，因，故不合题意； 若，即，所以，因，故； 若，即，显然不等式组无解； 综上的取值范围为. 18．（25-26高三上·山东聊城·阶段检测）已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的值； (2)若函数在上单调，且其图象在上存在对称轴，求实数的取值范围． 【答案】(1)8； (2). 【解题思路】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦型函数的周期公式求解. （2）利用正弦函数的对称性及单调性质列式求出范围. 【解答过程】（1） 由函数的最小正周期为，得，所以. （2）当时，， 由函数的图象在上存在对称轴，得，解得， 当时，， 由函数在上单调，得， ，整理得， 由，解得，则， 当时，；当时，；当时，， 又，所以实数的取值范围是. 19．（2026·湖南长沙·一模）已知函数其中实数. (1)若的最小正周期为，求 在处的切线方程； (2)若在区间上恰有三个极值点、两个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据三角恒等变换化简得到，结合最小正周期求出；根据导数的几何意义求解即可. （2）根据题意列不等式组求解即可. 【解答过程】（1）. 因为的最小正周期为，所以，解得. 所以. 则，所以切点为. 又，则， 所以切线方程为，即. （2）由（1）知，，，，则， 因为在区间上恰有三个极值点，所以，且， 即，解得. 又若在区间上恰有两个零点，则，且， 即，解得. 综上，. 故的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点11 三角函数中ω的范围与最值问题（举一反三专项训练） 【全国通用】 【题型1 与三角函数的单调性有关的ω的范围与最值问题】 2 【题型2 与三角函数的对称性有关的ω的范围与最值问题】 2 【题型3 与三角函数的最值有关的ω的范围与最值问题】 3 【题型4 与三角函数的周期有关的ω的范围与最值问题】 3 【题型5 与三角函数的零点有关的ω的范围与最值问题】 4 【题型6 与三角函数的极值有关的ω的范围与最值问题】 5 【题型7 ω的范围与最值问题：三角函数性质综合】 5 1、三角函数中ω的范围与最值问题 三角函数的图象与性质是高考的重要内容，在三角函数的图象与性质中，ω的范围与最值问题的求解是近几年高考中的一个重点、热点内容，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，难度中等；但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的重点，学生在复习中要加强训练，灵活求解。 考点1 三角函数中ω的范围与最值问题 知识点1 三角函数中有关ω的范围与最值问题的类型 1．三角函数中ω的范围与最值的求解一般要利用其性质，此类问题主要有以下几大类型： (1)三角函数的单调性与ω的关系； (2)三角函数的对称性与ω的关系； (3)三角函数的最值与ω的关系； (4)三角函数的周期性与ω的关系； (5)三角函数的零点与ω的关系； (6)三角函数的极值与ω的关系. 知识点2 三角函数中ω的范围与最值问题的解题策略 1．利用三角函数的单调性求ω的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 2．利用三角函数的对称性求ω的解题策略 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围. 3．利用三角函数的最值求ω的解题策略 若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围. 4．利用三角函数的周期性求ω的解题策略 若已知三角函数的周期性，则利用三角函数的周期与对称轴、最值的关系，列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围. 【题型1 与三角函数的单调性有关的ω的范围与最值问题】 【例1】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·甘肃定西·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·陕西西安·二模）已知函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【变式1-3】（2026·山西·三模）已知函数在上单调递减，则正数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【题型2 与三角函数的对称性有关的ω的范围与最值问题】 【例2】（2026·江苏·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．6 【变式2-1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，若，的图像关于轴对称，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【变式2-2】（2026·全国·模拟预测）已知函数，若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·河北·一模）将函数 的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型3 与三角函数的最值有关的ω的范围与最值问题】 【例3】（2026·北京平谷·一模）已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【变式3-1】（2026·广西桂林·三模）已知函数在上有最小值没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数 在上有两个最值点，则的取值范围为____________． 【变式3-3】（2026·海南·三模）已知函数在上的最小值为，则的最小值为____________． 【题型4 与三角函数的周期有关的ω的范围与最值问题】 【例4】（25-26高三下·重庆·阶段检测）记函数的最小正周期为T．若，且对恒成立，则最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【变式4-1】（25-26高三上·山西吕梁·开学考试）已知函数的最小正周期为，若，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·陕西商洛·一模）已知函数的最小正周期为，若对任意的恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二下·江苏南京·期末）已知函数的最小正周期为，若在区间上恰有8个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5 与三角函数的零点有关的ω的范围与最值问题】 【例5】（2026·安徽·模拟预测）已知函数在上无零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·重庆·二模）若函数 在 上有且仅有 1 个零点和 1 个极值点，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·山东济宁·二模）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·四川·模拟预测）已知函数（）在区间上只有1个零点，且当时，单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6 与三角函数的极值有关的ω的范围与最值问题】 【例6】（2026·河南驻马店·模拟预测）已知函数在区间上恰有3个极值点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）若函数在区间上至少有2024个极值点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·四川绵阳·模拟预测）已知函数，，函数在上有且仅有一个极大值但没有极小值，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·河南南阳·模拟预测）若函数的图象关于点中心对称，且是的极值点，在区间内有唯一的极大值点，则的最大值为（    ） A．8 B．7 C． D． 【题型7 ω的范围与最值问题：三角函数性质综合】 【例7】（2026·辽宁·二模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·山东青岛·一模）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 【变式7-2】（2026·湖南邵阳·三模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·四川绵阳·模拟预测）函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2026·江苏南京·三模）已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 2．（2026·北京·三模）已知函数．若在区间上既不是增函数也不是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北武汉·模拟预测）将函数（）的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，若在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·广东茂名·二模）若函数图象的一条对称轴是，且在上有唯一零点，则的最小值为（     ） A． B．4 C．5 D． 5．（2026·山东威海·二模）设函数，若，且的图象在上存在对称轴，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．3 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）设函数在区间上恰有2个极值点､1个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·甘肃白银·三模）已知函数在上恰有两个零点，两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·广东清远·二模）已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若函数周期为4，则 B．当时，函数的图象关于点对称 C．若函数在单调，则有最大值 D．若函数在区间上恰有三个零点，则 10．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数（），则（     ） A．的最大值为2 B．当时，在区间上单调递增 C．将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 D．若在上有两个零点，则的取值范围是 11．（2026·甘肃·模拟预测）设函数，则下列说法正确的是（   ） A．若函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则 B．若将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则的最小值为 C．若函数在上单调递增，则的取值范围是 D．若函数在上恰有两个极值点和三个零点，则的取值范围是 三、填空题 12．（2026·广东佛山·一模）若函数在区间上至少有2个零点，则的最小值是___________. 13．（2026·湖北黄石·模拟预测）已知函数（）在区间上是增函数，若函数在上有且仅有一个最大值2，则的范围为___________. 14．（2026·上海·三模）已知，函数在区间有10个零点与10个极值点，则的取值范围是___________． 四、解答题 15．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数． (1)若的最小正周期为，求当时的值域； (2)若在区间内无零点，求的取值范围． 16．（25-26高一下·云南昭通·期中）已知函数，. (1)若，求在上的值域； (2)若在内恰有两个的值，使得函数关于点对称，求的取值范围. 17．（2026·全国·模拟预测）已知函数. (1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式； (2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围. 18．（25-26高三上·山东聊城·阶段检测）已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的值； (2)若函数在上单调，且其图象在上存在对称轴，求实数的取值范围． 19．（2026·湖南长沙·一模）已知函数其中实数. (1)若的最小正周期为，求 在处的切线方程； (2)若在区间上恰有三个极值点、两个零点，求的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $