3.2.1 第1课时 函数的单调性 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的单调性，涵盖定义、判断及应用。通过观察y=x等函数图象导入，引导学生从直观变化规律过渡到符号语言表达，衔接函数概念与图象知识，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察图象规律，用数学语言严谨表述定义，通过定义法证明、复合函数“同增异减”等培养数学思维。例题涵盖选择、证明等类型，随堂演练巩固应用，帮助学生提升逻辑推理能力，教师可直接用于课堂教学，提高效率。

第1课时 函数的单调性 第三章　3.2.1 <<< 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.(重点) 2.能够证明函数的单调性.(重点) 3.掌握函数单调性的简单应用.(难点) 学习目标 函数的单调性 观察下面三个函数图象，他们的图象有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？ 问题1 提示　函数y=x的图象从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的. 如何理解函数图象是上升的？ 问题2 提示　从左向右看图象上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大. 1 单调递增、单调递减 名称 定义 图形表示 几何意义 单调 递增 一般地，设函数的定义域为 ， 区间如果, ，当 时，都有 ，那 么就称函数在区间 上单调递增. 函数在区间 上的图 象从左到右是上升的. 单调 递减 一般地，设函数的定义域为 ， 区间如果, ，当 时，都有 ，那 么就称函数在区间 上单调递减. 函数在区间 上的图 象从左到右是下降的. 6 概念深化 ， 的三个特征 （1）同区间性，即， . （2）任意性，即不可用区间上的两个特殊值代替, . （3）有序性，即需要区分大小，通常规定 . 自变量的大小与函数值的大小之间的关系 可以利用单调性的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的相互转化. （1）单调递增： ； （2）单调递减： ． 7 2 函数的单调性及单调区间 （1）当函数 在它的定义域（注意是整个定义域，而非一段）上单调递增（减） 时，我们就称它是增（减）函数． （2）如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数 在这 一区间具有（严格的）单调性，区间叫做 的单调区间（单调区间一定是定 义域的子集）． 8 特别提醒（1）并非所有函数都具有单调性,例如：函数 它的定 义域为 ，但不具有单调性． （2）在写单调区间时，若函数在某端点处没有定义，则在该端点处区间符号只能用 小括号（即单调区间不包含该点）；若函数在某端点处有定义且图象连续时，单调 区间可以包含该端点，也可以不包含该端点.如图3.2.1-1所示，函数的单调递增区间 可写为或，但不能写成或 . 图3.2.1-1 图3.2.1-2 9 （3）函数在和上均单调递增，但是在 上不一定单调，如图3.2.1-2所示. （4）单调区间不能取并集，只能用“和”或“，”连接.（易错点） 例如:函数在和上均单调递减，若取并集，则 , ，且，可能小于（如, ）,这与 单调性定义矛盾. 10 3 常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数 时，在 上单调递增；（函数是增函数） 时，在 上单调递减.（函数是减函数） 反比例函数 时,单调递减区间是和 ; 时,单调递增区间是和 . 二次函数 时,单调递减区间是,单调递增区间是 ; 时,单调递减区间是,单调递增区间是 . 11 思考辨析 若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数f(x)在R上就是增函数吗? 提示 不一定,例如f(x)=x2满足f(2)>f(1),但函数f(x)在R上是先减后增. 例1 ［多选题］下列命题中为真命题的是( ) CD A.定义在上的函数，如果有无穷多个，，当 时，有 ，那么在 上单调递增 B.如果函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减，那么 在区间 上就一定单调递减 C.,,且,当时，在 上单调递减 D.,,且,当时，在 上单调 递增 13 【解析】A是假命题，“无穷多个”不能代表“所有”“任意”； 以 为例，知B是假命题； （在与 上单调递减,但是在整个区间上并不单调） 等价于 （常见的等价形式,需牢记）, 当时，都有 , 在 上单调递减，C是真命题; , 当时，都有 , 在 上单调递增，D是真命题. 14 函数单调性的等价形式 ,, , 那么 在 上单调递增； 在 上单调递减. 15 例2 下列四个函数中，在 上单调递增的是( ) C A. B. C. D. 【解析】根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性可知： ，在 上均单调递减； 在（0,上单调递减，在,上单调递增；（对称轴为直线 ） 当时，，因此在 上单调递增. 16 例3 (多选题)若函数y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示,则下列区间是函数f(x)的单调递减区间的为(　　) A.[-4,-2] B.[-3,-1] C.[-4,0] D.[1,4] AD 解析 由图象可得f(x)在[-4,-2]上单调递减,在[-2,1]上单调递增,在[1,4]上单调递减,故选AD. 单调函数的运算性质 单调函数的运算性质 若函数,在区间上具有单调性，则在区间 上具有以下性质. （1）与（ 为常数）具有相同的单调性. （2）若为常数，则当时，与具有相同的单调性；当时， 与 具有相反的单调性. （3）若恒为正值或恒为负值,为常数，则当时，与 具有相反的单 调性；当时，与 具有相同的单调性.（在碰到此类问题时，记得对参数 的正负进行讨论） （4）若，则与 具有相同的单调性.#1.4 19 （5）在, 的公共单调区间上，有如下结论：#1.5 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 （6）当，在区间 上都是单调递增（减）时，若两者都恒大于零，则 在区间上也是单调递增（减）的；若两者都恒小于零，则 在 区间 上单调递减（增）.#1.6 20 例4 证明：当恒为正值或恒为负值时，与 具有相反的单调性. 【解析】若函数是增函数，取定义域内的两个数,，且 ,则 ， 易知 . 由于恒为正值或恒为负值，则 ， 从而，故函数 是减函数. （依据为函数单调性的等价形式） 同理可证，若函数是减函数，则函数 是增函数. 21 复合函数的单调性判定 对于复合函数，设在上单调，且在 或 上也单调，那么在 上的单调性如下表所示，简记为“同 增异减”.#1 增 增 增 减 减 减 增 减 增 减 23 知识剖析 复合函数单调性的判断步骤 第一步：将复合函数分解为内层函数和外层函数； 第二步：确定复合函数的定义域； 第三步：分别判断内层函数和外层函数在对应区间上的单调性；（在判断外层函数 的单调性时，务必在内层函数相应区间上的函数值的范围内判断） 第四步：根据同增异减原则得出复合函数的单调性.#1.2.1.4 例5 (2026·江西省南昌市期中)已知是定义域为的减函数，则 是 ( ) B A.定义域为的增函数 B.定义域为 的增函数 C.定义域为的减函数 D.定义域为 的减函数 【解析】因为的定义域为 , 所以的定义域为，令, , 是一次函数，且在定义域 上是减函数. 已知是定义域为)的减函数，所以在 )上是减函数， 根据复合函数“同增异减”的单调性原则，为减函数， 为减函数，两者 单调性相同，因此在定义域( 上是增函数. 25 例6 已知函数在定义域上单调递减，则 的单调递减区间是 ________. 【解析】由,得,解得.故函数的定义域为 . 由与 复合而成， 当时，单调递减，则 单调递增； 当时，单调递增，则 单调递减. 故的单调递减区间为 . 26 函数单调性的判断及单调区间的求解 类型1 定义法判断函数的单调性 例6 证明函数在 上单调递增. 【解析】设,，且 ， （第一步：任取两数） 则 . （第二步：作差变形） 因为 ， 所以,, ， 所以，即 . （第三步：确定符号） 根据函数单调性的定义，知函数在 上单调递增. 28 例8 (2026·湖南省郴州市质量监测)已知函数，且 ． （1）求 ; 【答案】由题意知函数，且，故，则 . 29 （2）用定义证明函数在 上单调递增； 【答案】由（1）知 ， 任取，（所取的值要在给定区间内），且 ， 则 ， （分解成两个式子相乘的形式，便于判断正负） 因为，，且 ， 所以，，，则 ， 所以，即 ， 所以函数在 上单调递增． 30 类型2 图象法判断函数的单调性 例9 求下列函数的单调区间： （1） ； 【解析】令 . 作出的图象，保留其在 轴上及其上方部分，将位于轴下方的部分翻折到 轴上方， 31 图3.2.1-5 得到 的图象（也可以先去绝对值,转化成分段函 数作图），如图3.2.1-5所示. 由图象可得函数的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 和 .（函数的单调区间可以包含端点值，也可不包含端点值） 32 （2） . 【解析】 即 图3.2.1-6 函数的图象如图3.2.1-6所示，单调递增区间为和 ,单 调递减区间为和 . （还可以由 的图象翻折变换作图） 33 例10 (2026·江西省南昌中学期中)已知函数 . （1）画出该函数的图象. 图D 3.2.1-1 【答案】 画出其大致图象如图D 3.2.1-1所示. （2）写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）. 【答案】由图象可知的单调递增区间是， ，单调递减区间为 ，值域为 . 34 类型3 性质法判断函数的单调性 例11 判断函数 的单调性. 【解析】 （分解成两个简单函数），且函数的定义域为 ， 因为函数和在区间上均单调递增，所以 在区间 上单调递增. 同理可得在区间 上也单调递增. 所以函数在区间和 上单调递增. 35 类型4 判断复合函数的单调性 例12 已知函数,试判断在区间 上的单调性. 求复合函数在给定区间上的单调性的关键是确定内层函数和外层函数的单调性. 【解析】内层函数为，外层函数为 ， 在上单调递增，且 . 又在 上单调递增， 所以函数在 上单调递增. 36 例13 函数 的单调递增区间为( ) C A. B. C.，4）和 D. 37 【解析】由，得且 ， 所以函数的定义域为且 . 设， , 由二次函数的性质可知,的单调递增区间为 ，单调递减区间 为,且 , . 又函数在上单调递减，在（0, 上单调递减， 所以由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为和 （注意复合函数定义域中 ）. 类型5 抽象函数的单调性 例14 设是定义在上的函数，,，,且当 时， . （1）求证 ; 【解析】根据题意，令，（ 既然让求,那就先凑出来 ）,可得 , . 39 （2）求证时，恒有 ; 【解析】由题意知时， , 当时， . 当时，, . （转化到已知区间上，便于判断范围） , （【会赋值】根据式子结构合理赋值,建立与 的关系） ， . 故时，恒有 . 40 （3）求证 是减函数. 【解析】的定义域为.任取,,且,则 , （这样变形后就可利用 进一步变形） . 由（2）知,又，, ,故 是减函数. 41 例15 (2026·山东省枣庄市第三中学测试)已知定义在上的函数 满足 ，且对任意的实数,均有，当 时， ． （1）求 的值； 【答案】令，则 ， 又，所以 . 42 （2）判断在 上的单调性，并证明. 【答案】在 上单调递增，证明如下. 任取,，且 ，则 ， 因为，所以， . 又当时，，所以 ， 所以，所以 ， 故在 上单调递增． 43 函数单调性的应用 类型1 利用函数的单调性求参数的取值范围 例16 (2026·山东省济南市期中)若函数在 上是增函数， 则实 数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 45 【解析】因为函数在上是增函数，所以在 上单调递增，故 ，即 . 当时，单调递增，所以；当时， 单 调递增，所以 . 又函数在上是增函数,所以,解得.又,所以 . 故实数的取值范围是 . 46 例17 (2026·广东省佛山市禅城实验高级中学段考)若函数 在区间上单调递减，则实数 的取值范围是__________. 【解析】函数的图象的对称轴为直线,若函数在区间 上单调 递减，则,解得.故的取值范围是 . 47 例18 [多选题]若函数在 上为增函数，则实数 的取值可以为( ) BC A. B.1 C.2 D.4 【解析】要使此分段函数为上的增函数，必须使函数 在 上单调递增，函数在 上单调递增，且满足 ，根据一次函数和二次函数的单调性可得，解得 ， 即实数的取值范围是.故选 . 48 类型2 利用函数的单调性比较大小 19 ［多选题］已知为区间上的减函数，且 ，则 ( ) ACD A. B. C. D. 已知单调性，要判断函数值的大小，只需比较自变量的大小即可. 49 【解析】因为，所以,又为区间 上的减函数，所以 ，故A正确； 因为与0的大小关系不定，所以无法比较与 的大小，故B 错误； 因为（利用作差法可比较大小），所以 ,又 为区间上的减函数，所以 ，故C正确； 因为，所以,又为区间 上的减函数，所 以 ，故D正确． 50 类型3 利用函数的单调性解不等式 例20 已知是定义在区间上的增函数，且，则 的取值 范围为_ _____. , 【解析】由题意，得 解得 ①.（大前提不能忘） 因为是定义在区间上的增函数，且 ，所以 ，解得 . 由①②得 . 所以的取值范围为, . 51 例21 已知函数则关于实数 的不等式 的解集为______． 【解析】当时，单调递增，当时, 单调递增，且函数 的图象在处连续（此处不能少，否则不能判断函数在 上的单调性）， 故函数在上单调递增.由得，解得 ． 52 1.知识清单： (1)会用符号语言表达函数的单调性. (2)利用定义证明函数的单调性. (3)单调性的简单应用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区： (1)函数的单调区间不能用并集. (2)利用函数的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域. 课堂小结 随堂演练 题型一 理解函数单调性的定义 1.（2026河南焦作期末）已知函数在上有定义，设甲:在 上单调递增. 乙: ，则甲是乙的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 55 【解析】 已知函数在 上有定义， 先判断充分性：在上单调递增，由单调递增性质知必然有 ，充分 性成立. 再判断必要性：满足，则不一定单调递增，比如 ， 此时，但其在 上不是单调递增的，必要性不成立. 所以甲是乙的充分不必要条件. 56 2. （多选）下列说法正确的是( ) AB A.若在区间上,随着自变量的减小,函数值反而增大,则在 上单调递减 B.函数在 上单调递增 C.函数 在定义域内为增函数 D.函数的单调递减区间为 57 【解析】 设任意,,，且,由函数单调性知在 上是减函数； 该二次函数的图象是对称轴为直线,开口向上的抛物线,故函数 在 上单调递增； 函数在和上分别单调递增,但不能说 在定义域内单调 递增； 函数在和上分别单调递减,所以单调递减区间为 和 .( 或写成,的形式,不能用“ ”符号连接) 58 3.如果函数在上单调递增,对于任意的, ,则下列结论中正 确的是( ) A A. B. C. D. 【解析】 因为在上单调递增,所以对于任意的, , 当时,,所以,,所以 ， ；（这两种形式是等价的） 当时,,所以,,所以 , .因此 . 由于,的大小关系不确定,所以与 的大小关系也不确定. 59 题型二 判断函数单调性或求单调区间 题组一 4.（2026广东潮州检测）已知函数 的定义域为 ，其图象如图所示，则下列说法中错误的是( ) D A.的单调递减区间为 B. 的最大值为3 C.的最小值为 D.的单调递增区间为 60 【解析】 由图象可知，的单调递减区间为 ； 由图象可知， ； 由图象可知， ； 由图象可知，的单调递增区间为和，不能用“ ”连接. 61 5.（2025吉林长春期中）函数 的单调递增区间为( ) A A. B. C. D. 【解析】 函数 当时,在 上单调递减, 当时,在上单调递减,在 上单调递增, 所以函数的单调递增区间为 . 62 6.（2026广东肇庆期中）已知函数的图象过点，且 . （1） 求实数和 的值； 【答案】 由的图象过点，得，即 ①, 又，即 ②， 联立①②解得， . 63 （2） 判断函数在 上的单调性，并利用单调性的定义给出严格证明. 【答案】 由（1）知，函数在 上是减函数. 证明如下: 任取 ，则 由，得，，且， ， 因此，即 ， 所以函数在 上是减函数. 64 7.（2026黑龙江大庆开学考试）已知的定义域为，对任意, 都有 ，当时，，且 . （1） 试判断在 上的单调性，并给出严格证明； 【答案】 在 上单调递减. 证明如下： 令，得，所以 . 令，得，所以 . 当时，，由题意知，所以 . 因此 . 65 令，，则.(通过赋值让等式中出现 ) 因为,，所以,，则对任意,，都有 转化 为对任意,，都有 ，即 . 由①得，当，即时， ,则 ； 当，即时，,则 . 所以在 上单调递减. . . 66 （2） 解不等式 . 【答案】 ，即 ， (不能直接解目标式，此时可利用已知条件 进行转化) 即 ，(此时仍不能直接求解，需要将常数3通过已知等式进 一步转化成2，利用脱“”)即 ， 即 . 因为在 上单调递减， 所以，即 ， 则，解得 ， 所以不等式的解集为 . . . . . 67 由题意，令，得，则 ， 所以等价于 ，即 ，即 ，即 . 下同. 题组二 8.（2026湖南长沙期中）函数 的单调递减区间是__________. 【答案】设，（内层函数）记函数，（外层函数）由可得 或 ， 易知在上单调递减，在 上单调递增， 而在 上为增函数， 69 9.（多选/2025海南海口检测）下列关于函数 的结论正确的是( ) AB A.在和 上单调递增 B.在和 上单调递减 C.在 上单调递增 D.在 上单调递增 70 【解析】 函数,定义域为 , 因为函数和在和上都单调递增,所以 （增+增=增）在和 上单调递增； 函数 ,（分离常数法） 其图象可由反比例函数 的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到, 由于反比例函数在和上单调递减,所以在 和 上单调递减； 当时,函数单调递减，单调递减,所以 （减+减=减）在 上单调递减； 函数在上单调递减,在 上单调递增. 71 题型三 函数单调性的应用 题组一 根据单调性求参 10.（2026安徽部分学校联考）已知函数在 上不具有单调性，则 实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 【解析】 函数图象的对称轴为直线 ， 因为函数在区间 上不具有单调性， 所以，解得，故实数的取值范围为 . 72 11. （2025山东聊城开学考试）已知函数在区间 上单调递 减,则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 73 【解析】 将拆解成外层函数和内层函数 ,外 层函数在上单调递增,要使函数在区间 上单调递 减,只需两个函数单调性相异.由题意得,二次函数 图象的对称轴为直线 ,函数在 为增函数, 函数在区间 上单调递减, （ 保证根号下非负）解得 , 实数的取值范围是 . 12.（2026重庆巴蜀中学期中）若函数在 上单调递增， 则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 【解析】 由已知，当时， ， 又函数在上单调递增，所以（结合 图象的开口方向 和对称轴），即 ； 当时， ， 由函数在上单调递增可知，，且 ，（ 分析 分段函数单调性时，不要遗漏分界点处的函数值的大小）解得 . 综上所述，的取值范围是 . 75 13.（2026湖南郴州期末）设函数，若函数在 上单调递增， 则实数 的取值范围为______. 【解析】 因为在上单调递减，在 上单调递增， （对勾函数） 且函数在上单调递增，所以，即，又，所以，即 的取值范围为 . 76 14. （2026上海长宁区期末）已知函数在 上单调递减,且在 上的函数值不恒为负,则实数 的取值范围为_ ______. 【解析】 ,（分离常数） 所以的图象可由的图象向左平移2个单位长度,再向上或向下平移 个单位 长度得到, 又在上单调递减,且在 上的函数值不恒为负, 所以(保证函数单调递减,保证在 上的函数值 不恒为负) 解得 . 77 题组二 利用单调性比大小 15.函数为定义在上的增函数,若 ,则( ) C A. B. C. D. 【解析】 由题可知是增函数,当时,,则 ； 当时,,则 ； ,因此,又是增函数，则 ； 当时,,又是增函数，则 . 78 16.（2026广东普宁检测）定义在上的函数满足以下条件：①函数 的 图象关于直线对称,在区间上单调递减,则,, 的大小 关系为( ) B A. B. C. D. 【解析】 由函数的图象关于直线对称（由函数图象关于直线 对称 可联想到二次函数的图象）,可得,,因为 ,且函数 在区间上单调递减,所以,即 . 79 题组三 利用单调性解不等式 17.（2025福建泉州期末）已知函数,则不等式 的解集为( ) C A. B. C. D. 80 【解析】 函数,所以定义域满足解得 , （确定函数的单调区间前先确定函数定义域） 因为在定义域是增函数, 在定义域上是增函数, 所以在 上单调递增,（增+增=增） 由不等式得解得 .所以不等式的解集为 . 81 18.（2025江苏镇江期末）已知函数 则不等式 的解集是( ) B A. B. C. D. 【解析】 因为当时, 单调递增, 当时,单调递增,且当时, , 所以分段函数 是一个单调递增函数,（解不等式前先确定分段函数的单调性） 由可得,解得或 . 82 19.（2026山东临沂期末）定义在上的函数满足 , 且,则使得成立的 的取值范围是______. 【解析】 已知,且,(对比定义法判断函数 单调性的式子 可知该式无法判断 的单调性,观察式子结构,需要通过变形确定新函数),则 两边同时除以 可得 ,令,,则原不等式可化为,因此函数 在 上单调递减.由,得,又因为,于是 ,结 合单调性解得,所以使得成立的的取值范围是 . 83 $