3.2.1 第2课时 函数的最大(小)值 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的最大(小)值，系统讲解定义、几何意义及求法。通过观察三个函数图象的共同特征导入，衔接函数单调性知识，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解最值本质。 其特色在于融合数学眼光、思维与语言，通过图象观察培养几何直观，用定义法证明单调性发展推理能力，分类讨论二次函数最值强化模型观念。例如用数形结合求min函数最值，归纳多种求法，助力学生形成系统解题思维，也为教师提供清晰教学路径与丰富实例。

第2课时 函数的最大(小)值 第三章　3.2.1 <<< 1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义. 2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值(或值域). 学习目标 函数的最大(小)值的定义 如图所示是函数y=-x2-2x，y=-2x+1(x∈［-1，+∞))，y=f(x)的图象.观察并描述这三个图象的共同特征. 问题1 提示　函数y=-x2-2x的图象有最高点A，函数y=-2x+1，x∈［-1，+∞)的图象有最高点B，函数y=f(x)的图象有最高点C，也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点. 你是怎样理解函数图象最高点的？ 问题2 提示　图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值. 1 函数的最大（小）值 名称 定义 几何意义 函数 的最 大值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数 满足： ，都有 ； ，使得（）.（ 为最大值点） 那么，我们称是函数 的最大值. 函数的最大 值对应图象 最高点的纵 坐标. 函数 的最 小值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数 满足： ，都有 ； ，使得（）..（ 为最小值点） 那么，我们称是函数 的最小值. 函数的最小 值对应图象 最低点的纵 坐标. 6 2 利用函数单调性求最值的常用结论 （1）如果函数在区间上单调递增，那么函数， 的最 大值为,最小值为 . （2）如果函数在区间上单调递减，那么函数， 的最 大值为,最小值为 . （3）如果函数在区间 上单调递增， 在区间上单调递减，那么函数 ， 在处有最大值 ，如图 （最小值为或 ，需比较） 7 （4）如果函数在区间上单调递减，在区间 上单调递增，那么函数 ，在处有最小值，如图.（最大值为 或 ,需比较） 特别提醒 利用函数单调性求函数最值时，先确定函数的所有单调区间（需注意给出 的区间是开区间还是闭区间），然后通过数形结合确定函数在各单调区间内的最值， 最后比较各单调区间的最值，得出函数的最值. 8 思考辨析 若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗? 提示 不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是. 例1 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)一个函数可能有多个最小值.(　　) (2)f(x)=在其定义域内无最大值,无最小值.(　　) 2.f(x)=2x2+4x+1的值域为　　　　　.  × √ [-1,+∞) 例2 ［教材改编P81例5］函数在区间 上的最大值为___，最小值为__. 3 【解析】函数（类比的性质）在区间 上单调递减，故函数 在区间的两个端点处分别取得最大值与最小值，最大值为 ， 最小值为 . 11 例3 已知函数则函数 的最大值、最小值分别为_____ ___． 2， 已知函数是分段函数并且图象容易作出，故可结合图象求解. 【解析】作出的图象如图所示．由图象可知，当 时，取得最大值2；当时，取得最小值．故 的最大值为2，最小值为 ．（也可以分段求出最值，再通过比 较得出 的最大（小）值） 12 求函数的最值 类型1 利用单调性求最值 例4 求函数在 上的最大值. 【解析】设,，且 ，则 . 由 ， 知,, ， 所以，即 . 所以函数在上单调递增，故函数在 上的最大值为 . 14 例5 函数 的最小值为_ _______. 【解析】（换元法） , 令，，则函数可转化为， . （【想一想】为什么不能直接利用基本不等式求解） 令 , 则在 上单调递增， 故函数在, 上单调递增， 所以函数的最小值为 . 故函数的最小值为 . 15 对勾函数的单调性 证明了函数在区间 上的单调性，我们称形如 的函数为对勾函数. （1）函数的定义域为 . （2）函数在和,上单调递减；在 ,和, 上单调递增. （由,解得 ，即单调区间的端点） 16 （3）函数 的图象如图所示. 例6 已知,，函数 ． （1）若，求 ； 【答案】由题意知所以解得 所以 ． 18 （2）若，当时，求 的最小值． 【答案】 ， 设，因为，所以 ， 令， ， （注意不能直接利用基本不等式求最值） 根据对勾函数的性质可知在，上单调递减，在 上单调递增， （到此处不能单纯以为的最小值为 ,应以区间端点为基准进行分类讨论） 当时，在上单调递增，所以 , 19 当时，在，上单调递减，在， 上单调递增，所以 ， 当时，在上单调递减，所以 ， 所以 类型2 利用图象求最值 例7 (2026·四川省广元市期末)已知函数，， ，用 表示，中的较小者，记为，，则函数 的最 大值为____. 【解析】令，解得或 ， 即函数与图象的交点坐标为， ， 21 先用虚线画出, 两函数的图象，再将在下面的图象变为 实线，如图所示， 所以， （谁的函数值小用谁的表达式，即谁的图象在下面用谁的表达 式，写 的表达式时，注意分段区间） 由图可知， ． 22 例8 已知,,表示,,中的最大值，例如，2， ，若函数 ，，，则 的最小值为( ) B A.2.5 B.3 C.4 D.5 【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数 ， ，的图象，因为 ， ，，所以 的图象如图中实线所示： 由图可知，与图象交点为 图象最低 点，由，可得所以 的最小值为3． 23 例9［多选题］(2026·山东省滕州市第一中学周测)已知 ， ,则 ( ) AD A.无最小值 B.最小值为 C.无最大值 D.最大值为 【解析】 的图象如图中实线所示： 由图象可得 有最大值，无最小值， 当时，由,解得（舍去）或， 此时 的最大值为．故选 ． 24 【解析】 的图象如图D 3.2.1-2中实线所示： 由图象可得 有最大值，无最小值， 当时，由,解得（舍去）或，此时 的最大值为．故选 ． 25 归纳 求函数最值的方法 求函数的最值，首先要确定函数的定义域.求函数最值的常用方法有： （1）配方法，主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意最值点是 否在定义域内； （2）换元法，用换元法时一定要注意新元的取值范围； （3）数形结合法，适用于图象较容易画出的函数； （4）利用函数的单调性，要注意有多个单调区间时，闭区间上端点处的函数值是不 是函数的最值. 26 类型3 由函数最值求参 例10 已知函数在上的最大值为3，则实数 的值为___. 3 【解析】，显然 . 当时，函数在上单调递减，则 ，解得 ； 当时，函数在上单调递增，则 ，解得 （舍去）. 综上， ． 27 例11 ［多选题］(2026·河北省石家庄市期末)已知函数 若 的最小值为，则实数 的值可以是( ) AB A. B.0 C.1 D.2 【解析】当时，，则在 上单 调递减，所以 . 当时，，则在上单调递增，所以当 时， . 所以，得.（因为的最小值为,所以只需 即可） 28 例12 (2026·北京师范大学附属中学期中)设函数若 存在最小值，则的一个取值为_________________; 的最大值为___. 0（答案不唯一） 29 【解析】当时， （0是最为明显的区分点，找到一个符合的即可） 存在最小值0，所以 的一个取值可以为0. 当时，若，，此时函数 不可能存在最小值； 当时，若，则，此时，若 ， 则，若函数存在最小值，则 ，得 ； 当时，若，则，此时，若 ， 则，若函数 存在最小值，则 ，此时不等式无解. 综上,，所以 的最大值为1. 30 二次函数的最值问题 类型1 轴定区间定 例13 ［教材改编P86 T7］已知函数，当自变量 在下列范围 内取值时，求函数的最大值和最小值： （1） ; 【解析】当时， 恒成立. 故函数的最小值为 ，无最大值. 32 （2） ; 图3.2.1-9 【解析】函数 的图象如图3.2.1-9所示，由图 可知，函数在上单调递减，在 上单调递增，所以 在处取得最小值，最小值为 . 又,,所以函数在 处取得最大值，最大 值为5. （3） . 【解析】由图3.2.1-9可知，函数在上单调递减,在 处取得最大值， 最大值为；在处取得最小值，最小值为 . 33 类型2 轴动区间定 例14 已知函数，，求函数 的最小值. 【解析】， .（【会分析】区间固 定，对称轴不确定，结合区间端点分类讨论） 当时，函数的图象如图3.2.1-10（1）中实线所示,函数在区间 上 单调递减，最小值为 ； 当时，函数的图象如图3.2.1-10（2）中实线所示,函数 在区间 上单调递减，在区间上单调递增，最小值为 ； 34 图3.2.1-10 当时，函数 的图象如图3.2.1-10（3）中 实线所示,函数在区间 上单调递增，最小 值为 . 综上所述， 35 类型3 轴定区间动 例15 已知函数在上的最小值为 . （1）求 的函数表达式. 【解析】，, ,函数图象的对称轴 为直线 .（【会分析】对称轴确定，区间变化，以对称轴是否在给定区间内分类 讨论） 当，即时，函数在 上的图象如图3.2.1-11（1）中 实线所示，函数在区间 上单调递减，所以最小值 ； 当，即时，函数在 上的图象如图3.2.1-11 （2）中实线所示，函数在区间上单调递减，在 上单调递增，所以 最小值 ； 36 图3.2.1-11 当时，函数在 上的图象 如图3.2.1-11（3）中实线所示，函数 在区间 上单调递增，所以最小值 . 综上可得， 37 （2）画出的简图，并写出 的最小值. 【解析】由（1）作出的图象，如图3.2.1-12所示，由图可知， . 图3.2.1-12 38 类型4 轴动区间动 例16 设是正数，且函数在,上的最大值为 ，求 的表达式. 【解析】， , ,函数图象对称轴为直线 . 将区间看作是不动的，对称轴变化，进行如下讨论. （其本质还是根据对称轴与区间端点的位置进行的讨论） ①当，即 时， 解得或 . 此时 . ②当，即 时， 39 解得 . 此时 . ③当，即时， . 综上所述， 无论是轴动还是区间动，都是讨论轴与给定区间的位置，从而判断最值点的位置 ，求出函数的最值. 归纳 求二次函数最值的常见类型及解法 求二次函数的最大（小）值有两种类型： 一是函数定义域为实数集 ，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出 最大（小）值； 二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大（小）值由它的单调性确定，而 它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置来决定，当开口方向或对称轴位 置不确定时，还需要进行分类讨论. 41 求二次函数在区间 上的最值一般分为以下几种情 况: （1）若在区间内，则最小值为，最大值为, 中较大 者; （2）若，则在区间上单调递增，最大值为 ，最小值为 ； （3）若，则在区间上单调递减，最大值为 ,最小值为 . 总之，二次函数在闭区间上的最值点要么在区间端点处，要么在对称轴处.#4 恒成立与能成立问题 例17 已知二次函数在区间 上有最大值4，最 小值0． （1）求函数 的解析式； 【解析】， 函数 图象 的对称轴方程为 . 又，且， 依题意得 （, 离对称轴越远，其所对应的函数值越大） 即解得 故函数的解析式为 . 44 （2）设,若在上恒成立，求 的取值范围． 【解析】 . 在上恒成立，即在 上恒成立， （分离参数）在 上恒成立， 只需， . 令，由，得 . 设， . 的图象的对称轴方程为 ， 45 当时，函数取得最大值,为 ， . 故的取值范围是 . 例18 二次函数满足，且不等式的解集为 . （1）求 的解析式； 【答案】由设 . 可化为 . 由题知，方程的两实根分别为 和3， 所以解得故 . 47 （2）在区间上，函数的图象总在一次函数 图象的上方，试确 定实数 的取值范围. 【答案】由题意，得，即 （分离参数），对 恒成立. 令，，则问题可转化为 . 因为在 上单调递减， 所以，故 . 所以实数的取值范围是 . 48 解题通法 函数的恒成立与能成立问题，一般利用分离参数法将参数单独分离出来,将其转化为 求函数的最值问题. 不等式 恒成立 能成立（有解） 49 1.知识清单： (1)函数的最大值、最小值定义. (2)求解函数最值的方法. (3)利用单调性解决生活中的实际问题. 2.方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区： (1)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域. (2)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论. 课堂小结 随堂演练 题型一 函数最值的求解及应用 题组一 利用单调性求最值 1. 函数 的最大值为( ) D A.0 B.2 C.6 D.12 【解析】 函数,都在上单调递增,则函数在 上单调递 增（【大招识别】增+增=增）,所以 . 52 2.（2026云南昆明期中）函数在区间 上的值域为( ) C A. B. C. D. 【解析】 令,，则，, . 令,，由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在 上 单调递增，所以在处取得最小值,最小值为 . 又,,，所以在上的值域为 ， 故,的值域为 ， 即函数在区间上的值域为 . 53 3.（2026贵州毕节期末）已知函数满足 . （1） 求 的解析式； 【答案】 ， . 54 （2） 用定义法证明在上单调递减,并求在 上的值域. 【答案】 ,，且 ， 则 ， 55 ， ， , ， ， ， 又, ， ， ， ， 在 上单调递减. 当时，的最大值为,的最小值为 , 则在上的值域为, . 题组二 函数最值的应用 4.（2026辽宁锦州期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数 ( ) A A.0 B.1 C.2 D.0或1 有问有答 问：本题中含参的分式函数如何确定单调性？ 答：与求分式的函数最值一样，利用分离常数法将函数转化为“常数 分式”（分式的分 子不含 的形式，确定新的分式的单调性. 57 【解析】 函数，（当时，的正负决定 的 单调性，所以分,, 讨论其单调性） 当时，，不满足函数在区间 上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间 上单调递减， 所以最大值为 ，不符合题意； 当时，函数在区间 上单调递增， 所以最大值为，解得 ，符合题意. 综上所述，实数 . 58 5.（2026湖北武汉期末）设函数若存在最小值，则 的最 大值为_ __. 59 有问有答 问：怎么确定 的最小值？ 答：①当时，单调递增，此时函数 无最小值； ②当 时，此时函数解析式确定，只需利用函数性质即可确定是否有最值； ③当时， 没有最小值，所以若有最小值，只能在 上. 问：如何讨论确定 的最小值？ 答：直线是函数图象的对称轴，当时，若直线 在直线 的左侧或重合，则最小值为;若直线在直线 的右侧，则最小值为 ，但注意此时要与另一段函数的端点值比较大小确定是否有最小值. 60 【解析】 当时，在上单调递增，此时 无最小值，不合题意； 当时， 当时，，又当时，，因为 ， 所以 存在最小值0，满足题意； 当时，在和上单调递减，在 上单调递增， 若存在最小值，则，解得，则 ； 当时，在上单调递减，在 上单调递增， 若存在最小值，则 ，不等式无解. 综上所述，实数的取值范围为，则的最大值为 . 61 6.（2026河南南阳检测）2026年杭州国际赛事是由相关国际体育组织主办的国际性体 育盛会，竞赛项目丰富多样.国内某公司出售一款2026年杭州国际赛事吉祥物，需固定 投入200万元费用.假设该款产品售价每件80元，成本每件30元.在购进产品数量 （万件） 不超过20时，需额外投入 （万元）；若购进产品数量在20万件以上， 需额外投入 （万元）. 62 （1） 求利润（万元）关于购进产品数量 （万件）的函数解析式； 【答案】 当 时， ； 当时， ， 所以 （2） 当为何值时，利润 最大？最大利润为多少？ 【答案】 当时，因为 的图象开口向下，且对称轴为 直线 ， 所以 ； 当 时，因为 ，当且 仅当 时等号成立， 则当时利润 最大，最大利润为615万元. 64 题型二 二次函数的最值问题 7.（多选）已知函数的最小值为,则实数 的可能取值 是( ) AB A.1 B.3 C.5 D.7 65 【解析】 函数在上单调递减,在 上单调递增, （利用对勾函数性质判断）故当时,函数 . 函数图象开口向上，对称轴为直线 , 当,时,(在区间右侧，函数在 处取 得最小值), 要想函数的最小值为,只需,即,解得 ,即 ,显然选项A,B符合； 当,时,,函数的最小值显然不是( 在区间 内，函数在 处取得最小值). 综上所述,只有选项A,B符合题意. 66 8.已知函数在上的最大值为,则实数 的值为_ __. 【解析】 抛物线的对称轴为动轴,又给定区间 ，故 为动轴定区间型的最值问题.讨论对称轴与区间两端点距离的关系即可. 函数图象的开口向上，对称轴为直线.已知 ,所以当 时,（对称轴离更远，在 处取得最大 值）,得（舍去）;当时,,得 . 综上所述,实数的值是 . 67 9.（2026江苏省启东中学检测） （1） 已知，求在 上的最小值； 【答案】 因为 的图象开口向上，对称轴为直线 ， ①当，即时，函数在 上单调递减，最小值为 ； ②当，即时，最小值为 ； ③当时，函数在上单调递增，最小值为 . 综上所述， 68 （2） 已知，求在 上的最大值. 【答案】 因为 的图象开口向上，对称轴为直线 . ①当，即时，对称轴在区间中点左侧，右端点离对称轴更远， 最 大值为 ； ②当，即时，对称轴在区间中点右侧，左端点离对称轴更远， 最 大值为 . 综上所述，最大值为 69 10.（2026河南郑州外国语学校期末）已知函数 , . （1） 记,，若函数的最小值为，求实数 的值； 70 【答案】 ， 当，即 时， 在 上单调递增，无最小值，不符合题意； 当，即 时， ， 当且仅当时，等号成立，此时 有最小值，符合题意. 由题意得，解得 . 综上所述，实数 的值为2. . . 71 （2） 记，若函数在上单调递增，求实数 的取值范围. 【答案】 ， 当，即时， ， 若函数在 上单调递增， 则解得 ； 当，即 时， 若函数在 上单调递增， 72 则 或 解得 . 综上，实数的取值范围为 . $