13.3.1《三角形的内角》第二课时课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦直角三角形的性质（两锐角互余）与判定（两角互余为直角三角形），通过三角尺锐角之和情境导入，从三角形内角和定理推导性质，再逆向探究判定，构建知识支架。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，通过性质与判定的互逆推理发展数学思维，规范几何语言表达。典例解析归纳“8字模型”，例5通过猜想证明提升推理能力，分层练习强化应用。帮助学生提升逻辑推理与应用能力，为教师提供结构化教学资源。

第十三章 三角形 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 13.3.1 三角形的内角（第二课时） 13.3 三角形的内角与外角 1 学习目标 1. 通过三角形内角和定理推断出直角三角形的两个锐角互余，发展学生的推理能力. 2. 通过用数学的思维思考，发现直角三角形的性质和判定之间的互逆关系，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形. 3. 能运用直角三角形的性质和判定进行相关计算. 2 情境导入 下图是我们熟知的三角尺，两个三角尺的锐角之和分别是多少度？ （ ）+（ ）=（ ） （ ）+（ ）=（ ） 30° 60° 90° 45° 45° 90° 3 新知探究 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°， 由三角形的内角和定理，得 ∠A+∠B+∠C=_____. 即∠A+∠B+90°=180°， 所以∠A+∠B=_____. 180° 90° A B C 想一想：你可以得到直角三角形的什么性质？ 4 新知探究 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．　　 几何语言： 在Rt△ABC中， ∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°．　 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. A B C 5 典例解析 例1 如图(1)，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？请说明理由. 方法一（利用平行的判定和性质）： ∵∠B=∠C=90°， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠D. C A B O D 图（1） 6 典例解析 方法二（利用直角三角形的性质）： ∵∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A=∠D. 例1 如图(1)，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？请说明理由. C A B O D 图（1） 7 典例解析 例2 如图(2)，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由. 思考： ①图(1)与图(2)两个图形的相同点和不同点各是什么？ ②图(1)的两种解答方法能用于图(2)的解答吗？哪个更具一般性？ C A B O D 图（2） 8 典例解析 解：∠A=∠C. 理由如下： 在Rt△AOB和Rt△COD中， ∵∠B=∠D=90° ∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90° ∵∠AOB=∠COD ∴∠A=∠C 例2 如图(2)，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由. C A B O D 图（2） 9 典例解析 例3 如图，∠C=∠D=90 °，AD，BC相交于点E.比较∠CAE与∠DBE的大小. 解：在Rt△ACE中， ∠CAE=90°-∠AEC. 在Rt△BDE中, ∠DBE=90°-∠BED. ∵ ∠AEC=∠BED， ∴ ∠CAE=∠DBE. A C D B E 10 归纳小结 基本图形：“8字模型” ∠A+∠B=∠C+∠D ∠A=∠D ∠A+∠B=∠C+∠D ∠A=∠C C A B O D C A B O D 11 课堂练习 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？ 解：∠ACD=∠B. 理由如下： ∵ ∠ACB=90° ∴ ∠ACD+∠BCD=90° ∵ CD⊥AB ∴ ∠BDC=90° ∴ ∠B+∠BCD=90° ∴ ∠ACD=∠B A B C D 12 新知探究 思考 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由. 13 新知探究 问题：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？ 解： △ABC是Rt△，理由如下： 在△ABC中， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠A+∠B=90°， ∴∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90° ∴△ABC是直角三角形. A B C 14 新知探究 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．　　 几何语言： 在△ABC中， ∵∠A+∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形. A B C 15 典例解析 例4 如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AB，AC 上，且∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ A B C 1 2 E D 解：在Rt△ABC中， ∠2+∠A=90 °. ∵∠1= ∠2， ∴∠1+ ∠A=90°. 即△ADE是直角三角形. 16 典例解析 例5 如图所示，有一个三角尺DEF(足够大)，其中∠EDF=90°，把直角三角尺DEF放置在锐角△ABC上，三角尺DEF的两边DE，DF恰好分别经过点B，C． (1)若∠A=35°，则 ∠ABC+∠ACB= °， ∠DBC+∠DCB= _____°， ∠ABD+∠ACD= _____°； A B C D E F 17 典例解析 (1)若∠A=35°，则∠ABC+∠ACB= °，∠DBC+∠DCB= _____°， ∠ABD+∠ACD= _____°； 解：∵∠A=35°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=145°； ∵∠BDC=90°， ∴∠DBC+∠DCB=90°， ∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-∠DBC-∠DCB=55° A B C D E F 145 90 55 18 典例解析 例4 如图所示，有一个三角尺DEF(足够大)，其中∠EDF=90°，把直角三角尺DEF放置在锐角△ABC上，三角尺DEF的两边DE，DF恰好分别经过点B，C． (2)若∠A=60°，求∠ABD+∠ACD的度数； A B C D E F 解：∵∠A=60°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°； ∵∠BDC=90°， ∴∠DBC+∠DCB=90°， ∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-∠DBC-∠DCB=30° 19 典例解析 例4 如图所示，有一个三角尺DEF(足够大)，其中∠EDF=90°，把直角三角尺DEF放置在锐角△ABC上，三角尺DEF的两边DE，DF恰好分别经过点B，C． (3)请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量 关系，并说明理由． A B C D E F 20 典例解析 (3)请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系，并说明理由． 解：∠ABD+∠ACD+∠A=90°，理由如下： ∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A； ∵∠BDC=90°， ∴∠DBC+∠DCB=90°， ∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-∠DBC-∠DCB=180°-∠A-90°， ∴∠ABD+∠ACD+∠A=90°． A B C D E F 21 课程小结 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．　　 几何语言：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．　 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．　　 几何语言：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形. 22 随堂演练 1.已知Rt△ABC的一个锐角为25°，则另一个锐角为______. 2.三角形的两个锐角分别为35°和55°，则它是_____三角形. 3.已知等腰三角形的顶角是底角的2倍，则这个三角形的顶角为_____，它是____________三角形. 4.如图，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°， 则∠BDC为______. 65° 直角 90° 等腰直角 80° A B C D 1 2 23 随堂演练 5.如图，∠1+∠2+∠3+∠4=______. 6.在三角形中，最大的内角不能小于_____，最小的内角不能大于_____. 7.如图，已知等腰三角形ABC，底角的平分线BE与底边上的高AD相交与点O，且∠BOD=55°，则∠BAC=______. 280° 60° 60° 40° 40° 2 1 3 4 A B C E O D 24 随堂演练 8. 如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB，与∠1互余的角有( ) A. ∠B B. ∠A C. ∠BCD和∠A D. ∠BCD A C D B 1 C 25 随堂演练 9.在Rt△ABC中，∠ACB=90°. (1)如图， CD ⊥ AB于点 D，写出图中与∠A相等的角，并说明理由； 解：图中与∠A相等的角是∠DCB.理由如下： ∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°. ∵ CD ⊥ AB ， ∴ ∠ADC =∠BDC =90°. ∴ ∠DCB + ∠B =90°. ∴ ∠A= ∠DCB. A B C D 26 随堂演练 9.在Rt△ABC中，∠ACB=90°. (2)如图，点E在线段BC上，ED ⊥ AB于点 D，写出图中与∠A相等的角，并说明理由； 解：图中与∠A相等的角是∠DEB.理由如下： ∵ ED ⊥ AB ， ∴ ∠DEB + ∠B =90°. 在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°， ∴ ∠A= ∠DEB. A B C D E 27 随堂演练 9.在Rt△ABC中，∠ACB=90°. (3)如图，点E在线段BC的延长线上，ED ⊥ AB于点 D，则图中与∠A相等的角是 . A B C D E ∠ E 28 随堂演练 10.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E. (1)若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数； 解：∵∠B=35°，∠ACB =85°， ∴∠BAC =60°. ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC=30°. ∴∠ADC =65°. ∴∠E=25°. A P B D C E 29 随堂演练 10.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E. (2)当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B，∠ACB的数量关系，写出结论并说明理由； A P B D C E 30 随堂演练 解：∠E= (∠ACB- ∠B).理由如下： ∵ AD平分∠BAC， ∴ ∠BAD= ∠DAC= ∠BAC= (180°- ∠B- ∠ACB)=90°- (∠B+ ∠ACB). ∴ ∠PDE= ∠B+ ∠BAD= ∠B+90°- (∠B+ ∠ACB)=90°+ (∠B- ∠ACB). ∵ PE⊥AD， ∴ ∠PDE+∠E=90°. ∴ ∠E=90°-∠PDE=90°-[90°+ (∠B-∠ACB)]= (∠ACB-∠B). A P B D C E 31 第十三章 三角形 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 13.3.1 三角形的内角（第二课时） 13.3 三角形的内角与外角 32 $