专题05 二次函数、一元二次方程与不等式（重难点讲义） 数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦一元二次函数、一元二次方程与不等式核心内容，构建从二次函数零点概念出发，厘清三者内在关联，到无参不等式求解、判别式对应规律，再到含参分类讨论、根的分布及恒成立问题的学习支架，衔接基础概念与综合应用。 资料以数形结合思想为核心，通过“五步解法”规范解题流程，“三级分类讨论”培养逻辑推理能力，根的分布模型强化数学表达。课中辅助教师系统授课，课后典例变式与分层训练帮助学生查漏补缺，提升数学思维与应用意识。

专题05 不二次函数、一元二次方程与不等式 重点目标： 1. 掌握二次函数零点概念，厘清二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的内在关联，建立数形结合核心思维. 2. 能熟练求解无参一元二次不等式，规范用集合、区间表示解集. 3. 掌握判别式Δ的三种取值情况对应二次函数图像、方程根、不等式解集的对应规律，熟记“大于取两边、小于取中间”核心法则. 4. 能利用一元二次不等式解决基础定义域、取值范围问题，掌握简单整式、可转化为二次不等式的基础题型解法. 5. 掌握实数域上一元二次不等式恒成立的基础判定条件，能解决无参恒成立基础题型. 难点目标： 1. 精准运用数形结合思想，依托二次函数图像判定不等式解集，规避纯代数主观判断的误区，杜绝解集书写错误. 2. 掌握含参一元二次不等式的分类讨论逻辑，能针对二次项系数、判别式、根的大小三类情况完整讨论求解. 3. 区分一元二次不等式恒成立、存在性成立的差异，结合定义域约束求解参数取值范围，突破期中压轴小题难点. 4. 掌握分式不等式、高次不等式等价转化为一元二次不等式的方法，规避转化过程中增根、漏解问题. 5. 综合运用三二次关系，解决方程根的分布、二次函数最值与不等式结合的综合题型. 1、 重点知识 （一）核心概念 1. 二次函数零点：对于二次函数 ，使 的实数 叫做二次函数的零点，零点即为函数图像与 轴交点的横坐标. 2. 一元二次方程：形如 的整式方程，其实根对应二次函数零点，是连接二次函数与一元二次不等式的核心桥梁. 3. 一元二次不等式：只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式不等式，标准形式为 . 4. 三“二次”核心关联：一元二次方程的根是二次函数零点、一元二次不等式解集端点；不等式解集对应二次函数图像在x轴上方/下方的自变量取值范围. （二）一元二次不等式标准解法 · 解题固定五步：标准化（化二次项系数为正）→计算判别式 →求解方程实根→结合图像写解集→规范书写区间/集合. · 以 为例： 1. ，方程两根 ： 解集 ； 解集 . 2. ，方程重根 ： 解集 ； 解集为空集. 3. ，方程无实根： 解集为 ； 解集为空集. （三）一元二次方程基础知识点（含韦达定理） · 设 ，两根为 ，当 时： 1. 求根公式： 2. 韦达定理（根与系数关系）：， 3. 基础根的符号判定：两根同号、异号、全正、全负可通过韦达定理快速判断. （四）一元二次方程基础根的分布 · 核心思想：方程根的分布 二次函数零点分布，依托 开口方向、判别式、端点函数值、对称轴 四个维度判定. · 基础模型（默认 ）： 1. 有两个不相等实根：；2. 有两个相等实根：；3. 无实根： 2、 难点知识 （一）易错概念与基础误区 1. 非二次陷阱：含参方程、不等式未讨论 ，误将一次型当做二次型求解，导致答案错误. 2. 解集符号误区：二次项系数为负未标准化，直接套用口诀，解集完全颠倒；开闭区间混淆，遗漏等号对应端点. 3. 韦达定理使用前提：仅适用于 有实根的情况，无实根时不可使用. （二）重点难点：一元二次方程根的分布全模型 · 统一前提：设二次函数 ，对应方程 ，默认 ， 为常数. 1. 单根区间分布（一根在区间内）：方程在 内有且仅有一个实根：； 补充边界：若区间含端点，需额外验证端点根是否符合题意；若存在重根，需满足 且对称轴在区间内. 2. 双根同侧分布：两根均小于 ：；两根均大于 ： 3. 两根异侧分布（一根小于k，一根大于k）：核心最简条件：（无需判别式、对称轴，天然满足两根不等） 4. 双根区间内分布（两根均在 内）：. 5. 正负根专项分布：两根全正：；两根全负：； 一正一负根：（等价于 ） （三）含参一元二次不等式综合难点 1. 三级分类讨论逻辑：先讨论二次项系数 ；再讨论判别式 ；最后讨论两根大小关系. 2. 区间恒成立难点：给定 不等式恒成立，不可直接用判别式，需结合对称轴、区间单调性求最值，利用最值控制不等式成立. 3. 存在性成立难点：区间内有解与恒成立条件相反，核心为函数最值满足不等式，极易混淆. （四）深度拓展拔高知识 1. 零点存在定理联动（教材拓展）：连续函数在区间端点函数值异号，则区间内至少存在一个零点，是根的区间分布的理论依据. 2. 根的分布逆向题型：已知根的分布范围，反求方程参数取值，是新高考高频填空、多选考点. 3. 二次复合型不等式：分式不等式、高次不等式等价转化为一元二次不等式，结合根的分布确定定义域、解集范围. 4. 双变量综合题型：结合基本不等式、根与系数关系，求解含参二次式最值、取值范围. 5. 恒成立通用模板： 恒成立 ； 恒成立 . （五）高频失分点总结 1. 含参问题遗漏 一次方程特殊情况，分类讨论不完整； 2. 一元二次不等式未标准化，系数为负不整理，解集颠倒； 3. 根的分布只看端点值，遗漏对称轴、判别式约束，导致参数范围出错； 4. 韦达定理无视 前提，无实根强行使用； 5. 混淆恒成立与存在性成立的最值判定逻辑； 6. 区间根分布忽略重根、端点根特殊情况，造成漏解. 题型01 解一元二次不等式 角度1：解不含参一元二次不等式 【典例】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，所以不等式的解集为 【变式】下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别解出各选项对应的一元二次不等式即可求解． 【详解】对于A，由，得，解得，不符合题意； 对于B，由，，则解集不为，不符合题意； 对于C，由，，解集为，符合题意． 对于D，由，，解得，不符合题意． 角度2：解含参一元二次不等式 【典例】求不等式的解集： 【答案】答案见解析 【分析】不等式可化为，分类讨论a的取值，即可求得答案. 【详解】不等式可化为， 当时，解得； 当时，原不等式即为， 当时，，. 当时，，此时不等式解集为； 当时，， 当时，原不等式即为， 因为，所以，所以或. 综上所述，原不等式的解集为： 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【变式】讨论关于的不等式的解集 【答案】1.当时，不等式化为. （1）当时，不等式解集为：； （2）当时，不等式解集为：； 2.当时，不等式化为：. （1）当时，不等式解集为; （2）当时，不等式解集为; 3.当时，设不等式对应方程两根. （1）当时，，不等式解集为：或； （2）当时，，不等式解集为：； 4.当时，不等式对应方程的根为. （1）当时，不等式解集为：或； （2）当时，不等式解集为：； 5.当时，不等式对应方程无解. （1）当时，不等式解集为：R； （2）当时，不等式解集为：. 【解析】略 角度3：解分式不等式与简单高次不等式 【典例1】不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的求解方法求解即可. 【详解】由，得，即. 等价为，解得. 故解集为. 【典例2】解 【答案】或或 【分析】运用“穿针引线法”画出函数的大致图象，结合图象即可得解. 【详解】运用“穿针引线法”画出函数的大致图象如下： 由函数图象可知，的解集为或或． 【典例3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式，得到集合，结合交集的运算即可求解. 【详解】解不等式，即解得或 即，则 . 【变式1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式求出集合、，再求即可. 【详解】集合， ， 则. 【变式2】解不等式. 【答案】或或 【详解】因为次数为2，根为2， 的次数为奇数，根分别为. 如图所示，“奇穿偶不穿”，解集为或或． 【变式3】设集合，集合，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，，所以． 题型02 三个”二次“的关系问题 【典例】已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（  ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】A 【分析】先根据不等式的解集判断的符号和与的关系式，进而逐项判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，A正确； 且-3和4是方程的两个解，则. 所以，所以不等式可化简为， 解得或，所以不等式的解集为，B错误； ，所以C错误； 不等式化简为，即，解得， 所以不等式的解集为，D错误； 故选：A. 【变式】已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集确定，结合韦达定理得到与的关系，逐一判断各选项的正误. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数开口向下，且方程的两根为. 对于A：二次函数开口向下，故，A正确； 对于B：根据韦达定理：，，结合得，， 将代入不等式，得， 两边同除以得，因式分解为，解得，B正确； 对于C：，由得，即，C正确； 对于D：由得，得， 因，故， 由基本不等式得， 等号成立条件为，即，与矛盾，等号无法取到， 故该式最小值不为，D错误. 题型03 一元二次不等式恒成立与能成立问题 角度1：在R上恒成立 【典例】不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，时直接验证不等式成立，时利用一元二次不等式恒成立的条件求解，最终合并得到的取值范围. 【详解】分两种情况进行讨论： 当时，原不等式化为，该式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等式为关于的一元二次不等式，若要对一切实数恒成立，需同时满足： （1）二次项系数小于0，即，解得； （2）判别式，代入系数得，解不等式得； 综上所述，的取值范围为. 【变式】若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是________ 【答案】 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由“，使得”是假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足, 综上，实数m的取值范围是. 角度2：在指定区间D上恒成立 【典例】若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】要使 在上恒成立， 即当时， 恒成立， 因为当时，，则有恒成立， 当时，令，即， 所以恒成立，则， 即. 【变式】不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 角度3：在参数指定区间D上恒成立 【典例】不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意，构造关于的函数，，通过函数两端点的函数值都小于即可求解. 【详解】根据不等式，构造关于的函数，令，， 根据题意，对任意，恒成立，由于是一次函数，只要两端点的函数值都小于即可， 即，化简得，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式】当时，不等式恒成立，则的取值范围为________ 【答案】 【分析】结合题意利用主元变换法转化为一次函数的恒成立问题，进而建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为当时，不等式恒成立， 所以恒成立，整理得恒成立， 令，则， 解得 角度4：一元二次不等式能成立问题 【典例1】（多选）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】由，和三种情况讨论求解即可. 【详解】当时，原不等式不成立， 时，函数对应的图象是开口向下的抛物线，根据图象特征，一定存在使得原不等式成立． 时，则，即解得， 综上所述，的取值集合是或， 结合选项，所以实数可取值，4， 故选：BD． 【典例2】当时，有解，则实数的取值范围是___. 【答案】 【分析】由题意转化为关于m的一次不等式小于0有解，根据对应的一次函数为增函数，列出不等式即可得解. 【详解】当时，有解， 即在上有解， 因为，所以一次函数单调递增， 所以只需即可，解得. 【变式】，使成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】由于当时，不等式， 要，使成立，即满足 因为当时,函数单调递增，所以， 即 题型04 一元二次方程根的分布问题（二次函数零点分布问题） 角度1：相对于1个值的分布 【典例1】已知方程，一个根大于1，一个根小于1，求的取值范围． 【答案】 【详解】对于方程，令， 若一个根大于1，一个根小于1，则，解得， 综上，可得的范围是. 【典例2】已知方程，两个不同的根都小于1，求的取值范围． 【答案】 【详解】对于方程，令， 若两个不同的根都小于1，可得，解得或， 则，解得，，解得， 综上，可得的范围是. 【典例3】已知方程，两个不同的根都大于，求的取值范围． 【答案】 【详解】对于方程，令， 若两个不同的根都大于，可得，解得或， 则，解得，，解得， 综上，可得的范围是. 角度2：相对于2个值的分布 【典例1】已知方程，两个不同的根都在内，求的取值范围． 【答案】 【详解】对于方程，令， 若两个不同的根都在内， 可得，解得或， 而，解得，则，解得， 则，解得， 综上，可得的范围是. 【典例2】已知方程，有两个根，有且仅有一个根在内，求的取值范围． 【答案】 【详解】对于方程，令， 若有两个根，有且仅有一个根在内， 可得， 或者方程一个根为0另一个根在内， 或者方程一个根为2另一个根在内， 而，， 由，解得， 当方程一个根为0时，此时另一个根为3，3不在内，不合题意； 当方程一个根为2时，此时另一个根为，在内，符合题意； 综上，可得的范围是. 【典例3】已知方程，一个根小于2，一个根大于4，求的取值范围． 【答案】 【详解】对于方程，令， 若一个根小于2，一个根大于4， 则，解得， 则，解得， 综上，可得的范围是. 角度3：相对于3个值的分布 【典例】已知方程，一个根在内，另一个根在内，求的取值范围． 【答案】 【详解】对于方程，令， 若一个根在内，另一个根在内， 则的一个零点在内，另一个零点在内， 由零点存在性定理可得，， 此时， ，则，解得或， ，故，解得， 综上，可得的范围是. 角度4：相对于4个值的分布 【典例】已知方程，一个根在内，另一个根在内，求的取值范围． 【答案】 【详解】对于方程，令， 若一个根在内，另一个根在内， 则的一个零点在内，另一个零点在内， 由零点存在性定理可得，， 此时，，则，解得， 而，，故，解得， 综上，可得的范围是. 题型05 三个”二次“的综合问题 【典例】下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 【答案】D 【分析】利用判别式法来判断二次不等式恒成立，可判断A，利用二次式因式分解法，即可判断B，利用分离参变量再结合基本不等式求最值来判断二次不等式恒成立，即可判断CD． 【详解】对于A，当时，恒成立， 当时，由题意可知：，解得， 综上得，k的取值范围是，故A正确； 对于B，由得， 因该不等式在上恒成立，则需使，即在上恒成立， 故得，即实数k的取值范围是，故B正确； 对于C，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），则得，故C正确； 对于D，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），可知，故D错误. 【变式】已知. (1)若不等式的解集为，求的解析式； (2)若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） (3)若，，，求的最小值. 【答案】(1) (2)时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. (3) 【分析】（1）由的解集为，得 1和3是方程的两个根，结合韦达定理列方程求解参数，即可得到的解析式； （2）将代入并因式分解，根据确定对应方程的两个根，比较两个根的大小关系，根据一元二次不等式大于0的解集规律得到结果； （3）由得，根据，，结合基本不等式求最小值. 【详解】（1）的解集为，1和3是方程的两个根，且. ，解得； . （2），，. 令，得，则，. ，. 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 综合所述，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. （3），，，得. . ，，. . 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 【巩固训练】 1. 一元二次不等式的解集是（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法可得答案. 【详解】由，即， 解得：. 故选：B 2. 已知命题，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出，根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解不等式，得，即命题. 因为能推出，不能推出， 所以是的必要不充分条件. 3. 已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解出两个集合中的不等式，得到集合之间的关系，从而得出答案. 【详解】不等式解得，则， 不等式，即，解得，则， 由是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的解集为，所以，方程的两个根分别为， 所以，，即，， 所以不等式为， 因为，得，解得． 5. 已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得和是关于的方程的两个实数根， 所以，解得， 所以， 由得， 当时，， 所以，则的取值范围是，故A正确. 6. 若“，”为假命题，则的取值范围为_______ 【答案】 【分析】将不等式问题转化为函数不等式恒成立问题，进而通过端点值满足对应条件，即可求解. 【详解】由题意可得“，”为真命题， 设，因此上述不等式恒成立即转化为，恒成立， 则， 解得. 7. 若当时，不等式 恒成立，则x的取值范围为_____. 【答案】或 【分析】首先不等式看成关于的不等式，再根据定义域，列式求解. 【详解】不等式整理为关于的一元一次不等式， 当时，不等式恒成立，所以： ，，得或 8. （多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据一元二次方程与不等式的关系得，，再结合一元一次不等式和一元二次不等式的解法，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】∵关于的不等式的解集为， ∴，和3是关于的方程的两根，A选项正确； 由根与系数的关系得，则， ∴，B选项错误； ∴不等式可化为，即，解得，C选项正确； 不等式可化为，即，解得或， D选项正确． 9. （1）求下列不等式的解集． ①；②；③ （2）若 ，求的最小值． （3）解关于 的不等式： 【答案】（1）①；②或；③或 （2）7 （3）当时，不等式的解集为； 当时，不等式化为，解集为； 当时，不等式的解集为． 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法和绝对值不等式的解法求解； （2）根据均值定理求和的最小值； （3）含参一元二次不等式讨论的范围解不等式. 【详解】（1）①，所以， 则解得， 得到此不等式的解集为； ②，则， 得到的解为， 所以的解集为或； ③，则或， 所以或， 所以的解集为或． （2）因为，由题． 当且仅当，即时取等号； 所以的最小值为7． （3）原不等式可化为， 方程的两根为． 当时，不等式的解集为； 当时，不等式化为，解集为； 当时，不等式的解集为． 10. （1）方程有一个正根和一个负根，求实数的取值范围； （2）方程有一个根大于1，一个根小于1，求实数的取值范围； （3）取何实数值时，关于的方程的两个不相等的实根都大于2？ （4）若关于的方程有两实根，且，，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】（1）解法一：将方程转化为函数问题，令，利用二次函数性质图象特征，列出不等式求解；解法二：依题意，由根与系数关系可列出不等式组，求解可得； （2）解法一：利用二次函数性质及图象特征，令，则，可得；解法二：设两根分别为，由根与系数关系可得不等式组，解得实数的取值范围； （3）解法一：依题意可得不等式组，解得实数的取值范围； 解法二：设两根分别为，由根与系数关系可得不等式组，可得实数的取值范围； （4）将方程转化为函数问题，根据二次函数图象与性质列出不等式组求解即可. 【详解】（1）解法一：令， 依题意知或，解得； 解法二：依题意知，解得； （2）解法一：令，则，解得； 解法二：依题意知，，解得； （3）解法一：令， 依题意知，解得； 解法二：依题意知， ，解得； （4）设， 依题意知，解得. 【强化训练】 1. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即当时，成立. 设，开口向上，对称轴为，当时故函数y单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 2. （多选）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 3. “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求出不等式的解，再根据范围的包含关系判断条件关系. 【详解】即为， 故的解集为， 而为的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件， 4. 甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为．若甲、乙两人除写错常数外，其余求解过程都正确，则原不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出常数和，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意知，甲的常数正确，由韦达定理可得， 乙的常数正确，由韦达定理可得， 所以原不等式为，解得， 所以解集为，故A正确. 故选：A. 5. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式恒成立，等价于的最小值大于，所以先利用基本不等式求出的最小值，然后解关于的不等式即可. 【详解】因为， ，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8， 不等式恒成立，等价于的最小值大于， 所以，解得， 故选：B 6. 对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，则“不等式成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先解出关于的不等式，再根据的含义得出的范围，最后由充分必要条件的定义即可得出答案. 【详解】由，解得． 由定义可知，可取，0，1，则， 故“不等式成立”的一个必要不充分条件是． 故选：C 7. 函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，.那么使不等式成立的的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式，可得出的可能取值，结合题中定义可得出的取值范围. 【详解】由可得， 由题中定义可知的可能取值有、， 当时，；当时，. 综上所述，使不等式成立的的范围是. 故选：C. 8. （多选）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．若实数a，b，c满足，则 C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 【答案】AB 【分析】根据不含参一元二次不等式的解法解不等式，即可判定选项A；根据不等式的性质即可判定选项B；利用基本不等式可判定选项C；根据不等式恒成立的解法求出k的范围，即可判定选项D. 【详解】对A，由解得或，所以A正确； 对B，由于，所以可以对两边同除，得到，所以B正确； 对C，由于，所以当且仅当，即时取等号，显然不成立，所以C错误； 对D，①当时，不等式为，恒成立； ②当时，若要使不等式恒成立，则，解得， 所以当时，不等式恒成立，则k的取值范围是，所以D错误. 故选：AB． 9. （多选）已知二次函数，一元二次方程的两根为，一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．方程的两根之差的绝对值为2. B．一元二次不等式的解集为 C．若且，则的取值范围是 D．若函数的图像在上的最小值为3，则的值为或4 【答案】ABD 【分析】求出方程的两根为即可分析求解判断AB；由题设得到不等式即可求解判断C；分、和分析函数单调性求出最小值即可求解m判断D. 【详解】因为二次函数， 所以方程， 所以，故A正确； 方程的两根为，且， 所以一元二次不等式的解集为，故B正确； 若且，则，故C错误； 二次函数对称轴为，开口向上， 所以当时，函数的图像在上单调递减， 所以函数最小值为（舍去）或； 当时，函数的图像在上单调递增， 所以函数最小值为（舍去）或； 当时，函数的图像在上单调递减，在上单调递增， 所以函数最小值为，故此情况无解， 综上，的值为或4，故D正确； 故选：ABD 10. 设函数. (1)若，解关于x的不等式； (2)求不等式的解集 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）把函数解析式代入不等式，原不等式转化为，由，得到不等式解集为； （2）分=0， 0，0，三种情况去讨论. 其中，对于0，再对2个根进行大小比较讨论. 【详解】（1）当时，函数化简为,代入不等式， 得，得，得原不等式转化为， 由分母不为0，得，所以得， 所以，所以， 得不等式解集为； （2）， 当=0，即时，，则的解集为， 当0，方程的两个根为 当0，即时，二次项系数，抛物线开口向上，且， 不等式的解集为. 当0，即， 当时，，不等式化为， 解集为， 当时，二次项系数，抛物线开口向下，且 不等式的解集为， 当时，二次项系数，抛物线开口向下，且 不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数、一元二次方程与不等式 重点目标： 1. 掌握二次函数零点概念，厘清二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的内在关联，建立数形结合核心思维. 2. 能熟练求解无参一元二次不等式，规范用集合、区间表示解集. 3. 掌握判别式Δ的三种取值情况对应二次函数图像、方程根、不等式解集的对应规律，熟记“大于取两边、小于取中间”核心法则. 4. 能利用一元二次不等式解决基础定义域、取值范围问题，掌握简单整式、可转化为二次不等式的基础题型解法. 5. 掌握实数域上一元二次不等式恒成立的基础判定条件，能解决无参恒成立基础题型. 难点目标： 1. 精准运用数形结合思想，依托二次函数图像判定不等式解集，规避纯代数主观判断的误区，杜绝解集书写错误. 2. 掌握含参一元二次不等式的分类讨论逻辑，能针对二次项系数、判别式、根的大小三类情况完整讨论求解. 3. 区分一元二次不等式恒成立、存在性成立的差异，结合定义域约束求解参数取值范围，突破期中压轴小题难点. 4. 掌握分式不等式、高次不等式等价转化为一元二次不等式的方法，规避转化过程中增根、漏解问题. 5. 综合运用三二次关系，解决方程根的分布、二次函数最值与不等式结合的综合题型. 1、 重点知识 （一）核心概念 1. 二次函数零点：对于二次函数 ，使 的实数 叫做二次函数的零点，零点即为函数图像与 轴交点的横坐标. 2. 一元二次方程：形如 的整式方程，其实根对应二次函数零点，是连接二次函数与一元二次不等式的核心桥梁. 3. 一元二次不等式：只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式不等式，标准形式为 . 4. 三“二次”核心关联：一元二次方程的根是二次函数零点、一元二次不等式解集端点；不等式解集对应二次函数图像在x轴上方/下方的自变量取值范围. （二）一元二次不等式标准解法 · 解题固定五步：标准化（化二次项系数为正）→计算判别式 →求解方程实根→结合图像写解集→规范书写区间/集合. · 以 为例： 1. ，方程两根 ： 解集 ； 解集 . 2. ，方程重根 ： 解集 ； 解集为空集. 3. ，方程无实根： 解集为 ； 解集为空集. （三）一元二次方程基础知识点（含韦达定理） · 设 ，两根为 ，当 时： 1. 求根公式： 2. 韦达定理（根与系数关系）：， 3. 基础根的符号判定：两根同号、异号、全正、全负可通过韦达定理快速判断. （四）一元二次方程基础根的分布 · 核心思想：方程根的分布 二次函数零点分布，依托 开口方向、判别式、端点函数值、对称轴 四个维度判定. · 基础模型（默认 ）： 1. 有两个不相等实根：；2. 有两个相等实根：；3. 无实根： 2、 难点知识 （一）易错概念与基础误区 1. 非二次陷阱：含参方程、不等式未讨论 ，误将一次型当做二次型求解，导致答案错误. 2. 解集符号误区：二次项系数为负未标准化，直接套用口诀，解集完全颠倒；开闭区间混淆，遗漏等号对应端点. 3. 韦达定理使用前提：仅适用于 有实根的情况，无实根时不可使用. （二）重点难点：一元二次方程根的分布全模型 · 统一前提：设二次函数 ，对应方程 ，默认 ， 为常数. 1. 单根区间分布（一根在区间内）：方程在 内有且仅有一个实根：； 补充边界：若区间含端点，需额外验证端点根是否符合题意；若存在重根，需满足 且对称轴在区间内. 2. 双根同侧分布：两根均小于 ：；两根均大于 ： 3. 两根异侧分布（一根小于k，一根大于k）：核心最简条件：（无需判别式、对称轴，天然满足两根不等） 4. 双根区间内分布（两根均在 内）：. 5. 正负根专项分布：两根全正：；两根全负：； 一正一负根：（等价于 ） （三）含参一元二次不等式综合难点 1. 三级分类讨论逻辑：先讨论二次项系数 ；再讨论判别式 ；最后讨论两根大小关系. 2. 区间恒成立难点：给定 不等式恒成立，不可直接用判别式，需结合对称轴、区间单调性求最值，利用最值控制不等式成立. 3. 存在性成立难点：区间内有解与恒成立条件相反，核心为函数最值满足不等式，极易混淆. （四）深度拓展拔高知识 1. 零点存在定理联动（教材拓展）：连续函数在区间端点函数值异号，则区间内至少存在一个零点，是根的区间分布的理论依据. 2. 根的分布逆向题型：已知根的分布范围，反求方程参数取值，是新高考高频填空、多选考点. 3. 二次复合型不等式：分式不等式、高次不等式等价转化为一元二次不等式，结合根的分布确定定义域、解集范围. 4. 双变量综合题型：结合基本不等式、根与系数关系，求解含参二次式最值、取值范围. 5. 恒成立通用模板： 恒成立 ； 恒成立 . （五）高频失分点总结 1. 含参问题遗漏 一次方程特殊情况，分类讨论不完整； 2. 一元二次不等式未标准化，系数为负不整理，解集颠倒； 3. 根的分布只看端点值，遗漏对称轴、判别式约束，导致参数范围出错； 4. 韦达定理无视 前提，无实根强行使用； 5. 混淆恒成立与存在性成立的最值判定逻辑； 6. 区间根分布忽略重根、端点根特殊情况，造成漏解. 题型01 解一元二次不等式 角度1：解不含参一元二次不等式 【典例】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式】下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 角度2：解含参一元二次不等式 【典例】求不等式的解集： 【变式】讨论关于的不等式的解集 角度3：解分式不等式与简单高次不等式 【典例1】不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【典例2】解 【典例3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】解不等式. 【变式3】设集合，集合，则=（   ） A． B． C． D． 题型02 三个”二次“的关系问题 【典例】已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（  ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【变式】已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 题型03 一元二次不等式恒成立与能成立问题 角度1：在R上恒成立 【典例】不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式】若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是________ 角度2：在指定区间D上恒成立 【典例】若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【变式】不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 角度3：在参数指定区间D上恒成立 【典例】不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 【变式】当时，不等式恒成立，则的取值范围为________ 角度4：一元二次不等式能成立问题 【典例1】（多选）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 【典例2】当时，有解，则实数的取值范围是___. 【变式】，使成立，则实数的取值范围是___________. 题型04 一元二次方程根的分布问题（二次函数零点分布问题） 角度1：相对于1个值的分布 【典例1】已知方程，一个根大于1，一个根小于1，求的取值范围． 【典例2】已知方程，两个不同的根都小于1，求的取值范围． 【典例3】已知方程，两个不同的根都大于，求的取值范围． 角度2：相对于2个值的分布 【典例1】已知方程，两个不同的根都在内，求的取值范围． 【典例2】已知方程，有两个根，有且仅有一个根在内，求的取值范围． 【典例3】已知方程，一个根小于2，一个根大于4，求的取值范围． 角度3：相对于3个值的分布 【典例】已知方程，一个根在内，另一个根在内，求的取值范围． 角度4：相对于4个值的分布 【典例】已知方程，一个根在内，另一个根在内，求的取值范围． 题型05 三个”二次“的综合问题 【典例】下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 【变式】已知. (1)若不等式的解集为，求的解析式； (2)若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） (3)若，，，求的最小值. 【巩固训练】 1. 一元二次不等式的解集是（   ） A．或 B． C．或 D． 2. 已知命题，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 5. 已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6. 若“，”为假命题，则的取值范围为_______ 7. 若当时，不等式 恒成立，则x的取值范围为_____. 8. （多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 9. （1）求下列不等式的解集． ①；②；③ （2）若 ，求的最小值． （3）解关于 的不等式： 10. （1）方程有一个正根和一个负根，求实数的取值范围； （2）方程有一个根大于1，一个根小于1，求实数的取值范围； （3）取何实数值时，关于的方程的两个不相等的实根都大于2？ （4）若关于的方程有两实根，且，，求实数的取值范围. 【强化训练】 1. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 2. （多选）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 3. “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为．若甲、乙两人除写错常数外，其余求解过程都正确，则原不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6. 对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，则“不等式成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 7. 函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，.那么使不等式成立的的范围是（    ） A． B． C． D． 8. （多选）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．若实数a，b，c满足，则 C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 9. （多选）已知二次函数，一元二次方程的两根为，一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．方程的两根之差的绝对值为2. B．一元二次不等式的解集为 C．若且，则的取值范围是 D．若函数的图像在上的最小值为3，则的值为或4 10. 设函数. (1)若，解关于x的不等式； (2)求不等式的解集 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $