专题05 直线的方程（重难点讲义）数学人教A版选择性必修第一册

专题05 直线的方程 重点目标： 1. 掌握直线的倾斜角、直线的斜率概念，熟记倾斜角取值范围，熟练运用两点斜率公式求直线斜率. 2. 熟练掌握直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式五种方程形式，明确每一种方程的适用范围与限制条件. 3. 掌握利用直线斜率、一般式系数判定两条直线平行、相交、垂直的方法，能准确判断平面内两直线的位置关系. 4. 掌握两直线交点坐标求解方法，熟记两点间距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离三组核心公式并规范运算. 5. 能根据已知条件灵活选取直线方程形式求直线方程，解决基础定点、定值、距离、位置关系常规题型. 难点目标： 1. 精准处理斜率不存在、斜率为0的特殊直线，规避各类直线方程适用范围陷阱，做到不丢解、不漏特殊直线. 2. 掌握含参数直线方程的分类讨论，根据参数取值判定直线位置、两直线平行/垂直/重合关系. 3. 灵活进行五种直线方程互化，能根据题目场景择优选择最简方程形式简化运算. 4. 掌握直线过定点、对称问题、最值距离问题的解题逻辑，突破高频中档难点题型. 5. 综合运用位置关系、距离公式、直线方程解决直线综合压轴题型，适配直线基础综合考法. 1、 重点知识 （一）直线的倾斜角与斜率 1. 直线的倾斜角（教材定义）：当直线与x轴相交时，以x轴正向为始边，绕交点逆时针旋转到直线所成的最小正角叫做直线的倾斜角；规定直线与x轴平行或重合时倾斜角为0°. 2. 倾斜角取值范围：. 3. 直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记作. 4. 两点斜率公式：已知直线过，则. 5. 斜率对应规律：，；，；，斜率不存在；，. （二）直线的五种标准方程 1. 点斜式：，适用：斜率存在（不垂直x轴）的直线. 2. 斜截式：，为直线在y轴上的截距；适用：斜率存在的直线. 3. 两点式：，适用：不垂直坐标轴的直线. 4. 截距式：，为x轴截距，为y轴截距；适用：不过原点、不垂直坐标轴的直线. 5. 一般式：（不同时为0），适用：平面内所有直线（教材万能形式）. （三）两条直线的位置关系（斜率版+一般式版） · 设 （斜率均存在） (1) 平行：且 (2) 重合：且 (3) 垂直： (4) 相交： · 一般式判定（无斜率遗漏，考试首选）：设 (1) 平行/重合： (2) 垂直：（无遗漏、万能判定） （四）交点与三大距离公式 1. 两直线交点：联立两直线一般式方程组，有唯一解则相交，无解则平行，无数解则重合. 2. 两点间距离：， 3. 点到直线距离：点，直线， 4. 两条平行直线间距离：， 2、 难点知识 （一）核心易错概念难点 1. 斜率遗漏陷阱：垂直x轴的直线倾斜角为，斜率不存在，不能使用点斜式、斜截式；平行x轴直线斜率为0. 2. 截距概念误区：教材定义截距是坐标值（可正、可负、可为0），绝非距离，截距式不能表示过原点、垂直坐标轴的直线. 3. 平行垂直特殊情况：一条斜率为0、一条斜率不存在时，两直线依然垂直，斜率公式无法覆盖此情况，必须用一般式垂直判定. 4. 平行线距离前提：必须先将两直线一般式的化为统一，再代入公式，否则计算错误. （二）含参数直线综合难点 1. 参数分类讨论：含参直线方程需讨论斜率存在/不存在、参数取特殊值导致直线特殊位置. 2. 含参平行垂直判定：优先用一般式系数关系，规避斜率不存在漏解，精准求解参数取值. 3. 参数范围与位置约束：根据直线过象限、截距正负、倾斜角范围反求参数范围. （三）全章拔高核心题型 1. 直线过定点问题：含参直线恒过定点，整理为“参数·因式+固定式=0”，令因式=0，固定式=0求解定点坐标. 2. 对称问题：点关于直线对称、直线关于点/直线对称，是期末高频大题. 核心逻辑：对称满足中点在对称轴直线上、连线与对称轴垂直. 3. 距离最值问题：定点到动直线距离最值、动点到定直线距离最值，结合几何意义求解. 4. 直线系方程拓展：平行直线系、垂直直线系、过交点直线系，快速简化复杂大题设参. （四）深度拓展知识 5. 倾斜角与斜率单调性：倾斜角在斜率递增，在斜率递增，跨直角不连续，高考多选常考. 6. 直线方程择优策略：定点问题用点斜式、截距问题用截距式、所有综合大题优先一般式，适配联立、距离、位置判定. 7. 数形结合拔高：根据直线斜率、截距、倾斜角快速判断直线经过的象限，无需完整画图. 8. 直线与不等式联动：直线划分平面区域，为后续线性规划、区域最值铺垫. 9. 多点共线判定：利用斜率相等或三点距离关系，快速证明平面三点共线. （五）五种直线方程对比速记表（避错核心） 方程形式 方程表达式 适用范围 禁用场景 点斜式 斜率存在 垂直x轴直线 斜截式 斜率存在 垂直x轴直线 两点式 不垂直坐标轴 垂直x/y轴直线 截距式 不过原点、不垂直坐标轴 过原点、垂直坐标轴 一般式 所有平面直线 无 （六）全章高频失分点汇总 1. 忽略斜率不存在的特殊直线，导致漏解； 2. 误将截距当做距离，混淆正负截距概念； 3. 两直线垂直只使用，遗漏一零一不存在的垂直情况； 4. 平行线距离公式使用前未统一系数，计算出错； 5. 含参直线不分类讨论，直接默认斜率存在； 6. 截距式乱用，求解过原点直线出现错误. 题型01 倾斜角与斜率问题 角度1：求直线倾斜角与斜率 【典例1】已知直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】由题可得：， 故选：A 【变式1】若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，设对应的倾斜角为，则，又的倾斜角为，则，使用二倍角的正切公式求解即可. 【详解】因为直线的斜率，设对应的倾斜角为，则， 由题意可得，直线的倾斜角为， 故其斜率，解得. 故选：C 【典例2】直线经过点和，则直线的斜率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点斜率公式直接求解即可. 【详解】因为直线经过点和， 所以直线的斜率为. 故选：A 【变式2】若直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方向向量来求斜率即可. 【详解】由直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为. 故选：C. 角度2：求倾斜角与斜率的取值范围 【典例1】直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又斜率的取值范围是，所以，当时，，当时，，又，所以根据正切函数的图象可得，. 【典例2】已知.在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线上两点坐标求出斜率表达式，整理后分类讨论，运用基本不等式即可求解. 【详解】因在直线l上， 则直线的斜率. 当时， ，当且仅当时，等号成立，则，即； 当时， ，当且仅当时，等号成立，则，即. 综上，直线的斜率的取值范围是. 故选：C 【变式1】已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线过定点，再利用过定点的直线与两点的斜率，结合图象可得到斜率范围，从而可确定倾斜角范围. 【详解】 由题可知直线过定点．，， 与线段相交，由题意设直线的斜率为或． 由于在及上均单调递增， 直线的倾斜角的范围为． 故选:C． 【变式2】已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在坐标系中标出这三个点，然后根据直线和线段有公共点的临界情况分析. 【详解】由题， 如图，由图可知直线斜率. 故选：B 角度3：求斜率型代数式子的取值范围 【典例】已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定C的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案. 【详解】正的顶点，且顶点在第一象限，故顶点的坐标为，， 可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率， 当运动到点时，直线的斜率最大，故的最大值为 故选：B. 【变式】点在函数的图象上，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点在函数的图象上可求出当时的两端点坐标，将看作函数的图象上的点与点（-1，-2）连线的斜率，即可求得答案. 【详解】因为点在函数的图象上， 所以时， ；当时，； 故设 而可看作函数的图象上的点与点 （-1，-2）连线的斜率， 故时，, 而 ,所以 故选：B. 题型02 两直线垂直与平行的判定与应用 角度1：两直线垂直与平行的判定 【典例】若直线与直线垂直，则__________. 【答案】 【详解】因为， 所以，解得. 【变式】已知直线平行，则实数的值为（    ） A．－1 B．－7 C．－1或－7 D．1或7 【答案】B 【详解】直线平行，则， ，解得或； 检验当时，两直线重合； 当时，，两直线平行. 实数的值应为－7． 角度2：两直线垂直与平行的判定的应用 【典例】已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】先设点C的坐标，求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，得直线BC的倾斜角为，而点B的横坐标为6，则， 又直线BH的斜率，， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 【变式】在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【答案】证明见解析 【分析】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证. 【详解】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 题型03求直线的方程 角度1：根据几何条件求直线方程 【典例】已知的顶点坐标是，为的中点. (1)求中线的方程；（用一般式表示） (2)求经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.（用一般式表示） 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据两点式方程即可得解； （2）根据截距相等分类讨论，设出直线方程，代入点即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 故的方程是，即； （2）由直线在坐标轴上截距相等， 若直线过原点，设直线方程为， 代入，可得，所以直线方程为，即； 若直线不过原点，设直线方程为， 代入，可得， 所以直线方程为，即. 综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或. 【变式】已知的三个顶点的坐标为、、. (1)求过点在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线方程； (2)求边的垂直平分线所在直线的一般式方程； (3)求边上的高所在直线的一般式方程. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况讨论求解即可； （2）先求出，根据直线垂直与斜率的关系可得边的垂直平分线所在直线的斜率，进而求得直线方程； （3）先求出，根据直线垂直与斜率的关系可得边上的高所在直线的斜率，进而求得直线方程. 【详解】（1）当所求直线过原点时，在轴上的截距和在轴上截距均为0，满足题意， 此时直线的斜率为， 则所求直线的方程为，即； 当所求直线不过原点时，设直线方程为， 则，解得， 则所求直线的方程为，即. 综上所述，所求直线的方程为或. （2）由， 则边的垂直平分线所在直线的斜率为， 而的中点为，即， 所以边的垂直平分线所在直线的方程为，即. （3）由， 则边上的高所在直线的斜率为3， 所以边上的高所在直线的方程为，即. 角度2：根据对称性求直线方程 【典例1】已知点与关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由与可求出的中点，的斜率，即可求出直线. 【详解】 , 的中点为，， 与关于直线对称， 过点，且斜率为1， 直线的方程为， 即， 故选：D 【典例2】直线与，之间的距离相等，则直线的方程是________． 【答案】 【分析】设直线方程为，利用平行线间的距离公式列方程求解即可. 【详解】根据题意设直线的方程为， 因为直线与，之间的距离相等， 所以，解得， 所以直线方程为， 故答案为： 【典例3】直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 【答案】 【分析】根据已知直线平行，并求出它们的距离，再设所求直线为，根据对称性及平行线的距离公式求参数，即可得. 【详解】由、，显然两条直线平行，且它们的距离， 可设所求直线为，则或（舍）， 所以，所求直线为. 故答案为： 题型04直线方程与坐标轴围成的三角形面积问题 【典例】已知过点的直线l分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于点． (1)当时，求直线l的倾斜角大小； (2)求面积的最小值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入得坐标，根据斜率公式及斜率与倾斜角的关系，即可求解； （2）设直线，代入坐标可得，利用均值不等式可得，进而求得面积的最小值； 【详解】（1）由题，，当时，为， 则斜率， 因为直线经过x轴的正半轴，y轴的正半轴， 所以设直线的倾斜角为，则， 所以. （2）由题，， 设直线，将点代入方程可得， 所以，所以，当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以的最小值为. 【变式】过点引直线，分别交，轴的负半轴于、两点，则面积的最小值是________，此时直线的方程是________. 【答案】 48 【分析】根据题意，直线在两坐标轴的截距均不为0，所以假设直线的截距式方程，代入点，再利用基本不等式即可得到，由此可知的面积，并求出此时的直线方程. 【详解】设，，其中，，则直线的方程为. 在直线上，. 又，即，. 所以， 当且仅当时取等号，再结合解得，，， 所以面积的最小值为48， 此时直线的方程为， 即. 故答案为：. 题型05直线定点与直线有关的距离问题 角度1：求直线所过定点的坐标（含参直线方程） 【典例】直线过定点________. 【答案】 【分析】将直线方程整理成关于的方程，根据题意列方程组求解即得定点. 【详解】由整理得：， 因，则，解得，即直线经过定点. 故答案为：. 【变式】点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】通过整理含参的直线方程得出直线恒过的定点，将点到直线的最大距离转化为点到定点之间的距离即可求得. 【详解】把直线的方程重新整理得：， 因为该等式对任意都成立，所以，解得， 即直线恒过定点. 当直线绕点旋转时，点到直线的距离会发生变化， 而当时，距离达到最大值，即点到直线的最大距离，就是点到定点的距离， 此时. 角度2：求三大的距离 【典例1】已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求出中点坐标，根据两点间距离公式求得中线长. 【详解】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长为. 【典例2】已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设点的坐标为，根据点到直线的距离列方程求出的值即可． 【详解】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 解得或， 所以点的坐标为或． 故选：D． 【典例3】两平行直线与间的距离为______． 【答案】 【分析】首先根据两直线平行求，再代入两直线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为， 将化为， 故这两平行直线间的距离为. 角度3：利用距离型代数式的几何意义解决最值问题 【典例1】已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，将问题转化成求两平行直线，间的距离，即可求解. 【详解】由，得到，， 因为表示点到点间的距离， 又点在直线上，点在直线上， 易知直线与直线平行， 则两直线，间的距离为， 所以的最小值为. 【典例2】已知，，为某一直角三角形的三边长，为斜边，若点在直线：上，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意可得，，的等量关系，由两点间距离公式可知为原点到距离的平方.结合题意，点在直线上，即可由点到直线距离公式求得的最小值. 【详解】，，为某一直角三角形的三边长，为斜边 则 点在直线：上， 表示原点到的距离平方， 当取最小值时，即为原点到直线：的距离平方最小 则由点到直线距离公式可得 所以的最小值为9 故答案为：. 角度4：线段距离和的最值问题 【典例】已知点，在轴和直线上各取一点、，则的周长最小值为________. 【答案】 【分析】作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，由对称性可得，，结合“将军饮马”可得出周长的最小值. 【详解】作点关于轴的对称点， 作点关于直线的对称点， 由对称性可知，， 所以的周长为， 当且仅当、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 【变式】若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【答案】C 【分析】通过消元，将所求转化为，分析该式子的几何意义为轴上某动点到两定点的距离之和，利用的性质，即可得出所求最小值. 【详解】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为. 故选：C. 角度5：线段距离差的最值问题 【典例】已知点在直线上，点，则取得最小值时点坐标为________． 【答案】 【分析】作图分析，结合对称性将转化为，则点与在同一直线时，最小，求得此时点坐标即可. 【详解】解：如图， 设关于直线的对称点为，因为 所以，解得，则 所以，结合图形则当三点共线时，此时取得最小值，即在点位置时， 则，直线为 于是，解得，即，故取得最小值时点坐标为. 故答案为：. 【变式】函数的最大值为________． 【答案】 【分析】采用数形结合的方法求函数的最大值. 【详解】因为， 所以问题可转化为求动点与点，的距离之差的最大值． 如图： 因为，当且仅当，，三点共线时等号成立， 所以，此时． 故答案为： 【巩固训练】 1. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解. 【详解】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为 ，则，得， 即直线的倾斜角为. 2. 若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【分析】由两直线平行，根据平行的判定求的值即可. 【详解】直线和直线平行， ，解得或，经检验时两条直线重合舍去， 所以． 3. 已知直线的倾斜角为，直线的方向向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，求得直线的一个方向向量为，结合向量垂直的坐标表示，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为，直线的一个方向向量为， 又由直线的方向向量为，设， 当时，可得，此时， 所以，即充分性成立； 反之：若，可得，所以， 解得，所以必要性成立， 综上可得，“”是“”的充要条件. 4. 已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数（且）的图象恒过定点可知函数恒过定点，代入直线可得，由于，，再利用均值不等式求出的最小值. 【详解】因为函数（且）的图象恒过定点，所以函数恒过定点，因为点在直线上，所以， 因为，， 所以，， 当且仅当即时取等号. 5. （多选）已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 【答案】AC 【详解】直线，化为斜截式. A：斜率，倾斜角，正确. B：代入得轴截距为，非，错误. C：过原点直线斜率为，且直线与不重合，所以过且与直线平行的直线方程为，正确. D：直线斜率，所以与其垂直的直线斜率为，而直线方程斜率为，错误. 6. 已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【详解】根据题意画出图象如下图所示：    易知当与直线垂直时，点与点之间距离最小； 其余位置如，则； 所以最小值即为点到直线的距离， 所以，点与点之间距离的最小值为3. 7. （多选）下列说法正确的是（   ） A．若直线与直线平行，则它们之间的距离是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】AC 【分析】对于A：根据平行线的性质和平行线间的距离公式进行求解判断即可； 对于B：根据互相垂直直线的性质进行求解判断即可； 对于C：根据点到直线距离公式，结合基本不等式进行运算求解判断即可； 对于D：根据直线斜率公式，利用数形结合思想进行运算求解判断即可. 【详解】对于A：因为直线与直线平行， 所以， 所以两直线方程为， 而， 所以它们之间的距离是，所以本选项说法正确； 对于B：因为直线与直线互相垂直， 所以或， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，所以本选项说法不正确； 对于C：点到直线的距离为， 令，所以， ， 当时，， 当时，， 所以当时，即时，有最大值， 此时，所以本选项说法正确； 对于D：如图所示： ， 直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是或，所以本选项说法不正确. 故选：AC 8. 已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 9. 已知中，，. (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】(1) (2)或， 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据中点坐标公式得出，再设直线方程进而代入点的坐标即可得出直线方程. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为是边上的高， 所以， 所以高所在直线的方程为； （2）因为点为边的中点， 所以， 设在两坐标轴上截距相等的直线方程为或， 因为直线过点，所以或，所以或， 所以过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或. 10. 已知直线的方程为． （1）当时，求直线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）证明：不论取何值，直线恒过第四象限． （3）当时，求直线上的动点到定点，距离之和的最小值． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）. 【分析】（1）将代入可得直线方程，分别求得与两个坐标轴的交点坐标，即可求得直线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）将直线方程变形，解方程组即可确定直线所过定点坐标，即可确定其恒过第四象限. （3）将代入可得直线方程，根据两个点坐标可知两个点在直线同一侧，可先求得关于直线的对称点为的坐标，即可由两点间距离公式求得最短距离. 【详解】（1）当时，直线的方程为， 令，得； 令，得， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为． （2）证明：将直线的方程整理得， 由，得， 所以直线恒过点， 所以不论取何值，直线恒过第四象限． （3）当时，直线的方程为，定点，在直线的同一侧，其中关于直线的对称点为，则， 所以动点到定点，距离之和为， 所以当，，三点共线时，最小， 此时． 【强化训练】 1. 如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． 2. 已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先验证充分性，即代入判断两直线是否平行；再求解必要性，通过两直线平行的系数关系求出所有满足的值，验证是否为唯一解，从而判断条件关系. 【详解】当时，直线，即；直线， 即，两直线斜率均为0且不重合，故. 若，则，展开得， 整理得，解得或. 当时，，即；， 即，两直线平行且不重合，满足条件. 因此，可推出，但不能仅推出， 故“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【答案】或 【分析】先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程. 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为， 设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或， 又直线过点， 当时，直线的方程为：， 当时，斜率，所以直线的方程为：， 即. 4. 若直线过点，则的最小值为（） A．7 B． C．6 D． 【答案】C 【详解】直线过点，代入得，即，且， 由此解得（），代入目标函数并化简得： ， ， 因为，所以， 所以由基本不等式， 得：， 当且仅当即时取等， 故的最小值为. 5. 数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，则中垂线所在直线的方程为______． 【答案】 【详解】 已知，设中点为，则， 由斜率公式可得， 设中垂线所在直线斜率为，则，解得， 故中垂线所在直线的方程为，一般式为． 6. 在中，点在线段BC上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点．若．直线恒过定点，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】连接，结合题意，利用平面向量的线性运算得到，再由三点共线即可得，再代入直线方程即可. 【详解】连接，如图所示. 因为，所以， 所以. 因为，所以. 因为，，三点共线，所以，则. 则为， 即， 令，解得，则点的坐标为. 7. （多选）已知直线，，则（ ） A．恒过点 B．若，则 C．若，则 D．当时，不经过第三象限 【答案】BD 【分析】对于选项A，将直线的方程化为，再由可求得定点对于选项B，C可通过直线一般式方程时两直线平行垂直的条件求解；对于选项D，将直线化为斜截式，再根据斜率和截距建立不等式可以求解 【详解】直线，则， 由，得，所以恒过定点，所以A错误； 由可得：，所以.当时，成立.B正确； 由可得：，，所以C错误； 由，当时，，不过第三象限； 当时，，不过第三象限，只需要，解得， 所以的取值范围为，所以D正确； 故选：BD. 8. （多选）如图，在中，，，，点，分别是和边的中点，，分别与交于，两点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】以为原点建立直角坐标系，再分别求出各点坐标，利用两点距离公式即可判断选项ABC，再利用三角形面积公式即可判断选项D. 【详解】如图，以为原点建立直角坐标系， 则，又，，， 所以，，，又 点，分别是和边的中点，所以 ，，则直线的方程为 ，直线的方程为， 联立解得，即, 又直线的方程为， 联立解得，即， 选项A．则， ， 所以，A正确. 选项B.，B正确. 选项C.，C错误. 选项D．因为到直线：的距离为 ，所以 ，D正确. 9. 已知直线： ，直线： ，其中为实数. (1)当时，求的值； (2)当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 【答案】(1) (2)① ；②或 【详解】（1）直线： 的斜率为， 由，得直线的斜率存在且为， 由得，即，解得. （2）当 时，直线：， 由，得，则， ①直线的斜率为， 因为，所以，得， 因为直线经过，其方程为， 化简得直线的方程为. ②若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时点到直线的距离等于1，符合题意； 若直线的斜率存在且过点， 设直线的方程为，即， 因为点到直线的距离等于1，则， 化简得，解得，所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. 10. 动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于直线对称可得对称点，即可根据两点距离公式求解， （2）根据两直线的方程可得交点，即可根据中点坐标可得，进而根据两点坐标求解直线方程. 【详解】（1）由题意可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 此时“将军饮马”走过的总路程为．    （2）由（1）知,故直线方程为， 故直线的方程是， 联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为， 边的中点，则，即， ∴直线斜率， ∴直线的方程为，整理得． ∴△中边中线所在的直线方程为． / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05 直线的方程 攻 重难目标 重点目标： 1.掌握直线的倾斜角、直线的斜率概念，熟记倾斜角取值范围，熟练运用两点斜率公式求直线斜率 2. 熟练掌握直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式五种方程形式，明确每一种方程的适 用范围与限条件， 3. 掌握利用直线斜率、一般式系数判定两条直线平行、相交、垂直的方法，能准确判断平面内两直 线的位置关系。 4.掌握两直线交点坐标求解方法，熟记两点间距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离三组 核心公式并规范运算 5.能根据已知条件灵活选取直线方程形式求直线方程，解决基础定点、定值、距离、位置关系常规 题型 难点目标： 1.精准处理斜率不存在、斜率为0的特殊直线，规避各类直线方程适用范围陷阱，做到不丢解、不 漏特殊直线。 2.掌握含参数直线方程的分类讨论，根据参数取值判定直线位置、两直线平行/垂直/重合关系， 3.灵活进行五种直线方程互化，能根据题目场景择优选择最简方程形式简化运算， 4. 掌握直线过定点、对称问题、最值距离问题的解题逻辑，突破高频中档难点题型！ 5.综合运用位置关系、距离公式、直线方程解决直线综合压轴题型，适配直线基础综合考法 重难知识 一、重点知识 (一）直线的倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角（教材定义）：当直线与×轴相交时，以x轴正向为始边，绕交点逆时针旋转到直 线所成的最小正角叫做直线的倾斜角；规定直线与×轴平行或重合时倾斜角为， 2.倾斜角取值范围：∈[0，π) 3.直线的斜率：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记作k=tnQc. 1/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4两点斜率公式已知直线过P,(X,y,P,(X,y,川X≠x)则k=2 X2-X1 &斜率对应规律：a=0.k=0:0<a<子k>0:a=受斜率不存在：受<a<元k<0, (二)直线的五种标准方程 1.点斜式：y-yo=k(x-x,,适用：斜率存在（不垂直×轴）的直线. 2.斜截式：y=kx+b,b为直线在y轴上的截距；适用：斜率存在的直线. 3。两点式y-业-X-义(X,≠X,y,≠y,适用不垂直坐标轴的直线 y2-y1X2-X1 4.截距式：X+=1,Q为×轴截距，b为y轴截距；适用：不过原点、不垂直坐标轴的直线， a b 5.一般式：Ax+By+C=0(A,B不同时为0)，适用：平面内所有直线（教材万能形式）. (三)两条直线的位置关系（斜率版+一般式版】 设11：y=k1X+b,l2:y=k2x+b2(斜率均存在) (1)平行：k1=k2且b1≠b2 (2)重合：k1=k2且b1=b2 (3)垂直：k1k2=-1 (4)相交：k1≠k2 一般式判定（无斜率遗漏，考试首选）：设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 (1)平行重合：A1B2-A2B1=0 (2)垂直：A1A2+B1B2=0(无遗漏、万能判定) (四)交点与三大距离公式 1.两直线交点：联立两直线一般式方程组，有唯一解则相交，无解则平行，无数解则重合， 2两点间距离：P,(Xy,P,x,y,小P,P引=x,-x+(y2y 3点到直线距离：点P(Xy,直线Ax+By+C=0d=AX,+B,+C VA2+B2 4两条平行直线间距离：1：Ax+By+C,=0,:Ax+By+C,=0d=SC VA2+B 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、难点知识 (一)核心易错概念难点 1斜率遗漏陷阱：垂直×轴的直线倾斜角为受斜率不存在，不能使用点斜式、斜裁式：平行×轴 直线斜率为0. 2.截距概念误区：教材定义截距是坐标值（可正、可负、可为0），绝非距离，截距式不能表示过 原点、垂直坐标轴的直线 3.平行垂直特殊情况：一条斜率为0、一条斜率不存在时，两直线依然垂直，斜率公式kk,=-1无 法覆盖此情况，必须用一般式垂直判定 4.平行线距离前提：必须先将两直线一般式的A、B化为统一，再代入公式，否则计算错误， (二)含参数直线综合难点 1.参数分类讨论：含参直线方程需讨论斜率存在不存在、参数取特殊值导致直线特殊位置 2.含参平行垂直判定：优先用一般式系数关系，规避斜率不存在漏解，精准求解参数取值， 3.参数范围与位置约束：根据直线过象限、截距正负、倾斜角范围反求参数范围 (三)全章拔高核心题型 1.直线过定点问题：含参直线恒过定点，整理为“参数：因式+固定式=0”，令因式=0，固定式=0求解 定点坐标。 2.对称问题：点关于直线对称、直线关于点/直线对称，是期末高频大题 核心逻辑：对称满足中点在对称轴直线上、连线与对称轴垂直. 3.距离最值问题：定点到动直线距离最值、动点到定直线距离最值，结合几何意义求解， 4.直线系方程拓展：平行直线系、垂直直线系、过交点直线系，快速简化复杂大题设参. (四）深度拓展知识 &领斜角与斜率单调性：倾斜角在0,2斜率递增。在（π斜率远增，跨直角不连续。高考多选 常考。 6.直线方程择优策略：定点问题用点斜式、截距问题用截距式、所有综合大题优先一般式，适配联 立、距离、位置判定 7.数形结合拔高：根据直线斜率、截距、倾斜角快速判断直线经过的象限，无需完整画图， 8.直线与不等式联动：直线划分平面区域，为后续线性规划、区域最值铺垫. 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9. 多点共线判定：利用斜率相等或三点距离关系，快速证明平面三点共线 (五)五种直线方程对比速记表（避错核心】 方程形式 方程表达式 适用范围 禁用场景 点斜式 y-yo=k(x-xo) 斜率存在 垂直x轴直线 斜截式 y=kx+b 斜率存在 垂直x轴直线 两点式 不垂直坐标轴 垂直y轴直线 y-y1_X-X1 y2-y1X2-X1 截距式 X+义=1 不过原点、不垂直坐标轴 过原点、垂直坐标 a b 轴 一般式 Ax+By+C=0 所有平面直线 无 (六)全章高频失分点汇总 1.忽略斜率不存在的特殊直线，导致漏解； 2。误将截距当做距离，混淆正负截距概念； 3.两直线垂直只使用k,k,=-1,遗漏一零一不存在的垂直情况； 4. 平行线距离公式使用前未统一系数，计算出错， 5. 含参直线不分类讨论，直接默认斜率存在； 6. 截距式乱用，求解过原点直线出现错误， 重难题型 题型01倾斜角与斜率问题 角度1：求直线倾斜角与斜率 【典例】已知直线a议-by-1=0的倾斜角为号则号() b A.3 3 3 B. 3 D.-3 3 【变式1】若直线l1:mx+y+5=0的倾斜角是直线l2:x-2y+1=0的倾斜角的两倍，则实数m=() 4 A. 8.3 4 C.~4 0.3 4 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例2】直线经过点P2,8和Q4,-4),则直线的斜率k=() A.-6 c D.-2 【变式2】若直线1的一个方向向量为。=1,3： 则直线1的斜率为() V3 3 A. B.- 3 c.3 D.-3 3 角度2：求倾斜角与斜率的取值范围 【典例1】直线，的斜率k的取值范围是 -1,3则直线1的倾斜角。的取值范围是（) 0,3 π3π C. 3πD. 3 3’4 0, / 4,n 4,n 【典例2】已知Am-3,m,Bm2+2m+1,m2+m川m≠0在直线1上，则直线1的斜率的取值范围是 () e-ojoo 【变式1】已知直线1：mx+y+1=0m∈R:若直线，与连接A1,-2'B,2两点的线段总有公 共点，则直线的倾斜角的取值范围是() D.0, 3π U 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】已知直线l过点A(0,1且与以B-2,-1,C2,0为端点的线段有公共点，则直线！斜率的取值范 围是() B. -ow0,-5/U[1,+00） c.-2,1 D.-o0,-2Uj1,+0 角度3：求斜率型代数式子的取值范围 【典例】已知正△ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限，若点P(x,y)是△ABC内部及其边 界上一点，则y的最大值为() X+1 A:2 B.2 c号 0 3V3-3 2 【变式】点M(x,y)在函数y=2x+4的图象上，当x∈[2,5]时， 行的取直粒围是() A. 78 B.810 33 3’3 c.516 D. [58 33 33 题型02两直线垂直与平行的判定与应用 角度1：两直线垂直与平行的判定 【典例】若直线1，：x+1-aly-3=0与直线1，：2a+3x+y+2=0垂直，则a= 【变式】已知直线，：3+mx+4y=5-3m,l:2x+5+mly=8平行，则实数m的值为（） 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-1 B.-7 C.-1或-7 D.1或7 角度2：两直线垂直与平行的判定的应用 【典例】已知点A-2,2,B6,4,H5,2,H是△ABC的垂心.则点C的坐标为 【变式】在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为AO,a,Bb,0,Cc,0,点P0,p 是线段AO上的一点（异于端点），设Q,b,C,p均为非零实数，直线BP,CP分别交AC,AB于点E,F,若 BE⊥AC,求证：CF⊥AB. B 0 C 题型03求直线的方程 角度1：根据几何条件求直线方程 【典例】已知△ABC的顶点坐标是A2,0,B6,-2,C-2,3,M为AB的中点. (1)求中线CM的方程：（用一般式表示） (2)求经过点B且在两坐标轴上截距相等的直线方程.（用一般式表示） 【变式】已知△ABC的三个顶点的坐标为A2,3、B1,-2、C-8,1. (1)求过点A2,3在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线方程； (2)求AC边的垂直平分线所在直线的一般式方程； (3)求BC边上的高所在直线的一般式方程. 角度2：根据对称性求直线方程 【典例1】已知点M4,2与N2,4关于直线对称，则直线的方程为() A.X+y+6=0 B.X+y-6=0 C.x+y=0 D.x-y=0 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例2】直线l与l1:x-y+1=0,12:x-y+3=0之间的距离相等，则直线的方程是 【典例3】直线3x-4y+5=0关于直线3x-4y-1=0对称的直线的方程为 (用一般式表 示) 题型04直线方程与坐标轴围成的三角形面积问题 【典例】已知过点P(2,1)的直线1分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于点A(a,0),B(0,b). (1)当a=2+3时，求直线1的倾斜角大小： (2)求△AOB面积的最小值； 【变式】过点P-4,-6引直线l,分别交x,y轴的负半轴于A、B两点，则△OAB面积的最小值是 此时直线的方程是 题型05直线定点与直线有关的距离问题 角度1：求直线所过定点的坐标（含参直线方程） 【典例】直线l:(m+2)x+(2-2m)y-3=0过定点 【变式】点A6,1到直线1：5λ-1x-271-1y+221=0的最大距离是() A.4 B.5 C.6 D./34 角度2：求三大的距离 【典例1】已知三角形的三个顶点A2,4,B3,-6,C5,2,则过A点的中线长为() A.V10 B.2V10 c.112 D.3V10 【典例2】己知y轴上一点P到直线4x+3y-12=0的距离等于3，则点P的坐标为() A.0,-1 B.0,-9 c.0,1或0，-9D.0,-1或0,9 【典例3】两平行直线2x+1-ay-3=0与x-2y+2=0间的距离为· 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 角度3：利用距离型代数式的几何意义解决最值问题 典例】已知实数a,6c,d满足名子兰a-c+b-d的最小值为() 4.1 B. 2 5 c > 【典例2】已知a,b,c为某一直角三角形的三边长，c为斜边，若点Mm,n在直线l:ax+by+3c=0上， 则nm2+ 2的最小值为 角度4：线段距离和的最值问题 【典例】已知点A-2,-3,在y轴和直线y=x上各取一点B、C,则△ABC的周长最小值为 【变式】若点P(x,y)在直线x+y=12上运动，则/X+1+y+16的最小值为（） A.V37+2V13B.V2+9V137 C.13 D.1+4V10 角度5：线段距离差的最值问题 【典例】已知点P在直线x-y-1=0上，点A(1,-2,B2,6,则PA-PB取得最小值时点P坐标为 【变式】函数f(x)=√X+2x+10-X-2x+2的最大值为 练 分层训练 【巩固训练】 1.己知直线经过A1,2,B0,3两点，则直线的倾斜角为() 。买 c 0. 6 2.若直线x+(1+m)y-2=0和直线mx+2y-2=0平行，则m的值为() 9/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B.-2 C.1或-2 3.已知直线1的倾斜角为45°，直线l2的方向向量为2，k,则“k=-2”是“l1⊥12”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 已知函数y=a-1+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,且点P在直线mx+y-1=0(m>0,n>0)上， 则上+上的最小值为() m n A.4 B.4+2V3 c.8 D.9 5(多选)已知直线：√3x-y+2=0,O为坐标原点，则下列选项中正确的有() A.直线的倾斜角为 3 B.直线l在y轴上的截距为3 C.过O且与直线l平行的直线方程为3x-y=0 D.过O且与直线l垂直的直线方程为x-V3y=0 6.已知点P是直线3x-4y+2=0上任意一点，则点P与点A3,-1之间距离的最小值是 7.(多选)下列说法正确的是() A.若直线x+y-a=0与直线3x-ay+3=0平行，则它们之间的距离是V2 B.“a=-1”是“直线ax-y+1=0与直线x-qy-2=0互相垂直”的充要条件 c.当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时，m的值为-1 D.已知直线过定点P(1,0)且与以A(2,-3),B(-3,-2)为端点的线段有交点，则直线的斜率k的取 值范围是-∞，-3]U[1,+∞) 8.已知直线l1:x-2y+1=0与直线2：x-2y+2=0关于直线：2x-4y+C=0对称，则C的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知△ABC中，A-2,1,B4,3: (1)若C3,-2,求BC边上的高AD所在直线的一般式方程： (2)若点M(3,1为边AC的中点，求过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程 10.已知直线l的方程为2m-3)x+(m-1)y+4-2m=0(m∈R). （1)当m=3时，求直线l与坐标轴围成的三角形的面积； (2)证明：不论m取何值，直线l恒过第四象限 10/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)当m=2时，求直线l上的动点P到定点A(2,0),B3,4)距离之和的最小值. 【强化训练】 1. 如果直线，经过A2,1B1,mm∈R两点，那么直线，的倾斜角。的取值范围是（） A.O≤a≤π 6.0sa好好a<n c.0sas号 sa<5a<n 0. 22 2. 已知直线1，la-2x+3ay=0,l:4-2ax+a+2y+2=0则“a=2”是“1，，”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 已知直线过点P叫-2,3.且与直线3x-y+3=0的夹角为号则直线1的方程为 4. 若直线+=1a>0,b>0过点1,1，则a+b+3b 的最小值为() a b A.7 8.19 C.6 D.4V3 3 5.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心 到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点 B-1,0,C0,2,AB=AC,则BC中垂线所在直线的方程为· 6.在△ABC中，点O在线段BC上，且OC=3OB,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N. 若AB=mAM,AC=nA.直线l:(2m+1)x+(n+1)y-m-1=0恒过定点P,则点P的坐标为 7（多选)已知直线，：a+1x+ay+2=0:2:ax+1-aly-1=0则（） A.11恒过点2，-2 B.若1川l,则a2= Γ2 C.若l1⊥12，则a2=1 D.当0≤a≤1时，l2不经过第三象限 &(多选)如图，在ABCD中，AB=4,BC=2,∠BAD=号点E,F分别是AD和DC边的中点，BE, 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BF分别与AC交于R,T两点，则下列说法正确的有() D R A.AR=TC 8.RT=27 C.BE=3 D.SABTR- 2V3 3 3 9.已知直线l1:x-2y+4=0,直线l2:mx+m-1y+5=0,其中m为实数， (1)当l1∥12时，求m的值： (2)当m=4时，直线l1,12的交点为P, ①直线3经过P,且与直线l:3x+4y+1=0垂直，求直线l3的方程； ②设A-3,-1?若直线，过交点P,且点4倒直线，的距离等于1，求直线，的方程. 10.动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中 思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”·诗中隐含着一个有趣的数学问题一一“将军饮马”，即将军在观 望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系 中，设将军的出发点是A4,1,军营所在位置为B3,5,河岸线所在直线的方程为x+y-3=0. (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营(“将军饮马”)的最短总路程： (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为C,在△ABC中，求BC边中线所在的直线方程】 12/12