第1章 二次函数·单元培优卷 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 浙教版九年级上册二次函数单元培优卷，18题覆盖定义、图像性质、实际应用等核心知识，通过分层设计与真实情境（如食堂排队问题）量化掌握程度，适配单元复习提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|二次函数定义（1）、图像性质（2、5）、几何动点（8）|结合图像辨析（5），渗透空间观念与推理意识| |填空|4/20|对称轴（11）、最值应用（12）|运动员跳台问题（12）体现模型意识| |解答|6/60|解析式求法（13）、实际应用（16）、存在性问题（18）|食堂排队优化（16）培养应用意识，直角三角形存在性（18）发展推理能力|

第1章 二次函数·培优卷 【新教材浙教版九年级上册】 时间:90分钟满分:120分 姓名:_______班级:________考号:___________ 考卷信息: 本卷试题共18题，单选8题，填空4题，解答6题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度! 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 1．下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．关于抛物线，下列说法正确的是（    ）． A．开口向下 B．与x轴有两个交点 C．对称轴是直线 D．当时，y随x的增大而增大 3．若是关于的二次函数，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．0 4．点，，是抛物线上的三个点，若，则，，的值可以为（     ） A．0，2，4 B．1，3，4 C．1，4，5 D．1，2，4 5．二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 6．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 7．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 8．如图，在中，，，分别是边，上的动点，且，是的中点，连接，，，设，的面积为，图是关于的函数图象，则下列说法不正确的是（     ） A．是等腰直角三角形 B． C．的周长可以等于 D．四边形的面积为 二．填空题（每小题5分，满分20分） 9．二次函数的图象与轴交点坐标是________． 10．在平面直角坐标系中，已知抛物线：，若为抛物线上三点，且．则m的取值范围是___________． 11．二次函数的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（c为实数）在范围内有解，则c的取值范围为_____． 12．运动员从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，y与x的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为________m时，竖直高度达到最大值． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．已知一个二次函数图象的顶点是，且与轴的交点的纵坐标为4． (1)求这个二次函数的表达式； (2)点在这个二次函数的图象上吗？ 14．已知是关于x的二次函数． (1)若函数有最小值，求k的值； (2)判断点是否在（1）中的函数图象上． 15．如图，二次函数的图象与x轴交于两点（点在点的左边），点是该函数图象的顶点． (1)求点的坐标； (2)在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．某中学有500名学生在校就餐，因人数多就餐排队时间长，决定进行优化调整．经调研，发现放学后累计到达食堂的人数（人）随时间（分）的变化情况满足函数：． (1)放学几分钟后，全部学生都到达食堂？ (2)食堂计划调整方案，预期13分钟内完成全部出餐，且每个学生的排队时间不能超过5分钟．原方案和调整后方案如下表． 目前实施方案 调整方案 点餐 窗口 单个窗口 点餐 窗口 单个窗口 形式 数量 出菜速度 形式 数量 出菜速度 自由点菜 4个 5份/分钟 套餐选择 5个 8份/分钟 ①按原方案，等待点餐的学生最多达到多少人？ ②调整后，是否可以达到预期效果？如果可以，请说明理由；如果不行，请调整窗口个数，使之可以达到预期效果． 17．在平面直角坐标系中，已知函数和函数，不论x取何值，都取与二者之中的较小值． (1)求关于x的函数关系式； (2)现有二次函数，若函数和y都随着x的增大而减小，求自变量x的取值范围； (3)在（2）的结论下，若函数和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围． 18．如图，已知抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， (1)若直线经过两点，求直线所在直线的解析式； (2)抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出此点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． (4)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． 参考答案 1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6．C 7．C 8．C 9． 10． 11． 12．8 13．【详解】（1）解：抛物线的顶点是， 设此抛物线的解析式为：， 将点代入，得：， 解得，， 此抛物线的解析式为： （2）解：点不在这个二次函数的图象上，理由如下： 把代入得，， 点不在这个二次函数的图像上． 14．【详解】（1）解：∵是关于x的二次函数 ∴ ∴ ∵二次函数有最小值，则， ∴； （2）解：∵， ∴当时， ∴点不在此函数图象上． 15．【详解】（1）解：把代入得，解得， ∴抛物线解析式为； 当时，，解得，则， ∵， ∴点坐标为． （2）解：存在．理由如下： 设， ∵， ∴， 得， 当，解得， 此时P点坐标为或， 当时，方程没有实数解． 综上所述，P点坐标为或． 16．【详解】（1）解：由题意得， 解得， 答：用时10分钟，全部学生到达食堂． （2）解：①设等待排队有名学生，则． ∵，抛物线开口向下， ∴当（分钟）时，（人）． ②可以达到预期效果 理由：， 可以在13分钟内完成全部出餐． 等待排队有名学生，则． 当（分钟）时，（人） ， 每个学生的排队时间不超过5分钟． 此方案可以满足预期效果． 17．【详解】（1）解：联立得到， 解得，即交点为，如图， 所以； （2）解：∵对函数，当随x的增大而减小， ∴， ∵， ∴函数y的对称轴为直线，且， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴； （3）解：①若函数与只有一个交点，且交点在范围内， 则， 即， ， 解得， 此时，符合， 所以，， ②若函数与有两个交点，其中一个在范围内，另一个交点在范围外， 则， 解得， 对于，当时，， 当时，， 又∵当时，y随x的增大而减小， 若与在内有一个交点， 则当时，， 当时，， 即当时，；当时， 也就是， 解得， 由，得， 综上所述，c的取值范围是：或． 18．【详解】（1）解：抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∵直线经过两点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：点A关于的对称点为点B，如图所示， ∴， ∴， 当点三点共线时，取等号， ∴当时，在直线上得，， ∴； （3）解：如图所示，设，已知， 当是以为直角的直角三角形时，， ∵，，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴，； 当是以为直角的直角三角形时，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴； 当是以为直角的直角三角形时，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴； 综上，点的坐标为或或或； （4）解：设，已知， ∴，，， 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 解得：， ∴； 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 整理得，， 解得：， ∴或； 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 解得：， ∴或； 综上，点的坐标为或或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $