江苏苏州市某校2025-2026学年高二上学期周测四数学试题

**基本信息** 聚焦数列核心知识，通过单选、多选、解答题等多样题型梯度考查等差数列、等比数列的通项与求和，综合题如解答题第7题（Sn求通项）、第9题（证明Tn>Sn），培养抽象能力与逻辑推理，适配高中周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|3/24|等差数列Sn性质、等比数列Sn计算、充要条件判断|基础巩固，考查数学抽象| |多选题|1/8|数列集合元素个数|辨析不同数列关系，培养推理意识| |填空题|2/16|等差数列Sn计算、等比数列性质|符号运算，强化数学语言表达| |解答题|5/52|Sn求通项、错位相减求和、不等式证明|综合应用，发展逻辑推理与创新意识|

滚动练习4 姓名：___________班级：___________ 一、单选题(每小题8分，共24分) 1．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1等于(　　) A. B. C．－ D．－ 2．设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4等于(　　) A. B. C．15 D．40 3．记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 二、多选题(每小题8分，共8分) 4．设{an}与{bn}是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合M={k|ak=bk，k∈N*}，其中正确的(　　) A．若{an}与{bn}均为等差数列，则M中最多有1个元素； B．若{an}与{bn}均为等比数列，则M中最多有2个元素； C．若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则M中最多有3个元素； D．若{an}为递增数列，{bn}为递减数列，则M中最多有1个元素. 三、填空题(每小题8分，共16分) 5．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7,3a2＋a5＝5，则S10＝________. 6．已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________. 四、解答题(52分) 7．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)n－1nan，求数列{bn}的前n项和Tn. 8．（12分）设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 9．（15分）已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16. (1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n>5时，Tn>Sn. 10．（13分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)证明：＋＋…＋<2. 11．等比数列{bn}的公比q>1，b1=1，b2b6=64． (1)求{bn}的通项公式； (2)设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滚动练习4 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1等于(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　B 解析　由S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝0，则a8＝0， 则等差数列{an}的公差 d＝＝－， 故a1＝a5－4d＝1－4×＝. 2．设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4等于(　　) A. B. C．15 D．40 答案　C 解析　方法一　若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中， 有5＝5×3－4，不成立， 所以q≠1. 由＝5×－4， 化简得q4－5q2＋4＝0， 所以q2＝1(舍)或q2＝4， 由于此数列各项均为正数， 所以q＝2，所以S4＝＝15. 方法二　由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4， 即q3＋q4＝4q＋4q2， 即q3＋q2－4q－4＝0， 即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0. 由题知q>0，所以q＝2. 所以S4＝1＋2＋4＋8＝15. 3．记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案　C 解析　方法一　甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d， 则Sn＝na1＋d，＝a1＋d＝n＋a1－，－＝， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列， 即－＝＝为常数，设为t， 即＝t， 则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)， 有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2， 两式相减得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn， 即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立， 因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件． 方法二　甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d， 即Sn＝na1＋d， 则＝a1＋d＝n＋a1－， 因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列， 设数列的公差为D， 则－＝D，＝S1＋(n－1)D， 即Sn＝nS1＋n(n－1)D， 当n≥2时，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D， 上边两式相减得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D， 所以an＝a1＋2(n－1)D， 当n＝1时，上式成立， 又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数， 因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件． 二、多选题 4．设{an}与{bn}是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合M={k|ak=bk，k∈N*}，给出下列四个结论： A．若{an}与{bn}均为等差数列，则M中最多有1个元素； B．若{an}与{bn}均为等比数列，则M中最多有2个元素； C．若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则M中最多有3个元素； D．若{an}为递增数列，{bn}为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是　　　　.  答案　ACD 解析　对于A，由题知an，bn是关于n的一次式，对应的函数为一次函数，即点(n，an)，(n，bn)分别在两条斜率均不为0的直线上，而这两条直线最多有1个交点，所以M中最多有1个元素，所以A正确. 对于B，不妨取an=2n，bn=(-2)n， 则有a2k=22k=4k，b2k=(-2)2k=4k(k∈N*)， 所以a2k=b2k(k∈N*)， 此时M中有无数个元素， 所以B不正确. 对于C，由A知点(n，an)在一条斜率不为0的直线l0上. 设bn=b1qn-1(q≠1)， 当公比q>0时， 直线l0与数列{bn}对应的函数的图象至多有2个公共点，M中最多有2个元素； 当q<-1时， 点(n，bn)在如图所示的曲线C1，C2上 ， 由图易知，直线l0与曲线C1，C2至多有3个公共点， 如当an=3n-4，bn=-1×(-2)n-1时， a1=b1=-1，a2=b2=2，a4=b4=8， 两个数列有3项相同， 所以M中最多有3个元素； 当q=-1时，易知M中最多有2个元素； 当-1<q<0时，易知M中最多有3个元素. 综上可知，当{an}为等差数列，{bn}为等比数列时，M中最多有3个元素，所以③正确. 对于D，若数列{an}为递增数列，数列{bn}为递减数列，则它们对应的函数分别为增函数和减函数，两个函数图象的公共点最多有1个，所以M中最多有1个元素，所以④正确. 综上可知，正确结论的序号为ACD. 三、填空题 5．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7,3a2＋a5＝5，则S10＝________. 答案　95 解析　方法一　(基本量法) 设数列{an}的公差为d， 则由题意得 解得 则S10＝10a1＋d ＝10×(－4)＋45×3＝95. 方法二　(利用下标和性质) 设数列{an}的公差为d， 由a3＋a4＝a2＋a5＝7， 3a2＋a5＝5， 得a2＝－1，a5＝8， 故d＝＝3，a6＝11， 则S10＝×10＝5(a5＋a6) ＝5×19＝95. 6．已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________. 答案　－2 解析　设{an}的公比为q(q≠0)， 则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q， 显然an≠0， 则a4＝q2，即a1q3＝q2， 则a1q＝1， 因为a9a10＝－8， 则a1q8·a1q9＝－8， 则q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3， 则q5＝－2，则a7＝a1q·q5＝q5＝－2. 四、解答题 7．记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)n－1nan，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)当n＝1时， 4S1＝4a1＝3a1＋4，解得a1＝4. 当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4， 所以4Sn－4Sn－1＝4an＝3an－3an－1， 即an＝－3an－1， 而a1＝4≠0，故an≠0， 故＝－3(n≥2)， 所以数列{an}是以4为首项， －3为公比的等比数列， 所以an＝4·(－3)n－1. (2)bn＝(－1)n－1·n·4·(－3)n－1＝4n·3n－1， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝4·30＋8·31＋12·32＋…＋4n·3n－1， 故3Tn＝4·31＋8·32＋12·33＋…＋4n·3n， 所以－2Tn＝4·30＋4·31＋4·32＋…＋4·3n－1－4n·3n ＝4·－4n·3n ＝2(3n－1)－4n·3n ＝(2－4n)·3n－2， 所以Tn＝(2n－1)·3n＋1. 8．设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 解　(1)∵3a2＝3a1＋a3， ∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d， ∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d， an＝a1＋(n－1)d＝nd， 又T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝， ∴S3＋T3＝6d＋＝21， 即2d2－7d＋3＝0， 解得d＝3或d＝(舍去)， ∴an＝nd＝3n. (2)∵{bn}为等差数列， ∴2b2＝b1＋b3， 即＝＋， ∴6＝＝， 即a－3a1d＋2d2＝0， 解得a1＝d或a1＝2d， ∵d>1，∴an>0， 又S99－T99＝99， 由等差数列的性质知， 99a50－99b50＝99， 即a50－b50＝1， ∴a50－＝1， 即a－a50－2 550＝0， 解得a50＝51或a50＝－50(舍去)． 当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51， 解得d＝1，与d>1矛盾，无解； 当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51， 解得d＝. 综上，d＝. 9．已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16. (1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n>5时，Tn>Sn. (1)解　设等差数列{an}的公差为d， 而bn＝ 则b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6， 于是 解得a1＝5，d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n＋3， 所以数列{an}的通项公式是an＝2n＋3. (2)证明　方法一　由(1)知，Sn＝＝n2＋4n， bn＝ 当n为偶数时，bn－1＋bn＝2(n－1)－3＋4n＋6＝6n＋1， Tn＝·＝n2＋n， 当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝n(n－1)>0， 因此Tn>Sn. 当n为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝(n＋1)2＋(n＋1)－[4(n＋1)＋6]＝n2＋n－5， 当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)>0， 因此Tn>Sn. 综上，当n>5时，Tn>Sn. 方法二　由(1)知，Sn＝＝n2＋4n， bn＝ 当n为偶数时，Tn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝·＋·＝n2＋n， 当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝n(n－1)>0， 因此Tn>Sn， 当n为奇数时，若n≥3， 则Tn＝(b1＋b3＋…＋bn)＋(b2＋b4＋…＋bn－1)＝·＋·＝n2＋n－5， 显然T1＝b1＝－1满足上式， 因此当n为奇数时，Tn＝n2＋n－5， 当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)>0， 因此Tn>Sn， 所以当n>5时，Tn>Sn. 10．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)证明：＋＋…＋<2. (1)解　方法一　因为a1＝1，所以＝1， 又是公差为的等差数列， 所以＝1＋(n－1)×＝. 因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1， 所以＝(n≥2)， 所以＝(n≥2)， 整理得＝(n≥2)， 所以··…··＝××…··＝(n≥2)， 所以Sn＝(n≥2)， 又S1＝1也满足上式， 所以Sn＝(n∈N*)， 则Sn－1＝(n≥2)， 所以an＝－ ＝(n≥2)， 又a1＝1也满足上式， 所以an＝(n∈N*)． 方法二　因为a1＝1，所以＝1， 又是公差为的等差数列， 所以＝1＋(n－1)×＝， 所以Sn＝an. 因为当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 所以an－1＝an(n≥2)， 所以＝(n≥2)， 所以··…··＝×××…··＝(n≥2)， 所以an＝(n≥2)， 又a1＝1也满足上式， 所以an＝(n∈N*)． (2)证明　因为an＝， 所以＝＝2， 所以＋＋…＋＝2 ＝2<2. 11．等比数列{bn}的公比q>1，b1=1，b2b6=64． (1)求{bn}的通项公式； (2)设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn． 解析　(1)因为b1=1，b2b6=64，所以b2b6=q6=64，又q>1，解得q=2，所以bn=2n-1． (2) 由(1)知，bn=2n-1，n∈N*， 则cn==-，Tn=+++…++，所以Tn=--++=-2． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $