江苏苏州市某校2025-2026学年高二上学期周测十五数学试题

**基本信息** 聚焦椭圆与直线位置关系，通过基础判断、性质应用及实际问题设计，考查数学抽象、几何直观与逻辑推理能力，适配高中数学周测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/50|椭圆标准方程、直线与椭圆位置关系、充要条件|结合光学性质（第4题）、蒙日圆（第10题）等情境| |填空|3/15|中点弦方程、轨迹方程|运用点差法解决弦中点问题（第13题）| |解答|2/25|切线方程、实际应用（水池设计）|综合几何直观与数学建模（第15题水池面积最值）|

滚动练习15 一、单选题(每小题5分，共50分) 1.直线y=x+1与椭圆+=1的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 2.直线y=kx+2和椭圆+=1有公共点，则k的取值范围是(　　) A.k<-或k> B.k≤-或k≥ C.-<k< D.-≤k≤ 3.已知直线l：y=kx+1，椭圆C：+y2=1，则“k=0”是“l与C相切”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.直线l：x+2y-8=0与椭圆C：+=1相切于点P，椭圆C的焦点为F1，F2，由光学性质知直线PF1，PF2与l的夹角相等，则∠F1PF2的平分线所在的直线的方程为(　　) A.2x-y-1=0 B.x-y+1=0 C.2x-y+1=0 D.x-y-1=0 5.已知过圆锥曲线+=1上一点P(x0，y0)的切线方程为+=1.过椭圆+=1上的点A(3，-1)作椭圆的切线l，则过点A且与直线l垂直的直线方程为(　　) A.x-y-4=0 B.x+y-2=0 C.2x+3y-3=0 D.3x-y-10=0 6.已知直线x-3y+7=0与椭圆+=1(a>)相交于A，B两点，椭圆的左、右两个焦点分别是F1，F2，线段AB的中点为C(-1，2)，则△CF1F2的面积为(　　) A.2 B.4 C.2 D.4 7.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆(如图所示)，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 8.若动直线mx+ny=2m+n(m，n∈R)始终与椭圆C：+=1(a>0且a≠)有公共点，则C的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 9.已知椭圆+=1，若椭圆上存在两点A，B关于直线y=4x+m对称，则m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 10.(多选)加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆则被称为“蒙日圆”(如图).已知矩形R的四条边均与椭圆C：+=1相切，则下列说法正确的是(　　) A.椭圆C的离心率为e= B.椭圆Γ：+=1与椭圆C有相同的焦点 C.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=16 D.矩形R的面积最大值为50 二、填空题(每小题5分，共15分) 11.(5分)已知以F1(-2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为　　　　.  12.(5分)已知椭圆C：+x2=1，过点P的直线与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为　　　　　　　　　　.  13.(5分)已知椭圆+y2=1，则所有与椭圆相交且斜率为2的弦的中点的轨迹方程为　　　　　　　　.  三、解答题(25分) 14.(15分)已知椭圆x2+8y2=8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x-y+4=0的距离最短，并求出最短距离. 15.(20分)如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个水池，水池边缘由两个半椭圆+=1(x≤0)和+=1(x≥0)组成，其中a>b>9，水池边缘内切于矩形地块(即水池边缘与矩形地块各边均有且只有一个公共点). (1)求两个半椭圆的方程；(5分) (2)在该水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y=t(t∈(0，15))，求该网箱所占水面面积的最大值.(7分) 滚动练习15 一、单选题(每小题5分，共30分) 1.直线y=x+1与椭圆+=1的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 答案　A 解析　方法一　直线过点(0，1)，而0+<1，即点(0，1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交. 方法二　联立直线与椭圆的方程，得 消去y得9x2+10x-15=0， Δ=100-4×9×(-15)=640>0， 所以直线与椭圆相交. 2.直线y=kx+2和椭圆+=1有公共点，则k的取值范围是(　　) A.k<-或k> B.k≤-或k≥ C.-<k< D.-≤k≤ 答案　B 解析　将y=kx+2代入椭圆方程+=1， 消去y，可得(2+3k2)x2+12kx+6=0， ∴Δ=144k2-24(2+3k2)=72k2-48， ∵直线和椭圆有公共点， ∴72k2-48≥0， ∴k≤-或k≥. 3.已知直线l：y=kx+1，椭圆C：+y2=1，则“k=0”是“l与C相切”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 解析　方法一　当k=0时，直线l的方程为y=1，显然直线l与椭圆C相切， 当l与C相切时， 联立 得(4k2+1)x2+8kx=0； 由Δ=(8k)2-4×(4k2+1)×0=0，得k=0， 所以“k=0”是“l与C相切”的充要条件. 方法二　直线l过定点(0，1)，而(0，1)恰好是椭圆的上顶点，结合图形可知“k=0”是“l与C相切”的充要条件. 4.圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.直线l：x+2y-8=0与椭圆C：+=1相切于点P，椭圆C的焦点为F1，F2，由光学性质知直线PF1，PF2与l的夹角相等，则∠F1PF2的平分线所在的直线的方程为(　　) A.2x-y-1=0 B.x-y+1=0 C.2x-y+1=0 D.x-y-1=0 答案　A 解析　联立 解得即点P的坐标为(2，3)， 因为直线l的方程为x+2y-8=0， 所以直线l的斜率为-， 由于直线PF1，PF2与l的夹角相等，则∠F1PF2的平分线与直线l垂直， 所以∠F1PF2的平分线所在的直线的斜率为2， 所以所求直线方程为y-3=2(x-2)， 即2x-y-1=0. 5.已知过圆锥曲线+=1上一点P(x0，y0)的切线方程为+=1.过椭圆+=1上的点A(3，-1)作椭圆的切线l，则过点A且与直线l垂直的直线方程为(　　) A.x-y-4=0 B.x+y-2=0 C.2x+3y-3=0 D.3x-y-10=0 答案　B 解析　过椭圆+=1上的点A(3，-1)的切线l的方程为+=1，即x-y-4=0，切线l的斜率为1.与直线l垂直的直线的斜率为-1，故过点A且与直线l垂直的直线方程为y+1=-(x-3)，即x+y-2=0. 6.已知直线x-3y+7=0与椭圆+=1(a>)相交于A，B两点，椭圆的左、右两个焦点分别是F1，F2，线段AB的中点为C(-1，2)，则△CF1F2的面积为(　　) A.2 B.4 C.2 D.4 答案　C 解析　如图所示， 由直线x-3y+7=0可知，直线AB的斜率k=， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则+=1， ① +=1， ② 又因为C(-1，2)为线段AB的中点， 则x1+x2=-2，y1+y2=4， 由①②可得=-， 即=-， 又因为a>，解得a=3， 所以椭圆方程为+=1，经检验点C在椭圆内， 所以c2=a2-b2=9-6=3，解得c=，则|F1F2|=2c=2， 所以=|F1F2|×|yC|=×2×2=2. 7.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆(如图所示)，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，由“切面”所在平面与底面成60°角， 可得=cos 60°，即a=2b， 所以e===. 8.若动直线mx+ny=2m+n(m，n∈R)始终与椭圆C：+=1(a>0且a≠)有公共点，则C的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由直线m(x-2)+n(y-1)=0得，直线过定点(2，1)， 由题意得，点(2，1)在椭圆上或椭圆内部， 所以+≤1，则a2≥6，所以椭圆焦点在x轴上， 所以C的离心率e==的取值范围为. 9.已知椭圆+=1，若椭圆上存在两点A，B关于直线y=4x+m对称，则m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　椭圆+=1，即3x2+4y2-12=0， 设椭圆上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y=4x+m对称，AB的中点为M(x0，y0)， 则3+4-12=0，3+4-12=0， x1+x2=2x0，y1+y2=2y0， ∴3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0， ∴=-·=-， ∴y0=3x0，代入直线方程y=4x+m，得x0=-m，y0=-3m，即M(-m，-3m)， ∵(x0，y0)在椭圆内部， ∴3(-m)2+4·(-3m)2<12， 解得-<m< ， 即m的取值范围是. 10.(多选)加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆则被称为“蒙日圆”(如图).已知矩形R的四条边均与椭圆C：+=1相切，则下列说法正确的是(　　) A.椭圆C的离心率为e= B.椭圆Γ：+=1与椭圆C有相同的焦点 C.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=16 D.矩形R的面积最大值为50 答案　ABD 解析　由椭圆C：+=1，可得a=4，b=3，则c==， 所以椭圆的离心率e==，所以A正确； 由椭圆Γ：+=1，可得a=，b=，则c==， 故椭圆Γ的焦点与椭圆C的焦点相同，所以B正确； 因为矩形R的四条边均与椭圆C：+=1相切，所以点(a，b)，即(4，3)在蒙日圆上， 可得半径r==5，可得椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=25，所以C错误； 设矩形R的边长分别为m和n，则有m2+n2=(2r)2=102=100， 所以矩形R的面积S=mn≤(m2+n2)=50，当且仅当m=n=5时取等号，所以D正确. 11.(5分)已知以F1(-2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为　　　　.  答案　2 解析　由题意可设椭圆的方程为+=1(a>2)， 与直线方程x+y+4=0联立， 得4(a2-3)y2+8(a2-4)y+(16-a2)(a2-4)=0， 由Δ=0，得a=， 所以椭圆的长轴长为2. 12.(5分)已知椭圆C：+x2=1，过点P的直线与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为　　　　　　　　　　.  答案　9x+y-5=0 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2). 因为点A，B在椭圆上， 所以+=1， ① +=1. ② ①-②，得+(x1+x2)(x1-x2)=0. ③ 因为P是线段AB的中点， 所以x1+x2=1，y1+y2=1， 代入③得=-9， 即直线AB的斜率为-9. 故直线AB的方程为y-=-9， 整理得9x+y-5=0. 13.(5分)已知椭圆+y2=1，则所有与椭圆相交且斜率为2的弦的中点的轨迹方程为　　　　　　　　.  答案　x+4y=0 解析　设斜率为2的直线与椭圆+y2=1交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 弦AB的中点为M(x，y)， 由点差法可知， k=2==-×=-×， 即x+4y=0. 又椭圆的弦的中点只能在椭圆内， ∴+<1，解得-<x<. ∴所求的轨迹方程为x+4y=0. 14.(10分)已知椭圆x2+8y2=8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x-y+4=0的距离最短，并求出最短距离. 解　设与直线x-y+4=0平行且与椭圆相切的直线方程为x-y+a=0(a≠4)， 由 消x得9y2-2ay+a2-8=0， 由Δ=4a2-36(a2-8)=0， 解得a=3或a=-3， ∴与直线l距离较近的切线为x-y+3=0， 两条直线之间的距离即为所求最短距离， 且直线x-y+3=0与椭圆的切点即为所求点P. 故所求最短距离d==. 由 得即P. 15.(12分)如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个水池，水池边缘由两个半椭圆+=1(x≤0)和+=1(x≥0)组成，其中a>b>9，水池边缘内切于矩形地块(即水池边缘与矩形地块各边均有且只有一个公共点). (1)求两个半椭圆的方程；(5分) (2)在该水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y=t(t∈(0，15))，求该网箱所占水面面积的最大值.(7分) 解　(1)由题意知b=15，a+9=34， 解得a=25，b=15. 所以两个半椭圆的方程分别为+=1(x≤0)和+=1(x≥0). (2)设P(x0，t)为矩形在第一象限内的顶点， Q(x1，t)为矩形在第二象限内的顶点， 则+=1， +=1， 可得x1=-x0. 所以内接矩形的面积 S=2t(x0-x1)=2t×x0 =15×34×2··≤15×34=510， 当且仅当=时， S取最大值510. 所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $