25.2.2公式法（课件）2026-2027学年 人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦公式法解一元二次方程，涵盖求根公式推导、根的判别式及应用。课堂通过复习配方法解具体方程，引导学生小组推导一般形式方程的求根公式，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于通过小组推导活动培养推理能力与创新意识，结合表格、刻意练习及含参数例题发展运算能力和应用意识，课堂小结结构化呈现公式步骤。学生能系统掌握知识，教师可高效落实教学目标。

25.2.2 公式法 解：方程整理得 配方得 开平方得 解得 1. 如何用配方法解方程 2x2 + 4x - 1 = 0 ? 学生能力发展目标 学生通过熟记求根公式和根的判别式，能准确判断一元二次方程根的情况，能运用公式法，准确计算判别式，规范代入公式求解，能根据方程特点选择合适的解法（配方 / 公式）； 想一想 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 能否也用配方法得出它的解呢？ 小组推导（8 分钟）：以小组为单位，用配方法推导一元二次方程的求根公式，每组派代表展示推导关键步骤. 活动一 求根公式的推导 活动一 用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 方程两边都除以 a，得 解：移项，得 配方，得 即 问题：对于方程①接下来能用直接开平方解吗？ ∵ a≠0，∴ 4a2 > 0. 而 b2－4ac 的符号有以下三种情况： （1）b2－4ac ＞0， 这时 ＞0，由①得 则方程有两个不相等的实数根 ± （2）b2 - 4ac = 0， 这时 = 0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = - . （3）b2 - 4ac ＜0， 这时 ＜0，由①可知 ＜0，而 x 取任何实数都不能使 ＜0，因此方程无实数根. 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 我们把 b2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ= b2 − 4ac. Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Δ≥0 一元二次方程根的判别式 按要求完成下列表格： 的值 0 4 根的 情况 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 Δ 刻意练习 公式法解一元二次方程的步骤: 1.变形:化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: ∆＝b2-4ac的值; 4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出方程的根; 若b2-4ac<0，则方程没有实数根. 方法点拨 例2 k取何值时，关于x的一元二次方程kx2－12x＋9＝0有两个不相等的实数根？ 分析：已知方程有两个不相等的实数根，则该方程的Δ>0，用含k的代数式表示出Δ，然后列出以k为未知数的不等式，求出k的取值范围． 解：∵方程kx2－12x＋9＝0是关于x的一元二次方程， ∴k≠0.方程根的判别式. Δ＝(－12)2－4k×9＝144－36k. 由144－36k>0，求得k<4，又 k≠0， ∴当k<4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根． 随堂演练 1. 不解方程，判别下列一元二次方程的根的情况： (1)2x2＋3x－4＝0 (2)16y2＋9＝24y (3)5(x2＋1)－7x＝0 解：(1)∵a＝2，b＝3，c＝-4， ∴Δ＝b2－4ac＝32－4×2×(-4)＝9＋32＝41＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 解：(2)原方程化为16y2－24y＋9＝0. ∵a＝16，b＝-24，c＝9， ∴Δ＝b2－4ac＝(-24)2－4×16×9＝0， ∴原方程有两个相等的实数根． 解：(3)原方程化为5x2－7x＋5＝0. ∵a＝5，b＝-7，c＝5， ∴ Δ＝b2－4ac＝(-7)2－4×5×5 ＝49－100＝-51<0， ∴原方程无实数根． 2.解下列方程 (1)x2-7x-18=0; 解：(1) a=1, b= -7, c= -18, △=b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121>0, 方程有两个不等的实数根. 即 x1=9，x2=-2. （3）（x-2)(1-3x)=6 解：方程化为 a=1, b= , c= 3, △=b2 - 4ac=( )2 - 4×1×3=0, 方程有两个相等的实数根, 即 （3）（x-2)(1-3x)=6 a=3, b= -7, c= 8, △=b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0, 方程没有实数根. 解：方程化为：3x2-7x+8=0, 3.已知关于x的方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 解：∵关于x的方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－2)2－4(k－1)＞0， 解得k＜2. 课堂小结 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）. 根的判别式b2-4ac 作业 作业 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 数学 九年级 全一册 配人教版 【A组】（基础过关） 1. 用公式法解方程 x2－2＝－3 x 时， a ， b ， c 的值依次是（　 　） A. 0，－2，－3 B. 1，3，－2 C. 1，－3，－2 D. 1，－2，－3 2. 方程 x2－6 x ＋9＝0的根的情况是（　 　） A. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 B. 有一个实数根 D. 有两个不相等的实数根 B C A. 3 x2＋2 x －1＝0 B. 2 x2＋4 x －1＝0 C. － x2－2 x ＋3＝0 D. 3 x2－2 x －1＝0 D 4. 一元二次方程 x2＋4 x ＋1＝0根的判别式的值为 ​. 5. 若关于 x 的方程 x2－ x ＋ k ＝0没有实数根，则 k 的取值范围是 ​ ​. 6. 如果关于 x 的方程 kx2＋3 x －1＝0有两个不相等的实数根，那么 k 的 取值范围是 ​. 12　 k ＞ 【B组】（能力提升） 7. 用公式法解下列方程： （1） x2＋3 x ＋1＝0； （2）3 x2－ x －1＝0. 8. 求证：关于 x 的方程 x2＋（2 k ＋1） x ＋ k －1＝0有两个不相等的实数根. 证明：Δ＝（2 k ＋1）2－4（ k －1）＝4 k2＋5. ∵ k2≥0， ∴4 k2＋5＞0，即Δ＞0. ∴关于 x 的方程 x2＋（2 k ＋1） x ＋ k －1＝0有两个不相等的实数根. 【C组】（探究拓展） 9. （综合运用）已知关于 x 的方程 b （ x2－1）＋2 ax ＋ c （ x2＋1）＝ 0，其中 a ， b ， c 分别为△ ABC 三边的长. （1）若 x ＝－1是方程的根，试判断△ ABC 的形状； 解：∵ x ＝－1是关于 x 的方程 b （ x2－1）＋2 ax ＋ c （ x2＋1）＝ 0的根， ∴ b ·[（－1）2－1]－2 a ＋ c ·[（－1）2＋1]＝0. ∴－2 a ＋2 c ＝0. ∴ a ＝ c . ∴△ ABC 是等腰三角形. （2）若方程有两个相等的实数根，且 a ＝5， b ＝12，求 c 的值. $