专题02 整式及其运算（3年汇编）（全国通用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 中考整式运算真题汇编，覆盖11个核心考点，融合生活情境（老年人车票优惠、智能机器人采摘）、数学文化（杨辉三角、赵爽弦图）及规律探索，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|2-4分|列代数式、规律探索、乘法公式|结合购物计价、环保图形等真实场景，设置数字/图形规律归纳题| |解答题|4-8分|整式化简求值|先化简再代入，融入整体代换、隐藏条件，结合几何面积情境|

专题02 整式及其运算 考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律 考点 01 列代数式 2026 北京卷、2026 湖南卷；2025 山东青岛卷、2025 海南卷；2024 辽宁卷 均以选择题、填空题形式考查，分值稳定在 2-4 分。命题采用情境化设计，收支盈亏、购物计价、行程位移、工程用料等素材频繁出现。核心围绕文字语言转化代数式展开，重点考查实际场景数量关系辨析；整体难度偏低，近三年命题逐步偏向生活热点，侧重结合真实场景列式，文字信息提取类设问占比逐年提升。 考点 02 代数式求值 2026 广东卷、2026 江苏卷；2025 浙江卷、2025 四川卷；2024 安徽卷、2024 福建卷 选择填空、小型解答题均有考查，分值 3-5 分。素材常结合气温变化、统计数据、价格波动情境，核心分直接代入、整体代入两类考法；整体难度中等，近年减少单纯数字代入，更多给出条件式整体代换求值，和正负数实际意义结合综合命题频次逐年上涨。 考点 03 整式中数字类规律探索 2026 江苏卷、2026 四川卷；2025 湖北卷、2025 海南卷；2024 辽宁卷、2024 湖北卷 以填空压轴型小题为主，分值 3-4 分。多给出一列有序数字、递推数列素材，核心考查用整式归纳通项规律；整体中等偏易，命题逐年侧重结合生活统计数据、年份热点数列设问，从特殊值归纳通用整式表达式是核心考查方向。 考点 04 整式中图形类规律探索 2026 湖南卷、2026 广东卷；2025 山东青岛卷、2025 浙江卷；2024 福建卷、2024 安徽卷 选择题、填空题高频考查，分值 3-4 分。以点阵拼接、小图形堆叠、图案迭代为素材，核心通过图形个数变化列整式找规律；情境可视化特征明显，近年常结合环保、建筑拼接热点图形出题，区分相邻项差值、写出第 n 项整式表达式为固定设问形式。 考点 05 根据整式的加减判断选项 2026 北京卷、2026 江苏卷；2025 海南卷、2025 四川卷；2024 辽宁卷、2024 湖北卷 主打选择题正误辨析，分值 2-3 分。常设同类项合并、去括号变号易错干扰项，核心考查整式加减运算法则细节辨析；难度偏低，命题聚焦符号易错点、同类项判定误区，纯计算辨析占比稳定，少量结合简单生活情境包装选项。 考点 06 整式的化简求值 2026 多省市统考卷普遍考查；2025 山东、浙江、湖北卷高频出现；2024 辽宁、福建、安徽卷重点考查 选择填空、必考解答题，分值 4-8 分。常搭配几何周长面积、消费收支情境，流程为先整式加减乘除化简、再代入数值计算；整体中等难度，近三年逐步增加整体代入、隐藏条件求值题型，综合运算规范性、公式运用熟练度是考查重点。 考点 07 整式中的 “杨辉三角” 2026 江苏卷、2026 广东卷；2025 浙江卷、2025 湖北卷；2024 安徽卷、2024 福建卷 以填空拓展题型为主，分值 3-4 分。依托杨辉三角行列排布规律，关联多项式展开式系数特征命题，核心用整式规律推导未知系数；难度中等偏上，属于规律探索特色考法，近年设问从直接找系数转向结合幂运算综合推导，拓展性设问占比小幅提升。 考点 08 乘法公式在几何中的应用 2026 湖南卷、2026 四川卷；2025 山东青岛卷、2025 海南卷；2024 湖北卷、2024 辽宁卷 选择填空、几何小综合题考查，分值 3-5 分。以正方形分割、图形拼接、面积割补为情境素材，核心对应平方差、完全平方公式的几何面积推导；命题侧重数形结合思路，近年常结合阴影面积计算出题，用几何图形验证整式乘法公式是主流考查形式。 考点01 列代数式 1．（2026·吉林·中考真题）（选择题）近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，可享受9折优惠．如果一张车票原售价为元，那么优惠后的票价为（  　  ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（2026·贵州·中考真题）（选择题），两数的平方差用代数式可表示为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西·中考真题）（选择题）在一次劳动实践活动中，小欢采摘了个西红柿，小乐采摘的西红柿个数比小欢少3个，则小欢和小乐一共采摘的西红柿的个数为（ ） A． B． C． D． 4．（2026·广西·中考真题）（选择题）亮亮计划购买6筒羽毛球，若每筒元，则共需（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．（2025·湖南长沙·中考真题）（选择题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·上海·中考真题）（选择题）用代数式表示与差的平方，正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·内蒙古·中考真题）（填空题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为________． 8．（2025·山西·中考真题）（填空题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了________元（用含a的代数式表示）． 考点02 代数式求值 1．（2026·四川凉山·中考真题）（选择题）已知，，则的值为（     ） A．6 B．8 C．12 D．18 2．（2026·四川南充·中考真题）（选择题）已知，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2026·湖南·中考真题）（填空题）已知，则代数式的值是________． 4．（2026·四川内江·中考真题）（填空题）若实数 、满足，则代数式的值为_________． 5．（2026·四川广元·中考真题）（填空题）已知，则的值为__________． 6．（2025·吉林长春·中考真题）（填空题）已知，则代数式的值为_______． 7．（2025·江苏苏州·中考真题）（填空题）若，则代数式的值为________． 考点03 整式中数字类规律探索 1．（2024·江苏徐州·中考真题）（选择题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 2．（2025·四川绵阳·中考真题）（选择题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 3．（2025·云南·中考真题）（选择题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江绥化·中考真题）（填空题）按一定规律排列的数据依次为，，，，，，…．若按此规律继续排列下去，则第个数可以表示为_________（结果用含的代数式表示）． 5．（2025·河南·中考真题）（填空题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为______________． 考点04 整式中图形类规律探索 1．（2026·四川广安·中考真题）链状烷烃是一类由碳，氢元素组成的有机化合物，这类物质前四种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子和4个氢原子，化学式为；第2种如图②有2个碳原子和6个氢原子，化学式为；第3种如图③有3个碳原子和8个氢原子，化学式为…按照这一规律，第2026种化合物的化学式为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·中考真题）醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物质，下图是这类物质的分子结构式，其中，，分别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有4个氢原子，第②个图中有6个氢原子，第③个图中有8个氢原子，第④个图中有10个氢原子…按照此规律，第⑨个图中氢原子的个数是（     ） A．14 B．16 C．18 D．20 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 4．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 5．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图形需要棋子（   ） A．16枚 B．20枚 C．24枚 D．25枚 6．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 考点05 根据整式的加减判断选项 1．（2026·广东·中考真题）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川甘孜·中考真题）下列计算正确的是(      ) A． B． C． D． 3．（2026·山西·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川凉山·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·四川巴中·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·四川广元·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 考点06 整式的化简求值 1．（2026·吉林·中考真题）先化简，再求值：，其中． 2．（2026·四川乐山·中考真题）化简：． 3．（2025·山东潍坊·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 4．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 5．（2026·甘肃天水·中考真题）先化简，再求值：，其中． 6．（2026·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中． 7．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 8．（2025·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 考点07 整式中的“杨辉三角” 1．（2024·湖南·模拟预测）（选择题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 1                        1   1                      1   2   1                    1   3   3   1                  当代数式的值为1时，则x的值为（    ） A．2 B． C．2或4 D．2或 2．（2025·浙江·中考真题）（选择题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ 考点08 乘法公式在几何中的应用 1．（2026·内蒙古·中考真题）（选择题）矩形是常见的几何图形，数学中经常利用矩形组成的图形中的面积关系来说明代数恒等式，给出以下3组图形和3个代数恒等式： 其中，各组图形的面积关系能正确说明其下方代数恒等式的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．（2024·江苏南通·中考真题）（选择题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 3．（2024·四川眉山·中考真题）（选择题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 4．（2025·山东威海·中考真题）（填空题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则___________． 考点09 乘法公式的变形 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）若，则______． 2．（2024·四川乐山·中考真题）已知，，则______． 3．（2026·四川巴中·中考真题）计算：__________________． 4．（2026·黑龙江绥化·中考真题）计算：_________． 考点10 因式分解在选填中的应用 1．（2026·北京·中考真题）分解因式：________． 2．（2025·江苏常州·中考真题）分解因式：________． 3．（2026·甘肃天水·中考真题）因式分解：________________． 4．（2025·山东青岛·中考真题）因式分解___________ 5．（2025·山东东营·中考真题）因式分解____________． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式分解因式的结果是_____． 7．（2025·黑龙江绥化·中考真题）分解因式：________． 考点11 整式运算中其他扩展题型 1．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 2．（2026·福建·中考真题）阅读下列材料，回答问题． 主题 探究形如的数的整数部分与小数部分的特征 提出问题 学过“二次根式”，我们知道许多二次根式为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即，其中为整数，．如，．那么形如的数，其整数部分与小数部分各有什么特征呢？ 探究发现 小华对此展开研究，其探究过程如下： （1）；（2） ① ； （3）；（4） ② ； （5）；（6）． 据此，小华提出并证明了以下命题． 命题：若整数，满足，且的整数部分为，小数部分为，则必为奇数，且． 命题证明 证明：因为，， 所以，即． 又因为，且， 所以． 又根据，可得． 因此， ③ ， ④ ． 又因为，均为整数，所以为偶数， 故必为奇数，且． 拓展延伸 问题1若整数，满足，那么的整数部分是否仍为奇数？证明你的结论； 问题2若整数，满足，其中为整数，且，试探究：的整数部分是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明． (1)补全①②③④所缺的内容； (2)解决问题1； (3)解决问题2． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02 整式及其运算 答案版 考点01列代数式 1.C 2.A3.D 4.C5.D6.B7.5m+3n/3n+5m8.60a 考点02代数式求值 1.D 2.A3.2026 4.105.-26.37.-1 考点03整式中数字类规律探索 1.D 2.B 3.A4.n+2n-15.2nx” 考点04整式中图形类规律探索 1.D 2.D3.C4.C5.B6.B 考点05根据整式的加减判断选项 1.D 2.B 3.B4.D5.D6.C 考点06整式的化简求值 1.【详解】解：a-1P+2a-1 =a2-2a+1+2a-1 =a2, 当a=5时，原式=旧5=5· 2.【详解】解：原式=x2-9-x =-9 3.【详解】解：（1)x5x-8y-4x-y2 1/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =5x2-8xy-4x2-2xy+y2 =5x2-8xy-4x2+8xy-4y2 =x2-4y2, 因为x+2y=0, 所以x-4y=x+2y川x-2y=0×x-2y=0 x-y=2① (2)解：2x+3y=-1② 由①得x=y+2③， 将③代入②，得2y+2+3y=-1, 解得y=-1, 将y=-1代入③，得x=1, ∴.该方程组的解为 x=1 y=-1 4.【详解】解：x(5-x+x2+3 =5X-x2+x2+3 =5x+3, 当x=2时，原式=5×2+3=13. 5.【详解】解：原式=4a+4a+1-4a2+3a-8a-6 =4a+4a+1-4a2-3a+8a+6 =9a+7. 当a=-1时，原式=9×-1+7=-2 6.【详解】解：2a-a+a+3+a+2lla-2 =-2a2+a2+6a+9+a2-4 =6a+5, 当a=-2时，原式=6×-2+5=-7. 7.【详解】解：原式=a+a-(a2-4) =a2+a-a2+4 2/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =a+4; 当a=6时， 原式=6+4=10 8.【详解】解：xx+2+x-12 =x2+2X+x-2X+1 =2x2+1, 当x=V3时，原式=2×3}+1=7 考点07整式中的“杨辉三角” 1.C 2.8 考点08乘法公式在几何中的应用 2.B 3.D 2+V3 1.A 4. 2 考点09 乘法公式的变形 2.29 3.44. x-2y 1.3 X+2 考点10因式分解在选填中的应用 1.x(x+7x-7)2.(x+3yl(x-3yl 3.5ab(a+2b)4.3(x-ylx+y)5.2ylx-y 63m+2m-272mlx-y 考点11整式运算中其他扩展题型 1.【详解】(1)解：由表中勾股数的规律可知，令a=10,b,c=26, 则由勾股数定义可知a2+b2=c2, 即102+b2=262, ∴.b2=262-10=26+10川26-10=36×16 解得b=24或b=-24(舍去)： 316 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故答案为：24. 【详解】(1)解：由表中勾股数的规律可知，令a=10,b,c=26, 则由勾股数定义可知a+b2=c2, 即102+b2=262, .b2=262-10=26+10川26-10=36×161 解得b=24或b=-24(舍去)： 故答案为：24. （2)略 (3)解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况 即可，如图所示： B 设AC<BC,即直角三角形中最短边为AC, ,仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m,三角形最短 边种21株花， .AC=20m, 由题意可知，BC最小为21m 那么AB=√AC2+BC=V202+21=29m' 那么这块绿地最少需要种植(20+21+29)×4=280株花. (3)解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况 即可，如图所示： B 设AC<BC,即直角三角形中最短边为AC, .,仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m,三角形最短 边种21株花， ∴.AC=20m, 4/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由题意可知，BC最小为21m, 那么AB=√AC2+BC2=202+21=29m' 那么这块绿地最少需要种植(20+21+29)×4=280株花. 2.【详解】(1)解：：/2+1=3+22=5+2/2-2' ∴.①5： .2V2+2/=12+8V2=23+8V2-11 ∴.②8V2-11: .0<2a-b<1, ∴.0<2a-bP<11 ∴.m=4a2+2b2-1,即③4a2+2b2-1 n=1-2a-bP,即@1-2a-b: (②)m不是奇数，证明如下： :R2a+bP=2a2+22ab+b2,R2a-b2=2a2-2V2ab+b2, .R/2a+b+R2a-b=4a+2b2,即1V2a+b2=4a2+2b2-R/2a-bP. 又：R2a+b=m+n'且0<n<1 .4a2+2b2-/2a-bP=m+n 又.1<2a-b<2, .1<2a-b2<2' .n=2-2a-bP, .m+n=4a2+2b2-2+2-R/2a-bP: 故m=4a2+2b2-2. 5/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又·a,b均为整数， ∴.4a2+2b2-2为偶数，故m不是奇数. (3)由(1)知，4a2+2b2-2a-b}=m+n .·VK<V2a-b<Vk+1,其中k为整数，且k≥2， ∴.k<V2a-b2<k+1' .n=k+1-R2a-b, .'m+n=4a2+2b2-2a-b ∴.m+n=4a2+2b2-k+1+k+1-V2a-b2 ∴.m+n=4a2+2b2-k+1+n .m=4a2+2b2-k+1 当k为偶数，且k≥2时，k+1为奇数， .4a+2b为偶数， 4a2+2b2-k+1为奇数，即m为奇数： 当k为奇数，且k≥2时，k+1为偶数， .4a2+2b为偶数， .4a2+2b2-k+1为偶数，即m为偶数。 综上，当k为偶数，且k≥2时，m为奇数；当k为奇数，且k≥2时，m为偶数. 616 专题02 整式及其运算 考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律 考点 01 列代数式 2026 北京卷、2026 湖南卷；2025 山东青岛卷、2025 海南卷；2024 辽宁卷 均以选择题、填空题形式考查，分值稳定在 2-4 分。命题采用情境化设计，收支盈亏、购物计价、行程位移、工程用料等素材频繁出现。核心围绕文字语言转化代数式展开，重点考查实际场景数量关系辨析；整体难度偏低，近三年命题逐步偏向生活热点，侧重结合真实场景列式，文字信息提取类设问占比逐年提升。 考点 02 代数式求值 2026 广东卷、2026 江苏卷；2025 浙江卷、2025 四川卷；2024 安徽卷、2024 福建卷 选择填空、小型解答题均有考查，分值 3-5 分。素材常结合气温变化、统计数据、价格波动情境，核心分直接代入、整体代入两类考法；整体难度中等，近年减少单纯数字代入，更多给出条件式整体代换求值，和正负数实际意义结合综合命题频次逐年上涨。 考点 03 整式中数字类规律探索 2026 江苏卷、2026 四川卷；2025 湖北卷、2025 海南卷；2024 辽宁卷、2024 湖北卷 以填空压轴型小题为主，分值 3-4 分。多给出一列有序数字、递推数列素材，核心考查用整式归纳通项规律；整体中等偏易，命题逐年侧重结合生活统计数据、年份热点数列设问，从特殊值归纳通用整式表达式是核心考查方向。 考点 04 整式中图形类规律探索 2026 湖南卷、2026 广东卷；2025 山东青岛卷、2025 浙江卷；2024 福建卷、2024 安徽卷 选择题、填空题高频考查，分值 3-4 分。以点阵拼接、小图形堆叠、图案迭代为素材，核心通过图形个数变化列整式找规律；情境可视化特征明显，近年常结合环保、建筑拼接热点图形出题，区分相邻项差值、写出第 n 项整式表达式为固定设问形式。 考点 05 根据整式的加减判断选项 2026 北京卷、2026 江苏卷；2025 海南卷、2025 四川卷；2024 辽宁卷、2024 湖北卷 主打选择题正误辨析，分值 2-3 分。常设同类项合并、去括号变号易错干扰项，核心考查整式加减运算法则细节辨析；难度偏低，命题聚焦符号易错点、同类项判定误区，纯计算辨析占比稳定，少量结合简单生活情境包装选项。 考点 06 整式的化简求值 2026 多省市统考卷普遍考查；2025 山东、浙江、湖北卷高频出现；2024 辽宁、福建、安徽卷重点考查 选择填空、必考解答题，分值 4-8 分。常搭配几何周长面积、消费收支情境，流程为先整式加减乘除化简、再代入数值计算；整体中等难度，近三年逐步增加整体代入、隐藏条件求值题型，综合运算规范性、公式运用熟练度是考查重点。 考点 07 整式中的 “杨辉三角” 2026 江苏卷、2026 广东卷；2025 浙江卷、2025 湖北卷；2024 安徽卷、2024 福建卷 以填空拓展题型为主，分值 3-4 分。依托杨辉三角行列排布规律，关联多项式展开式系数特征命题，核心用整式规律推导未知系数；难度中等偏上，属于规律探索特色考法，近年设问从直接找系数转向结合幂运算综合推导，拓展性设问占比小幅提升。 考点 08 乘法公式在几何中的应用 2026 湖南卷、2026 四川卷；2025 山东青岛卷、2025 海南卷；2024 湖北卷、2024 辽宁卷 选择填空、几何小综合题考查，分值 3-5 分。以正方形分割、图形拼接、面积割补为情境素材，核心对应平方差、完全平方公式的几何面积推导；命题侧重数形结合思路，近年常结合阴影面积计算出题，用几何图形验证整式乘法公式是主流考查形式。 考点01 列代数式 1．（2026·吉林·中考真题）（选择题）近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，可享受9折优惠．如果一张车票原售价为元，那么优惠后的票价为（  　  ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【详解】解：∵原票价为元， ∴优惠后的票价为元． 2．（2026·贵州·中考真题）（选择题），两数的平方差用代数式可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵题目要求表示，两数的平方差， ∴运算顺序为：先分别求，的平方，再求两个平方的差， ∵的平方为，的平方为， ∴两数的平方差可表示为． 3．（2026·陕西·中考真题）（选择题）在一次劳动实践活动中，小欢采摘了个西红柿，小乐采摘的西红柿个数比小欢少3个，则小欢和小乐一共采摘的西红柿的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意表示出小乐采摘西红柿的个数，再将两人采摘个数相加，化简后得到结果即可． 【详解】解：∵小欢采摘了个西红柿，小乐采摘的个数比小欢少个， ∴小乐采摘西红柿的个数为个， ∵， ∴两人一共采摘的个数为个． 4．（2026·广西·中考真题）（选择题）亮亮计划购买6筒羽毛球，若每筒元，则共需（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【详解】∵购买羽毛球的数量是筒，每筒单价是元， 又∵总价=单价×数量， ∴总费用为元． 5．（2025·湖南长沙·中考真题）（选择题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式，每个机械手每分钟采摘10个苹果，m个机械手同时工作时，总采摘数为每个机械手的效率之和． 【详解】解：当机器人搭载m个机械手时，总效率为每个机械手效率的累加，即：总采摘数， 故选：D． 6．（2025·上海·中考真题）（选择题）用代数式表示与差的平方，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，理解题中的数量关系是解题的关键； “a与b差的平方”指先求a减b的差，再将这个差整体平方，即． 【详解】解：A. ：这是平方差公式的结果，表示的平方减去的平方，而非差的平方，错误，不符合题意； B. ：表示先求差再平方，正确，符合题意； C. ：仅对平方后减去，未对差整体平方，错误，不符合题意； D. ：表示减去的平方，运算顺序错误，错误，不符合题意； 故选：B． 7．（2025·内蒙古·中考真题）（填空题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键． 根据“大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦”即可列代数式． 【详解】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为：， 故答案为：． 8．（2025·山西·中考真题）（填空题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了________元（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意是关键；求出售出一个布老虎增加的利润，即可求出售出a个布老虎增加的利润． 【详解】解：售出一个布老虎增加的利润为（元）， 则售出a个布老虎增加的利润为． 故答案为：． 考点02 代数式求值 1．（2026·四川凉山·中考真题）（选择题）已知，，则的值为（     ） A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】D 【分析】本题利用提公因式法对所求代数式因式分解，再整体代入已知条件计算，不需要分别求出每个未知数的值． 【详解】解：∵ 已知， ∴ 整体代入得，原式 ． 2．（2026·四川南充·中考真题）（选择题）已知，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】先从已知等式变形得到与的关系，再对所求多项式降次代入化简，即可得到结果． 【详解】解：∵，且， ∴等式两边同乘得， 整理得， 对所求式变形得， 将代入得， 再将代入上式得， ∴的值为． 3．（2026·湖南·中考真题）（填空题）已知，则代数式的值是________． 【答案】2026 【分析】将代数式前两项提取2进行变形，把已知代数式的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴． 4．（2026·四川内江·中考真题）（填空题）若实数 、满足，则代数式的值为_________． 【答案】 【分析】由已知等式得出的值，将所求代数式变形后，整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ∴． 5．（2026·四川广元·中考真题）（填空题）已知，则的值为__________． 【答案】 【分析】将，变形后得出，再利用完全平方公式得出，再通过整体代入简化计算即可； 【详解】解：∵， ∴， 两边同时平方得， 展开得， 整理得， 将代入得原式． 6．（2025·吉林长春·中考真题）（填空题）已知，则代数式的值为_______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求代数式的值，掌握整体思想是解题的关键． 将化为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：3． 7．（2025·江苏苏州·中考真题）（填空题）若，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 考点03 整式中数字类规律探索 1．（2024·江苏徐州·中考真题）（选择题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可 【详解】解：∵， ， ， ∴第5个数为， 第6个数为， 第7个数为， 故选：D． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）（选择题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式，正确找出规律是解题的关键． 先找出规律，再得出第15个单项式． 【详解】解：观察可得，从左到右第个单项式是， ∴第15个单项式是， 故选：B． 3．（2025·云南·中考真题）（选择题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， ……， 以此类推，可知，第n个代数式是， 故选：A． 4．（2026·黑龙江绥化·中考真题）（填空题）按一定规律排列的数据依次为，，，，，，…．若按此规律继续排列下去，则第个数可以表示为_________（结果用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】解题思路为将数据对应其序号，通过对比已知数据归纳规律，再验证规律是否符合所有已知项，从而得到第个数的表达式． 【详解】解：设第个数对应序号为，为正整数， 将已知数据按序号整理： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因此可得第个数的表达式为，即为． 5．（2025·河南·中考真题）（填空题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为______________． 【答案】 【分析】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．分析已知式子，得到第个式子为，即可得到答案． 【详解】解：第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， …… 观察发现，第个式子为， 故答案为： 考点04 整式中图形类规律探索 1．（2026·四川广安·中考真题）链状烷烃是一类由碳，氢元素组成的有机化合物，这类物质前四种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子和4个氢原子，化学式为；第2种如图②有2个碳原子和6个氢原子，化学式为；第3种如图③有3个碳原子和8个氢原子，化学式为…按照这一规律，第2026种化合物的化学式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意易得第n种有n个碳原子和个氢原子，化学式为，然后问题可求解． 【详解】解：∵第1种如图①有1个碳原子和个氢原子，化学式为； 第2种如图②有2个碳原子和个氢原子，化学式为； 第3种如图③有3个碳原子和个氢原子，化学式为； ……； ∴第n种有n个碳原子和个氢原子，化学式为， ∴第2026种化合物的化学式为． 2．（2026·重庆·中考真题）醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物质，下图是这类物质的分子结构式，其中，，分别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有4个氢原子，第②个图中有6个氢原子，第③个图中有8个氢原子，第④个图中有10个氢原子…按照此规律，第⑨个图中氢原子的个数是（     ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】观察图形中氢原子个数的变化规律，归纳出第个图形中氢原子个数的公式，将代入计算即可． 【详解】解：第①个图中有个氢原子， ； 第②个图中有个氢原子，； 第③个图中有个氢原子，； 第④个图中有个氢原子， 第个图中氢原子的个数为 ， ∴当时，氢原子的个数为． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查找几何图形中的数字规律，根据前面几个图归纳出数字规律是解决问题的关键．先观察图形，得到每个图形中小正方形的个数，进而得到数字规律，即可求解． 【详解】解：拼第一个正方形需要个小正方形； 拼第二个正方形需要个小正方形； 拼第三个正方形需要个小正方形； ．．．．．． 按照这样的方法拼成的第个正方形需要个小正方形； 第六个正方形需要个小正方形， 故选：C． 4．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 【答案】C 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故选：C． 5．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图形需要棋子（   ） A．16枚 B．20枚 C．24枚 D．25枚 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察前3个图形可知每个图形需要的棋子数为序号的4倍，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形需要枚棋子， 第2个图形需要枚棋子， 第3个图形需要枚棋子， ……， 以此类推，可知第5个图形需要枚棋子， 故选：B． 6．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 【答案】B 【分析】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．仔细观察图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有个，第3个图形有个，…由此得到规律求得第6个图形中正方形的个数即可． 【详解】第1个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， …… 第6个图形有（个）正方形， 故选：B. 考点05 根据整式的加减判断选项 1．（2026·广东·中考真题）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：∵与不是同类项，不能合并，∴A错误； 选项B：根据同底数幂相乘法则，底数不变，指数相加，可得，∴B错误； 选项C：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得，∴C错误； 选项D：根据同底数幂相除法则，底数不变，指数相减，当时，，∴D正确． 2．（2026·四川甘孜·中考真题）下列计算正确的是(      ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用合并同类项法则、幂的乘方法则、单项式乘多项式法则、完全平方公式逐一判断选项． 【详解】A、与不是同类项，不能合并，∴A错误． B、根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得，∴B正确． C、展开得，∴C错误． D、根据完全平方公式得，∴D错误． 3．（2026·山西·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、 ∵   ，∴ A错误； B ∵   ，∴ B正确； C 、∵   ，∴ C错误； D 、∵   ，∴ D错误． 4．（2026·四川凉山·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，A错误； B、，B错误； C、，C错误； D、，D正确． 5．（2026·四川巴中·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用同底数幂乘法法则、同类项概念、完全平方公式、单项式乘多项式法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，A错误． B、∵与所含字母不同，不是同类项，不能合并，∴，B错误． C、∵根据完全平方公式，，∴，C错误． D、∵根据单项式乘多项式法则，用单项式乘多项式的每一项再相加，∴，D正确． 6．（2026·四川广元·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据合并同类项、幂的乘方、单项式乘法、同底数幂除法的法则，逐一判断选项运算是否正确． 【详解】解：A选项，∵与不是同类项，不能合并，∴A错误； B选项，根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得，∴B错误； C选项，单项式乘单项式，系数相乘作为新系数，同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 可得，运算正确，∴C正确； D选项，，∴D错误． 考点06 整式的化简求值 1．（2026·吉林·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】 原式化简结果为，值为 【详解】解： ， 当时，原式 ． 2．（2026·四川乐山·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】先用平方差公式化简，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 3．（2025·山东潍坊·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 【答案】（），；（）． 【分析】本题考查了整式的化简求值，解二元一次方程组，掌握运算法则和方程组解法是解题的关键． （）先由单项式乘以多项式，完全平方公式进行化简，然后合并同类项化成最简，再把代入求解即可； （）利用代入消元解方程组即可． 【详解】解：（）， 因为， 所以． （）解：， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得， ∴该方程组的解为． 4．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 【答案】，13 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键． 先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 5．（2026·甘肃天水·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 6．（2026·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先按照单项式乘以单项式，完全平方公式，平方差公式，计算各部分，再合并同类项，对原式进行化简，最后将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 7．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 8．（2025·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式以及化简求值，二次根式的性质，正确计算是解题的关键． 首先根据单项式乘以多项式，完全平方公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 考点07 整式中的“杨辉三角” 1．（2024·湖南·模拟预测）（选择题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 1                        1   1                      1   2   1                    1   3   3   1                  当代数式的值为1时，则x的值为（    ） A．2 B． C．2或4 D．2或 【答案】C 【分析】由规律可得：，令，，可得，再解方程即可． 【详解】解：由规律可得：， 令，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 故选：C． 【点睛】本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活的应用规律解题是关键． 2．（2025·浙江·中考真题）（选择题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ 【答案】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 考点08 乘法公式在几何中的应用 1．（2026·内蒙古·中考真题）（选择题）矩形是常见的几何图形，数学中经常利用矩形组成的图形中的面积关系来说明代数恒等式，给出以下3组图形和3个代数恒等式： 其中，各组图形的面积关系能正确说明其下方代数恒等式的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】分别计算三个图形中不同部分的面积，利用面积相等建立等式，即可判断对应的代数恒等式是否成立． 【详解】解：对于第1组图形：大矩形的长为，宽为，面积为；它由三个小矩形组成，面积分别为、、； ，故第1个恒等式正确； 对于第2组图形：左上角正方形的边长为，面积为；大正方形的面积为，减去两个长为、宽为的矩形面积，由于右下角边长为的小正方形被减了两次，需加回； ，故第2个恒等式正确； 对于第3组图形：大正方形面积为，左下角小正方形面积为，剩余部分面积为；剩余部分可分割为两个矩形，一个长为、宽为，另一个长为、宽为，面积和为； ，故第3个恒等式正确； 综上所述，能正确说明代数恒等式的有3个． 2．（2024·江苏南通·中考真题）（选择题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选：B． 3．（2024·四川眉山·中考真题）（选择题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是24， ， 小正方形的面积是4， ， ， 图2中最大的正方形的面积； 故选：D． 4．（2025·山东威海·中考真题）（填空题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则___________． 【答案】 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据题意得到，整理得到，，设，得到，然后解方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积 四边形面积 ∵四边形的面积等于四边形面积的2倍 ∴ 整理得， ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 考点09 乘法公式的变形 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）若，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的化简求值和完全平方公式，将原式根据完全平方公式变形，再将值代入计算即可得出答案． 【详解】解∶∵， ∴ ， 故答案为∶3． 2．（2024·四川乐山·中考真题）已知，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 3．（2026·四川巴中·中考真题）计算：__________________． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式与二次根式的运算，观察式子符合平方差公式的结构，利用平方差公式展开后，结合二次根式的性质计算即可得到结果． 【详解】解： 4．（2026·黑龙江绥化·中考真题）计算：_________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 考点10 因式分解在选填中的应用 1．（2026·北京·中考真题）分解因式：________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 2．（2025·江苏常州·中考真题）分解因式：________． 【答案】 【详解】解： ． 3．（2026·甘肃天水·中考真题）因式分解：________________． 【答案】 【详解】解： ． 4．（2025·山东青岛·中考真题）因式分解___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．（2025·山东东营·中考真题）因式分解____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： 故答案为： 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式分解因式的结果是_____． 【答案】 【分析】此题考查了分解因式，先提取公因式，再运用平方差公式分解因式． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．（2025·黑龙江绥化·中考真题）分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 考点11 整式运算中其他扩展题型 1．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【答案】(1) (2)，，，其中、、都是正整数，， 证明过程如下： ，，， ， ， ， ， ； (3)280 【分析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案； （2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案． 【详解】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知， 即， ， 解得或（舍去）； 故答案为：24． （2）略 （3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， ， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键． 2．（2026·福建·中考真题）阅读下列材料，回答问题． 主题 探究形如的数的整数部分与小数部分的特征 提出问题 学过“二次根式”，我们知道许多二次根式为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即，其中为整数，．如，．那么形如的数，其整数部分与小数部分各有什么特征呢？ 探究发现 小华对此展开研究，其探究过程如下： （1）；（2） ① ； （3）；（4） ② ； （5）；（6）． 据此，小华提出并证明了以下命题． 命题：若整数，满足，且的整数部分为，小数部分为，则必为奇数，且． 命题证明 证明：因为，， 所以，即． 又因为，且， 所以． 又根据，可得． 因此， ③ ， ④ ． 又因为，均为整数，所以为偶数， 故必为奇数，且． 拓展延伸 问题1若整数，满足，那么的整数部分是否仍为奇数？证明你的结论； 问题2若整数，满足，其中为整数，且，试探究：的整数部分是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明． (1)补全①②③④所缺的内容； (2)解决问题1； (3)解决问题2． 【答案】(1)①；②；③；④． (2)不是奇数，证明如下： ，， ，即． 又 ，且， ． 又 ， ， ， ． 故． 又 ，均为整数， 为偶数，故不是奇数． (3)当为偶数，且时，为奇数；当为奇数，且时，为偶数． 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）先求出，根据，且，得到，由可得，则，求出，即可判断； （3）由（1）知，，根据，得到，进而得到，推出，即可判定． 【详解】（1）解： ， ①； ， ②； ， ， ，即③ ，即④； （2）略 （3）由（1）知，， ，其中为整数，且， ， ， ， ， 当为偶数，且时，为奇数， 为偶数， 为奇数，即为奇数； 当为奇数，且时，为偶数， 为偶数， 为偶数，即为偶数， 综上，当为偶数，且时，为奇数；当为奇数，且时，为偶数． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $