13.2.1 三角形的边 课件（知识讲解+基础练习+培优练习） 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“三角形的边”，涵盖三边关系、组成条件、周长与边的关系、应用及稳定性。以“两点之间线段最短”为依据，通过问题引导推导结论，结合例题构建从概念到应用的学习支架。 其特色是例题分层且联系实际，从基础判断到综合应用（如等腰三角形、方程与三边关系结合），稳定性部分结合钢架问题。通过推理意识和模型意识，培养学生推理与应用能力，为教师提供系统资源，提升教学效率。

13.2 与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 1.三角形的三边关系 问题 如图，△ABC的三边AB，BC，AC之间有怎样的数量关系呢？ “两点之间，线段最短” 把上面的不等式移项又可以得到_______________________ _______________________________________________. A，B两点之间：____________. AC+BC>AB A，C两点之间：____________. AB+BC>AC 结论：_________________________. 三角形两边的和大于第三边 B，C两点之间：AB+AC>BC. BC>AB-AC， BC>AC-AB， AB>BC-AC， AB>AC-BC， AC >BC-AB， AC>AB-BC 结论：_________________________. 三角形两边的差小于第三边 2 2.三条线段能组成三角形的条件 问题 下列长度的三条线段能否组成三角形？ （1）3，5，7；（2）3，4，7；（3）5，7，14. （1） （2） （3） 任意两边的和大于第三边 两边的和等于第三边 两边的和小于第三边 X X √ 3 如果三条线段中较小的两条线段的和大于最长的线段，则三条线段能组成三角形. 4.三角形中最长的边和最短的边与周长的关系 设三角形的三边分别为a，b，c，且a≤b≤c，则a+b+c≤3c， ∴ c≤ 又a+b>c， ∴ a+b+c>2c， ∴ c< . ∴ ≤ c< .（注意其中的“=”号） ∵a≤b≤c，∴a+b+c≥3a， ∴ a≤ .（注意其中的“=”号） 三角形中最长的边大于或等于三角形周长的三分之一，小于三角形周长的二分之一. 三角形中最短的边小于或等于三角形周长的三分之一. 4 5.三角形的周长与其两边长的关系 设三角形的两边长分别为a，b，且a≤b，第三边的长为m，周长为M . 又b-a<m<a+b， ∴ b-a+a+b<a+b+m<a+b+a+b ， ∴ 2b <M<2(a+b). 三角形的周长大于已知的两条边中较长的边长的2倍，小于已知的两条边长和的2倍. 则M=a+b+m. 5 6.三角形三边关系定理的应用 （1）判断三条线段能否组成三角形. （2）已知三角形两边的长，求第三边长的取值范围. （3）证明线段的和差不等关系. 【例题1】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. 3，4，5， C. 1，4，6 D. 2，3，7 B 【例题2】已知三角形的两边长分别是2和9，求第三边长m的取值范围. 解：9-2<m<2+9，即7<m<11. 6 【例题3】如图，是△内的任意一点，连接 求证：. 证明： 延长交于点. ∵， ， ∴， ∴ 7 7.三角形稳定性 （1）三角形稳定性：三角形三条边的长确定以后，三角形的形状和大小都不会改变，这个特性就叫做三角形的稳定性. （2）判断多边形添加对角线后是否稳定的思路 首先适当选取图中两个顶点作为固定点，然后根据三角形稳定性，依次判定其他各顶点是否都固定，如果都固定，则整个图形稳定，否则图形不稳定. 【例题4】右面的图形是否具有稳定性？为什么？（对角线的交点不固定）. 设A，B固定 E固定， A，E固定 F、D固定， B，D固定 C固定， ∴图形是稳定的. 8 【例题5】小明要用木棒制作三角形，手里已有两根长度是5cm和8cm的木棒，第三根木棒可从长度为3cm，5cm，10cm，13cm，14cm，的木棒中选，则可以选用的木棒有___________. 5cm， 10cm 设第三根木棒的长为xcm. 则 8-5<x<8+5， 即 3<x<13. 所以，可选的木棒是5cm和10cm. 分析： 9 =__________. ∴__________________________， b<c+a， c<a+b a<b+c， ∴___________________________， 【例题6】已知△的三边为，化简： ∵ △的三边长， 解： a-b-c<0，b-c-a<0，c-a-b<0 ∴ =____________________ -(a-b-c)-(b-c-a)-(c-a-b) a+b+c =____________________ -a+b+c-b+c+a-c+a+b 10 【例题7】有4cm，6cm，10cm，15cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 分析： 4cm，6cm，10cm 4cm，6cm，15cm 4cm，10cm，15cm 6cm，10cm，15cm X X X A 11 根据三角形三边关系，可列不等式________________， 解得， ________. 【例题8】已知三角形的三边分别为m+1，7，12，求m的取值范围. 解： 12-7<m+1<7+12 4<m<18 12 ①如果长为7的边为腰，则可列方程：__________， 解得， ______，三边长为__________，∵____________， ∴不能构成三角形. 【例题9】已知一个等腰三角形的两边长分别是7和x，它的周长是35，则这个等腰三角形的底边长为__________. 分析： 7+x=35 x=21 7+7<21 ②如果长为7的边为底边，则可列方程：__________， 解得， ______，三边长为___________， 7x=35 x=14 14 ，14，7 7 7，7，21 __________能构成三角形. 7+14>14 13 解方程=x+3，得，x=_______， 【例题10】已知△ABC两边的长分别是7和11，第三边的长是关于x的方程=x+3的解，则m的取值范围为__________. 分析： m-9 于是，得不等式_______________， 11-7<m-9<7+11 解得，__________. 13<m<27 13<m<27 14 设三角形的三边长分别为____________， 【例题11】若三角形的三边长是三个连续的奇数，它的周长p满足12<p<30，则这样的三角形有_____个. 分析： x-2，x，x+2 则三角形的周长为_______. 3x ∴ __________， 12<3x<30 3 解得，__________. 4<x<10 ∴ x=__________. 5，7，9 ∵ x为奇数， 当x=5，7，9时，得到的三角形的三边分别是：3，5，7；5，7，9；7，9，11，它们都能构成三角形. 15 由|n-m|=5，得____________， 【例题12】已知等腰三角形的底边m=10cm，腰的长为n，且|n-m|=5cm，则周长为_______. 分析： n-m= ∴ n=_______. 15或5 40cm 当n=15时， 三边长为____________________， 10cm，15cm，15cm 当n=5时， 三边长为____________________， 10cm，5cm，5cm 周长为______. 40cm __________不能组成三角形. 5+5=10 16 ∴ b=______， 则 ____≤<____. 【例题13】已知三角形的一边长是，另两边的长是整数，且周长为，求这个三角形的三边长. 解： 设三角形三边长分别为a，b，c，且a≤b≤c. ∴这个三角形的三边长为3，4，5或2，5，5. 4 6 或 ∵c是最长的边，而三角形中有一条边长是，且边长均为整数， ∴ c=___. 5 ∴ a+b=___， 7 ∴ 2b≥___， 7 ∴ b≥___， 3.5 对应的a=______. 或 ∴ c___， 4 17 根据题意，可得不等式组 【例题14】已知等腰三角形的底边10，腰长为n，且周长L<50，则n的取值范围为_________. 分析： 2n>10 解得__________. 2n+10<50 5<n<20 5<n<20 18 【例题15】已知一个等腰三角形的三边长都是整数，且周长为，求这个三角形的三边长. 解： 设等腰三角形的腰长为b，底边长为a. 则 a+2b=15， a=15-2b. ① 所以，这个三角形的三边长为或或3.或. 又根据三角形三边关系，得2b>a. ② 把①代入②，得 2b>15-2b，解得，b>3.75. 又a=15-2b >0，解得，b<7.5，∴ 3.75<b<7.5. ∵b是整数，∴b=4，5，6，7，对应的 a=7，5，3，1. 说明：a+b>b恒成立，解题过程中不用列出. 19 【例题16】如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两螺丝之间的距离最大值是___. 7 A B C D ①将木条2、3拉直，得到线段的长为______，该线段和木条4、6能构成三角形，三边长为5，4，6，所以，A，C两螺丝之间的距离最大值为___. 2+3=5 综上所述，任意两螺丝之间的距离最大值为_____. 7 分析： 5 ②将木条3、4拉直，得到线段的长为______，该线段和木条2、6能构成三角形，三边长为7，6，2，所以，B，D两螺丝之间的距离最大值为___. 3+4=7 7 ③将木条2、6拉直得到线段的长为______，∵________，∴该线段与木条3、4不能构成三角形；同理将木条4、6拉直，该线段与木条2、3也不能构成三角形. 2+6=8 3+4<8 20 根据三角形三边关系，可列不等式 【例题17】已知三角形的三边分别为m+1，7，2m，求m的取值范围. 解： m+1+7>2m m+1+2m>7 7+2m>m+1 解得， ________. 2<m<8 21 【例题18】已知一个三角形的两边长分别为3和5，则三角形的周长M的取值范围为_________. 分析： 设三角形第三边长为m，则____<m<____. 2 8 ∴M=3+5+m=8+m. 由2<m<8，得____<8+m<____. 10 16 ∴____<M<____. 10 16 10<M<16 22 ∴__________. ∴c<____， 【例题19】用一段长为8cm的铁丝折成一个三角形，该三角形最长边c的取值范围为_________. 分析： 设三角形另两条边的长为a，b，且a≤c，b≤c. ∴ a+b+c≤c+c+c=3c. ∵ a+b+c=8. ∴________， 3c≥8 ∴________， c≥ 又∵ c<a+b， ∴2c<______， a+b+c 即 2c<______， 8 4 ≤c< ≤c< 23 【例题20】设△三边长的长度均为整数，且，，则以为三边的三角形共有_______个. 分析： c<a+b 5 2c<a+b+c =13 c<6.5 c>13 c>4 <c<6.5 c=5或6. 当c=5时，a+b=8. ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或5. 当c=6时，a+b=7. ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或5或6. 所以，符合条件的三角形共5个. 24 【例题21】若为三个村庄，，要在△内建一个供水站，向三个村庄按如图所示的路线供水，则需要水管长度L(单位：km)的范围是___________. 分析： 5<L<10 OA+OB>AB ， OA+OC>AC ， OB+OC>BC ， ∴ 2(OA+OB+OC)>AB+AC+BC ， ∴ OA+OB+OC> 5. 延长BO，交AC于点D. D 则AB+AD>BD=BO+OD ， ① OD+DC>OC ， ② ①+②，得AB+AD+OD+DC>BO+OD+OC， 即 AB+AC>OB+OC，③ 同理，得 AB+BC>OA+OC，④ AC+BC>OA+OB. ⑤ ③+④+⑤ ，得OA+OC+OB< AB+AC+BC=10 ， ∴ 5<OA+OB+OC<10， 即 5<L<10. 25 图2 【例题22】如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2. 则下列说法正确的是( ) A.点M在AB上 B.点M在BC的中点处 C.点M在BC上，且距点B较近，距点C较远 D.点M在BC上，且距点C较近，距点B较远 分析： C 在△ABC中，∵AB< ，AC< ， ∴点M不在AB上， 取BC的中点F，由图2知，AB>BC>AC，∴ AB+CF>AC+BF ， ∴点F不是折成△ABC后点M的位置. X X ∵AC<AB ， 在BC上画出点M. 也不在AC上， 而是在BC上. AC+CM=AB+BM ， ∴ AC-(AC+CM)<AB-(AB+BM) ， ∴ -CM<-BM ， X 由题意，知AM=DM= . 图1 ∴ CM>BM . 26 【例题23】如图，有一个六边形的钢架（图（1）），它由条钢管铰接而成，要保持钢架稳定，必须在接点处增加一些钢管铰接.在下面的固定方法中（如图（2）），能保持该六边形钢架稳定的有__________________.（只填序号） (1) ① ② ⑥ ③ ④ ⑤ 分析： 根据前面讲的“判断多边形添加对角线后是否稳定的思路”，知6种加固方 法对应的图形都是稳定的. 27 再 见 $