4.4.3 不同函数增长的差异（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦一次函数、指数函数、对数函数的增长差异，通过投资选择、细胞分裂与身高增长等现实情境导入，衔接已学指数、对数函数知识，以具体函数列表作图为支架，引导学生从特殊到一般探究增长特点。 其亮点在于采用数形结合和从特殊到一般的教学方法，结合投资方案比较、典例分析等实例，培养学生数学眼光和数学思维。小结通过“学海拾贝”梳理知识与方法，帮助学生构建结构化认知，教师可直接用于教学提升效率。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 4.4.3 不同函数增长的差异 4.4 对数函数 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的增长差异；能够利用图象和数值比较不同函数的增长速度；理解”指数爆炸”的含义，能解释其在实际问题中的意义。 通过列表、作图、计算等方式，经历从特殊到一般的探究过程；体会数形结合思想在分析函数增长差异中的应用。 感受数学与现实生活的紧密联系，体会数学的应用价值； 培养用数学眼光观察和分析实际问题的意识。 投资选择 知识讲解 互动探究 新课引入 假设你有10万元用于投资，现有三种方案： 项目 方案 A 一次函数 (线性增长) 方案 B 指数增长 方案 C 对数增长 每年新增量 固定不变 越往后新增越多 新增逐年变小，越来越慢 短期表现 中等 前期一般 前期爆发力强 长期表现 稳定匀速 后期爆发反超 很快接近上限，增长近乎停滞 方案A：每年固定增长1万元（一次函数增长）； 方案B：每年增长额为上一年本金的10%（指数增长）； 方案C：每年增长额逐渐放缓，第一年增长较多，之后增长越来越慢（对数增长）。 问：短期内哪种方案收益最高？长期来看呢？ 3 细胞分裂 vs 身高增长 知识讲解 互动探究 新课引入 某种细菌每20分钟分裂一次，数量呈指数增长； 人的身高在青春期快速增长，但成年后几乎不再增长。 这两种增长模式有什么不同？你能用学过的函数来描述吗？ 我们已经学过了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数，它们各自的增长特点是什么？在实际问题中该如何选择模型？ 4 目标一：指数函数与一次函数比较 图象：y = 和 y=2x 知识讲解 互动探究 新课引入 选取适当的指数函数与一次函数,探索它们在区间[0, + ∞)上的 增长差异,你能描述一下指数函数增长的特点吗? 不妨以函数 y = 和 y=2x 为例.利用信息技术,列出上述两个函数 的自变量与函数值的对应值表,并在同一直角坐标系中画出它们的图象. x y = 2x y = 2x 0 1 0 0.5 1.414 1 1 2 2 1.5 2.828 3 x y = y = 2x 2 4 4 2.5 5.657 5 3 8 6 … … … 6 初步解读 知识讲解 互动探究 新课引入 可以看到,函数y = 2x和y = 2x的图象有两个交点(1,2), (2, 4). 在区间(1,2)上,函数y = 2x的图象位于y=2x的图象之下, 2x <2x; 在区间(2,3)上,函数y = 2x的图象位于y = 2x的图象之上, 2x > 2x. 这表明，虽然两个函数在[0，+∞)上都单调递增， 但它们的增长速度不同， 函数y=2x的增长速度保持不变，而函数y= 2x的增长速度在变化. 7 扩大视野 知识讲解 互动探究 新课引入 下面在更大的范围内，观察y= 2x和y=2x的增长情况. x y = 2x y = 2x 0 1 0 2 4 4 4 16 8 6 64 12 x y = 2x y = 2x 8 256 16 10 1024 20 12 4096 24 … … … 从表和图可以看到,当自变量x越来越大时,y = 2x的图象就像与x轴垂直一样,2x的值快速增长; 而函数y=2x的增长速度依然 保持不变，与函数y=2x的增长速度相比几乎微不足道. 8 再次解读 知识讲解 互动探究 新课引入 综上所述，虽然函数y=2x与y=2x在区间[0，+∞)上都单调递增， 但它们的增长速度不同，而且不在同一个"档次"上. 随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度. 尽管在x的一定变化范围内，2x会小于2x,但由于y=2x的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个x0当x>x0时，恒有2x>2x. 9 归纳指数函数与一次函数的增长差异 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地,指数函数y = aˣ(a > 1)与一次函数y = kx(k > 0)的增长 差异都与上述情况类似. 即使k的值远远大于a的值,y = aˣ(a > 1)的 增长速度最终都会大大超过y = kx(k>0)的增长速度. 指数函数不像一次函数那样按同一速度增长,而是越来越 快,呈爆炸性增长. 注意 10 目标二：对数函数与一次函数比较 y=lgx和y= 知识讲解 互动探究 新课引入 选取适当的对数函数与一次函数,探索它们在区间(0, +∞)上的 增长差异,你能描述一下对数函数增长的特点吗? 不妨以函数y=lgx和y=x为例,利用信息技术,列出上述两函数的自变量与函数值的对应值表(如表),并在同一直角坐标系中画出它们的图象(如图). x y=lg x y = x 0 不存在 0 10 1 1 20 1.301 2 30 1.477 3 40 1.602 4 50 1.699 5 60 1.778 6 … … … 12 初步解读 知识讲解 互动探究 新课引入 可以看到,虽然它们在(0, +∞)上都单调递增,但增长速度存在着明显的差异. 函数y=x的增长速度保持不变,而y=lgx的增长速度在变化,随着x的增大,函数y=x的图象离x轴越来越远,而函数y=lgx的图象越来越平缓,就像与x轴平行一样. 如果将lg x 放大 1000 倍,再对函数 y = 1000 lg x 和 y =x 的增长情况进行比较,那么仍有上述规律吗? 当 x 足够大时, 一次函数 y = x 的增长速度会远远超过对数函数 y = 1000lg x 的增长速度 13 归纳 知识讲解 互动探究 新课引入 对数函数与一次函数的增长差异 一般地，虽然对数函数(a>1)与一次函数y=kx (k>0)在 区间(0,+∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次 函数y=kx (k>0)保持固定的增长速度，而对数函数 (a>1)的 增长速度越来越慢．即使k的值很小，在一定范围内，可能会大于kx， 但由于的增长最终会慢于kx的增长，因此总会存在一个，当x> 时，恒有<kx． 注意:对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律, 14 目标三：指对数函数与一次函数联合比较 三种函数联合比较 知识讲解 互动探究 新课引入 类比上述过程， (1) 画出一次函数y=2x，对数函数y=lgx和指数函数y=的图象，并比较它们的增长差异； (2) 试着概括一次函数y=kx(k>0)，对数函数(a>1)和指数函数y= (b>1)的增长差异； (3) 讨论交流 “直线上升” “对数增长” “指数爆炸” 的含义． 16 三种函数联合比较 知识讲解 互动探究 新课引入 如图: ①y=2x的图象在(0,+∞)上匀速上升; ②y=的图象在(0,+∞)上上升得越来越快; ③y=lgx的图象在(0,+∞)上上升得越来越慢. ①y=kx(k>0) )的图象在(0,+∞) 上匀速上升; ②) )的图象在(0,+∞) 上增长得越来越慢; ③y= (b>1) )的图象在(0,+∞) 上增长得越来越快. 直线上升→匀速上升, 对数增长→缓慢增长, 指数爆炸→增长越来越快. 17 三种函数联合比较 知识讲解 互动探究 新课引入 函数类型 增长特点 增长速度 图象特征 一次函数 均匀增长 恒定不变 直线，斜率不变 指数函数 爆炸式增长 越来越快 越来越陡峭，“指数爆炸” 对数函数 缓慢增长 越来越慢 越来越平缓，“蜗牛式增长” 18 三种函数联合比较 知识讲解 互动探究 新课引入 存在”交叉点” 在自变量较小时，不同函数的大小关系可能不确定。 例如： 当 x=2 时，=4； - 当 2<x<4 时，； - 当 x>4 时， 且差距越来越大。 “指数爆炸”的实际意义 人口增长、细菌繁殖、复利计算、信息传播等常呈指数增长； 指数增长初期看似缓慢，但一旦突破某个阈值，将呈现惊人的增长速度； 对数增长常见于”边际效益递减”现象，如学习曲线、疲劳恢复等。 19 目标四：典型题例 例题1：比较函数值大小 代数 例1 图象 已知 ，，，比较 的大小。 典例分析 牛刀小试 解析： ； ，且 ； 。 结论：。 A-a B-B C-c 实际应用中的模型选择 例2 某企业现有利润100万元，计划用10年时间使利润翻两番（达到400万元）。现有三种增长方案： 方案①：每年利润增加20万元； 方案②：每年利润增长20%； 方案③：每年利润增长额为上一年增长额的一半。 问：哪种方案能在10年内实现目标？ 典例分析 牛刀小试 设第 年的利润为 万元。 方案①：，10年后 万元 ❌ 方案②：，10年后 万元 ✓ 方案③：增长额逐年减半，增长极其缓慢，10年后远不到400万元 ❌ 答案：方案②可以实现目标。 模型识别 例3 在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据 典例分析 牛刀小试   -2.0 -1.0 0 1.00 2.0 3.0 x -2.0 -1.0 0 1.00 2.0 3.0 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 在四个函数模型（，为待定系数）中，最能反映，函数关系的是（ ）A. 答案： 解析：由题表中数据画散点图，观察图象，类似于指数函数，分析选项可知模拟函数为， 目标五：针对训练 举一反三 1. 某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据‧现准备用下 列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 A. y = 2ˣ B. y = log₂ x C. y (x² - 1) D. y = 2.61x 。 x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61 答案:B 解析:由表格数据得到如下散点图,为递增趋势,随x变大增长率变 小,只有B符合; 举一反三 2.下列函数中,增长速度越来越慢的是( ) A. y = 6x B. y = log, x C. y = x² D. y = 6x 答案: B 解析: 指数函数y=6ˣ 先慢后爆炸性增长, 对数函数y=log₆ x 先快速增后慢 慢增, 幂函数y=x² 一直在增, 后面没有变慢, 一次函数y=6x 匀速增加‧故 选: B. 举一反三 3. (多选) 函数, , 在区间 上 ( ) A. 的递增速度越来越快 B. 的递减速度越来越慢 C. 的递减速度越来越慢 D. 的递减速度慢于 的递减速度  根据指数函数,对数函数及幂函数的图象和性质可知,在区间(0,+∞)上, f(x)的递增速度越来越快,故A正确; y = f(x) g(x)的递减速度越来越慢,故B正确; h(x)的递减速度越来越慢,故C正确; g(x)的递减速度快于h(x)的递减速度,故D错误, 举一反三 4.三个变量y1, y2, y3随自变量x的变化情况如下表: 答案: y₃; y₂; y₁ 解析: 由题中表格, 可知三个变量 y₁, y₂, y₃ 随着 x 的增大都是越来越大 的, 其中 y₂ 的增长速度最快, 符合指数函数模型, y₃ 的增长速 x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1715 3645 6633 y2 5 29 245 2189 19685 177149 y3 5 6.1 6.61 6.95 7.20 7.40 其中符合对数函数模型的变量是 ______,符合指数函数模 型的变量是 ______,符合幂函数模型的变量是 ______. 目标六：小结 学海拾贝 知识小结 一次函数：匀速增长（直线）； 指数函数：爆炸式增长（越来越陡）； 对数函数：缓慢增长（越来越平）； 当 x 足够大时：。 方法总结 •数形结合：通过列表计算与图象观察相结合； •从特殊到一般：先观察具体数值，再归纳一般规律； •数学建模：根据实际问题选择合适的函数模型。 学海拾贝 注意事项 ① 避免”以偏概全” 在自变量较小时，不同函数的大小关系不确定，不能仅凭局部判断整体 ② “增长快慢”≠“函数值大小” 增长快不代表当前值大，如 在 时小于 在 时的值 ③ 关注定义域 对数函数要求真数大于0，实际问题中要注意自变量的取值范围 ④ 模型选择的实际意义 指数增长不可持续（资源有限），实际中常出现”S型”增长（Logistic模型） ⑤ 底数的影响 指数函数底数越大增长越快；对数函数底数越大增长越慢 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $