4.4.3不同函数增长的差异-2026-2027学年高一上学期数学必修一课件人教A版

该高中数学课件聚焦“不同函数增长的差异”，核心内容包括一次函数、指数函数、对数函数等增长比较及函数模型应用，课前通过观察函数图象、填写表格比较增减性和增长速度，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接课堂探究。 其亮点在于融入思维导图梳理知识脉络，通过典例分析（如企业奖励方案模型选择）和定向训练，培养直观想象与数学建模素养，类题通法总结提升数学思维，助力学生掌握函数应用，为教师提供结构化教学资源。

4.4.3　不同函数增长的差异 素养目标 思维导图 1.利用函数图象及数据表格,对几 种常见增长类型的函数的增长状 况进行比较,初步体会它们的增长 差异性(直观想象). 2.了解函数模型的广泛应用(数学 建模). 课前自主学习 观察函数y=x2,y=2x,y=log2x在区间(0,+∞)上的图象,思考以下几个问题: 问题1.三个函数在区间(0,+∞)上的图象有什么特点? 提示:三个函数在区间(0,+∞)上的图象都是上升的,即单调递增. 问题2.当x趋于无穷大时,三个函数中哪个函数的增长速度最快? 哪个最慢? 提示:三个函数的增长速度差异很大,其中y=2x增长速度最快, y=log2x增长速度最慢. 问题3.试着完成下面的填空: 函数 y=2x y=log2x y=x2 在(0,+∞)上的增减性 _______ _______ _______ 增长速度 _________ 越来越慢 相对平稳 增函数 增函数 增函数 越来越快 【核心概念】 1.常见的函数模型 _________、_________、_________、_________、_______. 2.三类函数的比较 函数 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xα (α>0) 单调性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 比较平稳 一次函数 二次函数 指数函数 对数函数 幂函数 3.增长率问题 日常生活中常见的问题,计算公式为__________,若某月的产值是b,月增长率为p, 则此月开始第n个月后的产值是_______. y=N(1+p)x b(1+p)n 课堂合作探究 探究点一　三类函数增长的差异 【典例1】(1)四个物体同时从某一点出发向前运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间 x(x>1)的函数关系是f1(x)=x2,f2(x)=2x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果它们一直运动下去,最 终在最前面的物体具有的函数关系是(　　) A.f1(x)=x2 B.f2(x)=2x C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x (2)下列函数中,当x足够大时增长速度最快的是(　　) A.y=2 024x　 B.y=x2 024 C.y=log2 024x　 D.y=2 024x 【思维导引】(1)本题考查不同函数的增长速度差异,关键是能够明确指数函数增 长速度最快,即可得解. (2)根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长速度,选出增长速度最快 的选项. 【解析】(1)选D.当x>4时,2x>x2>2x>log2x,可知f4(x)的增长速度最快,所以最终在最 前面的物体具有的函数关系为f4(x)=2x. (2)选A.比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知,指数函数增长速度最 快. 【类题通法】 函数增长快慢对函数曲线的影响 随着自变量的增大,如果函数值增长越来越快,那么函数的图象越“陡”,类似于指 数函数的图象;如果函数值增长越来越慢,那么函数的图象越“缓”,类似于对数函 数的图象. 【定向训练】 (多选题)下列说法正确的是(　　) A.函数y=x减小的速度越来越慢 B.在指数函数y=ax(a>1)中,当x>0时,底数a越大,其增长速度越快 C.不存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>x100 D.当a>1,k>0时,在区间(0,+∞)内,对任意的x,总有logax<kx<ax成立 【解析】选AB.对于A,由对数函数的性质知,函数y=x减小的速度越来越慢,选 项A正确; 对于B,由指数函数的性质知,在指数函数y=ax(a>1)中,当x>0时,底数a越大,其增长 速度越快,选项B正确; 对于C,由指数函数的性质知,随x的增大,y=1.1x的增长速度是非常快的,远远超过幂 函数y=x100的增长速度,因此一定存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>x100,选项C不 正确; 对于D,取a=2,k=4,由图知, 在区间(0,+∞)内,对任意的x,logax<kx<ax不成立,选项D不正确. 探究点二　三类函数图象的比较 【典例2】如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液 体,经过3分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量,H是圆锥形漏斗中液面 下落的高度,则H与下落时间t(分)的函数关系表示的图象只可能是(　　) 【思维导引】结合题意分析随t的变化H的变化情况,重点关注H的变化快慢情况. 【解析】选B.由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口,因为圆柱中液面上升的速度是一个常量,即漏斗中液体漏出的速度是一定的,因此H增长的速度越来越大. 【定向训练】 某工厂8年来某产品总产量y与时间t(年)的函数关系如图,则: ①前3年总产量增长速度越来越快; ②前3年总产量增长速度越来越慢; ③第3年后,这种产品停止生产. 以上说法中正确的是　　　　　　.(填序号)  【解析】由题图可知前3年的总产量增长速度越来越快; 而图象在区间(3,8)上平行于x轴,说明总产量没有变化, 所以第3年后该产品停止生产. 因此只有①③正确. 答案:①③ 探究点三　三类函数模型的构建与选取 【典例3】(2025·永州高一检测)某企业投资特色农业,为了实现既定销售利润目标, 准备制定一个激励销售人员的奖励方案:按销售利润进行奖励,总奖金额y(单位:万 元)关于销售利润x(单位:万元)的函数的图象接近如图所示,现有以下三个函数模型 供企业选择:①y=kx+b(k>0),②y=k·2x+m(k>0),③y=klog3(+3)+n(k>0). (1)请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型,并说明理由; (2)根据你在(1)中选择的函数模型,如果总奖金额不少于 6万元,则至少应完成销售利润多少万元? 【解析】(1)对于模型①,y=kx+b,图象为直线,增长速度不变,故①错误; 由题图可知,该函数的增长速度较慢, 对于模型②,指数型函数是爆炸型增长,故②错误; 对于模型③,对数型函数增长速度较慢,符合题意,故选模型③. (2)由(1)可知,选模型③,所求函数过点(0,0),(18,3),则 解得 故所求函数为y=3log3(+3)-3, 所以3log3(+3)-3≥6,即log3(+3)≥3, 所以+3≥27,所以x≥72,所以至少应完成销售利润72万元. 【类题通法】不同函数模型的选取标准 不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律:(1)线性函数增长模型适合于 描述增长速度不变的变化规律;(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的 变化规律;(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律;(4)幂函数增 长模型适合于描述增长速度一般的变化规律. 因此需抓住题中蕴含的数学信息,恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来 解决实际问题. 【知识延拓】三种函数模型的解析式及其增长特点的总结 (1)指数函数模型:解析式为f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>0,且b≠1),当b>1时,增长 特点是随着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”;当 0<b<1时,函数值由快到慢地减少. (2)对数函数模型:解析式为f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m>0,a>0,且a≠1),当a>1时, 增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢, 常称之为“蜗牛式增长”;当0<a<1时,相应函数值逐渐减少,变化得越来越慢. (3)幂函数模型:解析式为f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1,α>0),其增长情况由a和α 的取值确定,常见的有二次函数模型. 【定向训练】 某化工厂开发研制了一种新产品,在前三个月的月生产量依次为100 t,120 t,130 t.为 了预测今后各个月的生产量,需要以这三个月的月产量为依据,用一个函数来模拟 月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数 y=f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均为待定系数,x∈N*)或函数y=g(x)=pqx+r(p,q,r均为待定系 数,x∈N*),现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t,则选用这两个函 数中的哪一个作为模拟函数较好? 【解析】根据题意可列方程组 解得 所以y=f(x)=-5x2+35x+70.① 同理y=g(x)=-80×0.5x+140.② 再将x=4分别代入①式与②式得,f(4)=-5×42+35×4+70=130, g(4)=-80×0.54+140=135. 与f(4)相比,g(4)在数值上更接近第四个月的实际月产量,所以②式作为模拟函数比 ①式更好,故选用函数y=g(x)=pqx+r作为模拟函数较好. 课堂练习 1.在某个物理实验中,测量得到变量x和变量y的几组数据,如表: 则对x,y最适合的拟合函数是 (　　) A.y=2x　 B.y=x2-1 C.y=2x-2　 D.y=log2x 【解析】选D.将x=0.50代入计算,可以排除A;将x=2.01代入计算,可以排除B,C. x 0.50 0.99 2.01 3.98 y -0.99 0.01 0.98 2.00 √ 2.高为H,满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示,其底部碰了一个小洞,满缸水从洞 中流出,若鱼缸水深为h时水的体积为v,则函数v=f(h)的大致图象是 (　　) 【解析】选B.当h=0时,v=0,可排除A,C. 因为鱼缸中间粗两头细,所以当h在附近时,体积变化较快;h<时,增加越来越 快;h>时,增加越来越慢. √ 3.已知函数f(x)=3x,g(x)=2x,当x∈R时,f(x)与g(x)的大小关系为　　　　　.  【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)=3x,g(x)=2x的图象,如图所示, 由于函数f(x)=3x的图象在函数g(x)=2x图象的上方,因此f(x)>g(x). 答案:f(x)>g(x) 4.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量Q呈指数函数 型变化,满足解析式Q=Q0e-0.002 5t,其中Q0是臭氧的初始量.(参考数据ln 2≈0.693 1) (1)随时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少? (2)多少年以后将会有一半的臭氧消失? 【解析】(1)因为此函数是减函数,所以臭氧的含量减少. (2)令Q0e-0.002 5t=,即e-0.002 5t=, -0.002 5t=ln,利用计算器解得t≈277.26, 所以278年后将会有一半的臭氧消失. 谢 谢 $