解题大招33 破解不等式恒（能）成立的六个导数大招（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦不等式恒（能）成立问题，以六个导数大招构建系统性方法体系，覆盖从基础分离参数到进阶指对同构的全维度解题策略，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分离参数法|2典例+3训练|“大于最大，小于最小”最值转化|从函数最值切入，建立参数与变量分离的基本模型| |分类讨论法|1典例+2训练|参数分段求最值，结合单调性判断|深化含参函数分析，培养逻辑推理能力| |拆解法|1典例+3训练|双变量恒成立问题的四类型转化|拓展单变量到双变量，构建多情境推理框架| |切线隔离法|1典例+2训练|数形结合判断曲线位置关系|强化几何直观，建立代数与图形的联系| |指对同构法|2典例+2训练|凑型-脱壳-转最值三步策略|针对指对数综合问题，培养模型意识| |洛必达法则法|1典例+2训练|“0/0”“∞/∞”型极限求值|补充极限工具，完善特殊情形处理能力|

解题大招33 破解不等式恒（能）成立的 六个导数大招 知识点01 分离参数法破解恒（能）成立问题 分离参数法是解决不等式恒成立与有解问题的最常用方法,此法的基本思路是：将所求变量与其他变量分离开，通过研究式中另外一个变量的已知范围来确定所求变量的范围. (1)当f(x)存在最值时，恒成立； 恒成立.简记为：“大于最大的，小于最小的. 有解；有解. 有解；有解. 简记为：大于最小的，小于最大的. (2)当函数f(x)不存在最值时，则一般转化为寻找函数f(x)的相应上界或下界值，此时有: 若f(x)的值域为(A，B)（即下界值为A,上界值为B）， 恒成立；恒成立； 恒成立.恒成立. 有解，有解， 有解则，有解则. 知识点02 折解法破解恒（能）成立问题 当f(x),g(x)均存在最值时，有以下结论成立： (1)∀x1∈[m,n],∀x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)max. (2)∀x1∈[m,n],∃x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)min. (3)∃x1∈[m,n],∃x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)min. (4)∃x1∈[m,n],∀x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)max. (5)∀x1∈[m,n],∃x2∈[a,b], f(x1)=g(x2)成立,则f(x)的值域g(x)的值域. 知识点03 指对同构 1．指对数恒等式 (1)当且时有 (2)当且时有 2．五个常见变形 拓展： 3.相对跨阶想同构同左同右取对数 三种基本模式 (1)积型: 说明在对“积型”同构时取对数是最快捷的同构出的函数单调性一看便知 (2)商型: (3)和差型: 如 知识点04 诠释洛必达法则 在解决诸如不等式恒(能)成立，求参数的取值范围这一类问题时，最常用的方法是分离参数法，转化成求函数的最值，但在求最值时如果出现“”型的代数式，就设法求其最值．“”型的代数式，是大学数学中的不定式问题，解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则． 洛必达法则 法则1　若函数f(x)和g(x)满足下列条件 (1) f(x)＝0及g(x)＝0； (2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0； (3)＝A，那么＝＝A. 法则2　若函数f(x)和g(x)满足下列条件 (1)f(x)＝∞及g(x)＝∞； (2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0； (3)＝A，那么＝＝A. 大招01分离参数法 分离参数法是将含参不等式中的参数通过恒等变形，使参数与其变量分离的一种方法.具体策略请参看知识点01 分离参数法破解恒（能）成立问题. 【典例1-1】（25-26高二下·吉林·期末）已知函数，，，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【典例1-2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，若恒成立，求实数a的取值范围． 【跟踪训练】 1. （25-26高二下·安徽滁州·阶段检测）已知存在使不等式成立，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川遂宁·模拟预测）函数． (1)当时，求函数在的单调区间； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 3．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)时，求零点的个数； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围． 大招02 分类讨论法 根据不等式恒（能）成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 【典例2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，． (1)若，求的极值点； (2)若，都有，求的取值范围． 【跟踪训练】 1．（24-25高二下·河北石家庄·期末）已知函数， (1)若有极值点，求实数a的值 (2)若恒成立，求的最大值. 2．（25-26高二下·广东汕头·期中）已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若在区间上存在一点，使得成立，求a的取值范围. 大招03 拆解法 “双变量”的恒（能）成立问题可以拆解求参数，进行等价变换，常见的拆解转换请参看知识点02 折解法破解恒（能）成立问题. 【典例3】（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知函数，． (1)求的极值； (2)若在上单调递增，求实数 的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数 的取值范围． 【跟踪训练】 1．（25-26高二下·安徽安庆·期末）已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，若使得，则实数a的取值范围为________． 3．（25-26高三上·天津静海·联考）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最大值为；求的值； (3)设，若，使得，求的取值范围． 大招04 切线隔离法 1．函数的不等关系与图象特征： （1）若，均有的图象始终在的下方; （2）若，均有的图象始终在的上方. 2．利用“形”解决恒成立问题（两个均为曲线），可考虑两曲线在公切点处的取值情况，结合切线数形结合求解. 【典例4】若不等式对一切xR恒成立，其中a，bR，e为自然对数的底数，则a＋b的取值范围是 ． 【跟踪训练】 1.已知e为自然对数的底数，函数的图像恒在直线上方，则实数a的取值范围为 ． 2.设函数 f(x)＝ax2－a－lnx，其中 a∈R，若不等式 f(x)≥1－a 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ． 大招05 指对同构法 指对同构法不等式求解策略 核心逻辑：将含指数、对数的不等式变形，使两侧匹配为同一单调函数f(x)的f(a)与f(b)形式，剥离复杂指对运算。 操作步骤： 1. 凑型：优先将指对分置不等号两侧，匹配等常见同构原型； 2. 脱壳：判断构造函数单调性，脱去函数外壳转化为普通代数不等式； 3. 转最值：构造函数后求得该函数的最值，再转化为参数与最值的大小关系. 【典例5-1】（25-26高二下·山东枣庄·期末）已知函数，存在，使得，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】（25-26高二下·重庆北碚·期末）若对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知，，若在上恒成立，则实数的最大值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南·期末）已知函数，其中实数a为参数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求证：在上恒成立； (3)若在上恒成立，求实数a的取值范围． 大招06 洛必达法则法 对函数不等式恒成立求参数取值范围时，若采取参数与分离变量的方法，在求分离后函数的最值(值域)时会有些麻烦，如最值、极值在无意义点处，或趋于无穷．此时，可利用洛必达法则． 【典例6】设函数，若当时，求的取值范围 【跟踪训练】 1.已知函数，.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 2.（2026·河北·三模）已知函数，. (1)证明：在区间上单调递减； (2)对于恒成立，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，存在，使得能成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 A． B． C． D． 3．（25-26高二下·海南海口·期中）已知函数．若存在，使得成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）若对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（25-26高二下·山东威海·期末）已知函数，则（    ） A．若存在实数，使得，则 B．当时，过原点且与曲线相切的直线不存在 C．当时，方程有3个不相等的实数根 D．当时， 7．（25-26高二下·福建龙岩·期中）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点 C． D．若在上有解，则 三、填空题 8．（24-25高二下·福建福州·期末）函数，若存在，使有解，则的取值范围为______． 9．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知存在使不等式成立，则m的取值范围为__________． 10．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知函数，若使得成立，则实数的取值范围是_____________. 四、解答题 11.（25-26高二下·河北唐山·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值，并求的单调区间与极值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 12．（25-26高二下·辽宁·期末）已知函数，． (1)设函数，若不等式在上恒成立,求的取值范围； (2)证明：，． 13．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若在区间上不是单调函数，求的取值范围； (3)若当时，恒成立，求的取值范围. 14．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数． (1)当时，求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，证明不等式：． 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招33 破解不等式恒（能）成立的 六个导数大招 知识点01 分离参数法破解恒（能）成立问题 分离参数法是解决不等式恒成立与有解问题的最常用方法,此法的基本思路是：将所求变量与其他变量分离开，通过研究式中另外一个变量的已知范围来确定所求变量的范围. (1)当f(x)存在最值时，恒成立； 恒成立.简记为：“大于最大的，小于最小的. 有解；有解. 有解；有解. 简记为：大于最小的，小于最大的. (2)当函数f(x)不存在最值时，则一般转化为寻找函数f(x)的相应上界或下界值，此时有: 若f(x)的值域为(A，B)（即下界值为A,上界值为B）， 恒成立；恒成立； 恒成立.恒成立. 有解，有解， 有解则，有解则. 知识点02 折解法破解恒（能）成立问题 当f(x),g(x)均存在最值时，有以下结论成立： (1)∀x1∈[m,n],∀x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)max. (2)∀x1∈[m,n],∃x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)min. (3)∃x1∈[m,n],∃x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)min. (4)∃x1∈[m,n],∀x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)max. (5)∀x1∈[m,n],∃x2∈[a,b], f(x1)=g(x2)成立,则f(x)的值域g(x)的值域. 知识点03 指对同构 1．指对数恒等式 (1)当且时有 (2)当且时有 2．五个常见变形 拓展： 3.相对跨阶想同构同左同右取对数 三种基本模式 (1)积型: 说明在对“积型”同构时取对数是最快捷的同构出的函数单调性一看便知 (2)商型: (3)和差型: 如 知识点04 诠释洛必达法则 在解决诸如不等式恒(能)成立，求参数的取值范围这一类问题时，最常用的方法是分离参数法，转化成求函数的最值，但在求最值时如果出现“”型的代数式，就设法求其最值．“”型的代数式，是大学数学中的不定式问题，解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则． 洛必达法则 法则1　若函数f(x)和g(x)满足下列条件 (1) f(x)＝0及g(x)＝0； (2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0； (3)＝A，那么＝＝A. 法则2　若函数f(x)和g(x)满足下列条件 (1)f(x)＝∞及g(x)＝∞； (2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0； (3)＝A，那么＝＝A. 大招01分离参数法 分离参数法是将含参不等式中的参数通过恒等变形，使参数与其变量分离的一种方法.具体策略请参看知识点01 分离参数法破解恒（能）成立问题. 【典例1-1】（25-26高二下·吉林·期末）已知函数，，，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数，构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】，使得可化为，使得，即. 令，，则. 令，则，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，为. 故a的取值范围是. 【典例1-2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】将恒成立不等式化简后分离参数，转化为对任意实数恒成立，只需，利用导数求该函数的最小值，从而确定的范围． 【详解】对不等式化简，得， 分离参变量转化为恒成立，记，则， 在上，，是增函数； 在上，，是减函数． 所以，于是问题等价于，解得． 故所求a的取值范围为． 【跟踪训练】 1. （25-26高二下·安徽滁州·阶段检测）已知存在使不等式成立，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分离参数得，针对能成立问题，对右侧构造函数，根据导数求其最小值，进而得解. 【详解】由得， 移项得， 因存在使不等式成立，则可得. 令，则， 令，则，所以在上是增函数， 又当时，，当时，， 所以在上有且仅有一个零点，设为，则. 又，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 所以，解得. 2．（2026·四川遂宁·模拟预测）函数． (1)当时，求函数在的单调区间； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是 (2) 【详解】（1）当时，，可得， 令，可得， 因为和在为单调递增函数，可得在单调递增， 所以，所以在单调递增， 又因为， 所以当时，，时，； 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是； （2）由不等式，可得， 故当时，， 因为存在，使得成立， 即在上有解， 令，则有解， 构造函数，则， 当时，；当时，， 所以在递减，在递增，所以，即， 又因为函数在单调递增， 所以当时，可得，即， 所以实数的取值范围为. 3．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)时，求零点的个数； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）求导后，分别在和两种情况下判断导函数的正负，从而得到原函数的单调性； （2）求导并找到函数单调区间后，根据零点的存在性定理可判断； （3）分离参数将问题转变为在上恒成立，令，通过导数可得函数的单调性，进而判断出其最大值，从而得到所求范围. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 当时，，则在定义域上单调递增； 当时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒成立， 所以在定义域上单调递减， 综上所述：当时，在定义域上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在定义域上单调递减. （2）若，则的定义域为， 令，，则， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，在内单调递减，则， 且，，可知在上各有一个零点， 又因为，所以有两个零点. （3）由分离参数可得，即在上恒成立， 令，， 则， 令，，则， 因为，则，可知在上单调递减， 则，且， 可知，满足，即， 可得，， 当时，，即；当时，，即； 可知在上单调递增，在上单调递减， 则， 可得，所以实数a的取值范围为. 大招02 分类讨论法 根据不等式恒（能）成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 【典例2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，． (1)若，求的极值点； (2)若，都有，求的取值范围． 【分析】（1）求出，判断其符号可得极值点； （2）就和分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，， ， 令，则，， 解得，（舍去）， 时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以有极小值点，无极大值点． （2），， 由基本不等式知， 当时，，， 则函数在上单调递增， 所以，符合题意； 当时，，， 记， 则是开口向上，对称轴为的二次函数． 又，所以在上单调递减，则. 所以时，，单调递减，， 不符合题意， 综上． 【跟踪训练】 1．（24-25高二下·河北石家庄·期末）已知函数， (1)若有极值点，求实数a的值 (2)若恒成立，求的最大值 【分析】（1）对函数进行求导，运用导数与极值点的关系进行求解； （2）将两个函数作差形成一个新的函数，即证这个新函数的最小值大于等于0，找到关于a，b的不等式，再将这个不等式进行变形找到题目要求的最大值. 【详解】（1），因为有极值点， 所以，可得， 当时，，当时，， 当时，， 所以在处取得极小值，. （2）令，即恒成立， 当时，，但， ，定在取得， 下面只考虑时的情形，此时， 当时，若，则，，，不合题意， 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ， ，， ，时取等号，. 2．（25-26高二下·广东汕头·期中）已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若在区间上存在一点，使得成立，求a的取值范围. 【分析】(1)    利用导函数的正负讨论函数的单调性； (2)    先将变形后转化为求函数在区间上的最小值. 【详解】（1）函数的定义域为. ， ①当，即时， 因为当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. ②当，即时， 因为当时，，故在上单调递增. 综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为. （2）在上存在一点，使得，即， 也就是在上存在一点，使得， 即函数在上的最小值小于零. 由（1）可知：①当，即时， 在上单调递减， 所以的最小值为，由，可得. 因为，所以. ②当，即时，在上单调递增， 所以的最小值为，由，可得. ③当，即时，可得最小值为， 因为，所以， 故，此时，不成立. 综上讨论可得所求的范围是：. 大招03 拆解法 “双变量”的恒（能）成立问题可以拆解求参数，进行等价变换，常见的拆解转换请参看知识点02 折解法破解恒（能）成立问题. 【典例3】（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知函数，． (1)求的极值； (2)若在上单调递增，求实数 的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数 的取值范围． 【分析】（1）求导分析单调性，根据极值的定义求解即可； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【详解】（1），求导得，， 因为时，，所以在上单调递增． 因为时，，所以在上单调递减． 又，故在处取极小值0，无极大值． （2）函数， 求导得， 由在单调递增，得在上恒成立， 即在上恒成立， 因此，． 设，，， 则在上单调递增，于是， 即， 所以的取值范围为． （3）若对任意的，总存在，使得， 则当时，． 当时，， 即在上单调递增，， 函数，，， 求导得． 由，得，函数在上单调递减， 则． 因此，解得， 所以 的取值范围为． 【跟踪训练】 1．（25-26高二下·安徽安庆·期末）已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若对任意的，存在，使，则. 由已知得， 可知，当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 故当时，. 因为函数的对称轴为， 所以在上单调递减， 所以当时，. 于是，解得. 2．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，若使得，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【详解】若使得， 则，， 时，，则在上单调递增， ， 又在单调递增，所以， ，解得， 则实数a的取值范围为． 3．（25-26高三上·天津静海·联考）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最大值为；求的值； (3)设，若，使得，求的取值范围． 【分析】（1）根据导函数，分、讨论函数的单调性； （2）结合（1）中的单调性分类讨论最值； （3）将题意转化为，易求得，再结合（1）分与两种情况求解，进而求解即可． 【详解】（1）依题意可得， 当时，，此时在上单调递增； 当时，由得，得， 则在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当或时，在上单调递增； 所以，得（舍去）； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，得； 综上，若函数在上的最大值为，则， （3）由已知转化为， 又时，， 由（1）知，当时，在上单调递增，值域为，不合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得， 综上，的取值范围是． 大招04 切线隔离法 1．函数的不等关系与图象特征： （1）若，均有的图象始终在的下方; （2）若，均有的图象始终在的上方. 2．利用“形”解决恒成立问题（两个均为曲线），可考虑两曲线在公切点处的取值情况，结合切线数形结合求解. 【典例4】若不等式对一切xR恒成立，其中a，bR，e为自然对数的底数，则a＋b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用“形”， 不等式对一切xR恒成立，即，设，，因为恒过点，故只需开口朝下，且在点与有相同的公切线即可. 【详解】不等式可化为， 令， 当时，因为恒过点，故只需直线为在点处的切线即可，易得，此时. 当时，因为恒过点，为使对一切xR恒成立，只需开口朝下，且在点与有相同的公切线即可， 故，此时. 综上，a＋b的取值范围是. 【跟踪训练】 1.已知e为自然对数的底数，函数的图像恒在直线上方，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】依题意，有：，即恒成立， a＝0时显然成立，a＞0时，右边为开口向上的抛物线，不可能恒成立， 所以，要使不等式恒成立，需a≤0.当a＜0时，设， 易知两函数的凸凹性相反，故只需考虑两函数图象有且仅有一个公共点，即有公切线的“临界状态”时的切点坐标. 设公切点为，则，解之得,∴切点为 为使， 只需，故,又a＜0，所以. 综上，实数a的取值范围为． 2.设函数 f(x)＝ax2－a－lnx，其中 a∈R，若不等式 f(x)≥1－a 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ． 【答案】 【详解】即ax2≥1+ lnx，相切为下界值.设切点为（x0，1+ lnx0） 则有，解得，故有. 大招05 指对同构法 指对同构法不等式求解策略 核心逻辑：将含指数、对数的不等式变形，使两侧匹配为同一单调函数f(x)的f(a)与f(b)形式，剥离复杂指对运算。 操作步骤： 1. 凑型：优先将指对分置不等号两侧，匹配等常见同构原型； 2. 脱壳：判断构造函数单调性，脱去函数外壳转化为普通代数不等式； 3. 转最值：构造函数后求得该函数的最值，再转化为参数与最值的大小关系. 【典例5-1】（25-26高二下·山东枣庄·期末）已知函数，存在，使得，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知存在，使得，即， 即， 当时，因为，则， 此时，符合题意； 当时，因为，则， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递增， 由可得， 所以，可得， 构造函数，其中，只需， ，由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，亦即最大值，且， 所以，即实数的最大值为. 【典例5-2】（25-26高二下·重庆北碚·期末）若对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式变形分离参数得 ，构造函数并求导判断其在 上单调递增，利用开区间端点处的极限确定参数范围. 【详解】由题意，对任意恒有. 因 ，两边取自然对数得. 令 ，，求导得，可知在上递增. 当 时，，故 ，所以在 上严格递增. 当时， . 故要使不等式恒成立，必须且只需. 即的取值范围为 . 【跟踪训练】 1.（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知，，若在上恒成立，则实数的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上恒成立， 即在上恒成立，即， 令，不等式可化为， 又因为，所以在上单调递增， 所以，即在恒成立， 令，即， 又因为， 由可得在上单调递减， 由可得在上单调递增， 所以最小值为，即， 所以实数的最大值为． 3．（25-26高二下·湖南·期末）已知函数，其中实数a为参数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求证：在上恒成立； (3)若在上恒成立，求实数a的取值范围． 【分析】（1）当时，求得切点和斜率，由此求出切线方程. （2）由得到， 【详解】（1）由题意可知，的定义域为且． 当时，， 又，， 曲线在处的切线方程为， 即； （2）当时，，等价于，             令，则， 令，则， 在上单调递增，且，， 在上存在唯一的零点，此时，              当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增； ， 在上单调递增；              当时，，，；              当时，； 综上可得，在上恒成立， 即在上恒成立；              方法二： ①当时，；             ②当时，，              令，则在单调递增， ，              所以在单调递增，所以， 所以在单调递增，所以，           综合①，②，在上成立； （3）不等式， 等价于， 令，则在R上恒成立，在R上单调递增， 由原不等式可得， 在上恒成立， 在上恒成立； 设，则， 在上单调递减，在上单调递增； ， 又，实数a的取值范围为． 大招06 洛必达法则法 对函数不等式恒成立求参数取值范围时，若采取参数与分离变量的方法，在求分离后函数的最值(值域)时会有些麻烦，如最值、极值在无意义点处，或趋于无穷．此时，可利用洛必达法则． 【典例6】设函数，若当时，求的取值范围 【详解】方法一：当时，，. 当时，；当时，. 故在上单调递减，在上单调递增. 所以 即，当且仅当x=0时取等号. 所以当时，， 从而当，即时，，而， 于是当时，. 由可得. 从而当时， ， 故当时，，而，于是当时，. 综合得的取值范围为. 方法二(洛必达法则法)：当时，，对任意实数a,均在； 当时，等价于 令(x>0),则，令，则，， 知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。 由洛必达法则知，， 故, 综上，知a的取值范围为. 【跟踪训练】 1．已知函数，.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】由题意可得，分、、三种情况，结合洛必达法则求解即可. 【详解】因为对任意，不等式恒成立， 即在内恒成立， 即在内恒成立， ①当时，，不等式成立； ②当时，，不等式成立； ③当时，即， 令， 则 ， 所以在内单调递增， 由洛必达法则得， 所以，故的取值范围是. 2.（2026·河北·三模）已知函数，. (1)证明：在区间上单调递减； (2)对于恒成立，求实数的取值范围. 【详解】(1)证明：， 令，则， 令，则， 若，则单调递减，单调递减，，在上单调递减， 若，则单调递增，，即 存在唯一，使得，且在上，单调递减，在上，单调递增， 且， 在区间上单调递减，且在上连续， 综上，在区间上单调递减. (2)当时，，成立.当时，由可得， 令， 由（1）可知在上单调递减，. 由洛必达法则：， . 一、单选题 1．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，存在，使得能成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导确定函数的单调区间，得到最小值点，代入最小值并令其小于等于，解出参数的取值范围. 【详解】由题意只需即可，，令得， ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故， 所以，解得． 2.已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 A． B． C． D． 2. C【提示】分离参数、分类讨论.当时，，而，故（当时，）；当时，，利用相切求得. 3．（25-26高二下·海南海口·期中）已知函数．若存在，使得成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得. 令，则. ，即，得. 存在，使得成立，等价于存在，使得成立， 只需即可. 令，则. 当时，，则在上单调递增； 当时，取得最大值，即. ，即实数的取值范围为. 4．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）若对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，对任意恒成立， 所以在上单调增. 可变形为 ，即 因为在单调增， 所以，即对恒成立. 设，令，解得. 所以，单调减， ，单调增. 所以当时，有最小值. 所以，解得. 二、多选题 6．（25-26高二下·山东威海·期末）已知函数，则（    ） A．若存在实数，使得，则 B．当时，过原点且与曲线相切的直线不存在 C．当时，方程有3个不相等的实数根 D．当时， 【答案】ACD 【详解】对于，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 因此在处取得最大值， 对于A：若存在实数使，只需，则，解得，正确， 对于B：当时，，设切点为，切线过原点，则斜率为， 由，联立得， 因为存在实数，所以过原点的切线存在，错误， 对于C：方程等价于，令， 由且定义域为，即为奇函数， 显然，即是一个根，而，则， 因此在右侧附近小于0，在左侧附近大于0， 令且，则，故在上单调递增， 所以，故在上，而， 因为，且时， 因此，在上必有一个根，根据奇函数的对称性，在上也必有一个根， 综上，共三个不相等的实数根，正确， 对于D：令，则， 当时，，且， 因此，即在上单调递增， 因为，所以时，即，正确. 7．（25-26高二下·福建龙岩·期中）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点 C． D．若在上有解，则 【答案】ACD 【详解】A选项，，定义域为， ，令，解得， 当时，，∴函数在上单调递增， 当时，，∴函数在上单调递减， ∴函数在时取得极大值也是最大值，故A对； B选项，∵时，，，， 当时，，如图所示： ∴函数有且只有唯一一个零点，故B错； C选项，∵当时，为单调递减函数，∴， ∵，所以，故C对； D选项，若在上有解，即在上有解， 由上可知函数在上单调递减，所以， 于是有，故D对. 三、填空题 8．（24-25高二下·福建福州·期末）函数，若存在，使有解，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，故的取值范围为． 9．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知存在使不等式成立，则m的取值范围为__________． 【答案】 【分析】将不等式转化为，令，，求导判断函数的单调性，推得，结合题意，可得，求解即得. 【详解】由， 令，， 则， 设，可得 则函数在上单调递增， 又由， 则函数在上存在唯一零点， 即，即， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 则当时，函数取得最小值， 为， 由题意，存在成立，需使， 所以，即. 10．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知函数，若使得成立，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【详解】由题意得， 则当时，，即在上单调递增， 则；由使得成立， 则在上有解，即在上有解， 令，因为，则， 故在上单调递减，则，即实数的取值范围是． 四、解答题 11.（25-26高二下·河北唐山·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值，并求的单调区间与极值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【分析】（1） 先求函数导数，结合导数的几何意义和两直线垂直的斜率关系求出，再通过导数符号判断单调性，进而求解极值. （2） 将存在性不等式成立问题转化为不大于在上的最大值，计算区间内的最大值即可得到的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，. 曲线在处的切线斜率为，直线的斜率为. 由两直线垂直斜率乘积为，得，解得. 将代入得，令，解得，. 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 则极大值为， 极小值为. （2）存在使得成立，等价于. 由（1）可知，，因此在上单调递增，在上单调递减. 因此在上的最大值为，故，即的取值范围为. 12．（25-26高二下·辽宁·期末）已知函数，． (1)设函数，若不等式在上恒成立,求的取值范围； (2)证明：，． 【详解】（1）由题意可知不等式0在上恒成立， 当时，不等式可化为恒成立． 令，则， 令，则， 设，则， 设，则． 因为，所以，则在上单调递减，所以，即， 所以在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减， 所以，即， 所以在上单调递减，所以． 根据洛必达法则可知 所以， 故的取值范围为． (2)证明：当时，， 设，则， 设，则，所以在上单调递增， 则，即，所以，即， 当且仅当时取得等号． 令，，则，，， 将上面个式子相加得 故，. 13．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若在区间上不是单调函数，求的取值范围； (3)若当时，恒成立，求的取值范围. 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算性质进行求解即可； （2）根据导数的性质，结合题意进行求解即可； （3）利用构造函数法、导数的性质进行求解即可. 【详解】（1）当时，函数，可得， 则， 所以 在 处的切线方程为，即. （2）由函数，可得， 令，则， 若，可得恒成立，则在上单调递增，不符合题意； 若，令，可得， 要使得函数在区间上不单调，则满足， 此时在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以实数的取值范围为. （3）当时，由恒成立，即， 即恒成立，即在上恒成立， 令， 可得， 令，则且， 所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为. 14．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数． (1)当时，求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，证明不等式：． 【分析】（1）利用导数求函数的最值即得； （2）通过求导可得，讨论单调性求出，构造函数，讨论单调性可得，进而即得； （3）由（2）可知当时，，令，可得然后通过累加及对数的运算完成证明. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，在上单调递增． 所以，. （2）由题可得，令，解得， 则当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，取得最小值，， 若在上恒成立，即的最小值恒成立， 设，则， 令，得 ，解得， 则当时，，函数单调递增， 时，，函数单调递减， 所以当时，取得最大值， 故，当且仅当时等号成立， 又，故，所以． （3）由（2）可知，当时，在上恒成立， 即在上恒成立，当且仅当时等号成立， 即，即， 令，因为， 所以， 所以 所以， 即， 所以，证毕. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $