解题大招35 凹凸反转，最值隔离（3大热点题型）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 以凹凸函数性质为基础，通过二阶导数判断与函数拆分策略，系统解决零点、不等式证明、恒成立三大热点问题的专项训练 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|5个核心知识点|凹凸反转（拆分函数为凹凸函数）、最值隔离（求凹凸函数最值比较）|从几何特征到二阶导数判断，再到策略应用，形成概念-原理-应用逻辑链条| |题型|3类热点题型（含3典例+跟踪训练）|零点问题用函数拆分，不等式证明用最值比较，恒成立问题用参数反推|题型与方法对应明确，典例涵盖高考真题与模拟题，突出高频考点突破|

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解题大招35凹凸反转，最值隔离（3大热点题型) 题型01解决零点问题 凹凸反转，最值隔离 题型02证明不等式 题型03解决不等式恒成立问题 知识梳理 知识点01凹凸函数的几何特征（形状特征） 般地，对于函数()的定义域内某个区间D上的不同的任意两个自变量的值x,?, f+3)2f)+fx) (1)总有 (当且仅当X时，取等号)，则函数()在D上是凸函数， 其几何意义：函数)的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的上方.∫"(x)<0,则"(，)单调 递减，f)在D上为凸函数： f+3)≤f)+f) (2)总有 2 (当且仅当时，取等号)，则函数()在D上是凹函数， 其几何意义：函数(x)的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的下方.∫"(x)>0,则∫'()单调递增， f(x)在D上为凹函数， 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图形上任意弧段位于所在弦 图形上任意弧段位于所在弦 的下方的函数为凹函数 的上方的函数为凸函数 知识点02利用二阶导数判断函数的凹凸性 二阶导数 凹凸性与开口 fx≥0 凹函数，开口向上 f"x≤0 凸函数，开口向下 知识点03诠释“凹凸反转”的策略 很多时候，我们需要证明函数fx>0,但不定就要fxm>0,因为大多数情况下fx的零点是解 不出来的.这时候我们可以尝试凹凸反转fx>0台gx>hx,如果能够证明9xmn>hxm,则 9x>hx显然成立，(Ps:反过来不一定成立)所以fx>0就成立.很明显9x是凹函数，hx是凸 函数：因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转 g(x)min h(x)mx 知识点04凹凸反转中常用不等式 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 e2x+1,x=0 (1) (当时取到等号) (2) e之ex(当x时取到等号) x=1 (3)x(当x=1时取到等号) lnx≤x-1x=1 (4) (当时取到等号) Inx 1 (5)xe(当x=e时取到等号) 知识点05凹凸反转中常用6个经典函数（熟记） 3/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 函数fx)=血x(x>0)在(0，)上单调递减，在(。，+0） Ax)=xln x 上单调递增，在x=二处取得最（极）小值-。，无最（极）大值 a,- y bf-受 函数代)=(x>0)在(0，e)上单调递增，在(e,+0)上 单调递减，在x=心处取得最（极）大值。，无最（极）小值。 y (e,e) 3 函数f代x)=x>0,x≠1)在(0,1)，(1,0)上单调递减，在 (e,+∞)上单调递增，在x=e处取得极小值e,无极大值。 0 函数f(x)=xe在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上 4 fx)=xe 单调递增，在x=-1处取得最（极）小值-。，无最（极）大值 e1,- 0% (1,e) 函数)-(x≠0)在(-0,0)，(0,1)上单调递减，在(1， +0)上单调递增，在x=1处取得极小值e,无极大值. 0 =ě 函数f)=票在(-0,1)上单调递增，在(（1，+0)上单 0 调递减，在x=1处取得最（极）大值上，无最（极）小值 典型解析 >题型01解决函数零点（方程实根）问题 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 凹凸反转法的关键几点 (1)遇到解析式简单的，首选构造差值函数，即构造一个函数. (2)当解析式略微复杂，先尝试构造差值函数，如果导函数的零点不易求出，可再尝试凹凸反转法 (3)凹凸反转法即是拆分函数法，如何拆成两个函数是关键，最常见的是指数、对数型分离 (4)熟练掌握常见指数、对数型函数的图像和最值 f(x)=e-2+e-x2+Asin πxπ 【典例1】已知函数 、36)有且只有一个零点，则实数A的值为() A.4 B.2 C.-2 D.-4 【跟踪训练】 1.若函数f(闭=-r产+4x+me2+e2 有唯一的零点，则实数m= 2.已知函数fw)=®+)为常数)是实数集R上的奇函数，其中e为自然对数的底数. (1)求k的值： Inx =x2-2ex+m (2)讨论关于x的方程f(x) 的根的个数， 题型2证明不等式 高分因击 要证明(：)>0，而这里∫(：)又比较复杂，直接分析其单调性与值域比较困难，这时可以考虑将 5/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f()>0通过一些手段等价转化为()>g(),如果此时可以容易求出h()最小值h(:)=m与 g(x)最大值8(：，)=M,而且容易得出m>M(或者m≥M且士≠)，那么就可以说明 h(x)>g(x),即f()>0 掌握识记六大超越函数和变形能帮助快速解题。 【典例2】当心0时，求，血心忌. 【跟踪训练】 1已知函数f()=e,证明 ,(>e*+lnx- 2.(2022全国卷)设函数f)=acnx+be ,曲线y9在点(1,1)》处的切线方程为一ek-1)+2 (1)求a,b: (2)证明：f()>1 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03解决不等式恒成立问题 凹凸反转破解恒成立问题求解策略 适用场景：含参导数恒成立问题，直接移项求导后零点难寻、分类讨论复杂时使用 核心逻辑：将原式拆分变形为x)≥g(x)结构，调整使fx)为凸函数（最大值易求）、gx)为凹函数（最小值 易求). 操作步骤：分别求解fx)的最大值、gx)的最小值，验证fx)最大值≤g(x)最小值即可证明恒成立，可直接反 推参数范围，避开复杂隐零点运算 【典例3-1】若hx+mr+1-e)K+m≤0(x>0)恒成立，求正实数m的取值范围 I(x)=e"-1 【典例3-2】已知函数 x,其中e=2.71828…为自然对数的底数. 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求f()的单调区间： （2)e-2xlnx--1≥0对x>0恒成立，记kx=元，证明：元>1.1. 【跟踪训练】 1.已知实数xy满足(4x+3y-0)-e2≥3r+2y-6,则X+y的值为( A.2 B.1 C.0 D.-1 2.若x>0,xnx+4x<e*a+x-x2,求a的取值范围. 3.(2026宁波二模节选)已知函数f(x=lnX+1+ax2-Xa∈R).当x≥0时，fx)≥0恒成立，求 实数a的取值范围. 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 巩固提升 .已知大于1的正数a,b满足e,了 则正整数n的最大值为() A.7B.8C.9D.11 2.已知函数f)=e“- ，当>0时，f<-1 ,求a的取值范围。 3.已知函数f(=e-ln(x+m).当m≤2时，证明f()>0, 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.己知函数f(x)=xlnx+a,直线y=(n2+)x-1与曲线y=f()相切 (1)求实数a的值： (2)若函数y=F(w与y=G()在其公共定义域内满足F(x)≥x≥G(),则称F(x)与G(x)存在临界线证 明：=xlnx+a与86)=3e xe-1+1存在临界线， 5.设函数f(x)=lnx+a-x (1)当a=-2时，求/的极值： (2)当a=1时，证明：f()-。+x>0在(0，+∞)上恒成立. 6.已知f冈=xhx.g()=-2+am-3 0)求函数/0的单调区间， ②对一切*∈(0，+切），2)28（恒成立，求实数a的取值范围， 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 nx12 ③)证明：对一切r∈(0，+o,都有n>ec心成立 11/11 解题大招35 凹凸反转，最值隔离（3大热点题型） 知识点01 凹凸函数的几何特征（形状特征） 一般地，对于函数的定义域内某个区间上的不同的任意两个自变量的值， （1）总有（当且仅当时，取等号），则函数在上是凸函数，其几何意义：函数的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的上方.，则单调 递减，在上为凸函数； （2）总有（当且仅当时，取等号），则函数在上是凹函数，其几何意义：函数的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的下方.，则单调递增，在上为凹函数. 图形上任意弧段位于所在弦的上方的函数为凸函数 图形上任意弧段位于所在弦的下方的函数为凹函数 知识点02 利用二阶导数判断函数的凹凸性 二阶导数 凹凸性与开口 凹函数，开口向上 凸函数，开口向下 知识点03 诠释“凹凸反转”的策略 很多时候，我们需要证明函数,但不定就要，因为大多数情况下的零点是解不出来的.这时候我们可以尝试凹凸反转.，如果能够证明，则显然成立，（PS:反过来不一定成立）所以就成立.很明显是凹函数，是凸函数；因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转. 知识点04 凹凸反转中常用不等式 （1）（当时取到等号） （2）（当时取到等号） （3）（当时取到等号） （4）（当时取到等号） （5）（当时取到等号） 知识点05 凹凸反转中常用6个经典函数（熟记） 题型01 解决函数零点(方程实根)问题 凹凸反转法的关键几点 （1）遇到解析式简单的，首选构造差值函数，即构造一个函数. （2）当解析式略微复杂，先尝试构造差值函数，如果导函数的零点不易求出，可再尝试凹凸反转法 （3）凹凸反转法即是拆分函数法，如何拆成两个函数是关键，最常见的是指数、对数型分离 （4）熟练掌握常见指数、对数型函数的图像和最值. 【典例1】已知函数有且只有一个零点，则实数A的值为（  ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 【答案】C 【详解】∵ ∴， 又，则， ∴函数为偶函数，故函数的图象关于对称，∴ 函数的图象关于对称，∴函数的图象关于对称， 又函数有且只有一个零点，∴函数的零点为2，∴，即，∴,∴.故选：C. 【跟踪训练】 1.若函数有唯一的零点，则实数_______ 【答案】-2 【详解】因为，所以 所以即函数图象关于轴对称，故函数的图象与轴的交点也关于对称，又因为函数有唯一零点，故根据函数的对称性可知，只能交在，0），即（2）， 所以． 2．已知函数为常数）是实数集上的奇函数，其中为自然对数的底数． （1）求的值； （2）讨论关于的方程的根的个数． 【详解】（1） 因为函数为常数）是实数集上的奇函数， 所以，即， 则， 解得， 显然时，是实数集上的奇函数； （2）由（1）得， 方程可转化为， 令，， 因为，令，得， 当时，，所以在上为增函数， 当时，，所以在上为减函数， 当时，， 又 所以在上为减函数，在上为增函数， 当时，， 所以当，即时，方程无解， 当，即时，方程有一个根， 当，即时，方程有两个根， 综上得： 当时，方程无解， 当时，方程有一个根， 当时，方程有两个根． 题型02 证明不等式 要证明，而这里又比较复杂，直接分析其单调性与值域比较困难，这时可以考虑将通过一些手段等价转化为，如果此时可以容易求出最小值与最大值，而且容易得出（或者且），那么就可以说明，即．掌握识记六大超越函数和变形能帮助快速解题. 【典例2-1】当时，求证：． 【详解】证明：两边同时乘以，即证明． 下面将左右两个部分分别构造新函数，即，． 接下来我们再证明的最小值大于的最大值即可． (即凹凸反转) 由知，在上单调递减，在上单调递增， 所以；而知，在上单调递增， 在上单调递减， 所以 所以有，又等号不同时取到， 所以有，得证． 注：从图象上看，左凹右凸，上述证明很容易实现． 【跟踪训练】 1.已知函数，证明：． 【详解】即证．等价于证：． 令，．时，． 即．令，则． 当，，单调递增；当，，单调递减； 即．所以．综上，． 2.（2022全国卷）设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2. (1)求； (2)证明: 【详解】（1）函数的定义域为， . 由题意可得，.故，. （2）证明：由（1）知，， 从而等价于. 设函数，则. 所以当，； 当时，. 故在上单调递减，上单调递增，从而在上的最小值为. 设函数，则. 所以当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为. 综上，当时，，即. 题型03 解决不等式恒成立问题 凹凸反转破解恒成立问题求解策略 适用场景：含参导数恒成立问题，直接移项求导后零点难寻、分类讨论复杂时使用. 核心逻辑：将原式拆分变形为f(x)≥g(x)结构，调整使f(x)为凸函数（最大值易求）、g(x)为凹函数（最小值易求）. 操作步骤：分别求解f(x)的最大值、g(x)的最小值，验证f(x)最大值≤g(x)最小值即可证明恒成立，可直接反推参数范围，避开复杂隐零点运算. 【典例3-1】若恒成立，求正实数m的取值范围. 【分析】将原式变形为，令，根据导数求其最值，然后列不等式求解. 【详解】不等式等价于，， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 令， ， 令，解得或， ∵，∴. 1 当时，， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故， 欲使不等式恒成立，则， 解得， 2 当时，， 令得或，令得， 所以在，单调递减，在上单调递增， 而，存在， 从而不等式不恒成立. 综上，当时，不等式恒成立. 【典例3-2】已知函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数． （1）求的单调区间； （2）对恒成立，记，证明：． 【详解】（1）， 易证当时，，则，即， 所以，故在，上单调递增； （2）方法一（常规方法）:由题意得，， 令，要证：，即证， ， 令，则，， 所以在上单调递增，又，， 故，使得，即， 所以，有，单调递减， ，，单调递增， 所以，， ，， 所以存在，使得，即， 且满足，，单调递减； ，，单调递增； 所以； 令，则，故单调递减， 又，所以， 则只需证明， 又，可先证明，又，，则， 所以，而，所以，证毕！ 注：关于的证明下面再给出一种证法： 由对数均值不等式（需要证明）得，即， 又，所以，证毕！ 方法2 凹凸反转 ∵，∴要证原式 只需要 稍作变形恒成立 构造， 由单调性可知 构造， 由单调性可知 因此 因此 【跟踪训练】 1.已知实数x,y满足，则的值为（       ） A．2    B．1     C．0     D．-1 【答案】A 【分析】设，，得，变形为，令，，求导求最值得，结合取等条件求出x，y即可. 【详解】设，，则 ， 令， 时，单调递增； 当m>1时，单调递减. ， 令，则 所以当， 则在单调递减，单调递增 由题意，，，，， 故x+y=2.故选A 【题后反思】解决本题的关键是利用及换元思想将问题转化为. 2.若，，求a的取值范围． 【详解】，即，成立． 令，． ，极大值 ， 因此，． 所以只需，即，解得 3．（2026 宁波二模节选）已知函数.当时，恒成立，求实数的取值范围. 【详解】由题意可得， ，此时； ，此时； 要想对任意时，恒成立，则必有，即得. 即得是在恒成立的一个必要条件. 下面证明充分性，即证当时，对任意时，恒成立. ， 令，则， 即得在上单调递增，所以； 即得，恒成立； 充分性得证. 综上所述 实数的取值范围为. 1． 已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．11 【答案】C 【详解】由题干条件可知：等价于， 令，，则 ， ， 当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则有最大值 . 令，，则，当时，此题无解，所以， 则，当，当， 所以在在上单调递减，在上单调递增，则有最小值. 若成立，只需，即，即， 两边取对数可得：.时，等式成立，当时，有， 令，本题即求的最大的正整数. 恒成立，则在上单调递减， ，，， 所以的最大正整数为9. 故选：C. 2．已知函数，当时，，求a的取值范围； 【详解】由题知，因为，所以，解得，下面证明对且恒成立. 只需证明对恒成立对恒成立（令，则）①对恒成立，设，则 ，所以，故①式成立，则的取值范围为 3..已知函数．当时，证明． 【详解】当时，． 故只需证：．即证：． 令，，则． 当，，单调递减； 当，，单调递增；即． 令，则． 当，，单调递增； 当，，单调递减； 即．不能同时取“=”所以． 综上，当时，． 4．已知函数，直线与曲线相切. （1）求实数的值； （2）若函数与在其公共定义域内满足，则称与存在临界线.证明：与存在临界线. 【答案】（1）（2）证明见解析 【分析】（1）设切点为，求出导数，求得切线的斜率和切点，由切线的方程，解得，； （2）先证，，设，利用导数即可证明，再证，，即证，设，利用导数即可证明． 【详解】（1）因为， 所以，设切点为， 则可得， （2）证明：先证，，设，，则当 时，，单调递减；当时，，单调递增，故在处取最小值，故，即. 再证（），即证（），设， ，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，故在处取最小值，故，即（），则，即与存在临界线. 5．设函数． （1）当时，求的极值； （2）当时，证明：在上恒成立． 【详解】（1）当时，， ∴当时，；当时，． ∴在上单调递增，在上单调递减． ∴在处取得极大值无极小值 （2）当时，， 下面证，即证． 设， 则， 在上，是减函数；在上，是增函数． 所以． 设， 则， 在上，是增函数；在上，是减函数， 所以，． 所以，即，所以，即， 即在上恒成立. 6．已知，. (1) 求函数的单调区间； (2) 对一切，恒成立，求实数a的取值范围； (3) 证明：对一切，都有成立. 【分析】（1）求出的导函数，令导函数小于0，可求得函数单调递减区间，导函数大于0，可求得函数单调递增区间； (4) 把与解析式代入已知不等式，整理后设，求出的导函数，根据导函数的正负判断单调性，进而求出的最小值，即可确定的范围； (5) 所证不等式两边乘以，左边为，右边设为，求出左边的最小值及右边的最大值，比较即可得证． 【详解】（1）因为，所以， 当，，当，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； （2） 解：原不等式等价于，即对一切恒成立， 设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 所以实数a的取值范围为； （3）证明：原问题等价于证明， 由（1）可知，的最小值是，当且仅当时取到， 设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，当且仅当时取到， 所以对一切，都有成立． 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $