解题大招37 导数法比较大小的5个核心大招：构造函数、泰勒展开、超越不等式、帕德近似、微元法（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

解题大招37 导数法比较大小的5个核心大招： 构造函数、泰勒展开、超越不等式、帕德近似、微元法 知识点01 泰勒展开式 1．泰勒展开式 泰勒展开式，也称泰勒公式，主要是用于求某一个复杂函数在某点的函数值.如果一个函数足够平滑，即若函数在包含的某个闭区间具有阶导数, 且在开区间 上存在阶导数, 则对上任意一点, 有 =++++ +， 其中称为余项，泰勒展开式也叫泰勒级数.我们更多的是用泰勒公式在0时的特殊形式： 即=+++++. 以下列举一些常见函数的泰勒公式： ①; ② ; ③; ④; ⑤. ⑥. ⑦ 只需记住公式①②③⑥，公式③求导即得公式④，公式②求导即得公式⑦,再将x换成-x即得公式⑤ 【记忆口决】指对函数一二三，正弦函数一三五.正弦对数隔一换，正弦指数有感叹. 注：有感叹：就是阶乘，隔一换：是指正负号变换. 2．常用不等式 由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式： ，，， ，，， ，，． 知识点03 常见放缩不等式 1. 两类经典超越不等式 ，，， 2. 常见不等式放缩 ，， ，， ， ， 3．放缩程度综合 ， 知识点04 帕德近似 帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法． 给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为： ， 且满足：，，，…，． 注：，，， 知识点05 微元法 如图，函数是关于点的对称函数，则，若在 恒成立，则必有 .同理,在恒成立，则有恒成立。 从图象可以看出，和的大小即是曲线弯曲程度。即比较和的大小，如果和 相同，可以比较 ,直到可以比出大小。 如果是同一函数比较，则可以比较在 处导数的大小．导数的数值越大，则函数在自变量变化相同时，函数的变化率越大． 秒杀技01 构造函数法 通过构造辅助函数，将待比较的数视为函数在某点的函数值，利用函数的单调性、极值等性质比较大小.该方法的关键是构造出合适的函数，并通过导数分析其性质.常见构造方式有：作差构造作商构造取对数后构造、同构法等. 【典例1-1】（25-26高三上·广东佛山·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别构造函数、，结合导数研究其单调性，即可得解. 【详解】令，则， 即在上单调递增，故，即有； 令， 则， 即在上单调递增，故，即有； 综上所述：. 【典例1-2】（25-26高三·全国·一轮复习）比较大小，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过构造函数，利用导数分析其单调性，利用在上的单调性比较与的大小；构造，用导数分析其单调性，证得，赋值推得，再由，推出，即可比较与的大小，得到最终结果. 【详解】令，则， 当时，，在上单调递增. ， 因，则,两边取对数得，则，即； 设，则， 在上单调递增. 又，即对恒成立. 令得，,又，∴ ，， 又 综上可得，. 【跟踪训练】 1．（2026·甘肃·模拟预测）设，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将用变量x替代，则，，，其中， 令，则， 令，则， 则在上单调递减，且，， 所以，使得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 又，，则，则在上单调递增， 则，即，所以， 记，，则，在上单调递增， 又，所以，所以. 综上，. 2．（2026·甘肃平凉·模拟预测）若，，，，则a，b的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 则， 设， ， 令，， 在上单调递增，则时，， 即，则， 在上单调递减， ，即， ， ，， 则． 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】.因为， 所以，即，所以. 构造函数， 求导得，故在单调递增. 因此，即. 令，得，得证. 构选函数，求导得， 因为，所以，所以在单调递减， 当时，. 令，得，由 故.综上，. 4．（2026·河南周口·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则， 即，且，， 令，，则， 因为函数在定义域内单调递增，则. 例如，，满足，但，且均无意义，故AC错误； 例如，，满足，但，故B错误； 由可得，即， 所以，故D正确. 5．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设均为正数. 根据泰勒公式，当时，. 代入得，即. 令， 求导得，故在时递增， ，即. 令，则， 故，，故. 因此，即. 6.(多选)（2026·河北·一模）设且，若，则下列大小关系可能成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为且，，所以. 又，所以. 构造函数， 则的定义域为，， 所以在上单调递减，又， 所以当时，，即，所以， 所以，故CD正确； 当时，，即， 所以，所以，故AD正确，B错误. 故选:ACD. 秒杀技02 泰勒展开式法 泰勒不等式（泰勒公式）将函数在某点展开为多项式，通过取前几项可以在该点附近进行高精度近似.在比较数值大小时，利用常见函数（如等)的泰勒展开式，代入具体点计算近似值，从而比较大小.该方法适用于数值差异微小、直接计算困难的情形. 根据待比较数值的特点，选择展开点（通常为或和对应的函数.例如，比较可用在处展开. 【典例2-1】已知，，，则（    ） A.    B.           C.           D. 【答案】A 【分析】由泰勒公式得得到、的近似值，再进行比较大小. 【详解】由泰勒公式得，，， 令，得到， 又， 令，得到， ，所以，故选A. 【题后反思】本题也可以利用构造函数法进行求解： 因为当时，，所以，所以. 令，则，在上单调递增， 故，即，所以，从而有. 综上，.故选A. 【温馨提醒】泰勒公式展开的阶数越高，计算的精度越高，但计算复杂度也随之升高，我们可以通过选择恰当的展开阶数，来达到我们需要的计算精度；一般根据题目需要，取前两项或前三项，最多取前四项. 【典例2-2】在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.其中，. 通过这些公式可以计算一些无理数的近似值.将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保显示值的精确性，已知，，.根据以上公式，则这三个数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简，再利用泰勒公式近似求出的值，再比大小即可. 【详解】由题意可得，， ， 又，则. 故选：C 【跟踪训练】 1．英国数学家泰勒给出如下公式：；；，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助泰勒公式，进行适当放缩再比较即可. 【详解】， ， ，则， 因此. 故选：C. 2．已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用泰勒放缩，即可比较大小. 【详解】， ， ， ∴. 故选：D. 3．· 新高考I，7) 设. 则 A. B. C. D. . 【答案】C 【详解】直接利用泰勒展开式比较大小. 设 ， . 则； ， 所以c<a<b,故选C. 4． 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解. 【详解】[方法一]：构造函数 因为当 故，故，所以； 设， ，所以在单调递增， 故，所以， 所以，所以，故选A [方法二]：泰勒展开 设，则，， ，计算得，故选A. 秒杀技03 超越不等式法 在比较大小或证明不等式时，两类经典的超越不等式是核心工具： (1)指数型：,常用于处理含的式子： (2)对数型：,常用于处理含的式子. 它们的变形形式也经常使用，如. 直接应用这些不等式可以快速放缩，将复杂超越式转化为简单代数式，从而比较大小或求解参数范围. 【典例3-1】 已知 , 则 的大小关系为 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】，，故c<a<b. 【典例3-2】设，则（    ） A． B． D． 【答案】A 【详解】由超越不等式得，所以 所以，即， 设，则在区间上是减函数． 且． 所以函数在区间上是增函数． 所以，即．即：． 故选：A． 【跟踪训练】 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】构造，， 则对恒成立，则在单调递增， 此时，当且仅当时取等， 所以，则； 构造，， 则对恒成立，则在单调递减， 此时，当且仅当时取等， 所以，则； （秒解：由超越不等式直接得：,由得） 构造，， 则对恒成立，则在单调递减， 此时，当且仅当时取等， 所以，则； 则，； 下面比较b和c的大小： 设，，， 设，，， 易知在上单调递增，则， 所以在上单调递减，， 即在上恒成立，则在上单调递减， 由，则，即，则， 综上所述， 故选：D. 2.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，故选：A. 3．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数单调性比较数的大小. 【详解】设，则， 当时，，当时，， 即当时，取得最小值， 即有，． （秒解：为超越不等式，牢记此不等式，即可秒得a>b） 令，则， 令，易得在上单调递增， ∴当时，，， 在上单调递增， ，即， ，. 故选：B． 4.已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由超越不等式得，所以 ，即， 由超越不等式得令，所以,即a>c. 令，， 则 在上恒成立， 故在上单调递增， 又，故， 故，即，故有.故选：D. 秒杀技04 帕德近似法 即利用帕德近似（详见知识点04）得到相应数的近似值，再比较近似值的大小. 【典例4-1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用帕德逼近，得， ，，综上，.故选：B 【典例4-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用帕德逼近估算各值的近似值，比较大小关系. 【解析】，， ， 综上，．故选：B 【跟踪训练】 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用帕德逼近公式估算各值，比较大小关系即可. 【解析】利用帕德逼近可得， 综上，． 故选：B. 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用帕德逼近公式估算各值，比较大小关系即可. 【解析】， ， . 综上，． 故选：A 3．帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，， 已知函数. (1)求函数在处的阶帕德近似，并求的近似数精确到 (2)在（1）的条件下： ①求证：； ②若恒成立，求实数的取值范围. 【分析】（1）先写出阶帕德近似，然后求导得到，，令得，所以，求导得到求解即可； （2）令，，求导得到判断在及上均单调递减，按照和分类讨论求解即可； 由已知令，且，所以是的极大值点，求导得到，故，，得到之后写出，然后求导判断单调性证明即可. 【详解】（1）由题可知函数在处的阶帕德近似， 则，，， 由得，所以， 则，又由得，所以， 由得，所以， 所以. （2）①令，， 因为， 所以在及上均单调递减. 当，，即， 而，所以，即， 当，，即， 而，所以，即， 所以不等式恒成立； ②由得在上恒成立， 令，且，所以是的极大值点， 又，故，则， 当时，，所以， 当时，，，则，故在上单调递增， 所以当时，， 当时，， 令，因为，所以在上单调递减， 所以，又因为在上， 故当时，， 综上，当时，恒成立. 秒杀技05 微元法 微元法比较大小解题策略 1.利用对称函数微元斜率关系：区间恒成立不等关系，转化为微元斜率和正负判断。 2.对比曲线弯曲程度：先比较一阶导，若一阶导相等，继续比较高阶导数，分出大小。 3.同一函数比较：取两处导数，导数数值越大，相同自变量改变量下函数变化率越大。 4.借助局部微元斜率，把区间整体不等式，转化为极小邻域导数、高阶导数分 【典例5】（多选）设，则 A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】设， . 最小． . 所以．故选ACD． 【跟踪训练】 1．（2021 • 全国乙卷理）设，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设 比较和． ， ． 所以 ．故选B． 2．（多选）设 －1．则 A．最小 B．最大 C． D． 【答案】BCD 【详解】设 ． 最小 最大． 故选BCD. 1．（23-24高三上·山东临沂·期末）英国数学家泰勒发现了如下公式：，，其中.已知，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．无法判断二者大小 【答案】A 【分析】根据泰勒公式，将代入公式，直接计算近似值再比较即可. 【详解】由题意可知，，所以. 故选：A. 2． 已知 。则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】构造． 递减，．所以. 因为 0.1 非常小，可以近似 ． 而 ． 所以．所以 ．故选B． 3．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由超越不等式得，． 令，则， 令，易得在上单调递增， ∴当时，，， 在上单调递增， ，即， ，. 故选：B． 4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由超越不等式得,故，即， 由超越不等式得 故，即， 综上：，故选： D. 5.（2022·全国甲,12） 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解法1（构造函数）：因为,因为当,所以,即,所以；设，，所以在单调递增，即x>0时， 则,所以，所以,所以.故选A. 解法2（泰勒公式、估算法）:由泰勒公式可得 , 6．（25-26高三下·安徽·阶段检测）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】适当构造函数，根据函数单调性比较大小即可. 【详解】构造函数，求导得， 当时，单调递增，因此，即. 令，得，即. ，对同时取次方得 ， . 因为幂函数在单调递增，，，故. 综上. 7．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数得到，，，再构造函数比较出，，从而比较出大小. 【详解】令，，则，当时，， 所以在上单调递增，， 故， 令，，则在上恒成立， 故在单调递减，故， 所以， 令，，则， 故在上单调递减， 故，即， 构造，，则， 令，则， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增，又，故在恒成立， 故在上单调递增，又，故在恒成立， 故，即，， 构造，， 则，令，则， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减，又， 故在上恒成立，故在上单调递减， 又，故在上恒成立，故在上单调递减， 故，即，即， 因为，故. 故选：C 【点睛】方法点睛：麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下： ，， ， ， ， 8．（2026·宁夏银川·一模）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的换底公式，对数的运算法则以及指数函数的单调性，通过构造函数，利用导数法求出单调性比较出的大小. 【详解】，， ，， ，， ，， 设，， ， 设，，，， 在上是单调递增函数， ，，， 在上是单调递减函数， ，，， 为上的单调递减函数，， ，， ，即. 9．（2026·湖北襄阳·一模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的形式构造函数，利用导数求解函数的单调性即可得解. 【详解】由于， 故构造函数，则， 令， 故，因此在上单调递增， 故，故在恒成立，故在上单调递增，因此，即. 10．（多选）已知，则下列不等关系一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分别对每个选项进行变形或构造函数，利用已知条件中变量的大小关系和函数的单调性判断不等式是否成立. 【详解】由，则，又在上单调递减，则，故A错误； 不等式 等价于 ，即 ， 令 ，则 在 上恒成立，故 在 上单调递增， 因 ，故 ，故B正确； 由等价于，设，在上单调递减，且， 所以，即，故C错误； 由等价于， 设，在上单调递增，且，所以， 所以，即，故D正确． 故选：BD. 11．(多选)（25-26高三上·广东·期末）已知，则（   ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用导数研究函数的单调性，根据单调性比较大小即可． 【详解】，故，故A错误； 比较b，c的大小关系，令，可知， 故当时，，当时，，故， 则，当且仅当时等号成立， ，故B正确； 比较a，c的大小关系， 设，则， 故当单调递增，当单调递减， 因此， 因此，当且仅当时取等号， 故，即，故C正确； 因为已证，，，所以，故，故D正确． 故选：BCD． 12．英国数学家泰勒发现了如下公式：，，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性． (1)用前三项计算； (2)已知，，，试证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用泰勒计算即可； （2）利用泰勒展式可得，法1，利用单位圆可证，故可得三者的大小关系；法2，利用泰勒展式并放大可得，利用泰勒展式并缩小可得，两者作差即可比较大小，可得三者的大小关系. 【详解】（1）由泰勒公式，则． （2）法1：由泰勒公式可知 ， 下面证：. 证明：如图，在单位圆中，，与单位圆的交点为，， 因大于扇形的面积，故， 故. 由上述不等式可得，故， 综上，有，即. 法2：由泰勒公式可知 ， 而 ， 又因为 ， 故有，所以. 13．（2025·甘肃白银·二模）帕德逼近是法国数学家亨利•帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法．帕德逼近有“阶”的概念，如果分子是m次多项式，分母是n次多项式，那么得到的就是阶的帕德逼近，记作．一般地，函数在处的阶帕德逼近定义为：，且满足，，，…，．注：，，，，…已知在处的阶帕德近似． (1)求的解析式； (2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，当时，比较与0的大小； (3)已知在处的阶帕德近似，若对任意，都成立，求实数a的取值范围． 【分析】（1）由，，，解方程，可以求出，从而可求出. （2）根据帕德逼近定义与对称变换，可把题目转化成与0的比较大小的问题，对求导，可解决问题. （3）由帕德逼近定义，可以把第三问转化成不等式恒成立问题，用“端点效应”可解决问题. 【详解】（1）对于函数 ，其在 处的 阶帕德逼近为 ，需满足： ，，； 计算 的导数： ，，故 ， ，故 ， 由 ，得 ； 计算 的导数： ，， ，故 ， ，， 故 ， 因此，. （2）已知函数 与 的图象关于直线 对称， 故 是 的反函数，即 . 由（1）知 ，则：， （当 ）， 令； 其中定义域为， ，，又对任意成立， 在上单调递减，又， 因此：当 时，； 当 时，. （3）由帕德逼近定义，需匹配至四阶导数： ，，，，， 代入 ，得 ，，故 ，且 ，； 不等式为 ，代入得， 对任意 成立， 定义函数 （)，需 ， ，，， ，， 必要条件：， 当 时， 对 成立； 当 时，存在 使 ； 故实数 的取值范围为 . 14．帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，在计算机数学中有着广泛的应用．给定自然数，我们定义函数在处的阶帕德近似为：，且满足：，，，，．其中，，，，已知在处的阶帕德近似为． (1)求实数的值； (2)证明：时，； (3)已知是函数的三个不同的零点，求实数的取值范围，并证明：． 【分析】（1）结合题意，利用导数计算即可得； （2）设，借助导数研究其单调性即其正负即可得解； （3）根据题意，令，所以等价于是的三个不同的零点，不妨设，借助导数，分及进行讨论，结合函数单调性与零点的存在性定理计算可得当且仅当时，存在三个不同的零点，且满足，且，结合（2）所得，代入计算并化简即可得解. 【详解】（1）依题意可知，，，因为，所以． 此时，，因为，， 所以，，因为，所以； 故，． （2）设， 所以，故在单调递增， 由，所以时，，即． （3）因为， 令，所以等价于是的三个不同的零点， 不妨设，， ①当时，，此时在单调递增，此时不存在三个不同的零点； ②当时，令，， 若，即，恒成立，即， 此时在单调递减，此时不存在三个不同的零点； 若，即，存在两个不等的正实根， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因为，所以，又因为，故，， 因为，所以，即， 所以， 因为，所以， 又因为，所以． 所以由零点存在性定理可知：存在，满足， 又因为， 故存在，满足． 故当且仅当时，存在三个不同的零点，且满足，且， 由（2）可知，当时，， 因此，，故， 化简可得：，因此，命题得证． 【点睛】本题关键点在于借助导数与零点的存在性定理得到当且仅当时，存在三个不等实根，且满足，且后，结合（2）中所得，从而得到，再进行化简即可得. 15．帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理数多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为，且满足：...已知在处的阶帕德近似为.注：， (1)求实数的值； (2)求证：； (3)求不等式的解集，其中， 【分析】（1）由，利用待定系数法，即可求解； （2）根据（1）的结果，即证明，利用换元，转化为证明时，再构造函数，再利用导数证明函数的单调性和最值，即可证明不等式； （3）首先由不等式确定或，由（2）的结果说明，求解不等式，再求解不等式，转化为，再构造函数，利用导数求解不等式. 【详解】（1）∵ ∴ ∵，则， 由题意得： ∴解得：； （2）由（1）知，即证 令，则且 即证时，记 则 ∴在上单调递增，在和上单调递增 当时，，即，即成立， 当时，，即，即成立， 综上所述，时， ∴成立，即成立. （3）由题意得：欲使得不等式成立，则至少有，即或 首先考虑，该不等式等价于，即， 又由（2）知成立， ∴使得成立的的取值范围是 再考虑，该不等式等价于， 记，则， ∴当时，时， ∴在上单调递增，在上单调递减 ∴，即， ∴， 当时由，可知成立； 当时由，可知不成立； 所以使得成立的的取值范围是 综上可得：不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：本题第1问的关键是理解题意，利用待定系数法求解；第2问的关键是换元后构造函数，第3问的关键是由不等式构造函数，利用导数解不等式. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招37 导数法比较大小的5个核心大招： 构造函数、泰勒展开、超越不等式、帕德近似、微元法 知识点01 泰勒展开式 1．泰勒展开式 泰勒展开式，也称泰勒公式，主要是用于求某一个复杂函数在某点的函数值.如果一个函数足够平滑，即若函数在包含的某个闭区间具有阶导数, 且在开区间 上存在阶导数, 则对上任意一点, 有 =++++ +， 其中称为余项，泰勒展开式也叫泰勒级数.我们更多的是用泰勒公式在0时的特殊形式： 即=+++++. 以下列举一些常见函数的泰勒公式： ①; ② ; ③; ④; ⑤. ⑥. ⑦ 只需记住公式①②③⑥，公式③求导即得公式④，公式②求导即得公式⑦,再将x换成-x即得公式⑤ 【记忆口决】指对函数一二三，正弦函数一三五.正弦对数隔一换，正弦指数有感叹. 注：有感叹：就是阶乘，隔一换：是指正负号变换. 2．常用不等式 由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式： ，，， ，，， ，，． 知识点03 常见放缩不等式 1. 两类经典超越不等式 ，，， 2. 常见不等式放缩 ，， ，， ， ， 3．放缩程度综合 ， 知识点04 帕德近似 帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法． 给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为： ， 且满足：，，，…，． 注：，，， 知识点05 微元法 如图，函数是关于点的对称函数，则，若在 恒成立，则必有 .同理,在恒成立，则有恒成立。 从图象可以看出，和的大小即是曲线弯曲程度。即比较和的大小，如果和 相同，可以比较 ,直到可以比出大小。 如果是同一函数比较，则可以比较在 处导数的大小．导数的数值越大，则函数在自变量变化相同时，函数的变化率越大． 秒杀技01 构造函数法 通过构造辅助函数，将待比较的数视为函数在某点的函数值，利用函数的单调性、极值等性质比较大小.该方法的关键是构造出合适的函数，并通过导数分析其性质.常见构造方式有：作差构造作商构造取对数后构造、同构法等. 【典例1-1】（25-26高三上·广东佛山·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26高三·全国·一轮复习）比较大小，，，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2026·甘肃·模拟预测）设，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·甘肃平凉·模拟预测）若，，，，则a，b的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河南周口·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 6.(多选)（2026·河北·一模）设且，若，则下列大小关系可能成立的有（    ） A． B． C． D． 秒杀技02 泰勒展开式法 泰勒不等式（泰勒公式）将函数在某点展开为多项式，通过取前几项可以在该点附近进行高精度近似.在比较数值大小时，利用常见函数（如等)的泰勒展开式，代入具体点计算近似值，从而比较大小.该方法适用于数值差异微小、直接计算困难的情形. 根据待比较数值的特点，选择展开点（通常为或和对应的函数.例如，比较可用在处展开. 【典例2-1】已知，，，则（    ） A.    B.           C.           D. 【典例2-2】在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.其中，. 通过这些公式可以计算一些无理数的近似值.将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保显示值的精确性，已知，，.根据以上公式，则这三个数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．英国数学家泰勒给出如下公式：；；，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若，，，则有（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 3．· 新高考I，7) 设. 则 A. B. C. D. . 4． 已知，则（    ） A． B． C． D． 秒杀技03 超越不等式法 在比较大小或证明不等式时，两类经典的超越不等式是核心工具： (1)指数型：,常用于处理含的式子： (2)对数型：,常用于处理含的式子. 它们的变形形式也经常使用，如. 直接应用这些不等式可以快速放缩，将复杂超越式转化为简单代数式，从而比较大小或求解参数范围. 【典例3-1】 已知 , 则 的大小关系为 ( ) A. B. C. D. 【典例3-2】设，则（    ） A． B． D． 【跟踪训练】 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．设，则（    ） A． B． C． D． 4.已知，，，则（     ） A． B． C． D． 秒杀技04 帕德近似法 即利用帕德近似（详见知识点04）得到相应数的近似值，再比较近似值的大小. 【典例4-1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，， 已知函数. (1)求函数在处的阶帕德近似，并求的近似数精确到 (2)在（1）的条件下： ①求证：； ②若恒成立，求实数的取值范围. 秒杀技05 微元法 微元法比较大小解题策略 1.利用对称函数微元斜率关系：区间恒成立不等关系，转化为微元斜率和正负判断。 2.对比曲线弯曲程度：先比较一阶导，若一阶导相等，继续比较高阶导数，分出大小。 3.同一函数比较：取两处导数，导数数值越大，相同自变量改变量下函数变化率越大。 4.借助局部微元斜率，把区间整体不等式，转化为极小邻域导数、高阶导数分 【典例5】（多选）设，则 A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2021 • 全国乙卷理）设，，则 A． B． C． D． 2．（多选）设 －1．则 A．最小 B．最大 C． D． 1．（23-24高三上·山东临沂·期末）英国数学家泰勒发现了如下公式：，，其中.已知，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．无法判断二者大小 2． 已知 。则 A． B． C． D． 3．设，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5.（2022·全国甲,12） 已知，则（ ） A. B. C. D. 6．（25-26高三下·安徽·阶段检测）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·宁夏银川·一模）若，，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·湖北襄阳·一模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选）已知，则下列不等关系一定正确的是（     ） A． B． C． D． 11．(多选)（25-26高三上·广东·期末）已知，则（   ） （参考数据：） A． B． C． D． 12．英国数学家泰勒发现了如下公式：，，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性． (1)用前三项计算； (2)已知，，，试证明：． 13．（2025·甘肃白银·二模）帕德逼近是法国数学家亨利•帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法．帕德逼近有“阶”的概念，如果分子是m次多项式，分母是n次多项式，那么得到的就是阶的帕德逼近，记作．一般地，函数在处的阶帕德逼近定义为：，且满足，，，…，．注：，，，，…已知在处的阶帕德近似． (1)求的解析式； (2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，当时，比较与0的大小； (3)已知在处的阶帕德近似，若对任意，都成立，求实数a的取值范围． 14．帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，在计算机数学中有着广泛的应用．给定自然数，我们定义函数在处的阶帕德近似为：，且满足：，，，，．其中，，，，已知在处的阶帕德近似为． (1)求实数的值； (2)证明：时，； (3)已知是函数的三个不同的零点，求实数的取值范围，并证明：． 15．帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理数多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为，且满足：...已知在处的阶帕德近似为.注：， (1)求实数的值； (2)求证：； (3)求不等式的解集，其中， 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $