2026年第21届中国北方数学奥林匹克邀请赛第一天学术能力测试试题

2026年学术能力测试 中国·商洛（2026.8.6） 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡对应答题区域内．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 4．本卷共19题，满分150分，考试时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则在复平面上对应的点到原点的距离为（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，，其中，，若，，则可以是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，则曲线在处的切线方程是（ ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 5．将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷3次，记第次正面向上的点数为，，，则的所有可能抛掷情况数为（ ） A．96 B．54 C．48 D．32 6．已知，下列说法中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 7．已知集合．其两个子集，，对任意的，，存在，使得，则的最大值为（ ） A．100 B．110 C．121 D．132 8．2026年8月6日，2026年学术能力测试如期举行，二百余名全国各地学子共赴一场意蕴悠长的数学雅集．营中学子甲、乙、丙三人籍贯各不相同，且彼此清楚对方家乡属地．三人各撷两句古典诗章，分别描摹余下二人故里风物．已知三人的表述有三种结果：一人的两句话全部为真，一人的两句话全部为假，剩余一人的两句话一真一假． 甲言：乙之乡邦，恰合“白日地中出，黄河天外来”所咏之地；丙之故土，正应“城阙辅三秦，风烟望五津”所指之域． 乙云：甲之故里，正是“秦时明月汉时关，万里长征人未还”所咏边关；丙之桑梓，恰为“春风得意马蹄疾，一日看尽长安花”所赋古都． 丙言：甲之故土，可观“洛阳城里花如雪，陆浑山中今始发”的烂漫春色；乙之故园，可瞻“黄河远上白云间，一片孤城万仞山”的苍茫景致． 下列诗句依次对应甲、乙、丙家乡的是（ ） A．洛水桥边春日斜，碧流清浅见琼砂；汉家旌帜满阴山，不遣胡儿匹马还；长安回望绣成堆，山顶千门次第开 B．洛阳三月花如锦，多少功夫织得成；东风吹雨过青山，却望千门草色闲；居延城外猎天骄，白草连天野火烧 C．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还；若问古今兴废事，请君只看洛阳城；冲天香阵透长安，满城尽带黄金甲 D．一上高城万里愁，蒹葭杨柳似汀洲；回乐烽前沙似雪，受降城外月如霜；天津桥下冰初结，洛阳陌上人行绝 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分．共18分．在每小题给出的选项中，有多个项目符合题目要求．全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．高斯函数表示不超过实数的最大整数，已知函数（为大于0的实数），下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．无论为何值，恒过定点 C．存在，使为奇函数 D．在上单调不减 10．在中，角，，的对边为，，，，则下列说法正确的是（ ） A．存在，，使为等边三角形 B．存在，，使为直角三角形 C．存在，，使为锐角三角形 D．存在，，使为钝角三角形 11．已知，，定义，下列表述不正确的是（ ） A．有最小值 B．无极大值 C．对任意，都有， D．不存在实数，使得直线与有四个交点，其横坐标从小到大依次为，，，，且，，，成等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．，则________． 13．已知在等腰中，．过点作外接圆的切线，交的延长线为．若．则________． 14．已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点．为的中位三角形，其中，，分别为三边，，的中点．以为底面，将，，分别沿，，向上折起，使得，，三点重合，记为点，则三棱锥的外接球表面积的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤． 15．（本题满分13分）网络热词是依托互联网社交、短视频平台诞生，兼具简洁性与情绪表达功能的特色词汇，当下在高中生群体中传播广泛，常被用于课间交流、线上聊天．秦韵调研小组整理得到20个高中生高频网络热词：6、尊嘟假嘟、emo、破防、老六、包的包的、搭子、下头、拿捏、栓Q、我嘞个豆、内耗、摆烂、活人感、松弛感、惜己模式、夯爆了、偷感很重、大冤种、前途一片大专．现将20个词汇按使用倾向分为两类： A类（正向社交用语）：用于夸赞他人、友好邀约、舒缓情绪、正向交流： B类（负面情绪用语）：用于抒发焦虑、负面感慨、消极自我调侃， （1）按照你的理解，将题干所给的20个词及数量按要求填入表格． 词语类型 词语（可简写首字） 词语数量 你的常用词 常用词数量 A类 B类 事件A：词语为A类．事件B：词语为B类．事件C：词语为你的常用词．求，． （2）现采取分层抽样从类和类词语中共抽取（m值由你给定，即在解答中先写出你所给的值）个词，再从这个词中抽取3个．用随机变量表示抽取到的类词的数量，求随机变量的分布列及数学期望． 16．（本题满分15分）已知数列的前项和为，， （1）若为等差数列，求的取值范围； （2）若为等比数列，其公比为，求的取值范围． 17．（本题满分15分）在圆锥中，是圆锥顶点，是底面圆圆心，圆锥的高为3．母线长为5．是底面圆的一条直径，点在底面所在的平面内，且．于． （1）求证：平面平面； （2）当异面直线与夹角的余弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（本题满分17分）已知双曲线：，是双曲线第一象限上一点，过点的切线交轴于．过点且垂直于的直线依次交的左右两支分别于，两点，点与关于原点对称，直线，分别交轴于，两点． （1）是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由； （2）求证：，，，四点共圆；，，，四点共圆； （3）是否存在点，使得圆和圆的圆心距为20260806． （参考公式：双曲线在点处的切线方程为：．） 19．（本题满分17分）设函数的定义域为．对于任意正实数，定义，． （1）若，对任意给定正实数，求集合与． （2）设函数满足：对于任意正实数，，均有． （ⅰ）若，且，，证明：对于任意，有； （ⅱ）若对于任意正实数，，还有，且，均为非空集合，证明：存在唯一的实数，使得或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年学术能力测试 中国·商洛（2026.8.6） 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡对应答题区域内．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 4．本卷共19题，满分150分，考试时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个项目符合题目要求．全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．【答案】ABD 10．【答案】BD 11．【答案】BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤． 15．略 16．解：（1），．，，化简并整理得：．视作关于的一元二次方程，，，或．故． （2），．，．又，，故，故．对任意的，取满足题意．故． 17．（1）证：由题意得：面，面，则．又，，面，面，故面，面，故．又，，面，面，故面．面，故面面． （2）以为坐标原点，，为，轴，垂直于的方向为轴，建立空间直角坐标系．由题意，，，，．设，，，，，即，，设，，，代入坐标得：，解得：．故．又，，． 设异面直线与夹角为，，解得．由对称性，结合，不妨取，此时，，．设面的法向量，则，，不妨令，则． 同理，设面的法向量，则．设平面与平面夹角为，． 18．解：（1）由题意得直线的方程为．令得．又，，则．，则． （2）法一：设，，的方程为：．联立得， ，．由韦达定理得：，，，． ，带入可得．故，．同理可得．故，，，四点共圆且以为直径． 则，由对称性知．故，，，四点共圆且以为直径． 法二： 先证明一个引理：已知二次曲线：（，不同时为负），点不在二次曲线上，过点且斜率为，的直线，分别交二次曲线于，和，．则，，，四点共圆的充要条件是． 法①：设：，：．则过，，，的二次曲线方程为．其项系数为．若，，，四点共圆，则方程不含项，即． 法②：直线的参数方程为，（其中为直线的倾斜角，为参数）．将直线与二次曲线方程联立得： ，显然， ．由参数方程的几何意义得：．同理，设直线的倾斜角为，则．若，，，四点共圆，则，即，进而，即． 回到原题，，由引理得：，，，四点共圆．进而．又点，在双曲线上，，两式相减得： ．．进而，故．下略． （3）设的中点为，由（2）得圆的圆心为，圆的圆心为．则，．故．令．，，故在上单调递增．，，故存在实数使得，即而存在这样的点． 19．解：的函数值只取决于，当增大时，函数值严格增大．所以 因此，对于任意，均有 ，． （2）依题意，，所以 因为对任意都成立，所以取 则有，即① 同理，因为对任意都成立，所以取 则有，即② 由①②得 取，所以，所以 （3）定义 于是，对每个，均有． 又因为， 所以，所以由（2）可知，若，且，证明：对于任意，有 下面证明中只有一个元素 任取，所以对每个，由． 所以函数图像关于直线对称 假设中存在两个不同的元素，，不妨设，函数图像既关于对称，也关于对称． 所以对任意，． 故是函数的一个周期． 由周期性，对任意和，有． 因此．③ 任取．由③，对于任意整数，均有． 由（2）知， 对每个整数都成立．这些区间的并集为整个，故． 此时，矛盾，所以中不可能有两个不同的元素． 又因为，故存在唯一实数，使得 下面证明或 因为，所以， 所以不可能同时包含小于的点和大于的点，否则由（2）知，有，矛盾 若中存在大于的元素，则． 于是每个小于的实数均属于． 若还存在某个且，则因为，必有． 任取，则，并且． 由（2）知，必有，与矛盾． 因此每个都属于，从而． 同理，若中存在小于的元素，则． 学科网（北京）股份有限公司 $