江苏苏州市某校2025-2026学年高二下学期周测五数学试题

**基本信息** 聚焦函数与空间几何核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配高二周测滚动复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|函数导数、空间向量|极值判断（第3题）考查逻辑推理，充要条件（第4题）强化数学思维| |多选题|2/10|空间基底、函数极值|空间基底命题（第7题）深化数学抽象，极值零点综合（第8题）提升分析能力| |填空题|3/15|切线方程、空间向量表示|切线综合应用（第9题）注重数学运算，空间向量分解（第10题）体现数学语言表达| |解答题|4/60|空间几何应用、函数综合|空间向量证明位置关系（第11题）培养直观想象，函数零点参数范围（第13题）突出数学建模|

答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查导数的定义、基本初等函数的导数，属于容易题. 利用导数的定义即可求解. 【解答】 解：，则 故选： 2.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查导数的运算，属于基础题. 先求导数，再令求解即可. 【解答】 解：因为， 所以， 则， 所以 故选： 3.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 函数，，根据函数在处取得极大值，可得，解得m，并且验证即可得出． 【解答】 解：函数， ， 函数在处取得极大值， ，解得或3， 时，， 可得是函数的极小值点，舍去； 时，， 可得是函数的极大值点． 则 故答案选： 4.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查空间向量的数量积与垂直的关系，线面垂直的判定与性质，以及充分、必要条件的判断，属基础题. 根据定义判断即可. 【解答】 解：若平面，则，，， 反之，若，则，，并不能保证平面 故选B 5.【答案】D  【解析】解：如图，，所以，又， 则 故选： 6.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题． 建立空间直角坐标系，利用不是平角，可得为钝角等价于，即，从而可求的取值范围． 【解答】 解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则有，，， ，， ， ， 由图知不是平角， 为钝角等价于， ， ， 解得， 的取值范围是， 故选： 7.【答案】B  【解析】因为，，所以，由题意可得，整理可得，即因为，在上均单调递减，所以在上单调递减，可得，则构建函数，，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以的最小值为 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查利用导数比较大小，属于拔高题. 构造函数，利用导数，进行求解即可. 【解答】 解：记，， 因为， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，即， 所以， 记，， 因为，所以在上单调递减， 当时，，所以，， 则， 所以， 记，， 因为， 所以当时，，所以在上单调递增， 所以当时，，即，， 所以 所以 综上所述： 9.【答案】ABC  【解析】【分析】 本题考查的知识要点是向量的线性表示，向量的基底，主要考查学生对基础知识的理解，属于中档题. 根据基向量的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一组基，对选项进行一一判断，即可得到答案. 【解答】 解：对B，根据基向量的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一组基，三个共面的向量不能作为一组基，故B是真命题． 对C，由，，不能构成空间的一组基，知，，共面，又，，有公共点B，所以A，B，M，N四点共面，故C是真命题． 对A，假设向量与，共面，则存在实数，，使得，又向量与共线，，存在实数k，使得，，，从而，与，共面，与条件矛盾，向量与，不共面，即A是真命题． 对D，假设是空间的一组基，则不存在满足，所以不存在满足，是空间的一组基，不存在满足，假设成立，是假命题． 故选： 10.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性，极值点，并根据单调性比较大小，属于中档题. 首先利用导数研究函数的单调性，然后可逐一判断即可. 【解答】 解：因为， 当或时，，当时，， 所以在和内递增，在内递减. 对于A，是的极小值点，A正确； 对于B，当时，，所以，B错误； 对于C，当时，，所以，又，，所以，C正确； 对于D，当时，，所以，D正确. 故选 11.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题主要考查利用导数研究函数的极值以及导数的几何意义，属于较难题. 根据有两个极值点、，对其求导可得，再根据极值的性质与导数的几何意义，即可判断. 【解答】 解：因为，所以， 又因为函数有两个极值点、， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 此时，为极大值，为极小值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 此时，为极小值，为极大值； 对于选项A：若，则或， 在各有一个零点. 故A正确； 对于选项B：在极值点、处，函数的切线只有一条，但是在其他点处的切线也可能过切线，故B错误； 对于选项C：若，当时，，此时只有一个零点； 当时，，此时只有一个零点，故C正确； 对于选项D：令， 则，为的平均数， 又因为函数为中心对称图形，故，故D正确. 故选 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了导数的几何意义，属于中档题. 先利用导数求出在点处的切线方程为，设的切点为，由，得，即可得出m、n，从而得出a的值. 【解答】 解：由得，则曲线在处的切线斜率， 则曲线在处的切线方程为，即 设的切点为 由，得，解得 所以， 所以，解得或 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的极值，属于中档题. 将问题转化为在有实根即可求解，注意检验. 【解答】 解：因为， 又在区间上有极值点， 则在有实根， 即在有实根， 即在有实根， 因为， 所以实数a的取值范围是 ， 经检验，符合题意. 故答案为 . 14.【答案】 ； 2  【解析】【分析】 本题考查空间向量共面定理，空间向量的线性运算，空间向量共线定理，属于较难题. 方法一：表达出，，根据三点共线得到方程，求出，根据得到方程，求出，从而求出答案； 方法二：作出辅助线，由三角形相似得到，，表达出，，故，求出答案. 【解答】 解：方法一： ， ， 又三点共线，即存在实数，使得， 故， 又，所以， 所以，故， ； 方法二：过P作，延长AE交l于点G， ， 连接BG，与PC的交点即为F， 由三角形相似可得， ， ， 故， 故答案为：， 15.【答案】解：由题意可知，点O是的中点，则，  所以 设，，，  则，，，，，  所以 ，  所以  因为，所以 ，  ，  所以，所以异面直线AO与BC所成角的余弦值为 平面平面理由如下：  取BC的中点E，连接AE，  则   因为，E为BC的中点，所以因为 ，所以，  又，BC，平面，所以平面  因为平面ABC，所以平面平面   【解析】略 16.【答案】解：连接AG并延长交BC于点H， 由题意，可令为空间的一个基底， 连接 因为点D，E，F，M共面，所以存在实数，使得， 即， 所以， 由空间向量基本定理知，，， 所以， 是定值，为  【解析】本题考查空间向量基本定理，属于中档题. 因为点D，E，F，M共面，所以存在实数，使得，由空间向量基本定理得到，，，即可得到是定值，为 17.【答案】解：，而， ， 所以 不妨设AB是四面体最长的棱，则在，中，，， ，即， 故，至少有一个大于AB，不妨设， ，AC，AB构成三角形. 设，，，由知 又，有，，， ， ， ， 设，又 因为平面PQR，所以存在实数y，z使得：， ，消元：在有解. 当时，，即； 当时，，解得 综上，有 所以对所有满足条件的平面，点M都落在某一条长为的线段上.   【解析】本题主要考查向量线性运算，空间向量的基本定理，解不含参的一元二次不等式，属于难题. 利用向量加减法的几何意义有，，即可求； 假设四面体的最长棱为AB，只需以为顶点的其它两组棱中或即得证至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形； 由平面，令结合向量共面定理有，即得一元二次方程在有解，求的范围从而即得证. 18.【答案】 已知：四面体SABC中，E、F、G、H、M、N分别是对应各棱的中点，且 求证：，， 证明：设，，， 则， ， 由可得，则， 所以， 由此可得， 所以，即 所以，即，同理可证， 故若四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，则这个四面体相对的棱两两垂直.   【解析】【分析】根据题目写出已知和求证，设，，， 由可得，从而，即 所以，即，同理可证， 19.【答案】解：因为，且的定义域为， 所以 ， ①当时，恒成立，此时函数在上单调递增； ②当，由于，所以恒成立，此时函数在上单调递增； ③当时，令，解得：或舍， 当时；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上可知：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 证明：由可知：当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取最大值，， 从而要证，即证， 即证，即证； 令，则，即证：， 令，， 则， 令，可知， 则当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即，则式成立， 所以当时，成立．  【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论的思想，属于较难题． 可知，分、、三种情况讨论，可得结论； 通过可知，将问题转化为，令，，构造函数，只需证明即可. 20.【答案】解：由题意可知函数的定义域为 Ⅰ因为 所以， 由，得，， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 因此，当时，有极大值，并且极大值为； 当时，有极小值，并且极小值为 Ⅱ因为， 所以为一个零点． 所以“函数，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程有两个非零实根”． 令，则， 所以，当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，有最小值 若方程有两个非零实根，则，即 若，方程只有一个非零实根， 所以 综上，  【解析】先对函数求导，然后结合导数可分析函数的单调性，进而可求函数的极值； “函数，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程有两个非零实根”．构造函数，对其求导，然后结合导数及函数的性质可求． 本题主要考查了利用导数求解函数的极值及由函数的零点求解参数范围，体现了转化思想的应用． 21.【答案】解：由已知条件得，其中的定义域为， 则， 当时，，当时，， 可知：的单调递增区间为，单调递减区间为； ①由恒成立，即恒成立， 令，则， 当时，，当时，， 在上单调递增，上单调递减， ，， 的最小值为 ②由知：当时，，即恒成立， 即，时取“=”， 令，得，  ， 当时，  【解析】本题考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数研究恒成立问题，利用导数证明不等式，属于较难题. 对求导，利用导数和单调性关系，即可得解； ①由恒成立，即恒成立，令，对其求导，即可得； ②由知：当时，，即恒成立，即，时取“=”，然后继续证明即可得． 22.【答案】， ①当时，对任意R恒成立，  当时，，  当时，  因此在上单调递减，在上单调递增． ②当时，令 ⅰ当时，  的大致图象如图1所示． 因此当时，，  当时，，  所以在和上单调递增，  在上单调递减． ⅱ当时，，此时对任意R恒成立，故在R上单调递增． ⅲ当时，，  的大致图象如图2所示．  因此，当时，，  当时，，  所以在和上单调递增，在上单调递减． 选①． 证明：由知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，，  所以在上有唯一零点．  当时，      因为，所以，  所以对任意恒成立．  综上，在R上有一个零点．  选②． 证明：由知在上单调递增，  在上单调递减，在上单调递增，  ，  当时，，所以一定存在，  使得  结合单调性知在上有唯一零点．  当时，，即对任意恒成立．  综上，在R上有一个零点．   【解析】略 23.【答案】解：由题得，因为，所以， 当时，，在该区间上单调递增， 当时，，在该区间上单调递减， 所以在区间存在唯一的极值点； 因为，， 设，则， 所以在上单调递减，所以， 所以， 故存在唯一使得 由知，， ， 当时，，，则， 所以在区间内单调递减. 由可知在1单调递减， 又因为，则1 即， 而，所以 由与中分析知，且在区间，单调递减， 于是，即与均在区间，上， 故  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 24.【答案】证明：设，则， 当时，；当时，， 所以在单调递增，在单调递减． 又，，，故在存在唯一零点． 所以在存在唯一零点． 设，， 由，得， 下面证明当时，在上恒成立． 由知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减，又，，所以当时， 又当，时，，故 当，时，，当时，不等式不成立，所以不符合题意． 综上，a的取值范围是   【解析】略 25.【答案】解：，， ，， ，解得 ，，设 令，解得，或 令，解得，或 和的零点均在集合中， 若：，，则，舍去； ，，则，舍去； ，，则，舍去； ，，则，舍去； ，，则，舍去； ，，则 因此，，， 可得 ， 当或时，，在和单调递增， 当时，，在单调递减， 可得时，函数取得极小值， 证明：，，， ， 令 解得： 在和单调递增，在单调递减， 可得时，取得极大值为M， 此时， 因此  【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 由，可得，根据，可得，解得 ，，设令，解得，或，令，解得或根据和的零点均在集合中，通过分类讨论可得：只有，，可得，可得：利用导数研究其单调性可得时，函数取得极小值． ，，，令解得：可得时，取得极大值为M，通过计算化简即可证明结论． 26.【答案】解：当时，， 故， ， ， 曲线在点处的切线方程为，即 ，， ， 令，解得， 当，， 当，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 是极小值点，极小值为，无极大值. 证明：Ⅱ由，则， 对任意的，且，令，， 则， ， ，① 令，， 当时，， 在单调递增， 当，，即， ，，， ，②， 由Ⅰ可知当时，， 即，③， 由①②③可得， 当时，对任意的，且，有  【解析】本题是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值的基本题型，不等式的证明，属于难题． Ⅰ根据导数的几何意义即可求出切线方程； 根据导数和函数单调性极值的关系，即可求出； Ⅱ要证不等式成立，只要证明，根据导数和函数最值的关系，以及放缩法即可证明． 27.【答案】解：因为函数，， 所以，且， 所以当时，恒成立，此时在上单调递增，这与矛盾； 当时，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，即， 若，则，从而与矛盾； 所以； 由可知，当时，，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 一方面，， 即； 另一方面，当时，； 从而当时，， 因为m为整数，且对于任意正整数n，成立， 所以m的最小值为  【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于较难题． 通过对函数求导，分、两种情况讨论，即可得解； 由可知，当时，所以，当且仅当时取等号， 所以，，根据题意，，又，，进行求解分析即可. 28.【答案】解：因为， 则等价于，求导可知 则当时，即在上单调递减， 所以当时，，矛盾，故 因为当时，单调递减；当时，单调递增. 所以， 又因为， 所以，解得； 证明：由可知，， 令，可得，记，则， 令，解得， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，从而有解，即存在两根，， 且不妨设在上为正、在上为负、在上为正， 所以必存在唯一极大值点，且， 所以， 由可知； 由可知， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以； 综上所述，存在唯一的极大值点，且  【解析】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题． 通过分析可知等价于，进而利用可得，从而可得结论； 通过可知，记，解不等式可知，从而可知存在两根，，利用必存在唯一极大值点及可知，另一方面可知 29.【答案】解：因为， 所以，而， 所以在处的切线方程为； 令 ， 令，得， 令，得， 在上单调递增，在上单调递减， 又， 且当时，， 又， 在上恒成立，即在上无零点， ， ， ， 在上有一个零点，不妨记为， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 为的极大值点，无极小值点，得证. 由知，， 即能成立， 又，即， ， 则能成立， 即能成立， 由知 令， 令，解得，， 令，解得， 在上单调递减，在上单调递增， ， 的取值范围为  【解析】本题主要考查了利用导数研究函数在某点处的切线，以及利用导数研究极值与最值，同时考查了转化能力和运算求解的能力，属于拔高题． 先求导函数，然后根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后利用点斜式表示出切线即可； 令，利用讨论的思想，求出的范围，从而可得结论； 由知，此时，，所以，构造，若存在a，使对任意的恒成立，则等价于存在，使得，即，最后利用导数研究其最值，即可求出所求． 30.【答案】解：    ， 所以对于有：当时，； 当时，； 当时， 所以在时单调递增，在时单调递减，在时单调递增; 证明：， 函数的周期为 由，在时单调递增，在时单调递减，在时单调递增，， 故在上的值域为， 又的周期为， 故 证明：由知： 即有：；；； ；， 即有：， 则 ， 即有：   【解析】本题考查二倍角公式，利用导数研究函数单调性以及极值与最值的应用. 首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可； 首先确定函数的周期性，然后结合中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式； 对所给的不等式左侧进行恒等变形， 然后结合的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式. 31.【答案】解：Ⅰ用数学归纳法证明：， 当时，，成立， 假设当时成立，则， 那么时，若，则，矛盾， 故， 因此， ， 因此， Ⅱ由 得， 记函数， ， 在上单调递增， ， 因此， 故； Ⅲ， ， 由得， …， ，， 综上所述  【解析】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能力，放缩能力，运算能力，属于难题. Ⅰ用数学归纳法即可证明. Ⅱ构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明. Ⅲ由得，继续放缩即可证明. 第28页，共30页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期滚动练习5 班级_______________姓名________________学号___________________ 1、 单选题： 本题共6小题，每小题5分，共30分。 1.已知函数，则    A. B. C. 2 D. 4 2.已知是函数的导函数，且，则  A. 1 B. 2 C. D. 3.已知函数在处取得极大值，则m的值为(    ) A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或 4.已知向量，是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线l上，则“，且"是“”的    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知动点P在正方体的对角线不含端点上.设，若为钝角，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 6.函数，，若存在正数，，使得，则的最小值为      A. B. e C. 1 D. 二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.给出下列命题，其中是真命题的是    A. 若可以构成空间的一组基底，向量与共线，，则也可以构成空间的一组基底 B. 已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一组基底 C. 已知A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间的一组基底，则A，B，M，N四点共面 D. 已知是空间的一组基底，若，则不是空间的一组基底 8.函数有两个极值点、，则下列结论正确的是    A. 若，则有3个零点 B. 过上任一点至少可作两条直线与相切 C. 若，则只有一个零点 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 9.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则           . 10.已知是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量，有且只有一对实数使，且当共线时，有同样，在空间中若三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的在度实数组，使得，目当共面时，有如图，在四棱锥中，，点E是棱PD的中点､PC与平面ABE交于F点，设，则          ；          . 四、解答题： 11.本小题13分如图，在斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点． 用向量，，表示向量； 求异面直线AO与BC所成角的余弦值； 判断平面ABC与平面的位置关系，并说明理由． 12.本小题15分已知函数 讨论的单调性； 当时，证明： 13.本小题15分已知函数 1求的极值； 2若函数在定义域内有三个零点，求实数a的取值范围． 14.本小题17分已知函数 若 ，求a的值； 设m为整数，且对于任意正整数n，…，求m的最小值． 第28页，共30页 学科网（北京）股份有限公司 $