第四单元 混合运算与数量关系（二）（导图知识卡片+知识梳理+9个考点讲练+8个奥数拓展+真题难度分层演练 共54题）-2026-2027学年苏教版新教材数学四年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图系统构建了“混合运算与数量关系”单元知识体系，知识梳理部分用框架图呈现整数四则混合运算顺序（含不含括号、含小括号、含中括号三种类型），用表格归纳解决实际问题的数量关系（归一归总、购物剩余、行程工程等），清晰呈现重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，9个高频考点讲练精选名校易错题，如和差问题“语文数学平均分96分，数学比语文多8分求数学分数”培养推理意识，8个奥数拓展含算“24”点等题型提升创新思维，真题演练分能力提升与思维创新层。方法指导结合解题技巧，帮助不同学生巩固基础或冲刺满分，为教师精准教学提供支持。

2026-2027学年苏教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 第四单元混合运算与数量关系（二）『举一反三知识讲练」（思维拓展版） 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+9个考点讲练+8个奥数拓展+真题难度分层演练共54题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于苏教版新教材四年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套 内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难，点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏 教版四上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 日录指引内容知晓 导图指引梳理脉络.. 3 知识梳理温故知新 3 知识点一整数四则混合运算的顺序.· .3 知识点二解决实际问题（数量关系分析) 考点讲练真题汇总… 高频考点一解决多步计算的实际问题 高频考点二带有中括号的混合运算.· …5 高频考点三和差问题.…… …5 高频考点四和倍问题……… 高频考点五差倍问题....6 第1页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点六较复杂的和差倍问题...· 6 高频考点七盈亏问题.……………… 高频考点八行程问题..….... ………7 高频考点九经济问题……….… .7 难点突破奥数拓展… > 奥数拓展一解决多步计算的实际问题 .7 奥数拓展二带有中括号的混合运算.. …8 奥数拓展三算“24”点....… ……8 奥数拓展四和差问题. 奥数拓展五和倍问题.....。 奥数拓展五差倍问题. 10 奥数拓展六较复杂的和差倍问题..· 10 奥数拓展七盈亏问题..· 10 奥数拓展八行程问题... ….11 奥数拓展九经济问题.。 11 优选真题实战演练.· 12 【能力提升练】 【思维创新练】 ......14 第2页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 导图指引梳理脉络 混合运算顺序 混合运算的含义 1.在没有括号的算式里，有乘除法和加减法 个算式里，既有加、减法，又有乘、除法，叫做混合运算 要先算乘除法，再算加减法 相二相 2.在有括号的算式里，要先算括号里面的， 56×3-28×4 150+120÷6×5 00 为什么这样算 再算括号外面的。 综合算式 苏版数学四年级上 简便运算 极据题意列出合算式 第四单元 1,远用乘法分配律使计算简便 一步计算出结果。 列式解答 混合运算与数量关系（二）】 56×3-28×4=28×(6-4) 150+120÷6×5=150+20×5 书法组的人数×2 18×2=36(人) 2.运用运算性质使计算简便。 书法组的人数+绘属望的人数 18+36=54(人】 书法组和给面组的总人数-6 54-6=48(人) 网士0+1m*6-10+0+1m±69 800÷(70-30)+5=800÷[(70-30)÷5】 合唱姐的人数 解决问题应用 1.总量=每份数×份数 1.鸡兔同笼问题： 2.剩下的部分=总量一用去的部分 假设法、列方程法、列表法等。 ◆3.路程=速度×时间 数量关系 ·4.速度=路程÷时间 2.行程问题：路程、速度、时间的关系。国 ·5.时间=路程÷速度 ·6.单价=总价÷数量 3.工程问题：工作效率×工作时间=工作总量。 。7,数量=总价÷单价 8.总价=单价×数量 练习与应用忙 4.购物问题：单价、数量、总价的关系。 解决问题策略 1.540+3+6×2 180÷(36+12)+625×30+25×20 收集信息制订计划● 540+(3+6×2)180+[36+(12+6)]25×(30+20) ①读懂题意，分析数量关系。 2.75×12+280÷35 (564-18×24)÷12 1,收集信息：通过调查、访问、查阅资料等方式获取信息 ②选择合适的运算顺序和方法。 3.在每组中得数大的算式后面画“/”。 2.分析信息：筛选有用信息，确定需要解决的问题。 ③列综合算式或分步列式解答 68+185÷5+32☐800-432÷6×9☐ 3.制订计划：确定方，明确步骤，合理安排时间和费用。 ④检验结果，进行反思。 68+185+(5+32)▣800-432+(6×9)▣ 4,解决实际问题应用混合运算和数量关系。 4.交流完善：与同学交流，修改完蕾计划。 知识 运算顺序要记牢 综合算式很重要 数量关系要掌握 简便计算能提效 解决问题有方法 收集信息订计划 小结 先乘除，后加减； 根据数量关系」 理清数量关系。 灵活运用运算律和 读题、分析、列式 收集信息，制订计划 有括号，先括号内 列出综合镇式 选择合适的公式 运算性质，使计算 计算、检验， 合理安排，交流完善 再括号外。 一步解答问题 解决问题 更简便 一步一步来 让问题解决更高效。 知识梳理温故知新 知识点一整数四则混合运算的顺序 本单元重点讲解了含有两级运算（加减法为一级，乘除法为二级)以及含有括号的算式运算规则。 1.不含括号的混合运算 规则：在没有括号的算式里，如果既有乘除法又有加减法，要先算乘除法，再算加减法。 示例：56×3-28×4（先算两边的乘法，最后算减法）-150+120÷6×5（先算除法， 再算乘法，最后算加法)-240÷6-2×17（先算除法和乘法，最后算减法) 2.含有小括号的混合运算 规则：算式中有小括号，应该先算小括号里面的。 示例：(600-126×4)÷48（先算小括号里的乘法，再算小括号里的减法，最后算括号外的除法） 58×(20-78÷13)(先算小括号里的除法，再算小括号里的减法，最后算括号外的乘法) 第3页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 3.含有中括号的混合运算 认识中括号：中括号[]，又称为方括号。 规则：如果算式中既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括 号外面的。 示例：525÷[(81-56)×3] 第一步：算小括号(81-56) 第二步：算中括号[25×3] 第三步：算除法525÷75-42×[169-(78+35)]-72÷[160÷（102-82)] 知识点二解决实际问题（数量关系分析） 本单元强调通过画示意图、列表整理信息等方式分析数量关系，列综合算式解决问题。 1.“归一”与“归总”类问题的进阶 例题模型（合唱组人数问题）： 已知条件：书法组18人，绘画组是书法组的2倍，合唱组比书法组和绘画组的总人数少6人。 解题思路： 1.先求绘画组人数：18×2=36（人） 2.再求书法和绘画总人数：18+36=54（人) 3.最后求合唱组人数：54-6=48（人） 综合算式：18+18×2-6 2.购物与剩余问题（含括号的应用） 例题模型（买模型问题)： 已知条件：带了600元，买了4个飞机模型（单价126元)，剩下的钱买舰船模型（单价48元)。 解题思路： 1.先求买飞机模型花的钱：126×4 2.再求剩下的钱：600一126×4（此处必须加小括号，因为要先算出剩下的钱才能除以单价) 3.最后求能买几个舰船模型。 综合算式：(600-126×4)÷48 3.行程与工程问题 行程问题：涉及速度、时间、路程的关系。例如计算剩余路程的速度：（总路程一已行路程）÷剩 余时间。 第4页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 工程/效率问题：例如分拣快件，人工每分钟6件需90分钟，机器9分钟完成。求机器比人工每分钟 多分拣多少件？ 思路：先求总量6×90，再求机器效率(6×90)÷9，最后求差。 考点讲练真题汇总 高频考点一解决多步计算的实际问题 【典例精讲】(2026四年级下·全国·专题练习)一本科技书共116页，芳芳星期一、二、三这3天平均 每天看16页，如果她想在这个星期看完，那么后4天平均每天要看( )页。 【变式训练】(25-26四年级下·河南周口·阶段检测)苏绣是苏州地区刺绣产品的总称，为苏州市民间 传统艺术。苏绣起源于苏州，是四大名绣之一，也是国家级非物质文化遗产之一。红缨绣庄要制作560件 绣品，已经制作了4天，完成了112件。照这样计算，完成这批绣品还要多少天？ 高频考点二带有中括号的混合运算 【典例精讲】(25-26四年级下·广东佛山·期末)计算。 (1)80÷5×3 (2)138-38×3 (3)240÷[(15+9)×2] 【变式训练】(24-25四年级下·陕西安康·期末)计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 24×[35+(240-212)] 5600÷25÷4 23.4+15.32+4.68+3.6 高频考点三和差问题 【典例精讲】小明期末考试语文和数学的平均分是96分，数学比语文多8分，则小明数学得了( 分。（平均分，差倍问题） A.94 B.96 C.98 D.100 第5页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】有甲、乙、丙三所小学的同学来参加创新杯数学线上赛，其中甲校参赛人数比乙校少5人， 比丙校多9人。如果乙、丙两校一共有100人参加比赛，那么乙校有 人参加比赛。 高频考点四和倍问题 【典例精讲】新希望图书室甲、乙两个书架共有书250本，当乙书架取出30本放到甲书架后，甲书架的书 比乙书架的2倍还多10本。乙书架原有书本。 【变式训练】新希望图书室甲、乙两个书架共有书220本，当乙书架取出30本放到甲书架后，甲书架的书 比乙书架的2倍还多10本。乙书架原有书 一本。 高频考点五差倍问题 【典例精讲】杨老师比望望大24岁，5年前，杨老师的年龄是望望的7倍，望望今年是 岁。 【变式训练】今年，望望的年龄等于他爸妈的年龄差。6年后，望望的年龄等于他爸妈年龄差的3倍。今 年望望 岁。 高频考点六较复杂的和差倍问题 【典例精讲】小红和小明都爱画画，两人各有若干支水彩笔。如果小红给小明8枝，小明的水彩笔是小红 的3倍。如果小明给小红8枝，则两人的水彩笔一样多。小红原来有( )支水彩笔？ 【变式训练】甲乙两本书共用了888个数码(1是一个数码，100是三个数码)，且甲比乙多10页，则甲 有( )页。 高频考点七盈亏问题 【典例精讲】(25-26四年级下·四川成都·期末)有一批橙子要包装，若每盒装4个，则多出10个，若 每盒装6个，则少4个。共有( )个盒子，( )个橙子。 【变式训练】(24-25四年级上·浙江宁波·期中)同学们暑假前到图书馆借书，如果每人借4本，则最 后少2本；如果前2人每人先借8本，余下的人每人借3本，这些图书恰好借完，有几名同学？书的总数 是多少本？ 第6页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(24-25六年级下·全国·小升初复习)王老师给美术兴趣小组的同学分发图画纸。如果每 人发5张，则少32张：如果每人发3张，则少2张。美术兴趣小组有多少名同学？王老师一共有多少张图 画纸？ 高频考点八行程问题 【典例精讲】(25-26四年级下·河南平顶山·期末)言言和亮亮在环形跑道上同时从同一地点出发，朝 着相反方向跑步。言言每秒跑4米，亮亮每秒跑6米，40秒后他们第一次相遇，环形跑道长( )米。 【变式训练】(25-26四年级下·河南平顶山·期末)一辆客车的速度是95千米/时，一辆货车的速度是 75千米/时。如果两车从甲、乙两城同时出发相向而行，3小时后两车还相距120千米。甲、乙两城相距多 少千米？ 高频考点九经济问题 【典例精讲】(25-26四年级下·河北石家庄·期末)学校为舞蹈社团的18名学生购买演出服和舞蹈鞋， 每套演出服265元，每双舞蹈鞋35元。一共要花多少元？ 【变式训练】(25-26四年级下·湖北咸宁·期末)某服装店出售一款套装，每件上衣160元， ( ),买20套这样的套装需要多少钱？列式为(160+100)×20，请你在括号里填上合适 的信息。 难点突破奥数拓展 奥数拓展一解决多步计算的实际问题 【典例精讲】(25-26四年级下·湖北荆州·期末)学校准备为参加艺术节表演的学生购置30套服装（含 上衣和裤子)，其中上衣75元，裤子45元。算一算，购置这些服装共需要多少元？ 第7页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】（25-26五年级上·山东临沂·期中)妈妈从家到公司，要行1800米，若以45米/分的速度 刚好赶上上班。某天，她在去公司途中遇到一位熟人耽误了3分钟，为了赶上上班，她必须在后面每分钟 多行15米。她是在离家多远处遇到的熟人？ 奥数拓展二带有中括号的混合运算 【典例精讲】(24-25四年级下·山东济南·期末)李大伯家有一块长16m,宽8m的长方形菜地，他在菜 地中间留了2m宽的路，如果要把菜地平均分成4块（如图所示），那么每块的面积是多少？列式不正确的 是( 16 (单位：m) A.16×8÷4-16×2÷4 B.[(16-2)÷2]×[(8-2)÷2] C.(16-2)×(8-2)÷4 D.[16×8-(16×2+8×2-2×2)]÷4 【变式训练】(25-26四年级下·河北张家口·期末)脱式计算，怎样简便就怎样计算。 ①3.46+8.3+6.54+1.7 ②3000÷125÷8 ③24.8-(14.8+3.4) ④72×[960÷(245-165)] 奥数拓展三算“24”点 【典例精讲】(25-26三年级下·河北唐山·期末)运用+，一，×，÷和括号，每个数都要用上，但只能 用一次，结果是24。 ①1,2,6,7 ②1,2,6,9 第8页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(25-26六年级下·河北唐山·期末)运用+，一，×，÷和括号，每个数都要用上，但只 能用一次，结果是24。 ①1,2,5,9 ②1,4,5,7 奥数拓展四和差问题 【典例精讲】如图，4个相同的长方形和1个小正方形拼成一个大正方形，已知其中小正方形的面积为4 平方厘米，大正方形的面积为400平方厘米，则其中长方形长为_一_厘米，宽为一_厘米。 【变式训练】甲乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学 生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？ 奥数拓展五和倍问题 【典例精讲】如图，用5个小正方形和1个大正方形拼成一个更大的正方形，若此最大正方形的周长为120cm, 则图中的5个小正方形周长之和为cm。 【变式训练】甲筐和乙筐内原来分别放有54个和63个鸡蛋，若要使甲筐内的鸡蛋的个数变为乙筐内鸡蛋 个数的两倍.那么应从乙筐内取出 个鸡蛋放入甲筐 第9页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展五差倍问题 【典例精讲】国庆游园会上，有一个100人的方队。方队中每个人的左手要么拿红花，要么拿黄花；每人 的右手要么拿红气球，要么拿绿气球。已知拿红花的有42人，拿红气球的有63人，左手拿黄花、右手拿 绿气球的有28人。则左手拿红花。右手拿红气球的有 人。 【变式训练】甲、乙两桶油重量相等，甲桶取走16千克油，乙桶加入14千克油后，乙桶油的重量是甲桶 油的重量的4倍。甲桶原来有油多少千克？ 奥数拓展六较复杂的和差倍问题 【典例精讲】三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组少 2人，求第一小组的人数. 【变式训练】一群蚂蚁搬家，蚁洞内原来存放着一些食物，第一次运出的比原来的一半少80克，第二次运 出的比剩下的一半多50克，第三次运出的比再剩下的一半多20克，这时蚁洞内还剩250克食物，蚁洞内 原来有多少克食物？ 奥数拓展七盈亏问题 【典例精讲】春节前夕，一个富翁向乞丐帮帮众施舍一笔钱财。一开始他准备给每人100元，结果剩下350 元。他决定每人多给20元。这时从其他地方有闻讯赶来了5个乞丐，如果他们每个人拿到的钱也和其他乞 丐一样多，富翁还需要再增加550元。富翁原打算施舍一一_元。 【变式训练】学校给一批新入学的学生分配宿舍。若每个房间住12人，则34人没有位置；若每个房间住 14人，则空出4个房间。求学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？ 第10页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展八行程问题 【典例精讲】马路上有一辆车身为12米的公共汽车，由东向西行驶，车速为每秒5米，马路一旁的人行道 上有甲、乙两名同学正在跑步，甲由东向西跑，乙由西向东跑。某一时刻，汽车追上甲，4秒后汽车离开甲。 再过30秒，汽车遇到迎面跑来的乙，又过了2秒，汽车离开了乙。汽车离开乙后，再过多少秒甲、乙两人 相遇？ 【变式训练】(25-26四年级下·江苏苏州·期中)快车和慢车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行， 快车每小时行驶120千米，慢车每小时行驶80千米，在距离中点60千米处相遇。相遇时快车行驶了() 千米。 奥数拓展九经济问题 【典例精讲】某单位为改善工作环境，购买了20盆五针松和9盆君子兰，共用去987元。买1盆君子兰的 钱可以买3盆五针松，1盆五针松要多少元？ 五针松 君子兰 【变式训练】丽丽和红红一同去书店买同样的书，丽丽买了5本漫画书和4本故事书花了68元，红红买了 7本漫画书和4本故事书花了84元。一本漫画书和一本故事书各多少元？ 第11页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 优选真题实战演练 【能力提升练】 1.(25-26四年级下·海南省直辖县级单位·期末)下面算式中，去掉括号不改变运算顺序的算式是哪一 个？( A.(18+69)×(50-25) B.(18×69)-(50÷25) C.18×[(69-50)+25] D.1000-480÷(4×8) 2.(25-26四年级下·贵州遵义·期末)下面的括号中，去掉括号后结果不变的是( ）。 A.(58+42)×(78-46) B.[654-(430+170)]×5 C.(805÷5-12)×9 D.850+(280-35×4) 3.(25-26四年级下·广西贵港·期末)超市购进60箱苹果，每箱15千克，第一天卖出210千克，剩下 的又卖了5天才卖完，下面用“(60×15-210)÷5”来解决的问题是( )。 A.剩下多少千克苹果？B.剩下的苹果平均每天卖出多少千克？C.一共有多少千克苹果？ 4.(25-26四年级下·云南昆明·期末)在300÷15-10×5这个算式中添上合适的括号，要求先算减法、 再算乘法、最后算除法，则算式应变为( ）。 5.(25-26四年级下·云南昆明·期末)在300÷15-10×5这个算式中添上合适的括号，要求先算减法、 再算乘法、最后算除法，则算式应变为()。 6.(25-26四年级下·贵州遵义·期末)添加括号将算式2×116一16÷4改成先算减法，再算除法，最后 算乘法，这个算式应改为( ),照这样的运算顺序最后的计算结果是( ）。 7.(25-26四年级下·广东茂名·期末)递等式计算。 38+56÷7×4 450+390÷130-123 240×[128-(154-31)] (240-80)÷(20-4) 第12页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 8.(25-26四年级下·宁夏银川·期末)学校举办环保创意时装秀，买来400米可回收无纺布制作服装， 先做了55套高年级的时装，每套用布料4米，剩下的布料全部制作60套低年级儿童服装，每套儿童服装 用布多少米？ 9.（25-26四年级下·广西南宁·期末)如图，超市有2种不同规格的菜籽油。烧烤店老板需要购买20千 克的菜籽油，怎么买最划算？最少需要多少元？ 菜籽油（大瓶装） 40元/瓶，每瓶3千克 菜籽油（小瓶装） 30元/瓶，每瓶2千克 10.(25-26四年级下·湖北省直辖县级单位·期末)黄鹤楼位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登 楼所题《黄鹤楼》一诗而名扬四海。天气逐渐炎热，黄鹤楼景区旁边的商店以批发价购进了9箱文创雪糕， 每箱50支。如果按照零售价全部卖完，可以赚多少钱？ 文创雪糕 批发价：每箱500元 零售价：每支15元 第13页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 【思维创新练】 1.(25-26四年级下·辽宁鞍山·期末)去掉中括号后，不改变运算顺序的算式是( )。 A.38+[56÷(7×4)] B.[1000-(38+56)]×4 C.500÷[(18+7)×4] D.30×[(14-2)÷4] 2.(25-26四年级下·广东佛山·期末)学校评选“微笑问好之星”。买来5盒微笑贴纸，每盒160张， 周一赠送了320张，剩下的4天全部赠送完。下面问题中，()可用算式(160×5一320)÷4解 决。 A.剩下多少张微笑贴纸？ B.剩下的微笑贴纸平均每天赠送多少张？ C.一共有多少张微笑贴纸？ D.平均每天赠送多少张微笑贴纸？ 3.(25-26四年级下·浙江杭州·期末)乐乐带80元钱去商店买了一筒(12个)羽毛球，还剩下32元。 算式32÷[(80-32)÷12]解决的问题是( ）。 A.每个羽毛球多少元。B.80元一共可以买几个羽毛球。C.剩下的钱还可以买几个羽毛球。 4.(25-26四年级下·湖北孝感·期末)如果要把105×34÷51一17的运算顺序改为先算减法，再算除法， 最后算乘法，那么算式应改为( ）。 5.(25-26四年级下·贵州遵义·期末)如果要给算式240÷15-5×2添上括号，使其运算顺序变为先减 后乘最后除，那么算式应改为( ),结果是( ）。 6.用“5、6、7、8”算24点，算式是( ）。 7.(24-25四年级下·重庆合川·期末)脱式计算。 (56+27)×(86-75) (158-126)÷4×280 24×[275÷(12+43)] 49.6-(3.28+4.81) 第14页共15页 2026-2027学年苏教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 8.计算下列各题，能简算的要简算， 500÷[(288-188)÷25] 48×56+54×56-56×2 2189-(247+189+253) 40-39+38-37+.…+4-3+2一1 24×72+12×56 999×999+1999 9.(25-26四年级下·山西忻州·期末)学校为弘扬体育精神，准备举办一场别开生面的乒乓球比赛。正 如古诗中所云“会当凌绝顶，一览众山小”，同学们都怀揣着勇攀高峰的决心，积极备赛。为此，体育组 开始筹备采购乒乓球拍和乒乓球的相关事宜。这次采购情况如下： ①买了20副乒乓球拍；②每副乒乓球拍80元：③买了10桶乒乓球；④每桶乒乓球有15个；⑤一共花了 2050元。 (1)如果求买乒乓球一共花了多少元，需要用到以上( )数学信息。（填序号） (2)每个乒乓球多少元？请列式解答。 10.超市运来一筐鸡蛋，第一天卖出这筐鸡蛋总数的一半还多15个，第二天卖出剩下的一半多2个，这时 筐里还剩46个鸡蛋，原来这筐鸡蛋有多少个？ 第15页共15页2026-2027学年苏教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 第四单元 混合运算与数量关系（二）『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+9个考点讲练+8个奥数拓展+真题难度分层演练 共54题） 同学你好，该份讲义用于苏教版新教材四年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏教版四上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 整数四则混合运算的顺序 3 知识点二 解决实际问题（数量关系分析） 4 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 解决多步计算的实际问题 5 高频考点二 带有中括号的混合运算 5 高频考点三 和差问题 5 高频考点四 和倍问题 6 高频考点五 差倍问题 6 高频考点六 较复杂的和差倍问题 6 高频考点七 盈亏问题 6 高频考点八 行程问题 7 高频考点九 经济问题 7 难点突破 奥数拓展 7 奥数拓展一 解决多步计算的实际问题 7 奥数拓展二 带有中括号的混合运算 8 奥数拓展三 算“24”点 8 奥数拓展四 和差问题 9 奥数拓展五 和倍问题 9 奥数拓展五 差倍问题 10 奥数拓展六 较复杂的和差倍问题 10 奥数拓展七 盈亏问题 10 奥数拓展八 行程问题 11 奥数拓展九 经济问题 11 优选真题 实战演练 12 【能力提升练】 12 【思维创新练】 14 知识点一 整数四则混合运算的顺序 本单元重点讲解了含有两级运算（加减法为一级，乘除法为二级）以及含有括号的算式运算规则。 1. 不含括号的混合运算 规则： 在没有括号的算式里，如果既有乘除法又有加减法，要先算乘除法，再算加减法。 示例： 56 × 3 − 28 × 4（先算两边的乘法，最后算减法） - 150 + 120 ÷ 6 × 5（先算除法，再算乘法，最后算加法） - 240 ÷ 6 − 2 × 17（先算除法和乘法，最后算减法） 2. 含有小括号的混合运算 规则： 算式中有小括号，应该先算小括号里面的。 示例： (600 − 126 × 4) ÷ 48（先算小括号里的乘法，再算小括号里的减法，最后算括号外的除法） 58 × (20 − 78 ÷ 13)（先算小括号里的除法，再算小括号里的减法，最后算括号外的乘法） 3. 含有中括号的混合运算 认识中括号： 中括号 [ ]，又称为方括号。 规则： 如果算式中既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。 示例： 525 ÷ [(81 − 56) × 3] 第一步：算小括号 (81 − 56) 第二步：算中括号 [25 × 3] 第三步：算除法 525 ÷ 75 - 42 × [169 − (78 + 35)] - 72 ÷ [160 ÷ (102 − 82)] 知识点二 解决实际问题（数量关系分析） 本单元强调通过画示意图、列表整理信息等方式分析数量关系，列综合算式解决问题。 1. “归一”与“归总”类问题的进阶 例题模型（合唱组人数问题）： 已知条件： 书法组18人，绘画组是书法组的2倍，合唱组比书法组和绘画组的总人数少6人。 解题思路： 1. 先求绘画组人数：18 × 2 = 36（人） 2. 再求书法和绘画总人数：18 + 36 = 54（人） 3. 最后求合唱组人数：54 − 6 = 48（人） 综合算式： 18 + 18 × 2 − 6 2. 购物与剩余问题（含括号的应用） 例题模型（买模型问题）： 已知条件： 带了600元，买了4个飞机模型（单价126元），剩下的钱买舰船模型（单价48元）。 解题思路： 1. 先求买飞机模型花的钱：126 × 4 2. 再求剩下的钱：600 − 126 × 4（此处必须加小括号，因为要先算出剩下的钱才能除以单价） 3. 最后求能买几个舰船模型。 综合算式： (600 − 126 × 4) ÷ 48 3. 行程与工程问题 行程问题： 涉及速度、时间、路程的关系。例如计算剩余路程的速度：（总路程 − 已行路程）÷ 剩余时间。 工程/效率问题： 例如分拣快件，人工每分钟6件需90分钟，机器9分钟完成。求机器比人工每分钟多分拣多少件？ 思路： 先求总量 6 × 90，再求机器效率 (6 × 90) ÷ 9，最后求差。 高频考点一 解决多步计算的实际问题 【典例精讲】（2026四年级下·全国·专题练习）一本科技书共116页，芳芳星期一、二、三这3天平均每天看16页，如果她想在这个星期看完，那么后4天平均每天要看( )页。 【变式训练】（25-26四年级下·河南周口·阶段检测）苏绣是苏州地区刺绣产品的总称，为苏州市民间传统艺术。苏绣起源于苏州，是四大名绣之一，也是国家级非物质文化遗产之一。红缨绣庄要制作560件绣品，已经制作了4天，完成了112件。照这样计算，完成这批绣品还要多少天？ 高频考点二 带有中括号的混合运算 【典例精讲】（25-26四年级下·广东佛山·期末）计算。 （1）80÷5×3       （2）138－38×3      （3）240÷[（15＋9）×2] 【变式训练】（24-25四年级下·陕西安康·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 24×[35＋（240－212）]    5600÷25÷4    23.4＋15.32＋4.68＋3.6 高频考点三 和差问题 【典例精讲】小明期末考试语文和数学的平均分是96分，数学比语文多8分，则小明数学得了（    ）分。（平均分，差倍问题） A．94 B．96 C．98 D．100 【变式训练】有甲、乙、丙三所小学的同学来参加创新杯数学线上赛，其中甲校参赛人数比乙校少5人，比丙校多9人。如果乙、丙两校一共有100人参加比赛，那么乙校有________人参加比赛。 高频考点四 和倍问题 【典例精讲】新希望图书室甲、乙两个书架共有书250本，当乙书架取出30本放到甲书架后，甲书架的书比乙书架的2倍还多10本。乙书架原有书______本。 【变式训练】新希望图书室甲、乙两个书架共有书220本，当乙书架取出30本放到甲书架后，甲书架的书比乙书架的2倍还多10本。乙书架原有书________本。 高频考点五 差倍问题 【典例精讲】杨老师比望望大24岁，5年前，杨老师的年龄是望望的7倍，望望今年是__________岁。 【变式训练】今年，望望的年龄等于他爸妈的年龄差。6年后，望望的年龄等于他爸妈年龄差的3倍。今年望望______岁。 高频考点六 较复杂的和差倍问题 【典例精讲】小红和小明都爱画画，两人各有若干支水彩笔。如果小红给小明8枝，小明的水彩笔是小红的3倍。如果小明给小红8枝，则两人的水彩笔一样多。小红原来有( )支水彩笔？ 【变式训练】甲乙两本书共用了888个数码（1是一个数码，100是三个数码），且甲比乙多10页，则甲有( )页。 高频考点七 盈亏问题 【典例精讲】（25-26四年级下·四川成都·期末）有一批橙子要包装，若每盒装4个，则多出10个，若每盒装6个，则少4个。共有( )个盒子，( )个橙子。 【变式训练】（24-25四年级上·浙江宁波·期中）同学们暑假前到图书馆借书，如果每人借4本，则最后少2本；如果前2人每人先借8本，余下的人每人借3本，这些图书恰好借完，有几名同学？书的总数是多少本？ 【变式训练】（24-25六年级下·全国·小升初复习）王老师给美术兴趣小组的同学分发图画纸。如果每人发5张，则少32张；如果每人发3张，则少2张。美术兴趣小组有多少名同学？王老师一共有多少张图画纸？ 高频考点八 行程问题 【典例精讲】（25-26四年级下·河南平顶山·期末）言言和亮亮在环形跑道上同时从同一地点出发，朝着相反方向跑步。言言每秒跑4米，亮亮每秒跑6米，40秒后他们第一次相遇，环形跑道长( )米。 【变式训练】（25-26四年级下·河南平顶山·期末）一辆客车的速度是95千米/时，一辆货车的速度是75千米/时。如果两车从甲、乙两城同时出发相向而行，3小时后两车还相距120千米。甲、乙两城相距多少千米？ 高频考点九 经济问题 【典例精讲】（25-26四年级下·河北石家庄·期末）学校为舞蹈社团的18名学生购买演出服和舞蹈鞋，每套演出服265元，每双舞蹈鞋35元。一共要花多少元？ 【变式训练】（25-26四年级下·湖北咸宁·期末）某服装店出售一款套装，每件上衣160元，( )，买20套这样的套装需要多少钱？列式为（160＋100）×20，请你在括号里填上合适的信息。 奥数拓展一 解决多步计算的实际问题 【典例精讲】（25-26四年级下·湖北荆州·期末）学校准备为参加艺术节表演的学生购置30套服装（含上衣和裤子），其中上衣75元，裤子45元。算一算，购置这些服装共需要多少元？ 【变式训练】（25-26五年级上·山东临沂·期中）妈妈从家到公司，要行1800米，若以45米/分的速度刚好赶上上班。某天，她在去公司途中遇到一位熟人耽误了3分钟，为了赶上上班，她必须在后面每分钟多行15米。她是在离家多远处遇到的熟人？ 奥数拓展二 带有中括号的混合运算 【典例精讲】（24-25四年级下·山东济南·期末）李大伯家有一块长16m，宽8m的长方形菜地，他在菜地中间留了2m宽的路，如果要把菜地平均分成4块（如图所示），那么每块的面积是多少？列式不正确的是（    ）。 A．16×8÷4－16×2÷4 B．[（16－2）÷2]×[（8－2）÷2] C．（16－2）×（8－2）÷4 D．[16×8－（16×2＋8×2－2×2）]÷4 【变式训练】（25-26四年级下·河北张家口·期末）脱式计算，怎样简便就怎样计算。 ①        ② ③        ④ 奥数拓展三 算“24”点 【典例精讲】（25-26三年级下·河北唐山·期末）运用，，，和括号，每个数都要用上，但只能用一次，结果是24。 ①1，2，6，7 ②1，2，6，9 【变式训练】（25-26六年级下·河北唐山·期末）运用＋，－，×，÷和括号，每个数都要用上，但只能用一次，结果是24。 ①1，2，5，9 ②1，4，5，7 奥数拓展四 和差问题 【典例精讲】如图，4个相同的长方形和1个小正方形拼成一个大正方形，已知其中小正方形的面积为4平方厘米，大正方形的面积为400平方厘米，则其中长方形长为_____厘米，宽为_____厘米。 【变式训练】甲乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？ 奥数拓展五 和倍问题 【典例精讲】如图，用5个小正方形和1个大正方形拼成一个更大的正方形，若此最大正方形的周长为120cm，则图中的5个小正方形周长之和为_______cm。 【变式训练】甲筐和乙筐内原来分别放有54个和63个鸡蛋，若要使甲筐内的鸡蛋的个数变为乙筐内鸡蛋个数的两倍．那么应从乙筐内取出________个鸡蛋放入甲筐． 奥数拓展五 差倍问题 【典例精讲】国庆游园会上，有一个100人的方队。方队中每个人的左手要么拿红花，要么拿黄花；每人的右手要么拿红气球，要么拿绿气球。已知拿红花的有42人，拿红气球的有63人，左手拿黄花、右手拿绿气球的有28人。则左手拿红花。右手拿红气球的有________人。 【变式训练】甲、乙两桶油重量相等，甲桶取走千克油，乙桶加入千克油后，乙桶油的重量是甲桶油的重量的倍。甲桶原来有油多少千克？ 奥数拓展六 较复杂的和差倍问题 【典例精讲】三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组少2人，求第一小组的人数． 【变式训练】一群蚂蚁搬家，蚁洞内原来存放着一些食物，第一次运出的比原来的一半少80克，第二次运出的比剩下的一半多50克，第三次运出的比再剩下的一半多20克，这时蚁洞内还剩250克食物，蚁洞内原来有多少克食物？ 奥数拓展七 盈亏问题 【典例精讲】春节前夕，一个富翁向乞丐帮帮众施舍一笔钱财。一开始他准备给每人100元，结果剩下350元。他决定每人多给20元。这时从其他地方有闻讯赶来了5个乞丐，如果他们每个人拿到的钱也和其他乞丐一样多，富翁还需要再增加550元。富翁原打算施舍________元。 【变式训练】学校给一批新入学的学生分配宿舍。若每个房间住12人，则34人没有位置；若每个房间住14人，则空出4个房间。求学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？ 奥数拓展八 行程问题 【典例精讲】马路上有一辆车身为12米的公共汽车，由东向西行驶，车速为每秒5米，马路一旁的人行道上有甲、乙两名同学正在跑步，甲由东向西跑，乙由西向东跑。某一时刻，汽车追上甲，4秒后汽车离开甲。再过30秒，汽车遇到迎面跑来的乙，又过了2秒，汽车离开了乙。汽车离开乙后，再过多少秒甲、乙两人相遇？ 【变式训练】（25-26四年级下·江苏苏州·期中）快车和慢车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，快车每小时行驶120千米，慢车每小时行驶80千米，在距离中点60千米处相遇。相遇时快车行驶了( )千米。 奥数拓展九 经济问题 【典例精讲】某单位为改善工作环境，购买了20盆五针松和9盆君子兰，共用去987元。买1盆君子兰的钱可以买3盆五针松，1盆五针松要多少元？ 【变式训练】丽丽和红红一同去书店买同样的书，丽丽买了5本漫画书和4本故事书花了68元，红红买了7本漫画书和4本故事书花了84元。一本漫画书和一本故事书各多少元？ 【能力提升练】 1．（25-26四年级下·海南省直辖县级单位·期末）下面算式中，去掉括号不改变运算顺序的算式是哪一个？（    ） A．（18＋69）×（50－25） B．（18×69）－（50÷25） C．18×[（69－50）＋25] D．1000－480÷（4×8） 2．（25-26四年级下·贵州遵义·期末）下面的括号中，去掉括号后结果不变的是（    ）。 A．（58＋42）×（78－46） B．[654－（430＋170）]×5 C．（805÷5－12）×9 D．850＋（280－35×4） 3．（25-26四年级下·广西贵港·期末）超市购进60箱苹果，每箱15千克，第一天卖出210千克，剩下的又卖了5天才卖完，下面用“（60×15－210）÷5”来解决的问题是（    ）。 A．剩下多少千克苹果？ B．剩下的苹果平均每天卖出多少千克？ C．一共有多少千克苹果？ 4．（25-26四年级下·云南昆明·期末）在300÷15－10×5这个算式中添上合适的括号，要求先算减法、再算乘法、最后算除法，则算式应变为( )。 5．（25-26四年级下·云南昆明·期末）在300÷15－10×5这个算式中添上合适的括号，要求先算减法、再算乘法、最后算除法，则算式应变为( )。 6．（25-26四年级下·贵州遵义·期末）添加括号将算式2×116－16÷4改成先算减法，再算除法，最后算乘法，这个算式应改为( )，照这样的运算顺序最后的计算结果是( )。 7．（25-26四年级下·广东茂名·期末）递等式计算。 38＋56÷7×4                  450＋390÷130－123 240×[128－（154－31）]            （240－80）÷（20－4） 8．（25-26四年级下·宁夏银川·期末）学校举办环保创意时装秀，买来400米可回收无纺布制作服装，先做了55套高年级的时装，每套用布料4米，剩下的布料全部制作60套低年级儿童服装，每套儿童服装用布多少米？ 9．（25-26四年级下·广西南宁·期末）如图，超市有2种不同规格的菜籽油。烧烤店老板需要购买20千克的菜籽油，怎么买最划算？最少需要多少元？ 菜籽油（大瓶装） 40元/瓶，每瓶3千克 菜籽油（小瓶装） 30元/瓶，每瓶2千克 10．（25-26四年级下·湖北省直辖县级单位·期末）黄鹤楼位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登楼所题《黄鹤楼》一诗而名扬四海。天气逐渐炎热，黄鹤楼景区旁边的商店以批发价购进了9箱文创雪糕，每箱50支。如果按照零售价全部卖完，可以赚多少钱？ 文创雪糕 批发价：每箱500元 零售价：每支15元 【思维创新练】 1．（25-26四年级下·辽宁鞍山·期末）去掉中括号后，不改变运算顺序的算式是（    ）。 A．38＋[56÷（7×4）] B．[1000－（38＋56）]×4 C．500÷[（18＋7）×4] D．30×[（14－2）÷4] 2．（25-26四年级下·广东佛山·期末）学校评选“微笑问好之星”。买来5盒微笑贴纸，每盒160张，周一赠送了320张，剩下的4天全部赠送完。下面问题中，（    ）可用算式（160×5－320）÷4解决。 A．剩下多少张微笑贴纸？ B．剩下的微笑贴纸平均每天赠送多少张？ C．一共有多少张微笑贴纸？ D．平均每天赠送多少张微笑贴纸？ 3．（25-26四年级下·浙江杭州·期末）乐乐带80元钱去商店买了一筒（12个）羽毛球，还剩下32元。算式32÷[（80－32）÷12]解决的问题是（    ）。 A．每个羽毛球多少元。 B．80元一共可以买几个羽毛球。 C．剩下的钱还可以买几个羽毛球。 4．（25-26四年级下·湖北孝感·期末）如果要把105×34÷51－17的运算顺序改为先算减法，再算除法，最后算乘法，那么算式应改为( )。 5．（25-26四年级下·贵州遵义·期末）如果要给算式240÷15－5×2添上括号，使其运算顺序变为先减后乘最后除，那么算式应改为( )，结果是( )。 6．用“5、6、7、8”算24点，算式是( )。 7．（24-25四年级下·重庆合川·期末）脱式计算。 （56＋27）×（86－75）         （158－126）÷4×280 24×［275÷（12＋43）］          49.6－（3.28＋4.81） 8．计算下列各题，能简算的要简算． 500÷[（288－188）÷25]     48×56＋54×56－56×2 2189－（247＋189＋253）    40－39＋38－37＋…＋4－3＋2－1 24×72＋12×56    999×999＋1999 9．（25-26四年级下·山西忻州·期末）学校为弘扬体育精神，准备举办一场别开生面的乒乓球比赛。正如古诗中所云“会当凌绝顶，一览众山小”，同学们都怀揣着勇攀高峰的决心，积极备赛。为此，体育组开始筹备采购乒乓球拍和乒乓球的相关事宜。这次采购情况如下： ①买了20副乒乓球拍；②每副乒乓球拍80元；③买了10桶乒乓球；④每桶乒乓球有15个；⑤一共花了2050元。 (1)如果求买乒乓球一共花了多少元，需要用到以上( )数学信息。（填序号） (2)每个乒乓球多少元？请列式解答。 10．超市运来一筐鸡蛋，第一天卖出这筐鸡蛋总数的一半还多15个，第二天卖出剩下的一半多2个，这时筐里还剩46个鸡蛋，原来这筐鸡蛋有多少个？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年苏教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 第四单元 混合运算与数量关系（二）『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+9个考点讲练+8个奥数拓展+真题难度分层演练 共54题） 同学你好，该份讲义用于苏教版新教材四年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏教版四上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 整数四则混合运算的顺序 3 知识点二 解决实际问题（数量关系分析） 4 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 解决多步计算的实际问题 5 高频考点二 带有中括号的混合运算 5 高频考点三 和差问题 7 高频考点四 和倍问题 8 高频考点五 差倍问题 8 高频考点六 较复杂的和差倍问题 9 高频考点七 盈亏问题 10 高频考点八 行程问题 12 高频考点九 经济问题 13 难点突破 奥数拓展 14 奥数拓展一 解决多步计算的实际问题 14 奥数拓展二 带有中括号的混合运算 15 奥数拓展三 算“24”点 17 奥数拓展四 和差问题 18 奥数拓展五 和倍问题 19 奥数拓展五 差倍问题 20 奥数拓展六 较复杂的和差倍问题 21 奥数拓展七 盈亏问题 21 奥数拓展八 行程问题 22 奥数拓展九 经济问题 24 优选真题 实战演练 25 【能力提升练】 25 【思维创新练】 30 知识点一 整数四则混合运算的顺序 本单元重点讲解了含有两级运算（加减法为一级，乘除法为二级）以及含有括号的算式运算规则。 1. 不含括号的混合运算 规则： 在没有括号的算式里，如果既有乘除法又有加减法，要先算乘除法，再算加减法。 示例： 56 × 3 − 28 × 4（先算两边的乘法，最后算减法） - 150 + 120 ÷ 6 × 5（先算除法，再算乘法，最后算加法） - 240 ÷ 6 − 2 × 17（先算除法和乘法，最后算减法） 2. 含有小括号的混合运算 规则： 算式中有小括号，应该先算小括号里面的。 示例： (600 − 126 × 4) ÷ 48（先算小括号里的乘法，再算小括号里的减法，最后算括号外的除法） 58 × (20 − 78 ÷ 13)（先算小括号里的除法，再算小括号里的减法，最后算括号外的乘法） 3. 含有中括号的混合运算 认识中括号： 中括号 [ ]，又称为方括号。 规则： 如果算式中既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。 示例： 525 ÷ [(81 − 56) × 3] 第一步：算小括号 (81 − 56) 第二步：算中括号 [25 × 3] 第三步：算除法 525 ÷ 75 - 42 × [169 − (78 + 35)] - 72 ÷ [160 ÷ (102 − 82)] 知识点二 解决实际问题（数量关系分析） 本单元强调通过画示意图、列表整理信息等方式分析数量关系，列综合算式解决问题。 1. “归一”与“归总”类问题的进阶 例题模型（合唱组人数问题）： 已知条件： 书法组18人，绘画组是书法组的2倍，合唱组比书法组和绘画组的总人数少6人。 解题思路： 1. 先求绘画组人数：18 × 2 = 36（人） 2. 再求书法和绘画总人数：18 + 36 = 54（人） 3. 最后求合唱组人数：54 − 6 = 48（人） 综合算式： 18 + 18 × 2 − 6 2. 购物与剩余问题（含括号的应用） 例题模型（买模型问题）： 已知条件： 带了600元，买了4个飞机模型（单价126元），剩下的钱买舰船模型（单价48元）。 解题思路： 1. 先求买飞机模型花的钱：126 × 4 2. 再求剩下的钱：600 − 126 × 4（此处必须加小括号，因为要先算出剩下的钱才能除以单价） 3. 最后求能买几个舰船模型。 综合算式： (600 − 126 × 4) ÷ 48 3. 行程与工程问题 行程问题： 涉及速度、时间、路程的关系。例如计算剩余路程的速度：（总路程 − 已行路程）÷ 剩余时间。 工程/效率问题： 例如分拣快件，人工每分钟6件需90分钟，机器9分钟完成。求机器比人工每分钟多分拣多少件？ 思路： 先求总量 6 × 90，再求机器效率 (6 × 90) ÷ 9，最后求差。 高频考点一 解决多步计算的实际问题 【典例精讲】（2026四年级下·全国·专题练习）一本科技书共116页，芳芳星期一、二、三这3天平均每天看16页，如果她想在这个星期看完，那么后4天平均每天要看( )页。 【答案】17 【思路引导】根据题意，先用乘法求出前三天一共看的页数，再用减法求出后4天需要看的页数，最后用除法即可求出后4天平均每天看的页数。据此列式解答即可。 【规范解答】（116－16×3）÷4 ＝（116－48）÷4 ＝68÷4 ＝17（页） 【变式训练】（25-26四年级下·河南周口·阶段检测）苏绣是苏州地区刺绣产品的总称，为苏州市民间传统艺术。苏绣起源于苏州，是四大名绣之一，也是国家级非物质文化遗产之一。红缨绣庄要制作560件绣品，已经制作了4天，完成了112件。照这样计算，完成这批绣品还要多少天？ 【答案】 16天 【思路引导】根据题意先求出剩余未制作的绣品数量，再求出平均每天制作的绣品数量，最后用剩余数量除以每天制作的数量，即可得到还需要的天数。据此进行计算。 【规范解答】 （天） 答：完成这批绣品还要16天。 高频考点二 带有中括号的混合运算 【典例精讲】（25-26四年级下·广东佛山·期末）计算。 （1）80÷5×3       （2）138－38×3      （3）240÷[（15＋9）×2] 【答案】（1）48；（2）24；（3）5 【思路引导】（1）在整数四则混合运算中，当只有乘除法这样的同级运算时，依据运算顺序，从左往右依次计算。 （2）在含有两级运算（乘除法和加减法）的算式里，根据运算规则，先算乘除法，后算加减法。 （3）对于有括号的混合运算，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 【规范解答】（1） （2） （3） 【变式训练】（24-25四年级下·陕西安康·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 24×[35＋（240－212）]    5600÷25÷4    23.4＋15.32＋4.68＋3.6 【答案】1512；56；47 【思路引导】先算小括号里的减法，再算中括号里的加法，最后算括号外的乘法； 利用除法的性质，先算25×4； 利用加法交换律，交换15.32和3.6的位置，再利用加法结合律，23.4＋3.6，15.32＋4.68，两两结合。 【规范解答】24×[35＋（240－212）] ＝24×[35＋28]                  ＝24×63 ＝1512                        5600÷25÷4 ＝5600÷（25×4）                 ＝5600÷100 ＝56                          23.4＋15.32＋4.68＋3.6 ＝ 23.4＋3.6＋15.32＋4.68 ＝（23.4＋3.6）＋（15.32＋4.68）        ＝27＋20 ＝47 高频考点三 和差问题 【典例精讲】小明期末考试语文和数学的平均分是96分，数学比语文多8分，则小明数学得了（    ）分。（平均分，差倍问题） A．94 B．96 C．98 D．100 【答案】D 【思路引导】根据总分＝平均分×门数得出语文和数学的总分为192分，再根据和差公式，大数＝（和＋差）÷2得出数学的分数。 【规范解答】96×2＝192（分） （192＋8）÷2 ＝200÷2 ＝100（分） 则小明数学得了100分。 故答案为：D 【变式训练】有甲、乙、丙三所小学的同学来参加创新杯数学线上赛，其中甲校参赛人数比乙校少5人，比丙校多9人。如果乙、丙两校一共有100人参加比赛，那么乙校有________人参加比赛。 【答案】57 【思路引导】甲校参赛人数比乙校少5人，比丙校多9人，由此即可知道乙校人数比丙校人数多：5＋9＝14（人）。再根据乙、丙两校一共有100人参加比赛，即可利用和差问题的公式“较大数＝（和＋差）÷2”求出乙校参加比赛的人数。 【规范解答】乙校人数比丙校人数多：5＋9＝14（人） 乙校：（100＋14）÷2 ＝114÷2 ＝57（人） 因此乙校有57人参加比赛。 高频考点四 和倍问题 【典例精讲】新希望图书室甲、乙两个书架共有书250本，当乙书架取出30本放到甲书架后，甲书架的书比乙书架的2倍还多10本。乙书架原有书______本。 【答案】110 【思路引导】在书变动前后，书本的总数不变。先计算挪动书籍后两个书架的书本数量，再倒推求出乙书架原本的书本数。 挪动后的数量关系可以用线段图表示： 【规范解答】（250－10）÷（2＋1） ＝240÷3 ＝80（本） 80＋30＝110（本） 乙书架原有书110本。 【变式训练】新希望图书室甲、乙两个书架共有书220本，当乙书架取出30本放到甲书架后，甲书架的书比乙书架的2倍还多10本。乙书架原有书________本。 【答案】100 【思路引导】根据题意，甲、乙两个书架书的总量是不变的，从总书量中减去多的10本，剩余量是乙书架的2＋1＝3（倍），由此可求出乙书架现在书的数量，再加上从乙书架取出的本数，即可求出乙书架原有书的本数。 【规范解答】220－10＝210（本） 210÷（2＋1） ＝210÷3 ＝70（本） 70＋30＝100（本） 高频考点五 差倍问题 【典例精讲】杨老师比望望大24岁，5年前，杨老师的年龄是望望的7倍，望望今年是__________岁。 【答案】9 【思路引导】无论在哪一年，两个人的年龄差是不变的。所以五年前，杨老师年龄比望望大24岁且杨老师年龄是望望年龄的7倍。利用差倍问题数量关系：较小数＝两数差÷（倍数－1），求出五年前望望的年龄，再加5即可求出望望今年几岁。 【规范解答】 ＝24÷6 ＝4（岁） 4＋5＝9（岁） 【变式训练】今年，望望的年龄等于他爸妈的年龄差。6年后，望望的年龄等于他爸妈年龄差的3倍。今年望望______岁。 【答案】3 【思路引导】年龄问题的关键是抓住“父母年龄差始终不变”解决。把年龄差看作固定份数，先求出今年和6年后望望年龄与年龄差的关系。设今年望望年龄为1份，年龄差就是1份。 根据年龄变化的差值求出一份数，6年后望望年龄是3份相差份数：3－1＝2（份），即可算出望望今年年龄。 【规范解答】根据分析，对应实际年龄差除以份数： 6÷（3－1） ＝6÷2 ＝3（岁） 高频考点六 较复杂的和差倍问题 【典例精讲】小红和小明都爱画画，两人各有若干支水彩笔。如果小红给小明8枝，小明的水彩笔是小红的3倍。如果小明给小红8枝，则两人的水彩笔一样多。小红原来有( )支水彩笔？ 【答案】24 【思路引导】根据小明给小红8枝，则两人的水彩笔一样多，可知小明原来的钢笔数比小红多：8×2＝16（枝）。如果小红给小明8枝，则此时小明原来的钢笔数比小红多：16＋8×2＝32（枝），再结合小明的水彩笔是小红的3倍，即可以转换为差倍问题来解决。根据差倍问题公式“较小数＝差÷（倍数－1）”求出小红的数量，最后再加8即可求出小红原来的水彩笔数量。 【规范解答】差：8×2＋8×2 ＝16＋16 ＝32（枝） 小红：32÷（3－1）＋8 ＝32÷2＋8 ＝16＋8 ＝24（枝） 因此小红原来有24支水彩笔。 【变式训练】甲乙两本书共用了888个数码（1是一个数码，100是三个数码），且甲比乙多10页，则甲有( )页。 【答案】189 【思路引导】甲乙两本书的页码都是从1开始，甲和乙的一位数码是1到9，即一共有18个数码； 两位数码是10到99，每本书有90个2位数码，即一共有360个数码。 则三位数码就是用总数码减去甲乙两本书两位数码以及一位数码的码数和，为510个，甲比乙多10页，则甲比乙多30个数码，根据和差公式：大数＝（和＋差）÷2，可以得出甲书三位数码有270个，除以3即可得出甲书三位数码的页数有90页，最后加上前面的99页，即可得数甲的页数。 【规范解答】9×2＋90×2×2 ＝18＋360 ＝378（个） 888－378＝510（个） （510＋30）÷2 ＝540÷2 ＝270（个） 270÷3＝90（页） 90＋99＝189（页） 则甲有189页。 高频考点七 盈亏问题 【典例精讲】（25-26四年级下·四川成都·期末）有一批橙子要包装，若每盒装4个，则多出10个，若每盒装6个，则少4个。共有( )个盒子，( )个橙子。 【答案】 7 38 【思路引导】每盒装4个时多出10个，每盒装6个时少4个。两种方案下，每盒的橙子数量差为6－4＝2个，总橙子数量的差为多出的10个加上少的4个，也就是10＋4＝14个。用总数量差除以每盒数量差，就能得到盒子数，再根据盒子数就能算出橙子总数。 【规范解答】盒子数： （10＋4）÷（6－4） ＝14÷2 ＝7（个） 橙子数： 4×7＋10 ＝28＋10 ＝38（个） 【变式训练】（24-25四年级上·浙江宁波·期中）同学们暑假前到图书馆借书，如果每人借4本，则最后少2本；如果前2人每人先借8本，余下的人每人借3本，这些图书恰好借完，有几名同学？书的总数是多少本？ 【答案】12名；46本 【思路引导】在第二种借书方法中，如果前2人也借3本，即每人都借3本，则余下：2×（8－3）＝2×5＝10（本），与第一种借书方法相差（10＋2）本，因为两种借书方法中每人借书本数相差（4－3）本。两种借书方法的本数差除以两种借书方法中每人借书的本数差，即可算出有几名同学。人数乘4本再减去2本，即可算出书的总数是多少本。 【规范解答】2×（8－3） ＝2×5 ＝10（本） （10＋2）÷（4－3） ＝12÷1 ＝12（名） 12×4－2 ＝48－2 ＝46（本） 答：有12名同学，书的总数是46本。 【变式训练】（24-25六年级下·全国·小升初复习）王老师给美术兴趣小组的同学分发图画纸。如果每人发5张，则少32张；如果每人发3张，则少2张。美术兴趣小组有多少名同学？王老师一共有多少张图画纸？ 【答案】15名；43张 【思路引导】根据题目可知，两种发放方法相差（32－2）张，而每人发的张数相差（5－3）张，那么用相差的总张数除以每人发的张数，可以计算出学生的人数；再用学生人数乘5张，再减去32张，计算出王老师一共有多少张图画纸；据此解答。 【规范解答】学生人数： （32－2）÷（5－3） ＝30÷2 ＝15（名） 图画纸： 15×5－32 ＝75－32 ＝43（张） 答：美术兴趣小组有15名同学，王老师一共有43张图画纸。 【考点剖析】解答这道题要弄清题目中的数量关系，弄清楚两种方法少的总数与每人少的张数之间的商，就是兴趣小组的人数，是解答本题的关键。 高频考点八 行程问题 【典例精讲】（25-26四年级下·河南平顶山·期末）言言和亮亮在环形跑道上同时从同一地点出发，朝着相反方向跑步。言言每秒跑4米，亮亮每秒跑6米，40秒后他们第一次相遇，环形跑道长( )米。 【答案】400 【思路引导】路程＝速度之和×相遇时间，依此即可计算出环形跑道一圈的长度，因此先计算出言言和亮亮的速度之和再计算。 【规范解答】（4＋6）×40 ＝10×40 ＝400（米） 所以，环形跑道长400米。 【变式训练】（25-26四年级下·河南平顶山·期末）一辆客车的速度是95千米/时，一辆货车的速度是75千米/时。如果两车从甲、乙两城同时出发相向而行，3小时后两车还相距120千米。甲、乙两城相距多少千米？ 【答案】630千米 【思路引导】相向而行，先求出两车1小时一共行驶的路程，也就是速度和，再乘行驶时间得到3小时两车一共走的路程；3小时后还相距120千米，说明两城总距离等于两车已走路程加上还没走的相距路程。 【规范解答】（95＋75）×3 ＝170×3 ＝510（千米） 510＋120＝630（千米） 答：甲、乙两城相距630千米。 高频考点九 经济问题 【典例精讲】（25-26四年级下·河北石家庄·期末）学校为舞蹈社团的18名学生购买演出服和舞蹈鞋，每套演出服265元，每双舞蹈鞋35元。一共要花多少元？ 【答案】 5400元 【思路引导】已知每人需要1套演出服和1双舞蹈鞋，可先计算单人的总花费，再乘总人数得到总费用，利用加法凑整使计算更简便。 【规范解答】（265＋35）×18 ＝300×18 ＝5400（元） 答：一共要花5400元。 【变式训练】（25-26四年级下·湖北咸宁·期末）某服装店出售一款套装，每件上衣160元，( )，买20套这样的套装需要多少钱？列式为（160＋100）×20，请你在括号里填上合适的信息。 【答案】每条裤子100元 【思路引导】首先观察问题，要求买20套套装的总钱数。其次观察给出的列式（160＋100）×20，根据“单价×数量＝总价”的数量关系，可知20是数量，（160＋100）表示一套套装的单价。已知上衣每件160元，则100元应为裤子的单价，据此补充条件。 【规范解答】算式（160＋100）×20求的是买20套套装需要的钱数，其中的20表示购买套装的数量，（160＋100）应该表示一套套装的单价，而其中的160表示每件上衣的价钱，那么100元应该表示的是每条裤子的价格，所以在括号里填上合适的信息是每条裤子100元。 奥数拓展一 解决多步计算的实际问题 【典例精讲】（25-26四年级下·湖北荆州·期末）学校准备为参加艺术节表演的学生购置30套服装（含上衣和裤子），其中上衣75元，裤子45元。算一算，购置这些服装共需要多少元？ 【答案】3600元 【思路引导】先计算30件上衣的价格，再计算30条裤子的价格，最后两者再相加即为总费用。计算时可以利用乘法分配律的逆运算简便计算。 【规范解答】 （元） 答：购置这些服装共需要元。 【变式训练】（25-26五年级上·山东临沂·期中）妈妈从家到公司，要行1800米，若以45米/分的速度刚好赶上上班。某天，她在去公司途中遇到一位熟人耽误了3分钟，为了赶上上班，她必须在后面每分钟多行15米。她是在离家多远处遇到的熟人？ 【答案】1260米 【思路引导】计算耽误3分钟少走的路程：原本速度是45米/分，耽误了3分钟，少走的路程就是速度乘耽误的时间，即45×3＝135（米）。 计算提速后弥补少走路程所需时间：提速后速度比原来每分钟多走15米。少走的135米，用少走的路程除以提速后比原来每分钟多走的路程，就是提速后弥补少走路程需要的时间。即135÷15＝9（分钟）。 计算提速后行走的路程：提速后速度为45＋15＝60（米/分），行走时间是9分钟，根据路程＝速度×时间可算出这部分路程。提速后行走的路程为60×9＝540（米）。 计算遇到熟人时离家的距离：用总路程1800米减去提速后行走的540米，就是遇到熟人时离家的距离。据此解答。 【规范解答】45×3＝135（米） 135÷15＝9（分钟） 1800－（45＋15）×9 ＝1800－60×9 ＝1800－540 ＝1260（米） 答：她是在离家1260米处遇到的熟人。 【考点剖析】解题关键在于通过分析耽误时间导致少走的路程，以及提速后弥补少走路程的情况，利用速度、时间和路程的关系求出遇到熟人时离家的距离。 奥数拓展二 带有中括号的混合运算 【典例精讲】（24-25四年级下·山东济南·期末）李大伯家有一块长16m，宽8m的长方形菜地，他在菜地中间留了2m宽的路，如果要把菜地平均分成4块（如图所示），那么每块的面积是多少？列式不正确的是（    ）。 A．16×8÷4－16×2÷4 B．[（16－2）÷2]×[（8－2）÷2] C．（16－2）×（8－2）÷4 D．[16×8－（16×2＋8×2－2×2）]÷4 【答案】A 【思路引导】由图可知，两块小长方形菜地的总宽等于大长方形菜地的宽减去路的宽度，即8－2＝6（米），那么一块小长方形菜地的宽为6÷2＝3（米），两块小长方形菜地的总长等于大长方形菜地的长减去路的宽度，即16－2＝14（米），那么一块小长方形菜地的长度为14÷2＝7（米），再根据长方形的面积＝长×宽，求出每块的面积是多少即可。 【规范解答】A．先计算出整块菜地的面积为16×8，再计算出4块菜地总面积为16×8÷4，块菜地总面积比4块菜地实际面积多出的部分是4个长为16米、宽为2米的长方形的面积，即16×2÷4。但实际多出的部分是路的面积，路的面积应该是16×2＋8×2－2×2＝16×2＋12，而不是16×2÷4，所以该选项列式错误。 B．先计算出除去路后菜地的长为16－2，宽为8－2，再分别除以2得到每块菜地的长和宽，即长为（16－2）÷2，宽为（8－2）÷2，最后根据长方形面积公式计算每块菜地面积，该选项列式正确。 C．先计算出除去路后菜地的总面积为（16－2）×（8－2），再将其平均分成4块，得到每块菜地面积，该选项列式正确。 D．先计算出整块菜地的面积为16×8，再减去路的面积16×2＋8×2－2×2，再将其平均分成4块，得到每块菜地面积，该选项列式正确。 故答案为：A 【考点剖析】本题主要理解各选项中列式所表达的意思，从而找出不符合的选项。 【变式训练】（25-26四年级下·河北张家口·期末）脱式计算，怎样简便就怎样计算。 ①        ② ③        ④ 【答案】①20；②3； ③6.6；④864 【思路引导】①根据加法交换律，交换8.3和6.54的位置，再利用加法结合律简算； ②根据除法的性质，一个数连续除以两个数等于除以这两个数的积，据此简算即可； ③根据减法的性质，一个数连续减去两个数等于减去这两个数的和，据此把算式变成连减运算即可； ④先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后计算中括号外的乘法。 【规范解答】①3.46＋8.3＋6.54＋1.7 ＝3.46＋6.54＋8.3＋1.7 ＝（3.46＋6.54）＋（8.3＋1.7） ＝10＋（8.3＋1.7） ＝10＋10 ＝20 ②3000÷125÷8 ＝3000÷（125×8） ＝3000÷1000 ＝3 ③24.8－（14.8＋3.4） ＝24.8－14.8－3.4 ＝10－3.4 ＝6.6 ④72×[960÷（245－165）] ＝72×[960÷80] ＝72×12 ＝864 奥数拓展三 算“24”点 【典例精讲】（25-26三年级下·河北唐山·期末）运用，，，和括号，每个数都要用上，但只能用一次，结果是24。 ①1，2，6，7 ②1，2，6，9 【答案】 ① ② （答案不唯一） 【思路引导】解答此题应根据数的特点，四则混合运算的运算顺序，进行尝试凑数或添加运算符号即可解决问题。因为7减1得6，6减2得4，再将这两个结果相乘，6乘4得24； 先考虑乘法运算，8乘3得24，9减1得8，然后再看剩下的数字6和2，计算6除以2得3，最后用8乘3得24。 【规范解答】①（7－1）×（6－2） ＝6×4 ＝24 ②（9－1）×（6÷2） ＝8×3 ＝24（答案不唯一） 【变式训练】（25-26六年级下·河北唐山·期末）运用＋，－，×，÷和括号，每个数都要用上，但只能用一次，结果是24。 ①1，2，5，9 ②1，4，5，7 【答案】① ② 【思路引导】解答此题应根据数的特点，四则混合运算的运算顺序，进行尝试凑数或添加运算符号即可解决问题。因为9减1得8，5减2得3，再将这两个结果相乘，8乘3得24； 先考虑乘法运算，4乘7得28，然后再看剩下的数字5和1，计算5减1得4，最后用28减4得24。 【规范解答】① ＝8×3 ＝24 ② ＝28－4 ＝24 （答案不唯一） 奥数拓展四 和差问题 【典例精讲】如图，4个相同的长方形和1个小正方形拼成一个大正方形，已知其中小正方形的面积为4平方厘米，大正方形的面积为400平方厘米，则其中长方形长为_____厘米，宽为_____厘米。 【答案】 11 9 【思路引导】小正方形的面积为4平方厘米，那么边长是2厘米，大正方形的面积为400平方厘米，那么边长是20厘米，长方形的长加宽是20厘米，长减宽是2厘米，转化成和差问题求解。 【规范解答】 （厘米） （厘米） 【考点剖析】本题实质上考查的是和差问题，较大量＝（和＋差）÷2，较小量＝（和－差）÷2。 【变式训练】甲乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？ 【答案】甲校：488人   乙校：376人 【思路引导】甲、乙两校学生人数的和是864人，根据由甲校调入乙校32人，这样甲校比乙校还多48人可以知道，甲校比乙校多 32×2+48＝112（人）， 112是两校人数差． 【规范解答】乙校原有的学生：（864-32×2-48）÷2＝376（人） 甲校原有学生：864-376=488（人） 答：甲校原有学生488人，乙校原有学生376人． 奥数拓展五 和倍问题 【典例精讲】如图，用5个小正方形和1个大正方形拼成一个更大的正方形，若此最大正方形的周长为120cm，则图中的5个小正方形周长之和为_______cm。 【答案】200 【思路引导】最大正方形的周长为120cm，那么边长是30cm，且大正方形的边长是小正方形边长的2倍，按照和倍问题求出大正方形和小正方形边长分别是20cm、10cm，然后计算图中的5个小正方形周长之和。 【规范解答】（cm） （cm） （cm） 【考点剖析】本题考查的是正方形的周长计算，并与和倍问题相结合，如何求出一份量是解题的关键。 【变式训练】甲筐和乙筐内原来分别放有54个和63个鸡蛋，若要使甲筐内的鸡蛋的个数变为乙筐内鸡蛋个数的两倍．那么应从乙筐内取出________个鸡蛋放入甲筐． 【答案】24 【规范解答】甲、乙两筐内原来分别放有54个和63个鸡蛋，两筐内共有54＋63＝117个鸡蛋；后来甲筐内的鸡蛋的个数变为乙筐内鸡蛋个数的两倍，甲、乙两筐内鸡蛋总个数不变，还是117个；根据和倍公式求出后来乙筐内的鸡蛋个数，即117÷（1＋2）＝39个，那么后来乙筐内的鸡蛋比原来少了63－39＝24个，也就是应从乙筐内取出24个鸡蛋放入甲筐． 解：甲、乙两筐内的鸡蛋总个数是：54＋63＝117（个） 从乙筐内取出鸡蛋放入甲筐后，乙筐内剩下的鸡蛋个数是： 117÷（1＋2）＝117÷3＝39（个） 从乙筐内取出并放入甲筐的鸡蛋个数是：63－39＝24（个） 答：应从乙筐内取出24个鸡蛋放入甲筐． 奥数拓展五 差倍问题 【典例精讲】国庆游园会上，有一个100人的方队。方队中每个人的左手要么拿红花，要么拿黄花；每人的右手要么拿红气球，要么拿绿气球。已知拿红花的有42人，拿红气球的有63人，左手拿黄花、右手拿绿气球的有28人。则左手拿红花。右手拿红气球的有________人。 【答案】 【思路引导】因为红气球共有63个，所以绿气球共有：100－63＝37（个），则拿红花、绿气球的有：37－28＝9（个）；因为拿红花的共42人，所以拿红花、红气球的共有：42－9＝33（人）。 【规范解答】（100－63）－28 ＝37－28 ＝9（人） 42－9＝33（人） 列表解答如下： 红气球 绿气球 红花 33 9 黄花 28 所以，右手拿红气球的有33人。 【考点剖析】本题先求出拿绿气球的人数，再根据容斥原理，找出同时拿红花和红气球的人数即可。 【变式训练】甲、乙两桶油重量相等，甲桶取走千克油，乙桶加入千克油后，乙桶油的重量是甲桶油的重量的倍。甲桶原来有油多少千克？ 【答案】千克 【思路引导】先求出后来乙比甲多的，然后求出现在甲桶的重量，最后求出甲桶原有的重量。即，后来乙比甲多：（千克），所以这时甲桶油的重量是：（千克），甲桶原来有油：（千克）。 【规范解答】（14＋16）÷（4－1） ＝30÷3 ＝10（千克） 10＋16＝26（千克） 答：甲桶原来有油26千克。 【考点剖析】解决差倍问题的关键是要确定两个数量的差以及数量差相对应的倍数差，由此求出1倍是多少。 奥数拓展六 较复杂的和差倍问题 【典例精讲】三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组少2人，求第一小组的人数． 【答案】49人 【规范解答】先将一、二小组视为整体，记为A组，则A组与第三组的人数之和为180人，A组比第三组多20人，则A组有(180+20)÷2＝100人，第三组有(180－20)÷2＝80人． 而A组为第一、二两个小组人数之和为100人，第一小组比第二小组少2人． 那么第一小组有(100－2)÷2＝49人． 【变式训练】一群蚂蚁搬家，蚁洞内原来存放着一些食物，第一次运出的比原来的一半少80克，第二次运出的比剩下的一半多50克，第三次运出的比再剩下的一半多20克，这时蚁洞内还剩250克食物，蚁洞内原来有多少克食物？ 【答案】2200克 【规范解答】第二次运出余下：(250＋20)×2＝540(克)，第一次运出余下： (540＋50)×2＝1180(克)，那么在第一次没运之前有食物(1180－80)×2．即： [(250＋20)×2＋50]×2－80＝1100(克) 1100×2＝2200(克) 奥数拓展七 盈亏问题 【典例精讲】春节前夕，一个富翁向乞丐帮帮众施舍一笔钱财。一开始他准备给每人100元，结果剩下350元。他决定每人多给20元。这时从其他地方有闻讯赶来了5个乞丐，如果他们每个人拿到的钱也和其他乞丐一样多，富翁还需要再增加550元。富翁原打算施舍________元。 【答案】1850 【思路引导】设原有的乞丐人数是未知数，根据两种情况表示出富翁原打算施舍的钱数，据此列方程求解。 【规范解答】解：设原有的乞丐人数是x人； （元） 【考点剖析】本题考查的是盈亏问题，列方程是求解盈亏问题最常用的方法。 【变式训练】学校给一批新入学的学生分配宿舍。若每个房间住12人，则34人没有位置；若每个房间住14人，则空出4个房间。求学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？ 【答案】45间；574人 【思路引导】若每个房间住12人，则34人没有位置，即每个房间住12人，人数多出34人；若每个房间住14人，则空出4个房间，即若每个房间住14人，则人数缺少14×4＝56人；对比两次分配方法，盈34，亏56，两次分配的差为14－12＝2人，则房间数为（34＋56）÷（14－12）＝45间，人数为（45－4）×14＝574人。 【规范解答】14×4＝56（人） （34＋56）÷（14－12） ＝90÷2 ＝45（间） （45－4）×14 ＝41×14 ＝574（人） 答：学生宿舍有45间，住宿学生有574人。 【考点剖析】第二次分配多出的不是人数而是房间数，如何把多出的房间数转化成多出的人数是解决本题的关键。 奥数拓展八 行程问题 【典例精讲】马路上有一辆车身为12米的公共汽车，由东向西行驶，车速为每秒5米，马路一旁的人行道上有甲、乙两名同学正在跑步，甲由东向西跑，乙由西向东跑。某一时刻，汽车追上甲，4秒后汽车离开甲。再过30秒，汽车遇到迎面跑来的乙，又过了2秒，汽车离开了乙。汽车离开乙后，再过多少秒甲、乙两人相遇？ 【答案】32秒 【思路引导】本题属于行程问题中的追及与相遇综合问题。首先根据汽车追上并离开甲的过程（追及问题），利用路程差等于车长求出甲的速度；然后根据汽车遇到并离开乙的过程（相遇问题），利用路程和等于车长求出乙的速度。接着分析时间线，确定从汽车离开甲到汽车离开乙的总时间，此时甲乙之间的距离等于汽车车尾与甲在这段时间内的路程差。最后利用相遇公式求出甲乙相遇所需的时间。 【规范解答】甲的速度为每秒： （米） 乙的速度为每秒： （米） 汽车离开乙时，甲乙相距的路程： 甲乙相距的路程（汽车速度甲的速度）（汽车离开甲到离开乙的总时间） （米） 甲、乙相遇时间：相遇时间甲乙相距的路程速度和 （秒） 答：再过 32 秒甲、乙两人相遇。 【考点剖析】这类题的易错点是时间节点的梳理，一定要分清楚公共汽车“离开甲”、“遇到乙”、“离开乙”这三个时间点，分别对应了什么阶段。 甲、乙的运动是全程持续的，计算两人间距时，要把公共汽车行驶的时间和甲同步走的时间都算进去。 【变式训练】（25-26四年级下·江苏苏州·期中）快车和慢车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，快车每小时行驶120千米，慢车每小时行驶80千米，在距离中点60千米处相遇。相遇时快车行驶了( )千米。 【答案】 360 【思路引导】已知在距离中点60千米处相遇，那么快车比慢车多行驶了2个60千米，即120千米，再用120千米除以两车的速度差即可求出行驶的时间，再根据速度×时间＝路程求出快车行驶的路程。 【规范解答】60×2÷（120－80） ＝60×2÷40 ＝120÷40 ＝3（小时） 120×3＝360（千米） 奥数拓展九 经济问题 【典例精讲】某单位为改善工作环境，购买了20盆五针松和9盆君子兰，共用去987元。买1盆君子兰的钱可以买3盆五针松，1盆五针松要多少元？ 【答案】21元 【思路引导】9盆君子兰的价钱相当于9×3＝27盆五针松的价钱，所以购买20盆五针松和9盆君子兰，相当于购买（20＋9×3）盆五针松，用987除以（20＋9×3）等于1盆五针松的价钱，据此即可解答。 【规范解答】987÷（20＋9×3） ＝987÷47 ＝21（元） 答：1盆五针松要21元。 【考点剖析】9盆君子兰的价钱相当于9×3＝27盆五针松的价钱，这是解答本题的关键。 【变式训练】丽丽和红红一同去书店买同样的书，丽丽买了5本漫画书和4本故事书花了68元，红红买了7本漫画书和4本故事书花了84元。一本漫画书和一本故事书各多少元？ 【答案】8元；7元 【思路引导】已知丽丽买了5本漫画书和4本故事书，红红买了7本漫画书和4本故事书，可得出红红比丽丽多买了7－5＝2本漫画书。那么红红比丽丽多花的钱就是这2本漫画书的价钱，根据单价＝总价÷数量，可以求出每本漫画书的价格。 根据总价＝单价×数量，求出丽丽或红红买的漫画书总价，再用减法求出4本故事书需要多少钱，最后除以4，即可求出每本故事书的价格。 【规范解答】根据分析可得： 每本漫画书的价格： （84－68）÷（7－5） ＝16÷2 ＝8（元） 每本故事书的价格： （68－5×8）÷4 ＝（68－40）÷4 ＝28÷4 ＝7（元） 答：一本漫画书8元，一本故事书7元。 【考点剖析】本题的关键是明确红红和丽丽的差价是因为红红比丽丽多买了2本漫画书。 【能力提升练】 1．（25-26四年级下·海南省直辖县级单位·期末）下面算式中，去掉括号不改变运算顺序的算式是哪一个？（    ） A．（18＋69）×（50－25） B．（18×69）－（50÷25） C．18×[（69－50）＋25] D．1000－480÷（4×8） 【答案】B 【思路引导】四则混合运算顺序：有括号先算括号内的运算，没有括号先算乘除，后算加减，同级运算从左到右依次计算，依此判断去掉括号前后运算顺序是否变化，即可解答。 【规范解答】A．原式（18＋69）×（50－25），先算小括号里的加法，再算小括号里的减法，最后计算乘法；去掉括号后算式变为18＋69×50－25，先算乘法，再算加法，最后计算减法，运算顺序改变，不符合题意； B．原式（18×69）－（50÷25），先算小括号里的乘法，再算小括号里的除法，最后计算减法；去掉括号后算式变为18×69－50÷25，先算乘法，再算除法，最后计算减法，运算顺序不变，符合题意； C．原式18×[（69－50）＋25]，先算小括号里的减法，再算中括号里的加法，最后计算乘法；去掉括号后为18×69－50＋25，先算乘法，再算减法，最后计算加法，运算顺序改变，不符合题意； D．原式1000－480÷（4×8）先算小括号里的乘法，再算括号外的除法，最后计算减法；去掉括号后为1000－480÷4×8，先算除法，再算乘法，最后算减法，运算顺序改变，不符合题意。 算式中，去掉括号不改变运算顺序的算式是（18×69）－（50÷25）。 2．（25-26四年级下·贵州遵义·期末）下面的括号中，去掉括号后结果不变的是（    ）。 A．（58＋42）×（78－46） B．[654－（430＋170）]×5 C．（805÷5－12）×9 D．850＋（280－35×4） 【答案】D 【思路引导】四则运算中括号去掉后运算顺序未改变，则结果不变，需结合去括号法则和四则运算优先级判断； 如果括号前是加号，那么括号内的运算符号不用改变，再看括号内运算优先级和去掉括号后的运算优先级是否一致；如果括号前是乘号或减号，那么要判断去括号后运算顺序是否改变、运算符号是否需要调整。 【规范解答】A．（58＋42）×（78－46），先同时算两个括号里的加减，最后算乘法；去掉括号后会先算乘法，结果改变； B．[654－（430＋170）]×5，先算小括号里的加法，再算中括号的减法，最后乘5；去掉括号后运算顺序完全变化，结果改变； C．（805÷5－12）×9，先算括号里的除法、减法，最后乘9；去掉括号后会先算除法、再乘9，最后做减法，结果改变； D．850＋（280－35×4），括号里本来就要先算乘法、再算减法，去掉括号后，依然遵循先乘除后加减的顺序，运算顺序和结果都不变； 3．（25-26四年级下·广西贵港·期末）超市购进60箱苹果，每箱15千克，第一天卖出210千克，剩下的又卖了5天才卖完，下面用“（60×15－210）÷5”来解决的问题是（    ）。 A．剩下多少千克苹果？ B．剩下的苹果平均每天卖出多少千克？ C．一共有多少千克苹果？ 【答案】B 【思路引导】60×15，算出购进苹果的总质量，用购进苹果的总质量减去第一天卖出的210千克，得到剩下的苹果质量，再用剩下的苹果质量除以卖完剩下苹果的天数，求出剩下的苹果平均每天卖出的质量，列式为：（60×15－210）÷5。 【规范解答】A．求剩下多少千克苹果，列式为60×15－210，不符合题意； B．求剩下的苹果平均每天卖出多少千克，列式为（60×15－210）÷5，符合题意； C．求一共有多少千克苹果，列式为60×15，不符合题意。 超市购进60箱苹果，每箱15千克，第一天卖出210千克，剩下的又卖了5天才卖完，用“（60×15－210）÷5”来解决的问题是剩下的苹果平均每天卖出多少千克？。 4．（25-26四年级下·云南昆明·期末）在300÷15－10×5这个算式中添上合适的括号，要求先算减法、再算乘法、最后算除法，则算式应变为( )。 【答案】 【思路引导】在没有括号的算式里，先算乘除法，后算加减法；如果有括号，要先算括号里面的，既有小括号又有中括号的，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。原算式默认顺序是先算除法和乘法，最后算减法。题目要求改变顺序为先减法、再乘法、最后除法，需要通过添加小括号和中括号来实现。 【规范解答】原算式为：300÷15－10×5。第一步：要求先算减法，即先计算15－10，需要给15－10加上小括号，此时算式变为300÷（15－10）×5。第二步：要求再算乘法，即用减法的结果乘5，需要将（15－10）×5作为一个整体进行运算。第三步：要求最后算除法，即用300除以乘法运算的结果。第四步：因为小括号已经使用，外层需要使用中括号，将（15－10）×5括起来。综上所述，算式应变为：300÷[（15－10）×5]。 5．（25-26四年级下·云南昆明·期末）在300÷15－10×5这个算式中添上合适的括号，要求先算减法、再算乘法、最后算除法，则算式应变为( )。 【答案】 300÷[（15－10）×5] 【思路引导】原算式按照默认顺序应先算除法和乘法，最后算减法。题目要求改变运算顺序为先算减法，则15－10需要加上小括号；再算乘法（15－10）×5需要加上中括号，则，最后算除法。 【规范解答】由分析得： 在300÷15－10×5这个算式中添上合适的括号，要求先算减法、再算乘法、最后算除法，则算式应变为300÷[（15－10）×5]。 6．（25-26四年级下·贵州遵义·期末）添加括号将算式2×116－16÷4改成先算减法，再算除法，最后算乘法，这个算式应改为( )，照这样的运算顺序最后的计算结果是( )。 【答案】 2×[（116－16）÷4] 50 【思路引导】原算式2×116－16÷4按照先乘除后加减的顺序计算。题目要求改变运算顺序为先算减法，再算除法，最后算乘法。根据括号改变运算顺序的规则，需给减法算式116－16加上小括号，给除法算式加上中括号，确保乘法最后进行。 【规范解答】修改后的算式为：2×[（116－16）÷4]； 结果是： 2×[（116－16）÷4] ＝2×[100÷4] ＝2×25 ＝50 7．（25-26四年级下·广东茂名·期末）递等式计算。 38＋56÷7×4                         450＋390÷130－123 240×[128－（154－31）]            （240－80）÷（20－4） 【答案】70； 330； 1200； 10 【思路引导】①先算除法，再算乘法，最后计算加法。 ②先算除法，再算加法，最后算减法。 ③先算小括号里面的减法，再算中括号里面的减法，最后算括号外面的乘法。 ④先计算两个小括号里面的减法，再计算括号外面的除法。 【规范解答】① ② ③ ④ 8．（25-26四年级下·宁夏银川·期末）学校举办环保创意时装秀，买来400米可回收无纺布制作服装，先做了55套高年级的时装，每套用布料4米，剩下的布料全部制作60套低年级儿童服装，每套儿童服装用布多少米？ 【答案】3米 【思路引导】先用高年级时装每套用的布料米数乘套数求出高年级时装的总用布量，再求出剩余布料数量，最后用剩余布料数量除以低年级儿童服装数量，得到每套儿童服装用布的米数。 【规范解答】（400－55×4）÷60 ＝（400－220）÷60 ＝180÷60 ＝3（米） 答：每套儿童服装用布3米。 9．（25-26四年级下·广西南宁·期末）如图，超市有2种不同规格的菜籽油。烧烤店老板需要购买20千克的菜籽油，怎么买最划算？最少需要多少元？ 菜籽油（大瓶装） 40元/瓶，每瓶3千克 菜籽油（小瓶装） 30元/瓶，每瓶2千克 【答案】 买6瓶大瓶装菜籽油和1瓶小瓶装菜籽油最划算，最少需要270元。 【思路引导】先选取相同重量的菜籽油，分别算出购买大瓶装、小瓶装需要的钱数，比较后优先选择价格低的包装，然后根据总重量来确定具体的购买数量，得出最划算的购买方案和最少花费。 【规范解答】选取 6 千克进行对比： 大瓶装：（千克），需要（元） 小瓶装：（千克），需要（元） ，大瓶装更便宜，优先买大瓶装。 确定购买数量‌：（瓶）（千克），剩余的2千克刚好可以买1瓶小瓶装。 计算总花费‌： （元） 答：买6瓶大瓶装菜籽油和1瓶小瓶装菜籽油最划算，最少需要270元。 10．（25-26四年级下·湖北省直辖县级单位·期末）黄鹤楼位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登楼所题《黄鹤楼》一诗而名扬四海。天气逐渐炎热，黄鹤楼景区旁边的商店以批发价购进了9箱文创雪糕，每箱50支。如果按照零售价全部卖完，可以赚多少钱？ 文创雪糕 批发价：每箱500元 零售价：每支15元 【答案】可以赚2250元。 【思路引导】这道题是求卖完雪糕的总利润，做题的核心是：总利润＝总卖的钱（总零售收入）－ 进货花的总钱（总批发成本）。所以需要先算出一共有多少支雪糕，再算出全部按零售价卖能得到多少钱，接着算出进货一共花了多少钱，最后把两个数相减就能得到赚的钱。 【规范解答】雪糕总支数：9×50＝450（支）； 全部卖完的总零售收入：450×15＝6750（元）； 购进雪糕的总批发成本：9×500＝4500（元）； 总利润：6750－4500＝2250（元）； 答：可以赚2250元。 【思维创新练】 1．（25-26四年级下·辽宁鞍山·期末）去掉中括号后，不改变运算顺序的算式是（    ）。 A．38＋[56÷（7×4）] B．[1000－（38＋56）]×4 C．500÷[（18＋7）×4] D．30×[（14－2）÷4] 【答案】A 【思路引导】根据四则混合运算顺序：有括号先算小括号内的，再算中括号内的，没有括号时先算乘除、后算加减，同级运算从左到右依次计算，据此判断各选项去中括号前后的运算顺序是否变化。 【规范解答】A．原式的运算顺序：先算小括号内的乘法，再算中括号内的除法，最后算加法；去掉中括号后变为，运算顺序还是先算小括号内的乘法，再算除法，最后算加法，运算顺序不变。 B．原式的运算顺序：先算小括号内的加法，再算中括号内的减法，最后算乘法；去掉中括号后变为，运算顺序变为先算小括号内的加法，再算乘法，最后算减法，运算顺序改变。 C．原式的运算顺序：先算小括号内的加法，再算中括号内的乘法，最后算除法；去掉中括号后变为，运算顺序变为先算小括号内的加法，再算除法，最后算乘法，运算顺序改变。 D．原式的运算顺序：先算小括号内的减法，再算中括号内的除法，最后算乘法；去掉中括号后变为，运算顺序变为先算小括号内的减法，再算乘法，最后算除法，运算顺序改变。 2．（25-26四年级下·广东佛山·期末）学校评选“微笑问好之星”。买来5盒微笑贴纸，每盒160张，周一赠送了320张，剩下的4天全部赠送完。下面问题中，（    ）可用算式（160×5－320）÷4解决。 A．剩下多少张微笑贴纸？ B．剩下的微笑贴纸平均每天赠送多少张？ C．一共有多少张微笑贴纸？ D．平均每天赠送多少张微笑贴纸？ 【答案】B 【思路引导】先计算微笑贴纸的总张数，减去周一赠送的张数得到剩余张数，再除以剩余赠送天数，得到剩余部分平均每天赠送的张数。 【规范解答】求的是微笑贴纸的总张数，求的是周一赠送后剩下的微笑贴纸张数，求的是剩下的微笑贴纸平均每天赠送的张数。 3．（25-26四年级下·浙江杭州·期末）乐乐带80元钱去商店买了一筒（12个）羽毛球，还剩下32元。算式32÷[（80－32）÷12]解决的问题是（    ）。 A．每个羽毛球多少元。 B．80元一共可以买几个羽毛球。 C．剩下的钱还可以买几个羽毛球。 【答案】C 【思路引导】根据题意，算式是先求买12个羽毛球花的总钱数，再算单个羽毛球的价格，最后用剩下的钱除以单价就能得到剩下的钱可购买的羽毛球数量。 【规范解答】12个羽毛球的总价：（元） 单个羽毛球的价格：（元） 剩余32元可买的羽毛球数量：（个） 解决的是剩下的钱还可以买几个羽毛球的问题。 4．（25-26四年级下·湖北孝感·期末）如果要把105×34÷51－17的运算顺序改为先算减法，再算除法，最后算乘法，那么算式应改为( )。 【答案】 【思路引导】原本的运算顺序是先乘除后加减，要先算减法，就得给减法51－17加上小括号；现在要求第二步算除法，需要让除法在做完减法之后、乘法之前计算，所以再给包含减法的除法部分加上中括号，这样最终的运算顺序就变成先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算括号外的乘法。 【规范解答】105×[34÷（51－17）] ＝105×[34÷34] ＝105×1 ＝105 如果要把105×34÷51－17的运算顺序改为先算减法，再算除法，最后算乘法，那么算式应改为105×[34÷（51－17）]。 5．（25-26四年级下·贵州遵义·期末）如果要给算式240÷15－5×2添上括号，使其运算顺序变为先减后乘最后除，那么算式应改为( )，结果是( )。 【答案】 【思路引导】无括号时先乘除后加减，括号可以改变运算优先级，小括号优先计算；要先算15－5，必须给减法套第一层小括号；第二步要算减法结果乘2，需要把（15－5）×2整体作为除数，因此要再加一层中括号；除法必须放在最后一步，被除数只能是240，不能改动数字与运算符号，仅靠括号调整顺序。 【规范解答】根据“先减”给减法加小括号：（15－5）； 根据“后乘”把减法结果与×2整体括入中括号：[（15－5）×2]； 根据“最后除”确定完整算式：240÷[（15－5）×2]； 240÷[（15－5）×2] ＝240÷[10×2] ＝240÷20 ＝12 6．用“5、6、7、8”算24点，算式是( )。 【答案】6×[5－（8－7）]＝24（答案不唯一） 【思路引导】根据数的特点，四则混合运算的运算顺序，进行尝试凑数即可解决问题。 【规范解答】根据题意得： （答案不唯一） 【考点剖析】本题考查了对运算符号的熟练运用，关键是掌握整数的四则混合运算。 7．（24-25四年级下·重庆合川·期末）脱式计算。 （56＋27）×（86－75）         （158－126）÷4×280 24×［275÷（12＋43）］          49.6－（3.28＋4.81） 【答案】913；2240； 120；41.51 【思路引导】（1）先算两个小括号里的加法和减法，再算乘法； （2）先算小括号里的减法，再从左到右依次算除法、乘法； （3）先算小括号里的加法，再算中括号里的除法，最后算乘法； （4）先算小括号里的小数加法，再算小数减法。 【规范解答】（56＋27）×（86－75） ＝83×11 ＝913 （158－126）÷4×280 ＝32÷4×280 ＝8×280 ＝2240 24×［275÷（12＋43）］ ＝24×［275÷55］ ＝24×5 ＝120 49.6－（3.28＋4.81） ＝49.6－8.09 ＝41.51 8．（17-18四年级下·全国·期中）计算下列各题，能简算的要简算． 500÷[（288－188）÷25]     48×56＋54×56－56×2 2189－（247＋189＋253）    40－39＋38－37＋…＋4－3＋2－1 24×72＋12×56    999×999＋1999 【答案】125；5600； 1500；20； 2400；1000000 【思路引导】（1）先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。 （2）逆用乘法分配律简算。 （3）先将括号里面用加法交换律、加法结合律简算，再利用减法的性质简算。 （4）40－39＝1，38－37＝1，…，4－3＝1，2－1＝1，一共是20个1相加。 （5）先将24×72＋12×56化成24×72＋24×28，再逆用乘法分配律简算。 （6）先将999×999＋1999化成999×999＋999＋1000，再逆用乘法分配律简算。 【规范解答】500÷[（288－188）÷25]      ＝500÷[100÷25] ＝500÷4 ＝125 48×56＋54×56－56×2 ＝（48＋54－2）×56 ＝（102－2）×56 ＝100×56 ＝5600 2189－（247＋189＋253） ＝2189－（189＋247＋253） ＝2189－[189＋（247＋253）] ＝2189－[189＋500]   ＝2189－189－500 ＝2000－500 ＝1500 40－39＋38－37＋…＋4－3＋2－1 ＝（40－39）＋（38－37）＋…＋（4－3）＋（2－1） ＝1＋1＋…＋1＋1 ＝1×20 ＝20 24×72＋12×56     ＝24×72＋24×28 ＝24×（72＋28） ＝24×100 ＝2400 999×999＋1999 ＝999×999＋999＋1000 ＝999×999＋999×1＋1000 ＝999×（999＋1）＋1000 ＝999×1000＋1000×1 ＝1000×（999＋1） ＝1000×1000 ＝1000000 9．（25-26四年级下·山西忻州·期末）学校为弘扬体育精神，准备举办一场别开生面的乒乓球比赛。正如古诗中所云“会当凌绝顶，一览众山小”，同学们都怀揣着勇攀高峰的决心，积极备赛。为此，体育组开始筹备采购乒乓球拍和乒乓球的相关事宜。这次采购情况如下： ①买了20副乒乓球拍；②每副乒乓球拍80元；③买了10桶乒乓球；④每桶乒乓球有15个；⑤一共花了2050元。 (1)如果求买乒乓球一共花了多少元，需要用到以上( )数学信息。（填序号） (2)每个乒乓球多少元？请列式解答。 【答案】(1) ①②⑤ (2) 2050－20×80＝450（元） 450÷（10×15）＝3（元） 【思路引导】（1）根据总价＝单价×数量，用每副乒乓球拍的价钱×20，就可求出买乒乓球拍花的钱数；用一共花的钱数减去买乒乓球拍花的钱数，就是买乒乓球一共花的钱数； （2）用买的乒乓球的桶数乘每桶的个数，就是一共买的乒乓球个数，根据：单价＝总价÷数量，用买乒乓球一共花的钱数除以一共买的乒乓球的个数就得出每个乒乓球的价钱。 【规范解答】（1）需要用到的数学信息是：①②⑤ （2）2050－20×80 ＝2050－1600 ＝450（元） 450÷（10×15） ＝450÷150 ＝3（元） 答：每个乒乓球3元。 10．超市运来一筐鸡蛋，第一天卖出这筐鸡蛋总数的一半还多15个，第二天卖出剩下的一半多2个，这时筐里还剩46个鸡蛋，原来这筐鸡蛋有多少个？ 【答案】222个 【思路引导】46个加2个等于第一天卖出后剩下的鸡蛋个数的一半，乘2等于第一天卖出后剩下的鸡蛋个数，再加15个等于原来这筐鸡蛋个数的一半，再乘2等于原来这筐鸡蛋的个数，据此即可解答。 【规范解答】[（46＋2）×2＋15]×2 ＝[48×2＋15]×2 ＝[96＋15]×2 ＝111×2 ＝222（个） 答：原来这筐鸡蛋有222个。 【考点剖析】从最后还剩下的鸡蛋个数入手，倒推求解答这筐原来鸡蛋的个数。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null