6.1 数列的概念与简单表示法（训练）-备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

**基本信息** 聚焦数列概念与表示法，通过辨析、计算、应用题型系统覆盖核心考点，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3选择|判断数列定义、通项公式及图像性质|从数列定义出发，构建“项-通项-图像”认知链| |递推应用|4选择+2填空|已知递推关系求项或判断数列特征|以递推公式为桥梁，连接首项与后续项的逻辑推导| |性质判断|2选择+1填空|分析数列增减性及同一数列判定|结合函数性质理解数列单调性，深化概念本质| |综合计算|5解答|由前几项写通项、求特定项及前n项和|从具体到抽象，实现“观察-归纳-应用”的完整思维过程|

6.1 数列的概念与简单表示法（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）已知，数列的项数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列，，，，…通项公式是；③数列的图象是一群孤立的点；④数列与数列是同一数列．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高二下·全国·课后作业）有下列命题； ①数列的通项公式是； ②数列的图象是一群孤立的点； ③数列与数列是同一数列； ④数列是递增数列． 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 4．（25-26高二下·陕西渭南·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）依次写出数法则如下：如果为正整数且未写出过，则写，否则就写，那么等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．5 6．（2026高三·全国·专题练习）数列满足，且，则数列的前2025项的和（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·四川雅安·期末）“斐波那契数列”由意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．斐波那契数列满足：，，，记其前项和为，设(为常数)，则（    ）． A． B． C． D． 8．（25-26高二下·上海宝山·期末）设函数，数列满足，且数列是严格递增数列，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·海南海口·阶段检测）下列叙述正确的是（     ） A．与是不同的数列 B．是常数列 C．数列的通项公式为 D．数列是递增数列 10．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 11．（26-27高三·全国·一轮复习）下列数列是递增数列的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第__________项. 13．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知数列满足，，则________． 14．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知为数列的前项和，若，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·全国·课堂例题）根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4，6，8，10，…； (2)，，，，…； (3)1，0，1，0，…； (4)9，99，999，9999，…. 16．（2026高三·全国·专题练习）已知数列，问： (1)第43项为多少？ (2)是数列的第几项？ 17．（25-26高二下·全国·课后作业）已知无穷数列． (1)求出这个数列的一个通项公式； (2)该数列在区间内有没有项？若有，有几项？若没有，请说明理由． 18．（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列的通项公式是，写出它的前8项，并求它的前100项的和. 19．（25-26高一下·上海·期末）已知数列的前n项和为，； (1)求的通项公式； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围； 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1 数列的概念与简单表示法（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）已知，数列的项数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以可得数列的第项为， 由，解得. 所以该数列的项数为. 2．（2026高三·全国·专题练习）下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列，，，，…通项公式是；③数列的图象是一群孤立的点；④数列与数列是同一数列．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据数列的定义与性质来判断即可 【详解】数列的定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列，当知道首项和递推公式时，不一定可以写出这个数列的任何一项， 例如,若只知道首项是写不出后续项的，故①错，②中的,当时，故②错， 因为数列中的的取值为正整数，所以数列的图像是一个个孤立的点，故③对， 数列与数列排列顺序不一样，所以不是同一数列，故④错.所以正确的个数为1个. 3．（25-26高二下·全国·课后作业）有下列命题； ①数列的通项公式是； ②数列的图象是一群孤立的点； ③数列与数列是同一数列； ④数列是递增数列． 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】由数列的概念即可求解②③④，对于①，通过验证即可判断. 【详解】①，若，则，故①错误； ②，因为数列，所以数列的图象是一群孤立的点，故②正确； ③，数列的首项是，数列的首项是， 故不是同一个数列，故③错误； ④，易得逐渐变小，故该数列是递减数列，故④错误. 4．（25-26高二下·陕西渭南·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知数列的首项，递推公式为， 依次计算前几项，；； , 因此数列是周期为3的周期数列， 满足， 由于，故. 5．（2026高三·全国·专题练习）依次写出数法则如下：如果为正整数且未写出过，则写，否则就写，那么等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．5 【答案】C 【分析】根据递推法则推导计算即可. 【详解】根据法则可得，因为，所以； 因为为正整数且未写出过，所以； 因为不是正整数，所以； 因为为正整数且未写出过，所以； 因为为正整数但写出过，所以. 6．（2026高三·全国·专题练习）数列满足，且，则数列的前2025项的和（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推公式可知数列是周期为4的数列，进而分析求和. 【详解】因为，且， 则，，，， 可知数列是周期为4的数列，所以． 7．（25-26高二下·四川雅安·期末）“斐波那契数列”由意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．斐波那契数列满足：，，，记其前项和为，设(为常数)，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数列前项和的定义将待求式转化为对应项的和，再结合斐波那契数列的递推公式化简即可得到结果. 【详解】根据数列前项和的性质，对任意，有， 因此：， 结合斐波那契数列的递推关系，可得，， 代入上式得： 已知，故原式的值为. 8．（25-26高二下·上海宝山·期末）设函数，数列满足，且数列是严格递增数列，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，根据数列为递增数列，联立不等式组，即可求得答案. 【详解】由，得， 又数列为递增数列，得，解得.即：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·海南海口·阶段检测）下列叙述正确的是（     ） A．与是不同的数列 B．是常数列 C．数列的通项公式为 D．数列是递增数列 【答案】AD 【详解】对于A，数列与是不同的数列，故A正确； 对于B，数列是摆动数列，故B错误； 对于C，数列的通项公式为，故C错误； 对于D，数列是递增数列，故D正确． 10．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】推导出数列的周期为，结合数列的周期性逐项判断即可. 【详解】数列满足，， 可得，，，， 所以，数列的周期为，，A对B错； ，故， ，CD都对. 11．（26-27高三·全国·一轮复习）下列数列是递增数列的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据递增数列的定义逐项判断可得答案. 【详解】对于A，因为， 所以数列为递增数列，故A正确； 对于B， ， 当为奇数时，，当为偶数时，， 所以数列为摆动数列，故B错误； 对于C，因为 ， 所以数列为递增数列，故C正确； 对于D，因为 ，所以， ，，， ，，所以数列为摆动数列，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第__________项. 【答案】10 【详解】因为数列，，，，， 则该数列的通项公式为， 由，解得， 所以是这个数列的第项. 13．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知数列满足，，则________． 【答案】 【分析】先将递推公式变形得到的表达式，计算前几项确定数列周期，再利用周期性求解 【详解】由得， 因为， 所以 所以数列的周期为4， 故 14．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知为数列的前项和，若，则__________． 【答案】 【分析】利用可得答案. 【详解】当时，， 当且时， ，将代入得，与不符， 故不满足上式. 综上，. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·全国·课堂例题）根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4，6，8，10，…； (2)，，，，…； (3)1，0，1，0，…； (4)9，99，999，9999，…. 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【详解】（1）各项都是偶数，且最小为4，所以通项公式，. （2）这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数， 且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式，. （3）这是一个摆动数列，奇数项是1，偶数项是0， 所以此数列的一个通项公式，或，. （4）这个数列的前4项可以写成，，，， 所以它的一个通项公式，. 16．（2026高三·全国·专题练习）已知数列，问： (1)第43项为多少？ (2)是数列的第几项？ 【答案】(1) (2)5724项 【分析】（1）将原数列按适当的方法分群即可求解； （2）结合数列呈现的规律即可求解. 【详解】（1）将原数列按下面的方法分群： 在第个群中有个元素，且第个群中的分母都等于， 则第1个群到第个群共有：个元素， 有，解得，故第43项在第9群中． 又，所以第43项是第9群中的第7个元素，即为． （2）又， 所以是原数列中的第项． 17．（25-26高二下·全国·课后作业）已知无穷数列． (1)求出这个数列的一个通项公式； (2)该数列在区间内有没有项？若有，有几项？若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)该数列在区间内有项，有4项． 【分析】（1）根据观察法分析得出通项公式； （2）应用通项公式化简解不等式结合项数的要求求解. 【详解】（1）因为数列的分子依次为可看成与项数n的关系式为， 而每一项的分母恰好比分子大1，所以通项公式的分母可以为． 所以这个数列的一个通项公式为． （2）当时，可得． 由，解得，可得． 由，解得，可得． 所以，且，即可取， 综上，该数列在区间内有项，并且有4项． 18．（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列的通项公式是，写出它的前8项，并求它的前100项的和. 【答案】前8项： �� 1 = 1 , �� 2 = − 1 , �� 3 = − 1 , �� 4 = 1 , �� 5 = 1 , �� 6 = − 1 , �� 7 = − 1 , �� 8 = 1； 【详解】数列的通项公式是，则， ，    由此得出数列是以4为周期的周期数列，则. 19．（25-26高一下·上海·期末）已知数列的前n项和为，； (1)求的通项公式； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用计算； （2）分、两种情况讨论，利用参变分离并结合对勾函数求最值. 【详解】（1）因为，所以， 则， 又，不符合上式， 所以. （2）若，则成立，即，得； 若，则，，则恒成立， 即恒成立， 因为在上单调递增，所以， 则的最大值为，则， 综上，实数的取值范围为. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $