2.2基本不等式 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦基本不等式核心内容，涵盖概念生成、分析法证明、几何意义及求最值应用。通过复习赵爽弦图的重要不等式，引导学生代换生成基本不等式，搭建新旧知识学习支架。 以数学思维（分析法“执果索因”证明）和数学眼光（“半弦不大于半径”几何意义）为特色，结合“一正二定三相等”原则与配凑、“1”的代换技巧，如例2最值原理推导、篱笆问题实际应用。培养学生逻辑推理与应用意识，为教师提供分层教学方案，助力高效课堂。

2.2　基本不等式　教学设计 2026—2027学年高一上学期　数学　人教A版必修第一册（本节共2课时） 一、教材分析 本节是第二章第二节，上承2.1由赵爽弦图得到的重要不等式 a²+b²≥2ab，把 a、b 换成 、 得到只对正数成立的基本不等式 ≤。它是高中求最值的核心工具，代数上是不等式性质的应用，几何上对应"半弦不大于半径"。本节共2课时：第一课时学概念、两种证明与几何意义、直接求最值（例1）；第二课时学最值原理（例2）、拼凑与"1"的代换、实际应用（例3、例4）。 二、学情分析 学生已掌握2.1的重要不等式与作差比较、完全平方公式，具备配方基础，但没有系统的"求最值三查（一正、二定、三相等）"意识，容易忽略取等条件、在积不是定值时硬套公式。分析法证明（执果索因）是首次系统接触，需要示范书写。 三、教学目标 1．由重要不等式导出基本不等式，理解算术平均数与几何平均数及其大小关系； 2．会用分析法证明基本不等式，理解其几何意义； 3．掌握用基本不等式求最值的方法，明确"一正、二定、三相等"，能解决简单的实际最值问题； 4．在拼凑、"1"的代换中体会化归思想，养成检验取等条件的习惯。 四、教学重点与难点 重点：基本不等式及其证明、几何意义；用基本不等式求最值。 难点：分析法的书写；求最值时"定值"的配凑与取等条件的检验。 五、教学过程（第一课时　基本不等式的概念、证明与几何意义） 环节一　复习引入（5分钟） 问题1　2.1中我们由赵爽弦图得到了一个重要不等式，它是什么？对 a、b 有什么要求？等号何时成立？ 师生活动：学生回忆，教师板书 a²+b²≥2ab（a、bR），当且仅当 a＝b 时取等。 设计意图：唤起旧知，为"用 、 代入"这一关键步骤铺垫。 环节二　概念生成（12分钟） 问题2　在 a²+b²≥2ab 中，如果 a＞0、b＞0，用 、 分别代替 a、b，会得到什么？ 师生活动：学生动笔代入：()²+()²≥2·，即 a+b≥2，整理得 ≤。教师板书。 明确：对任意正数 a、b，有 ≤，当且仅当 a＝b 时等号成立。称它为基本不等式。 是 a、b 的算术平均数， 是几何平均数——两个正数的算术平均数不小于几何平均数。 设计意图：让基本不等式从重要不等式"长出来"，学生亲历代入，理解"只对正数"的由来。 环节三　代数证明·分析法（13分钟） 问题3　不借助赵爽弦图，能不能直接用不等式的性质证明 ≤？我们从结论出发倒着找。 师生活动：教师示范分析法书写，每步写"只要证"：要证≤ ⟸ 2≤a+b ⟸ 2－a－b≤0 ⟸ －(－)²≤0 ⟸ (－)²≥0。 明确：(－)²≥0 显然成立，当且仅当 a＝b 时取等。把过程倒过来写就是严格证明。这种"执果索因"找充分条件的方法叫分析法。 预设：学生易卡在 2－a－b 配成 －(－)² 这一步，提示把 a、b 看成 ()²、()²。 设计意图：这是本节难点，分步板演，强调方向与"倒过来"。 环节四　几何意义（8分钟） 问题4　如图2.2-1，AB是圆的直径，C在AB上，AC＝a，BC＝b，CD⊥AB交圆于D。CD和半径分别等于什么？由此能读出什么不等式？ 师生活动：由 △ACD∽△DCB 得 CD²＝ab，CD＝；半径为 。学生指出半弦不超过半径。 明确：≤，当 C 与圆心重合（a＝b）时半弦等于半径，取等。几何意义：半弦不大于半径。 设计意图：数形结合，把抽象不等式坐实到图上，便于记忆。 环节五　直接应用·例1（5分钟） 例1　已知 x＞0，求 x＋ 的最小值。 解：因为 x＞0，所以 　　x＋ ≥ 2 ＝ 2， 当且仅当 x＝，即 x＝1 时等号成立。所以最小值为 2。 明确：强调：两项之积 x·()＝1 是定值才能用；必须写出取等的 x＝1，2 才是最小值而不仅是下界。 环节六　小结与作业（2分钟） 小结：基本不等式 ≤（a、b＞0，a＝b取等）；来源、分析法证明、几何意义、直接求最值。布置第一课时作业。 六、教学过程（第二课时　最值原理与应用） 环节一　复习回顾（5分钟） 问题1　默写基本不等式及取等条件。x＞0 时 x＋ 的最小值是多少，靠什么？ 师生活动：学生默写并回答；教师点出"积为定值"是能用的关键。 设计意图：承接上一课时，导向"定值"这一核心。 环节二　最值原理·例2（12分钟） 例2　x、y 都是正数，求证：(1) 若积 xy 等于定值 P，当 x＝y 时和 x+y 有最小值 2；(2) 若和 x+y 等于定值 S，当 x＝y 时积 xy 有最大值 ()S²。 证明：因为 x、y 都是正数，所以 ≥。 （1）xy＝P 时，≥，故 x+y≥2，x＝y 时取等，和有最小值 2。 （2）x+y＝S 时，≤，故 xy≤()S²，x＝y 时取等，积有最大值 ()S²。 明确：归纳"求最值三查"：一正、二定、三相等。和定求积的最大、积定求和的最小。 设计意图：把例1的经验上升为一般原理，形成方法框架。 环节三　配凑技巧（13分钟） 问题2　x＞1 时求 x＋ 的最小值。直接用行不行？两项之积是不是定值？ 师生活动：学生发现 x· 不是定值。教师引导拼凑：x＝(x－1)＋1。 明确（例）：x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1，当 x－1＝，即 x＝1＋ 时取等，最小值 2＋1。 问题3　（★优生班）已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求 ＋ 的最小值。"和为定值"怎么用起来？ 明确：把 a＋b＝1 当作"1"乘上去：＋＝(＋)(a＋b)＝5＋＋≥5＋4＝9，当 b＝2a，即 a＝、b＝ 时取等。（普通班：本题作为演示，替换为直接型 x＋（x＞0）求最小值。） 设计意图：拼凑与"1"的代换是本节技巧核心，暴露"凑定值"的思路，并固化取等检验。 环节四　实际应用·例3（8分钟） 例3　(1) 篱笆围面积 100m² 的矩形菜园，边长多少时篱笆最短？(2) 用 36m 篱笆围矩形，边长多少时面积最大？ 解：设相邻两边长 x m、y m。(1) xy＝100，x+y≥2＝20，篱笆 2(x+y)≥40，x＝y＝10 时取等，最短 40m。(2) 2(x+y)＝36 即 x+y＝18，xy≤()²＝81，x＝y＝9 时取等，最大 81m²。 明确：实际题四步：设变量、列定值、判和积、套原理并回答情境。 环节五　小结与作业（7分钟） 小结：最值原理（和定积最大、积定和最小）、配凑与"1"的代换、实际应用；反复强调"三查"。本节把2.1的重要不等式发展为求最值的有力工具，为2.3一元二次函数最值铺路。布置第二课时作业。 七、板书设计 左：基本不等式 ≤（a、b＞0，a＝b取等）｜算术平均、几何平均｜分析法五步｜半圆几何意义图。 中：例1 x＋≥2；例2 和定积最大、积定和最小；求最值三查——一正、二定、三相等。 右：配凑 x＋＝(x－1)＋＋1；"1"的代换 ＋；例3 篱笆问题。 八、备教手记 分析法的"只要证"和"倒过来"必须板演，学生第一次接触要慢。求最值三查里"三相等"最易漏，凡讲一题都回问一句"等号取得到吗、x等于几"。配凑题先让学生自己试、卡住再点拨，比直接给凑法印象深。★题只要求优生班课上完成，普通班换直接型并留作选做。 学科网（北京）股份有限公司 $