1.3 矩形的性质与判定 第2课时 矩形的判定 备课包 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第2课时　矩形的判定 【课堂引入】 小明家里装修，木工师傅做了一个四边形窗框，做完之后想要检验这个窗框是不是矩形。 小明说：拿量角器量出四个角都是直角，那它就是矩形。 师傅却说：我不想一个个量角，能不能只测量对角线，就能判断它是不是矩形？ 同学们想一想，师傅的想法可行吗？ 要解开这个疑惑，我们就要学习本节课 —— 矩形的判定。 【教学目标】 课题 第2课时　矩形的判定 授课人 素养目标 1.理解矩形的定义可以用来判定，掌握矩形的两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算． 2．经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，学会用数学的思维思考矩形的判定方法. 教学重点 理解并掌握矩形的定义及两个判定方法. 教学难点 灵活运用这些判定方法进行有关的论证和计算. 授课类型 新授课 【课堂流程】 教学步骤 互动探究 设计意图 回顾 1.什么叫作矩形？ 2．矩形具有以下性质： 3．我们已经学过了矩形的一种判定方法，你知道是什么吗？ 复习矩形的定义及性质，为学习矩形的判定做好铺垫. 活动1：创设情境、导入新课 【课堂引入】 教师：我们前几节课学习了两个比较特殊的平行四边形：菱形和矩形，同学们还记得怎样判定一个四边形是菱形吗？ 学生：四条边相等的四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 教师：我们通过菱形的判定方法发现，在判定条件中都体现了它特殊的性质，那么我们能不能利用矩形的特殊性质对应的条件来判定一个四边形是矩形呢？这节课我们来探究一下矩形相关的判定方法. 通过对比菱形的性质和判定，感受判定四边形是菱形的条件与其特殊性质的关系，然后通过类比的方法思考矩形的判定方法，既引入了新课，又体现了类比的数学思想. 活动2：实践探究、交流新知 【探究新知】 教师：首先，请大家想一想矩形的定义． 学生：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 教师：如果让大家判断一个四边形是不是矩形，你首先想到的是什么？ 学生：定义，符合定义就是，不符合就不是． 教师：说得非常好，我们来看一看下面的四边形是否符合矩形的定义． 1．如图，在▱ABCD中，AC＝BD.求证：四边形ABCD是矩形． 注意：学生思考、交流后，教师可以适当地引导：给出的条件与矩形的定义相比，少了哪个条件？怎么办？ 教师：分析后课件展示过程． 证明：∵AB＝DC，CA＝BD，BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB(SSS)． ∴∠ABC＝∠DCB. 在▱ABCD中，∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°. ∴2∠ABC＝180°，即∠ABC＝90°. ∴四边形ABCD是矩形． 师：那如果只量出三个角是直角呢？这个四边形还会是矩形吗？还需要第四个角也测量吗？ （留给学生短暂思考时间） 师：结合四边形内角和 360°，哪位同学来说说你的想法？ 生：四边形内角和是 360°，如果已经有三个角是直角，三个 90° 相加就是 270°，剩下的第四个角也一定是 90°，所以不用测第四个角。 师：非常棒！由此我们就得到矩形的又一个判定：有三个角是直角的四边形是矩形。 师：刚刚我们得到两个猜想：对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。但猜想不能直接当作定理，我们需要严谨的逻辑推理来证明。 通过思考和教师的引导，让学生体会转化思想在数学中的应用．进一步加强学生对证明的体会和理解，培养学生的逻辑思维能力和综合推理论证能力． 活动2：实践探究、交流新知 　2.如图，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，则四边形ABCD是矩形吗？ 学生：思考、交流后尝试给出证明过程． 教师：学生展示过程后点评、规范相应的步骤． 证明：在四边形ABCD中，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°. ∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形． 教师：我怎么感觉有一个条件没有用到呢？ 学生：∠D＝90°. 教师：是不是多余的？我去掉∠D＝90°可不可以？ 学生：可以，因为四边形中三个角是直角，第四个角一定是直角，所以只需要三个直角就可以了． 教师：由上面的两个条件都可以得到四边形是矩形，因此我们把它叫作矩形的判定定理． 教师板书： 1．有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2．对角线相等的平行四边形是矩形． 3．有三个角是直角的四边形是矩形． 试一试： 一位工人师傅在修理一个矩形桌面时，手上只有一把刻度尺，他怎样才能判定该桌面是个矩形？请说明如何操作，并画图写出证明过程．如果允许换工具，你还有其他方法吗？ 学生1：用刻度尺测量对角线，如果相等则说明桌面是矩形． 学生2：也可以用角尺，测量有三个角是直角，即可说明桌面是矩形. 活动3：开放训练、体现应用 【典型例题】 例1　(教材第14页例2)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4.求▱ABCD的面积． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝4. ∴OA＝OC＝OB＝OD＝4. ∴AC＝BD＝2OA＝8. ∴▱ABCD是矩形． ∴∠ABC＝90°. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝＝4. ∴S▱ABCD＝BC·AB＝4×4＝16. 活动3：开放训练、体现应用 例2　如图，在△中，，平分交于点，分别过点，作，，与相交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是矩形． 证明：、， 四边形是平行四边形． ； （2）证明：由（1）得：， ，平分， ，， ，， 又， 四边形是平行四边形． 四边形是矩形． 【变式训练】 如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且，求证：四边形是矩形． 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 通过证明思路的探寻和分析，进一步巩固对矩形判定定理的理解和应用. 【随堂检测】 1．下列说法错误的是( D ) A．有一个内角是直角的平行四边形是矩形 B．矩形的四个角都是直角，并且对角线相等 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有两个角是直角的四边形是矩形 2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是(D) A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD 3．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想使该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是答案不唯一，如：∠A＝90°．(填上你认为正确的一个答案即可) 4．如图，直角∠AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为12． 　　 进一步巩固所学新知，同时检测学习效果. 课堂小结 1.课堂小结： (1)这节课你学到了哪些知识？矩形有几种判定方法？ (2)学习本节课，你还有哪些感到困惑的地方？ 2．布置作业： 教材第15页习题1.3第4，5题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力. 教学反思 本节课建立在学生已掌握矩形定义及性质的基础上，从角和对角线两个维度展开判定方法的探究，引导学生经历了“猜想—推理—归纳”的完整过程，整体教学逻辑清晰、目标明确。但反思教学过程，仍存在以下不足：一是探究环节流于形式，学生动手操作和独立思辨的时间不足，导致发现感较弱；二是课堂推进节奏偏快，尤其在判定定理的得出和板演环节，部分学生未能跟上思维步伐；三是例题设计层次不够分明，缺乏基础巩固与拓展提升的梯度，致使学优生“吃不饱”、学困生“吃不了”，部分学生对判定条件的内涵理解浮于表面，符号语言与图形语言的转换也不够熟练。 针对上述问题，后续我将从以下几方面改进：第一，优化探究活动设计，增加小组合作与互评环节，把“发现”的权利还给学生，并预留充分的交流与质疑时间；第二，放慢关键节点的教学速度，加强判定与性质的对比例析，通过正反辨析帮助学生厘清适用条件；第三，规范推理书写示范，强化“先证什么、再证什么”的逻辑链条训练；第四，编制分层练习套餐，设置“必做—选做—挑战”三级任务，兼顾不同层次学生的学习需求，切实提升他们对矩形判定的理解深度与运用灵活度。 反思，更进一步提升. 黄金矩形 黄金矩形是一种极具魅力的数学对象，它的影响力早已超出数学课本，渗透到建筑、艺术与设计领域。心理学实验表明，在各类矩形当中，黄金矩形最容易带给人视觉上舒适协调的感受。 黄金矩形的长与宽之比为黄金分割(φ≈1.618)。它有一个奇妙几何性质：从黄金矩形中截去一个最大的正方形，剩下的小图形仍然是黄金矩形，不断重复操作，就可以画出优美的黄金螺旋。 早在公元前 300 年，欧几里得就在《几何原本》中，第一次严谨定义了黄金分割。古希腊帕特农神庙，多处构件的长宽比例接近黄金矩形，是古代建筑运用该比例的经典实例。代表黄金均值的符号φ，是后世学者为纪念古希腊雕塑家菲狄亚斯所命名，学界推测他在雕塑创作中，有意识地运用了这套和谐比例。毕达哥拉斯学派的标志五角星，内部就蕴含多处黄金分割关系。 文艺复兴时期，艺术家重新发掘黄金矩形的价值。数学家帕西欧里撰写《神奇的比例》，达・芬奇为这本书绘制人体比例插图，探讨人体当中的黄金比例。画家修拉在点彩代表作《大碗岛的星期日下午》中，主动运用黄金分割来排布画面人物与景物，追求构图的秩序美感。建筑师勒・柯布西耶，还把黄金比例融入自己的建筑设计体系。 今天，海报版式、画册开本、产品包装，常常参考黄金矩形。简单的几何图形，搭建起数学、艺术与审美之间的桥梁。 学科网（北京）股份有限公司 $同步练习1.3矩形的性质与判定 第2课时矩形的判定 夯实基础 1.如图，小明能用一根绳子检查一个书架的侧边与上、下底垂直，他的依据是() A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.有三个角是直角的四边形是矩形 2.以下条件中不能判定平行四边形 为矩形的是() A. B C D 3.为了判断课桌的桌面是否为矩形，数学小组的同学对四张课桌采用了不同的测量方式，其中不一定能 判断桌面是矩形的是() 80 80 90 53 53 5050 60 100 60 690· 53 53 50 50 A 80 80 D 4.毕业季同学们互送贺卡如图所示，小颖制作了一张贺卡，做好后量得 ,小颖立刻判断这张贺卡形状是矩形，小颖的判断依据是一· B D 5.如图，在矩形 中， ,点在边上由点向点运动，点在边上由点向 第1页（共10页） 点运动，两点同时运动同时停止，若点与点的速度分别为 和 ，则经过后，四 边形 成为矩形 O←D >P 6.如图，在 中， 交的延长线于点， 交的延长线于点·求证：四 边形 是矩形 能力提升 7.如图，下列关于 的叙述，正确的是() D A A.若 ,则 是菱形 B.若 ·则 是矩形 C.若 ,则 是矩形 D.若 ,则 是菱形 8.如图，点，分别是 的中点，点， 分别是， 的中点，顺次连接， ，，若四边形 是矩形，则与满足的条件是 第2页（共10页） A M E C D B 9.如图，在平行四边形 中， 、分别是边和 的中点，联结、，平分 (1)求证：四边形 是菱形： (2)作 与的延长线交于点，求证：四边形 是矩形 A 10.如图， 的对角线 和 交于点， ,分别过点，作 和 交于点· (1)求证：四边形 是矩形： (2)当 时，求的长。 B O C 思维拓展 第3页（共10页） 11.如图，在矩形中，，分别为，上的动点且 ，为的中点， 于点， 于点，连接·若 ,则 的最小值为一。 Q D F O E C 第4页（共10页） 答案详解 1.解：小明用一根绳子检查一个书架的侧边与上、下底垂直，推理依据是对角线相等的平行四边形是矩 形 综上所述，只有选项正确，符合题意， 故选： 2.解：. 四边形 是平行四边形， 能判定平行四边形 为矩形，不符合题意： 四边形 是平行四边形， 平行四边形 为矩形，不符合题意： .由 不能判定平行四边形 为矩形，符合题意； 四边形 是平行四边形， 平行四边形 为矩形，不符合题意 故选： 3.解：、 ,同旁内角互补可知一组对边平行，且都等于80，可判定是平行四边形，并 且有一个角是直角，因此能判定是矩形，故选项不符合题意； 、含 角的两个三角形不一定全等，有可能相似，不能判定上下两条边一定平行，桌面有可能是等腰 梯形，也有可能是矩形，因此不能判定一定是矩形，故选项符合题意： 、由两组对边相等可判定是平行四边形，又根据 可知左下和右上两个角是直角，因此 能判定是矩形，故选项不符合题意： 、对角线互相平分且相等，能判定是矩形，故选项不符合题意， 故选： 4.解： 第5页（共10页） 四边形 为平行四边形， 平行四边形 为矩形， 小颖的判断依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形. 故答案为：有一个角是直角的平行四边形是矩形 5.解：四边形 是矩形， 要使四边形 是矩形，必须 ,即 解得； 故答案为：5. 6.证明：四边形 是平行四边形， ,则 四边形 是矩形 7.解：·若 ,则 是矩形，则原说法错误，故该选项不符合题意： 则 是菱形，故该选项不符合题意； 若 ,则 是矩形，说法正确，故该选项符合题意： 第6页（共10页） 则 是矩形，则原说法错误，故该选项不符合题意： 故选： 8.解：四边形 是矩形， 点，分别是， 的中点，点，分别是，的中点， 是△ 的中位线， 是△ 的中位线， 故答案为： 9.证明：(1)四边形 是平行四边形， 、 分别是边和的中点， 又 四边形 是平行四边形： 平分 平行四边形 是菱形； (2)由(1)可得四边形 是菱形， 第7页（共10页） 四边形 是平行四边形， ,即 四边形 是平行四边形： 为 的中点， 作 ，与的延长线交于点，则平行四边形 是矩形. 10.（1)证明：四边形 是平行四边形， 四边形 是菱形， 四边形 是平行四边形， 四边形 是矩形： (2)解：四边形 是平行四边形， 第8页（共10页） 四边形 是菱形 四边形 是平行四边形， 四边形 是矩形， 即 11.解：如图，连接、 Q D F 0 B E 矩形 第9页（共10页） 在△ 中，为 的中点， 四边形 是矩形， 即当点在上时， 有最小值为 故答案为： 第10页（共10页）