2026年第21届中国北方数学奥林匹克邀请赛第一天学术能力测试试题

2026年学术能力测试 中国商洛(2026.8.6) 1,答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔， 将答案写在答题卡对应答题区域内，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 4.本卷共19题，满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.己知复数z= ，则z在复平面上对应的点到原点的距离为() 2 反 A.1 B. c.2 D.2 2 【答案】C -2=5. 壁析】由题意，即计算，一汤 2.已知向量a,b,c, 其中6=0，.2日=25.若a/6,日1c,则c可以是() A.(-2,4) B.（2,-4) c.(4,2) D.(4,-2) 【答案】D 【解析1a16,a1c,即61c.设c=(2x,-x小，月=25，解得c=(4,-2)或c=(42), 3.己知函数f(x)=2x")-lnx,则曲线y=fx)在么，f)处的切线方程是() A.y=x+I B.y=-x+2 C.y=2x+2 D.y=-2x+6 【答案】A 【解析】f()=2f)-1,令x=1得f)=1.故f)=2x-1nx,f)=2.切点 为1,2)，切线方程为y-2=x-1,即y=x+1. 第1页共14页 4.不等式-拟+6 <0的解集为() x-1 A.（-o,lU(2,3) B.(-o,-3U(-2,1U(2,3) c.（-o,-3U1,2) D.(-3,-2)U(1,2U3,+∞) 【答案】B 【解析】当x>1时，x2-+6=-5+6<0,-2-3<0,2<H<3,则 2<x<3.当x<1时，x2-5+6=-5+6>0,0-20-3>0,<2或>3， 则x<-3或-2<x<1 5.将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷3次，记第i=1,2,3)次正面向上的点数为a, M=max{a,a2,a},m=mina,a2,a},则M>4m的所有可能抛掷情况数为() A.96 B.54 C.48 D.32 【答案】B 【解析】记三个数从小到大为m<a<M.当M=5,m=1,a=1或M=5,m=1,a=5时， 各有3种.当M=5,m=1,a=2,3,4时，各有31=6种.此时共有2×3+3×6=24种 同理，当M=6,m=1,a=1或M=6,m=1,a=6时，各有3种.当M=6,m=1,a=2,3,4,5 时，各有3！=6种.此时共有2×3+4×6=30种.综上，共有54种. 6.已知(sina+cosa=2.82,下列说法中一定正确的是() A.tan a>a B.cos 2a>0 sina-cosa、2 C. sina 5 D. 1+cosa 3 sina-cosa 3 【答案】D 【解折1如a+oa=反s如a+ 由于(sina+cosa=2.82e1,2W2),则 5sma+}e.则a+er+2+） aE(2kz2k) 令)=血+cosx,则函数)在xe(2kr2r+孕递增，在xe2kx+2红+受递 减.f经=5>22，f受=f=1+5<22,则 2 第2页共14页 ae(2k+)U(2kn+). 6 对于A,若ae100x+交100x+巧，ma<1<a. 6 对于B,若a∈(2kπ +2kr+学，则cos2a<0. 5 2红+. 对于C.若ae2x+名2r+骨，则号er+ 6 2sin cos sina 2 a5 1+cosa 2cos2a 2 tan 2 3 对于D,由于ae2r+若2ka+孕U(2r+2kr+,则amae 6 4 31 3, sina-cosa sin'a +cos'a tan2a+1=1- 1 sin'a-cos'a sin'a+sina cosa cos'a tan'a+tana+l tana+ +1 12 >1- -33 7.已知集合A={x∈N1sx≤174}.其两个子集B={h,b,bb},C={G,S2,G,C} 对任意的b,b,b∈B(i,i,k∈{L,2,3,m}),cC,∈C(,1∈{L,2,3,…n),存在x∈N, 使得b+b,+b+C,+C=17x,则mn的最大值为() A.100 B.110 C.121 D.132 【答案】C 【解析】由题意，假设集合B中的元素模17同余P,集合C中的元素模17同余9，则有 3p+2g=0(mod17).当p=1,q=7时，对于集合B有17m-16≤174，m最大值为 11:对于集合B有17n-10≤174，n最大值为10.此时，mn=110.同理，当p=3,9=4 时，mn=11×11=121.同理，当p=5,9=1时，mn=10×11=110,综上，mn的最大值 为121. 8.2026年8月6日，2026年学术能力测试如期举行，二百余名全国各地学子共赴一场意蕴 悠长的数学雅集，营中学子甲、乙、丙三人籍贯各不相同，且彼此清楚对方家乡属地.三人 各撷两句古典诗章，分别描摹余下二人故里风物.已知三人的表述有三种结果：一人的两句 话全部为真，一人的两句话全部为假，剩余一人的两句话一真一假。 甲言：乙之乡邦，恰合“白日地中出，黄河天外来”所咏之地：丙之故土，正应“城阙辅三 秦，风烟望五津”所指之域. 乙云：甲之故里，正是“秦时明月汉时关，万里长征人未还”所咏边关：丙之桑梓，恰为“春 风得意马蹄疾，一日看尽长安花”所赋古都. 丙言：甲之故土，可观“洛阳城里花如雪，陆浑山中今始发”的烂漫春色：乙之故园，可瞻 第3页共14页 “黄河远上白云间，一片孤城万仞山”的苍茫景致. 下列诗句依次对应甲、乙、丙家乡的是() A.洛水桥边春日斜，碧流清浅见琼砂：汉家旌帜满阴山，不遣胡儿匹马还：长安回望绣成 堆，山顶千门次第开 B.洛阳三月花如锦，多少功夫织得成：东风吹雨过青山，却望千门草色闲：居延城外猎天 骄，白草连天野火烧 C.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还：若问古今兴废事，请君只看洛阳城：冲天香阵透长 安，满城尽带黄金甲 D.一上高城万里愁，蒹葭杨柳似汀洲：回乐烽前沙似雪，受降城外月如霜：天津桥下冰初 结，洛阳陌上人行绝 【答案】C 解：先明确各诗句对应的地理地域，“白日地中出，黄河天外来”描绘西北塞外，“城阙辅 三秦，风烟望五津”指代陕西关中，“秦时明月汉时关，万里长征人未还”吟咏西北边塞， “春风得意马蹄疾，一日看尽长安花”指向陕西关中，“洛阳城里花如雪，陆浑山中今始发” 专咏河南洛阳，“黄河远上白云间，一片孤城万仞山”刻画西北塞外苍茫风光 据此整理三人判断，甲认为乙是塞外、丙是陕西，乙认为甲是塞外、丙是陕西，丙认为甲是 洛阳、乙是塞外，题干限定三人分别为判断全真、全假、一真一假. ①假设甲两句全真，可得乙家乡为塞外，丙家乡为陕西，进而甲家乡是洛阳.此时乙有一句 真话，丙有两句真话，矛盾 ②假设乙两句全真，可得甲家乡为塞外、丙家乡为陕西，进而乙家乡是洛阳.此时甲一真一 假，丙全假，符合题意， ③假设丙两句全真，可得甲家乡为洛阳、乙家乡为塞外，进而丙家乡是陕西.则甲两句全真， 乙一真一假，矛盾 进而，甲乙丙的故乡分别为塞外、洛阳、陕西。 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个 项目符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9.高斯函数[x表示不超过实数x的最大整数，己知函数fx)=[x(α为大于0的常数)， 下列说法正确的是() A.若f2.)=4,则a=2 B.无论a为何值，fx)恒过定点(1.5,1 C.存在a,使fx)为奇函数 D.fx)在(0，+oo)上单调不减 【答案】ABD 【解析】对于A,f2.1)=[2.1=2=4,a=2. 对于B.f1.5)=几.5}=1，故f)恒过定点1.5，). 对于C,f1.5)=[1.5}=1,f(1.5)=[15}=-2-f.5) 对于D,当x>x>0时，若[]=k],则[=」.若]>[x小，则[x>[x.故 f(x)在(0，+o)上单调不减. 第4页共14页 10.已知在△ABC中，角A,B,C的对边为a,b,C, sinCcosBcos4 (x,yEN.). c xa y6 则下列说法正确的是() A.存在x,y,使△ABC为等边三角形 B.存在x,y,使△ABC为直角三角形 C.存在x,y,使△ABC为锐角三角形 D.存在x,y,使△ABC为钝角三角形 【答案】BD 【解析】由正弦定理， sinC sinA sin B b,又 inC-cosB_cos4k,y∈N.), a c xa 解得x=cosB sinAy= cosA sin B 团于A,若△BC为等边三角形，则x=),不合题鱼 对于B.若C-行则cosB=血4，cosA=snB,此时x=y=1符合题意 对于C若△A8C为锐角三角形，则4Be@孕，且4+B>行，从而 血>加写)=cs8,nB>m宁)=0s4,从面无<1，不合愿意。 对于D,若△BC为纯角三角形，取Ce号)，4Be@孕，且A+B<受，则>1 由于8=如4，油8=兰，则mA+宁cos24=1=nA+cos2A,解得 tan2A= y2-1 若令x=2,少=3，解得amA=26 sin 4= 2√6 y2cx2-10 105 26V6 4w6 cos B=2sin A= √105 anB=6,此时m4+B正左石>0,4+B<7, 8 2W6√6 1- 98 符合题意。 1l.已知fx)=e+e+2cosx,g(x)=f"(x+2),定义 )=,/+g)-/x)-gr小，下列表述不正确的是（) A.h(x)有最小值 B.h(x)无极大值 c.对任意x≠0，都有h(-x2)shx2）,h(2-nl)2(-2+lnlx) 第5页共14页 D.不存在实数1，使得直线y=1与y=h(x)有四个交点，其横坐标从小到大依次为 x,X2,x3,x4,且x1,x2,x3,x4成等差数列 【答案】BC 【解析】由f(x)=e+e+2cos(-x)=f(x)知f八x)为偶函 数.f(x)=e-e-2sinx,f"(x)=e'+e-2cosx.当x≥0时， f"(x)≥2We·e-2cosx≥2-2=0.故f"(x)在[0，+o)上单调递增.又fO)=0,故 f'x)在[0，+∞)上为正，f(x)在0，+o)上单调递增. 令o(x)=f"(x)=e'+er-2cosx,则p(x)为偶函数，px)=e-er+2sinx, p'(6x)=e'+e+2cosr≥2√ee-2≥0，故p'(x)在[0，+o)上单调递增.又p0)=0. 故p(x)在0，+oo)上为正，p(x)在0，+oo)上单调递增。 g(x)=f(x+2)=e2+e-2-2cos(x+2),即将p(x)向左平移两个单位.此时，g(x)关 于直线x=-2对称，且在2，+0)上单调递增。 又由绝对值的性质可知h(x)= g(x) f(x)≥g(x) f() f四<g),即 h(x)=min{f(x),g(x)},注意到f(O)=4, g(0)=e2+e2-2cos2>e2+e2>4.可作出示意图，不妨设y=f(x) 与y=g(x)交于点A,则-2<x<0.即h(x)= g(x)x≤x4 f(x) X>XA 对于A,结合图象知h(x)m=g(-2)=0,，A表述正确。 对于B,y=h(x)在2，x)上单调递增，(x,O上单调递减，故h(x)大=h(x,),B表 述错误 对于C,y=f(x)关于y轴对称，-x2<0<x2,由对称性不难得出h(x2)sx2).同 理，y=g(x)关于x=-2轴对称，由对称性不难得出对于x>0,必有 h(2-x)≥h(-2+x),但lnx正负不定，故无法判断h(-1-ln与h(-1+ln的大小 第6页共14页 关系，C表述错误 对于D,假设存在实数t,使得直线y=t与y=h(x)有四个交点，其横坐标从小到大依次 为x,X2,x3,x4,且x,x2,X,x4成等差数列.由对称性有x+2=一4，X3=-x4,又 x+x4=x2+x,带入化简得x2+x=-2.则有1=g(x)=f(x), gk2)=e*2+e-2-2cos(k,+2). f(x)=e +e+2cosx =e2-+e2+2cos(-2-x ) 0s,+2)=0.520结合无的范调知x72,5三元 三，则与<，矛循，故 不存在满足条件的等差数列，D表述正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.2+4=8,则x=· 1+√5 【答案】10g:2 【解析】令2=1,1>0.则原方程转化为1+t2=,t2-1-1=0,解得1= -5(负 2 值舍去)，12= 1+5 g,1+5 2 故x=log:2 13.已知在等腰△ABC中，A=B=T.过点A作△ABC外接圆的切线AT,交BC的延 6 长线为T.若AC=1AB+HAT,则= 【容1 【解析】如图，由弦切角定理知∠TAC=∠B=花，又 6 ∠A=严故AC为∠BAT的角平分线.又 6 ∠T=x-∠BAr-∠B=号在RA7B中，不防设 AT=1,AB=2,则 答船子正-西+c-丽+面-如号亚：故 -1×22 =39 第7页共14页 14.已知椭圆上2 6+存=10<b<4)的左右焦点分别为F,R,过E的直线与椭圆交于AB 两点，△EFG为△ABF的中位三角形，其中E,F,G分别为三边AB,BF,AF,的中点.以 △EFG为底面，将△AEG,△BEF,△F,FG分别沿GE,EF,FG向上折起，使得A,B,F 三点重合，记为点P,则三棱锥P-EFG的外接球表面积的最小值为 【答案】 【解析】在椭圆中，有a=4. 记AB=2m,BF,=2n,AF,=21,由椭圆的性质知 AB+BF2+AF3=2m+2n+21=4a=16. 结合三角形中位线和折叠图形性质可知： 三棱锥P-EFG中，EG=PF=n,FG=PE=m,PG=EF=t. (x+y2=m 将P-EFG放在棱长为x,少，z的长方体中，如图，则有{y2+z2=2, z2+x2=n2 三棱锥P-EFG的外接球就是长方体的外接球， 所以=r+y产4-am+㎡+r）上a+a+=是 3 当且仅当网==1一骨时等号成立。所以外接球表面积5=4R之2 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤。 15.(本题满分13分)网络热词是依托互联网社交、短视频平台诞生，兼具简洁性与情绪 表达功能的特色词汇，当下在高中生群体中传播广泛，常被用于课间交流、线上聊天，秦韵 调研小组整理得到20个高中生高频网络热词：6、尊嘟假嘟、emo、破防、老六、包的包的、 搭子、下头、拿捏、栓Q、我嘞个豆、内耗、摆烂、活人感、松弛感、惜己模式、夯爆了、 偷感很重、大冤种、前途一片大专，现将20个词汇按使用倾向分为两类： A类（正向社交用语）：用于夸赞他人、友好邀约、舒缓情绪、正向交流： B类（负面情绪用语）：用于抒发焦虑、负面感慨、消极自我调侃. (1)按照你的理解，将题干所给的20个词及数量按要求填入表格 词语类型 词语（可简写首字） 词语数量 你的常用词 常用词数量 A类 B类 事件A:词语为A类.事件B:词语为B类.事件C:词语为你的常用词.求P(C|A),P(B1C) 第8页共14页 (2)现采取分层抽样从A类和B类词语中共抽取m(m值由你给定，在解答中先写出你所 给的m值)个词，再从这m个词中抽取3个.用随机变量X表示抽取到的A类词的数量， 求随机变量X的分布列及数学期望， 16.(本题满分15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a,S4+32=0. (1)若{an}为等差数列，求a,的取值范围： (2)若{an}为等比数列，其公比为9，求9的取值范围， 解：(1)a,=a,+3d,S4=4a+6d.a,S4+32=0,(a1+3dX4a,+6d)+32=0, 化简并整理得：9d2+9a,d+2a2+16=0.视作关于d的一元二次方程， △=81a-362a+16)20,a≥64，a,≤-8或a,≥8.故a,e(o,-8lU8,+o）. (2)a4=a,g3,S4=a0+q+g2+g)）=a,1+q1+g2）.a,54+32=0, a2g1+g1+g2)=-32.又a>0,1+g2>0,故g3(g+1)<0,故-1<q<0.对任 意的-1<q<0,取a=主g0+g0+9) -32 满足题意，故g∈（-L,0). 17.(本题满分15分)在圆锥M-O中，M是圆锥顶点，O是底面圆圆心，圆锥的高为 3,母线长为5.AC是底面圆的一条直径，点B在底面所在的平面内，且AB⊥BO, OH⊥MB于H. (1)求证：平面OCH⊥平面MAB: (2)当异面直线OH与CM夹角的余弦值为12,7时，求平面MB0与平面MBC夹角的 35 余弦值， (1)证：由题意得：MO⊥面ABO,ABS面ABO,则AB⊥MO,又AB⊥BO, BO∩MO=O,BOS面MBO,MOS面MBO,故AB⊥面MBO.OH∈面MBO, 故OH⊥AB,又OH⊥MB,MB∩AB=B,MB∈面MBA,ABc面MBA,故 OH⊥面MBA.OH∈面OHC,故面OCH⊥面MAB. (2)以O为坐标原点，OA,OM为x,z轴，垂直于OA的方向为V轴，建立空间直角坐标 系.由题意，O0,0,0)A(4,0,0C(-4,0,0M(0,0,3).设B(x,y,0),OB=(x,y,0) 第9页共14页 AB=(x-4,y,0),OBAB=0,(x-4x+y2=0,即x2-4x+y2=0.MB=(k,,-3 设M丽=2MB0<元<1)，Oi=OM+M丽=(x,y,3-3).Oi.MB=0,代入坐 标得：(2+y36-32)=0,解得：入=9。故O丽= 9x 9y12x 4x+9 4x+94x+9'4x+9 12 、2 12 CM=(4.0,3) OH 9x 9v 12x 6V4x2+9x 4x+9 4x+9 4x+9 4x+9 OH.CM= 72x 4x+9 OH.CM 设异面直线OH与CM夹角为a,cosa 12 oH CM x_2万，解得 5V4x+935 x=3,由对称性，结合x2-4x+y2=0,不妨取y=√5，此时B6,√5,0： OM=(0,03),OB=3,V5,0.设面MB0的法向量元=(k,y,)则 元OM=0 n·OB=0 3z1=0 3x+5y=0不妨令=山，则元=-5,0 同理，设面MBC的法向量m,=(k,乃2,2)，则m,=3,-7V5,4)设平面MB0与平面 n12 6√43 MBC夹角为0，cos0= m-r 43 18.(本题满分17分)已知双曲线「：x2-y2=1.M是双曲线第一象限上一点，过点M 的切线l,交x轴于T,过点T且垂直于（的直线l,依次交C的左右两支分别于P,Q两点， 点N与M关于原点O对称，直线NP,NQ分别交x轴于A,B两点.（参考公式：双曲线 京方=1在点M,。)处的切线方程为：-=1) x2 y2 a2 b2 (1)ke+kw是否为定值.若是，求出该定值.若不是，说明理由： (2)求证：P,Q,M,N四点共圆：M,N,A,B四点共圆： (3)是否存在点M,使得圆PQMN和圆ABMN的圆心距为20260806. 第10页共14页 解：（1由题意得直线1的方程为-=1.令y=0得上0又人=立，1士h, x。 y 则人=-业.kn=-七-上，则k0+ko=0. x-（-xo)x6 a法设6的方为：y( 联立 x2-y2=1 p26-2a+o 优要}-0.+要+)-0.由选定理 到引 Np.N0=(k+xXx+x)+(0y+%y2+) =2+x(化+x)+x后+y山2+y0+y2)+哈 =--五6+5)+5+55+++2+出 x后 d -乱2x+2x+x++ Xo L,带入x-后=1可得NP.N@=0.故P⊥N0, ∠PNQ=90°.同理可得∠PMQ=90°.故P,O,M,N四点共圆且以PQ为直径. 则∠ANB=∠PNQ=90°，由对称性知∠AMB=90°，故M,N,A,B四点共圆且以AB为 直径 第1山页共14页 法二： 先证明一个引理：已知二次曲线厂：Ax2+By2=1(A,B不同时为负)，点P(x,y)不在 二次曲线上，过点P且斜率为k,k的直线4，山2分别交二次曲线于A,B和C,D.则 A,B,C,D四点共圆的充要条件是k+k2=0. 法①：设l:kx+y+m=0,I2:k,x+y+n=0.则过A,B,C,D的二次曲线方程为 (kx+y+mk,x+y+n)+(4x2+By2-1=0.其y项系数为k+k2·若4，B,C,D四 点共圆，则方程不含y项，即k+k2=0 x=xo+icosa 法②：直线1的参数方程为 (其中口为直线的倾斜角，1为参数)，将 y=yo+tsina 直线与二次曲线方程联立得： (Acos2a+Bsin2a2+2(4x,cosa+Byo sina)-+Ax+By6-1=0,显然， Axo +Byo-1 Acos2a+Bsin'a≠0.由参数方程的几何意义得：PAPB= ·同 Acos2a+Bsin'a Axo+Byo-1 理，设直线！的倾斜角为B,则PCPD= 若A,B,C,D四点共圆， Acos2B+Bsin2B 则PAPB=PCPD,即Acos2a+Bsin2a=Acos2B+Bsin2p,进而a+B=π， 即k,+k2=0. 回到原题.k0+kw=0,由引理得：P,2,M,N四点共圆.进而kpw+k2w=0.又点P,M x6-后=1 在双曲线上， 两式相减得： x-片=1 店-6=好-.wo-上二h=尽5=1.进面w=-1,故 x2-2+0x号-x 第12页共14页 ∠PNQ=90°.下略. (3)设PQ的中点为K,由(2)得圆PQMN的圆心为K,圆ABMN的圆心为O.则 =5=，=当以=-k+)+点=.故 2 22x %+1 +6.令1=后+121， 0K=0)=-此+6-=2+3.f0)=2-号22-1>0.故0，+w止 20260806 单调递增. 202608062+ 2 -3<202608062, 2 202608063 202608072 202608072 20260807-3>202608062,故存在实数 2 202608062 202608072 使得OK2=ft)=202608062,即而存在这样的点M. 2 2 19.(本题满分17分)设函数fx)的定义域为R.对于任意正实数h,定义 B,(h)=xERIf(x+h)>f(x-h),E(h)=xERIf(x+h)=f(x-h) <1 (1)若fx) ,对任意给定正实数h,求集合B,(h)与E(h): +1≥1 (2)设函数fx)满足：对于任意正实数4，h2,均有B,()=B,(,). (Gi)若p<g,且P,q∈B,(h),证明：对于任意1∈(p,q,有1eB,(h): (i)若对于任意正实数h,A,还有E,（么)=E(h),且B,(h)E,(h)均为非空集合 证明：存在唯一的实数c,使得B(h)=(c,+o)或(-o,c) 解：)的函数值只取决于，当d增大时，函数值严格增大.所以 fx+h)>x-h)台rthh÷x>0 xh)fx-h)中thl=lrhl中x=0 因此，对于任意h>0,均有 B,h)-(0,+o),Eh)={0;. (2)依题意，p1Kq,所以p+1qrp+qKq+tP 因为p∈Bh)对任意h>0都成立，所以取h,=q>0 第13页共14页 则有fp+h)>p-h),即f+q-)>+tq)① 同理，因为g∈B,h)对任意h>0都成立，所以取h2=t-p>0 则有f(g+h)>q-h2,即q+-p)>qtp-0② 由①②得fgq+tp)p+tq) 取h3=qp>0,所以f+h3)>th,所以1∈Bh)=Bh) (3)定义C=CR(B,h)UE) 于是，对每个h0,均有C={x∈RIr+h)r-h)} 又因为fx+h)sfx-h)台-r+h)>-fx-h), 所以C=Bh),所以由(2)可知，若pq,且p,g∈C,证明：对于任意1∈(p,q),有1∈C 下面证明E()中只有一个元素 任取u∈Eh),所以对每个h>0,由f+h)=f(-h) 所以函数图像关于直线x=“对称 假设E中存在两个不同的元素山，y,不妨设<y,函数图像既关于=u对称，也关于=v 对称。 所以对任意x∈R(x+2(w-)=(2-(2-x)=f2-x)=fx) 故T=2(-)>0是函数∫的一个周期. 由周期性，对任意x∈R和h>0,有fx+T+h)>x+T-h)f+h)>Pfrh). 因此x∈Bh)÷x+T∈B,h).③ 任取xo∈B(h),由③，对于任意整数n,均有xo+nT∈Bh 由(2)知，[xo+nT,xo+(+1)7≤B,h) 对每个整数n都成立.这些区间的并集为整个R,故B()=R, 此时Eh)=2,矛盾，所以E,)中不可能有两个不同的元素. 又因为E()≠0，故存在唯一实数c,使得E(h)={c} 下面证明B(h)=(c,+o)或B,h)=(-o,c) 因为c∈E,(h),所以c4B,h), 所以B()不可能同时包含小于c的点和大于c的点，否则由(2)知，有c∈B(),矛盾 若B,)中存在大于c的元素，则B,h)S(c,+∞) 于是每个小于c的实数均属于C, 若还存在某个>c且B,(h),则因为e,必有y∈C· 任取x<c,则x<c<y,并且xy∈C, 由(2)知，必有c∈C,与c∈Eh)矛盾 因此每个>c都属于B,h),从而Bh)=(c,+∞)。 同理，若Bh)中存在小于c的元素，则Bh)=(-o,c) 第14页共14页2026年学术能力测试 中国商洛(2026.8.6) 1,答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5亮米黑色签字笔， 将答案写在答题卡对应答题区域内，写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将答题卡交回。 4.木卷共19题，满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 2 1.已知复数z=二；，则z在复平面上对应的点到原点的距离为〔） A.1 B.② c.2 D.2 2.已知向量a,6,c,其中6=0,2) 日=25.若a店，a1c,则c可以是() A.（-2,4) B.（-2,-4) c.(4,2) D.(4,-2) 3.已知函数f(x)=2.xy'(①)-nx,则曲线y=(x)在(，)处的切线方程是() A.y=x+l .y=-x+2 C.y=2x+2 D.y=-2x+6 4.不等式-+6 <0的解集为(） x-1 A.（-∞，1)U(2,3) B.（-o,-3)U(2,1)U(2,3) c.(-o,-3U1,2) D.(3,-2)U(1,2)U3,+∞) 5.将一枚质地均匀的正方体般子连续抛掷3次，记第(=1,2,3)次正面向上的点数为a, M=max{a,a2,a3},m=min{a1,a2,a3},则M>4m的所有可能抛掷情况数为() A.96 B.54 C.48 D.32 6.已知(sina+cosa}=2.82,下列说法中一定正确的是() A.tana>a B.cos2a>0 C.sina3 D.sina-cosa、2 .> 1+cosa 3 sin'a-cos'a3 7.已知集合A={x∈N巾≤x≤174.其两个子集B={,b,b,b},C={9,c2,Gc}, 对任意的b,b,b∈B(,ke{1,2,3,m}),c,C∈C(s,1e{l,2,3,n}),存在xeN, 使得b+b,+b+C,+C=17x,则mn的最大值为() A.100 B.110 C.121 D.132 8.2026年8月6日，2026年学术能力测试如期举行，二百余名全国各地学子共赴一场意蕴 悠长的数学雅集，营中学子甲、乙、丙三人籍贯各不湘同，且彼此清楚对方家乡属地.三人 各撷两句古典诗章，分别描蔡余下二人故里风物.已知三人的表述有三种结果：一人的两句 话全部为真，一人的两句话全部为假，剩余一人的两句话一真一假。 甲言：乙之乡邦，恰合“白日地中出，黄河天外来”所咏之地：丙之故上，正应“城阙辅三 秦，风烟望五津”所指之域。 乙云：甲之故里，正是“秦时明月汉时关，万里长征人未还”所咏边关：丙之桑梓，恰为“春 风得意马蹄疾，一日看尽长安花”所赋古都. 丙言：甲之故土，可观“洛阳城里花如雪，陆浑山中今始发”的烂漫春色：乙之故园，可瞻 “黄河远上白云间，一片孤城万仞山”的苍茫景致 下列诗句依次对应甲、乙、丙家乡的是() A.洛水桥边春日斜，碧流清浅见琼砂：汉家旌帜满阴山，不造胡儿匹马还：长安回望绣成 堆，山顶千门次第开 B.洛阳三月花如锦，多少功夫织得成：东风吹雨过青山，却望千门草色闲：居延城外猎天 骄，白草连天野火烧 C。黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还：若问古今兴废事，请君只看洛阳城：冲天香阵透长 安，满城尽带黄金甲 D.一上高城万里愁，蒹葭杨柳似汀洲：回乐烽前沙似雪，受降城外月如霜：天津桥下冰初 结，洛阳陌上人行绝 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多个 项目符合题目要求.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.高斯函数[表示不超过实数x的最大整数，己知函数∫(x)=[x小（α为大于0的实数）， 下列说法正确的是() A.若f2.1)=4,则a=2 B,无论a为何值，f(x)恒过定点(15，) C.存在a,使f(x)为奇函数 D.f(x)在(0，+o)上单调不减 10.在△ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c, sin C cos B cos A (xyeN),则下 xa yb 列说法正确的是() A.存在x,y,使△ABC为等边三角形 B.存在x,y,使△ABC为直角三角形 C.存在x,y,使△ABC为锐角三角形 D.存在x,y,使△ABC为钝角三角形 11.已知f(x)=e+e+2cosx,g(x)=f(x+2,定义 )=/+g-/)-g ，下列表述不正确的是() A.h(x)有最小值 B.h(x)无极大值 C,对任意x≠0， 都有(x2)shx2,-2-m2-2+n) D.不存在实数1，使得直线y=1与y=h(x)有四个交点，其横坐标从小到大依次为 X1,2,x3,x4,且x,X2,X,4成等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2'+4'=8,则x= 13.已知在等腰△ABC中，A=B=产.过点A作△ABC外接圆的切线AT,交BC的 6 延长线为T.若AC=入AB+HAT,则Aμ= 14.已知椭圆￡+上=10<b<4)的左右焦点分别为R,R,过R的直线与椭圆交于A,B 16b2 两点.△EFG为△ABF的中位三角形，其中E,F,G分别为三边AB,BF,AF的中点，以 △EFG为底面，将△AEG,△BEF,△FFG分别沿GE,EF,FG向上折起，使得A,B,F 三点重合，记为点P,则三棱锥P-EFG的外接球表面积的最小值为】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤 15.(本题满分13分)网络热词是依托互联网社交、短视频平台诞生，兼具简洁性与情绪 表达功能的特色词汇，当下在高中生群体中传播广泛，常被用于课间交流、线上聊天.秦韵 调研小组整理得到20个高中生高频网络热词：6、尊嘟假哪、©mo、破防、老六、包的包的、 搭子、下头、拿捏、栓Q、我嘞个豆、内耗、摆烂、活人感、松弛感、借己模式、夯爆了、 偷感很重、大冤种、前途一片大专。现将20个词汇按使用倾向分为两类： A类（正向社交用语）：用于夸赞他人、友好邀约、舒缓情绪、正向交流： B类（负面情绪用语）：用于抒发焦虑、负面感慨、消极自我调侃. (1)按照你的理解，将题干所给的20个词及数量按要求填入表格 词语类型 词语（可简写首字） 词语数量你的常用词 常用词数量 A类 B类 事件A:词语为A类.事件B:词语为B类.事件C:词语为你的常用词，求P(CA),P(B|C). (2)现采取分层抽样从A类和B类词语中共抽取m(m值由你给定，即在解答中先写出你 所给的m值)个词，再从这m个词中抽取3个.用随机变量X表示抽取到的A类词的数量， 求随机变量X的分布列及数学期望。 16.(本题满分15分)已知数列{a。}的前n项和为Sn,a,S4+32=0. (1)若an}为等差数列，求a,的取值范围： (2)若{a。}为等比数列，其公比为9，求9的取值范围 17.(本题满分15分)在圆锥M-O中，M是圆锥顶点，O是底面圆圆心，圆锥的高为 3,母线长为5.AC是底面圆的一条直径，点B在底面所在的平面内，且AB⊥BO, OH⊥MB于H. (1)求证：平面OCH⊥平面MAB: (2)当异面直线OH与CM夹角的余弦值为2,5时，求平面MB0与平面MBC夹角的 35 余弦值. 18.(本题满分17分)已知双曲线厂：x2-y2=1.M是双曲线第一象限上一点，过点M 的切线l交x轴于T.过点T且垂直于I的直线，依次交C的左右两支分别于P,2两点， 点N与M关于原点O对称，直线NP,NQ分别交x轴于A,B两点. (1)k0+kw是否为定值.若是，求出该定值：若不是，说明理由： (2)求证：P,Q,M,N四点共圆：M,N,A,B四点共圆： (3)是否存在点M,使得圆PMQN和圆AMBN的圆心距为20260806. (参考公式：双曲线y a2 b2 =1在点M(x,y)处的切线方程为：-=1.) a2 62 19.(本题满分17分)设函数x)的定义域为R.对于任意正实数h,定义 B,(h)=(xERIf(x+h)>f(x-h).E,(h)=(xERIf(x+h)=f(x-h)). D+1伦 ,对任意给定正实数h,求集合B（)与E) (2)设函数f(x)满足：对于任意正实数，点2，均有B,h)=B(): (i)若P<9,且P,9∈B),证明：对于任意1∈(P,9小，有1∈B): (i)若对于任意正实数斤，h2,还有E)=E（h,且B,)Eh)均为非空集合， 证明：存在唯一的实数c,使得B()=(c,+o)或(o,c）