第6章 6.4.3 用频率分布直方图估计总体分布（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦“用频率分布直方图估计总体分布”核心知识点，系统梳理从直方图识读（小矩形面积与频率关系）到数字特征（平均数、中位数、众数）估计，再到总体分布推断的递进脉络，构建统计分析的学习支架。 以学生作业时间、酸奶销售等实际情境导入，通过例题解析与分层训练，培养学生用数学眼光观察数据、用数学思维推理分析（如中位数计算、方差比较）、用数学语言表达结论的能力。课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固，提升数据分析与应用能力。

6.4.3　用频率分布直方图估计总体分布 学习目标　能根据实际问题，用频率分布直方图结合数学特征进行数据分析，从而估计总体分布，会运用所学知识和方法解决实际问题. 导语 为了了解学生的课业负担，甲、乙两所学校分别抽取了200名在校生，了解他们完成作业所需的时间，并分别作出了频数分布直方图如图①，图②所示，其中分组的区间都为[0.5，1)，[1，1.5)，[1.5，2)，[2，2.5)，[2.5，3].记甲学校所得数据的中位数为x，乙学校所得数据的中位数为y. 你能判断出x，y的大小吗？ 一、频率分布直方图的识读 例1　(1)有一个样本容量为100的样本，其频率分布直方图如图所示，则由图中的数据可知，样本落在[15，20]内的频数为(　　) A.20 B.30 C.40 D.50 答案　B 解析　样本落在[15，20]内的频数为100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30. (2)(多选)某校从全校随机抽取n名学生参加奥运知识竞赛，并根据这n名学生的竞赛成绩(总分为100分)绘制频率分布直方图(如图所示)，其中分数在[50，60)内的学生有3名，则下列说法正确的是(　　) A.a＝0.006 B.n＝50 C.样本中分数在[40，50)内的学生有2名 D.用同比例分层抽样方法从分数在[50，60)，[90，100]内的学生中抽取4名，则分数在[50，60)内的有3名 答案　ABC 解析　对于A，由(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，解得a＝0.006，故A正确； 对于B，n＝＝50，故B正确； 对于C，样本中分数在[40，50)内的学生有10×0.004×50＝2(名)，故C正确； 对于D，分数在[50，60)内的学生有×4＝1(名)，故D错误. 反思感悟　(1)频率分布直方图的性质 ①纵坐标表示频率＝组距×； ②每个小矩形的面积表示相应组的频率，所有小矩形的面积的总和等于1. (2)利用频率分布直方图可得到以下信息 ①样本容量； ②各段中的频数、频率； ③均值； ④样本整体发展趋势(折线图)等. 跟踪训练1　对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄进行抽样调查，统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25，30)的数据不慎丢失，则依据此图可得： (1)年龄组为[25，30)对应小矩形的高度为　　　；  (2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25，35)内的人数为　　　　.  答案　(1)0.04　(2)440 解析　(1)设年龄组为[25，30)对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1， 解得h＝0.04. (2)由(1)得志愿者年龄在[25，35)内的频率为5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25，35)内的人数为0.55×800＝440. 二、由频率分布直方图求平均数、中位数和众数 频率分布直方图与对应样本的平均数、中位数、众数 (1)样本平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. (2)样本中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计样本中位数的值. (3)样本众数：将频率分布直方图中最高矩形所在区间的中点所对应的数据作为样本众数的估计值. 注意点：利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数. 例2　(课本例9)某部门就全国高校在读大一学生的月花费金额(单位：元)情况调查了10 000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图(如图)，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月花费金额在[500，1 000)内. (1)为了分析大一学生的月花费金额与家庭等方面的关系，必须按月花费金额再从这10 000人中用分层随机抽样的方法抽出100人做进一步分析，则月花费金额在[2 000，2 500)内的应抽取多少人？ (2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数； (3)根据频率分布直方图估计样本数据的平均数. 解　 (1)利用频率之和为1，由题图可得 (0.000 2＋0.000 4＋2a＋0.000 3＋0.000 1)×500＝1， 解得a＝0.000 5. 所以月花费金额在[2 000，2 500)内的频率为0.000 5×500＝0.25，则抽出的100人中月花费金额在[2 000，2 500)内的人数为0.25×100＝25. (2)方法一　因为0.000 2×500＝0.1，0.000 4×500＝0.2，0.000 5×500＝0.25，0.1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5. 所以样本数据的中位数是 1 500＋＝1 900(元). 方法二　设所求的中位数为x.由于中位数将频率平均分成两部分，所以0.1＋0.2＋＝0.5，解得x＝1 900(元). (3)样本数据的平均数为(750×0.000 2＋1 250×0.000 4＋1 750×0.000 5＋2 250×0.000 5＋2 750×0.000 3＋3 250×0.000 1)×500＝1 900(元). 例2　某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数，单位：分)的频率分布直方图如图所示. (1)求这次测试数学成绩的众数； (2)求这次测试数学成绩的中位数. 解　(1)由题图知，众数为＝75(分). (2)由题图，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，则0.1＝0.03(x－70)，解得x≈73.3.故这次测试数学成绩的中位数约为73.3分. 延伸探究1　若本例的条件不变，求数学成绩的平均分. 解　由题图知，这次数学成绩的平均分为×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72(分). 延伸探究2　若本例条件不变，求80分以下的学生人数. 解　因为[40，80)分的频率为(0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7， 所以80分以下的学生人数为80×0.7＝56. 反思感悟　频率分布直方图对样本平均数及中位数的影响 (1)对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的(图①)，那么平均数和中位数应该大体上差不多. (2)如果直方图在右边矮长些(如图②)，那么平均数大于中位数. (3)如果直方图在左边矮长些(如图③)，那么平均数小于中位数. 跟踪训练2　某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩(单位：分)进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图. 求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数； (2)高一参赛学生的平均成绩. 解　(1)由题图得众数为65分， 又∵第一个小矩形的面积为0.3，设中位数为x，则0.04(x－60)＝0.2，解得x＝65， ∴高一参赛学生成绩的众数和中位数均为65分. (2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67(分)， ∴高一参赛学生的平均成绩为67分. 三、利用样本频率分布直方图估计总体分布 例3　某超市从甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，整理得到甲种酸奶日销售量的频率分布表和乙种酸奶日销售量的频率分布直方图. 分组(日销售量/箱) 频率(甲种酸奶) [0，10) 0.10 [10，20) 0.20 [20，30) 0.30 [30，40) 0.25 [40，50] 0.15 总计 1 (1)求出频率分布直方图中a的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图； (2)记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位：箱)的方差分别为试比较和的大小； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中间值代替，试估计乙种酸奶在未来一个月(按30天计算)的销售总量. 解　(1)由题图可得 10a＝1－(0.020＋0.010＋0.030＋0.025)×10＝0.15，解得a＝0.015. 根据表中数据可作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图如图所示. (2)方法一　记甲、乙两种酸奶日销售量的平均数分别为 则＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5(箱)， ＝5×0.2＋15×0.1＋25×0.3＋35×0.15＋45×0.25＝26.5(箱)， 所以＝(5－26.5)2×0.1＋(15－26.5)2×0.2＋(25－26.5)2×0.3＋(35－26.5)2×0.25＋(45－26.5)2×0.15＝142.75， ＝(5－26.5)2×0.2＋(15－26.5)2×0.1＋(25－26.5)2×0.3＋(35－26.5)2×0.15＋(45－26.5)2×0.25＝202.75， 所以<. 方法二　比较两种酸奶的频率分布直方图，数据越集中，则方差越小，由频率分布直方图可得，甲种酸奶对应的数据更集中，故甲的方差小于乙的方差，即<. (3)经计算得乙种酸奶的平均日销售量为26.5箱， 故估计乙种酸奶未来一个月的销售总量为26.5×30＝795(箱). 反思感悟　(1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布. (2)频率分布是指各个小组数据在容量中所占比例的大小，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布，频率分布表是反映样本的频率分布的表格.通过频率分布直方图和频率分布表可以看到样本的频率分布. 跟踪训练3　从某企业生产的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的某项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125] 频数 6 26 38 22 8 (1)作出这些数据的频率分布直方图； (2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 解　(1)频率分布直方图如图所示. (2)质量指标值的样本平均数 ＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100. 质量指标值的样本方差 s2＝(80－100)2×0.06＋(90－100)2×0.26＋(100－100)2×0.38＋(110－100)2×0.22＋(120－100)2×0.08＝104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104. (3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定. 1.知识清单： (1)频率分布直方图的识读. (2)利用频率分布直方图估计数字特征. (3)利用样本频率分布直方图估计总体分布. 2.方法归纳：图表识别、数据分析. 3.常见误区：频率分布直方图中小矩形的高以及小矩形的面积代表的意义理解不清. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图.则参赛的选手成绩的平均数是(　　) A.65 B.66 C.67 D.68 答案　C 解析　平均数为55×0.03×10＋65×0.04×10＋75×0.015×10＋85×0.01×10＋95×0.005×10＝67. 2.为了解学生某月课外阅读的情况，抽取了n名学生进行调查并根据调查结果得到如图所示的频率分布直方图，若阅读时间(单位：小时)在的学生有210人，则n等于(　　) A.300 B.360 C.400 D.480 答案　A 解析　依题意知阅读时间在的学生的频率为1－(0.010＋0.020)×10＝0.7， 故n＝＝300. 3.有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图，估计样本数据落在区间[10，12]内的频数为(　　) A.18 B.36 C.54 D.72 答案　B 解析　样本数据落在区间[10，12]内的频率为1－(0.02×2＋0.05×2＋0.15×2＋0.19×2)＝0.18， 所以样本数据落在区间[10，12]内的频数为0.18×200＝36. 4.一样本的频率分布直方图如图所示，则由图中的数据，可以估计众数与中位数分别是(　　) A.12.5，12.5 B.12.5，13 C.13，12.5 D.13，13 答案　B 解析　众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标. ∵中间的一个矩形最高，10与15的平均数是12.5， ∴众数是12.5. 中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于纵轴的直线与横轴交点的横坐标. ∵第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是1－(0.04＋0.10)×5＝0.3， ∴中位数线将第二个矩形分成3∶2两部分， ∴中位数是13. 5.某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩(单位：分)都落在区间[50，100]内，其成绩的频率分布直方图如图所示，若该班学生这次数学测试成绩的中位数的估计值为81.25分，则b－a的值为(　　) A.0.01 B.0.005 C.0.008 D.0.006 答案　A 解析　由题意得10a＋10b＋0.25＋0.4＋10b＝1，整理得a＋2b＝0.035. 又由10a＋10b＋0.25＋(81.25－80)×0.04＝0.5， 得a＋b＝0.02， 解得a＝0.005，b＝0.015， 所以b－a＝0.015－0.005＝0.01. 6.(多选)某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度(单位：厘米)，将所得数据分成6组：[90，91)，[91，92)，[92，93)，[93，94)，[94，95)，[95，96]，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是(　　) A.b＝0.25 B.长度落在区间[93，94)内的个数为35 C.长度的平均数为94 D.长度的中位数一定落在区间[93，94)内 答案　ABD 解析　对于A，由题图得(0.35＋b＋0.15＋0.1×2＋0.05)×1＝1，解得b＝0.25，所以A正确； 对于B，长度落在区间[93，94)内的个数为100×0.35＝35，所以B正确； 对于C，长度的平均数为90.5×0.1＋91.5×0.1＋92.5×0.25＋93.5×0.35＋94.5×0.15＋95.5×0.05＝93，所以C错误； 对于D，区间[90，93)内矩形面积之和为0.45，区间[94，96]内矩形面积之和为0.2，所以长度的中位数一定落在区间[93，94)内，所以D正确. 7.(5分)某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在70 km/h以下的汽车有　　　　辆.  答案　20 解析　由题图可得时速在70 km/h以下的频率是(0.01＋0.03)×10＝0.4，所以时速在70 km/h以下的汽车有0.4×50＝20(辆). 8.(5分)某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩(单位：分)都在[40，100]内，按照[40，50)，[50，60)，…，[90，100]分组，得到如下频率分布直方图： 则a＝　　　　，该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取100人，估计应该把录取的分数线定为　　　　分.  答案　0.020　75 解析　由题意得(0.005＋0.010＋a＋0.030＋a＋0.015)×10＝1，解得a＝0.020.根据题意，录取的比例为0.5，设分数线定为x，根据频率分布直方图可知x∈[70，80)，且(80－x)×0.03＋0.2＋0.15＝0.5，解得x＝75.故估计应该把录取的分数线定为75分. 9.(10分)某市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按90∶1的比例随机抽取200人进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，分为6组画出频率分布直方图(如图所示)，由于操作失误，导致第一组和第二组的数据丢失，但知道第二组频率是第一组的2倍. (1)求a和b的值；(4分) (2)若一分钟跳绳在120次及以上为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市高一学生优秀的人数约为多少？(6分) 解　(1)由题意得 解得 (2)由图可知，120次及以上的组的频率分别为0.30，0.18，0.06，因为0.30＋0.18＋0.06＝0.54， 故估计全市高一学生的优秀率为54%， 则全市高一学生优秀的人数约为0.54×200×90＝9 720. 10.(10分)某校学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对来哈尔滨旅游的100名游客进行了有关哈尔滨旅游知识的调查.为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如图所示的频率分布直方图. (1)求x的值；(4分) (2)根据频率分布直方图，估计这100名游客调查问卷中得分的平均数及中位数(各组区间的数据以该组区间的中间值作代表).(6分) 解　(1)(0.02＋0.05＋0.08＋x＋0.03)×4＝1，所以x＝0.07. (2)设这100名游客调查问卷中得分的平均数为 则＝2×0.02×4＋6×0.05×4＋10×0.08×4＋14×0.07×4＋18×0.03×4＝10.64. 因为0.02×4＋0.05×4＝0.28<0.5，0.02×4＋0.05×4＋0.08×4＝0.6>0.5， 所以中位数在8和12之间， 设中位数是t，所以0.02×4＋0.05×4＋(t－8)×0.08＝0.5，可得t＝10.75， 故这100名游客调查问卷中得分的平均数约为10.64，中位数约为10.75. 11.甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为(　　) A.s1>s2>s3 B.s1>s3>s2 C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1 答案　B 解析　比较三个频率分布直方图知，甲为“双峰”直方图，两端数据最多，最分散，方差最大；乙为“单峰”直方图，数据最集中，方差最小；丙为“单峰”直方图，但数据分布相对均匀，方差介于甲、乙之间.综上可知s1>s3>s2. 12.(多选)某校为了解学生对新食堂用餐满意度的情况，按性别采用同比例分层抽样的方法，从全校抽取200名学生分别对食堂进行评分，满分为100分，分数在[50，60)为不满意，[60，70)为一般，[70，80)为比较满意，[80，90)为满意，[90，100]为非常满意，调查结果显示：最低分为51分，最高分为100分，将男、女生的评分结果分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，则下列说法正确的是(　　) 分数区间 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 频数(男生) 3 3 16 38 20 A.女生样本评分在[70，80)内的人数为20 B.女生样本评分的众数约为85分 C.女生样本评分的平均分比男生样本评分的平均分低 D.由样本总体评分的平均数来估计学生的总体评分，评分结论为“满意” 答案　BCD 解析　由题表知男生共抽取了80人，所以女生抽取了120人， 对于A，由题图可知，女生样本评分在[70，80)的人数为120×0.020×10＝24，故A错误； 对于B，女生样本评分的众数约为＝85(分)，故B正确； 对于C，由题图得(0.005＋a＋0.020＋0.040＋0.020)×10＝1，解得a＝0.015， 所以女生样本评分的平均分约为 55×0.05＋65×0.15＋75×0.2＋85×0.4＋95×0.2＝80.5(分)， 男生样本评分的平均分约为 55×＋65×＋75×＋85×＋95×＝83.625，故C正确； 对于D，因为样本总体评分的平均数约为80.5×＋83.625×＝81.75，所以估计学生的总体评分结论为“满意”，故D正确. 13.(多选)为了更好地支持中小型企业的发展，某市决定对部分中小型企业的税收进行适当的减免，现调查了当地的100家中小型企业的年收入情况，并根据所得数据作出了如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是(　　) A.样本在区间[500，700]内的频数为18 B.如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税收政策，估计当地有30%的中小型企业能享受到减免税收政策 C.样本的中位数小于350万元 D.可估计当地的中小型企业年收入的平均数不超过400万元(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表) 答案　ABD 解析　由题图可得100×(0.001＋0.002＋0.002 6×2＋a＋0.000 4)＝1，解得a＝0.001 4， 对于A，样本在区间[500，700]内的频数为100×(0.001 4＋0.000 4)×100＝18，故A正确； 对于B，年收入在300万元以内的企业的频率为100×(0.001＋0.002)＝0.3，故B正确； 对于C，100×(0.001＋0.002)＝0.3<0.5， 100×(0.001＋0.002＋0.002 6)＝0.56>0.5， 则中位数在[300，400)之间，设为x， 则(x－300)×0.0026＝0.5－0.3， 解得x≈377>350，故C错误； 对于D，样本年收入的平均数为 100×(150×0.001＋250×0.002＋350×0.002 6＋450×0.002 6＋550×0.001 4＋650×0.000 4) ＝376(万元)， 则估计当地的中小型企业年收入的平均数不超过400万元，故D正确. 14.(5分)为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间对某地居民调查了10 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用同比例分层抽样方法抽出100人做进一步调查，则在[2.5，3.0)(小时)时间段内应抽出的人数是　　　　.  答案　25 解析　抽出的100人中平均每天看电视的时间在[2.5，3.0)(小时)时间段内的频率是 0.5×0.5＝0.25， 所以这10 000人中平均每天看电视的时间在[2.5，3.0)(小时)时间段内的人数是 10 000×0.25＝2 500， 抽样比是则在[2.5，3.0)(小时)时间段内应抽出的人数是2 500×＝25. 15.某市为修订用水政策，制定更合理的用水价格，随机抽取100户居民，得到他们的月均用水量(单位：t)，并整理得如下频率分布直方图.根据直方图的数据信息，下列结论中正确的是(　　) A.100户居民的月均用水量的中位数大于7.2 t B.100户居民的月均用水量低于16.2 t的用户所占比例超过90% C.100户居民的月均用水量的极差介于21 t与27 t之间 D.100户居民的月均用水量的平均值介于16.2 t与22.2 t之间 答案　C 解析　对于A，月均用水量在[1.2，4.2)的频率为0.077×3＝0.231<0.5， 月均用水量在[1.2，7.2)的频率为0.231＋0.107×3＝0.231＋0.321＝0.552>0.5， 所以100户居民的月均用水量的中位数在[4.2，7.2)内，故A错误； 对于B，因为100户居民的月均用水量低于16.2 t的用户的频率为(0.077＋0.107＋0.043＋0.030＋0.030)×3＝0.861， 所以100户居民的月均用水量低于16.2 t的用户所占比例为86.1%，故B错误； 对于C，由图知，极差的最大值为28.2－1.2＝27，最小值为25.2－4.2＝21， 所以100户居民的月均用水量的极差介于21 t与27 t之间，故C正确； 对于D，由频率分布直方图可知， (0.077＋0.107＋0.043＋0.030＋0.030＋0.017＋0.010＋0.013＋b)×3＝1，解得b＝所以100户居民的月均用水量的平均值为 11.7＋0.030×14.7＋0.017×17.7＋0.010×20.7 ×3＝8.907(t)，故D错误. 16.(12分)为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据(满分100分)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值，并估计100名游客满意度分值的中位数；(结果保留整数)(4分) (2)已知满意度分值在[70，80)内的平均数＝75，方差＝9；在[80，90)内的平均数＝85，方差＝4.试求满意度分值在[70，90)内的平均数和方差s2.(8分) 解　(1)由(0.005＋0.010×2＋0.020＋a＋0.025)×10＝1，解得a＝0.030. 满意度分值在[40，80)的频率为(0.005＋0.010×2＋0.020)×10＝0.45<0.5， 在[40，90)的频率为(0.005＋0.010×2＋0.020＋0.030)×10＝0.75>0.5， 所以中位数落在区间[80，90)内，所以中位数约为80＋10×≈82. (2)由题意得，可将满意度分值在[70，80)内和[80，90)内视为满意度分值在[70，90)内的两个分层， 由频率分布直方图得，满意度分值在[70，80)内的频率为0.020×10＝0.2，人数为20，其平均数＝75，方差＝9， 在[80，90)内的频率为0.030×10＝0.3，人数为30，其平均数＝85，方差＝4， 所以满意度分值在[70，90)内的平均数＝81， 方差为s2＝×{20×[9＋(75－81)2]＋30×[4＋(85－81)2]}＝30. 学科网（北京）股份有限公司 $