6.4.4百分位数教学设计-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

百分位数 【教学目标】 1．理解百分位数的统计含义 2．会求一组数据的百分位数 3．利用百分位数解决实际问题 【教学重点】 百分位数的概念和百分位数的求法 【教学难点】 百分位数的求法 【教学方法】 讲授法，探究法 【教学手段】 计算机、投影仪． 【教学过程】 一、情景引入 情境：某地政府为满足居民基本用电需求，并提高能源的利用效率，实现绿色发展，计划对全市居民用电标准按年采用三阶式递增电价收费：75%的用户在最低电价一档，20%的用户用电量超出一阶电价的临界值而未超过二阶电价的临界值，超过一阶临界值的用电量按二阶电价缴费，5%的用户用电量超过二阶电价的临界值，超过二阶临界值的用电量按三阶电价缴费。为此，当地电力公司调查了200户居民6月份的用电量（单位：kW·h），并排序如下： 8 18 22 31 42 48 49 50 51 56 57 57 60 61 61 61 62 62 63 63 65 66 67 69 70 70 71 72 72 74 76 77 77 78 78 80 80 82 82 82 83 84 84 88 88 89 90 91 93 93 94 95 96 96 96 97 98 98 98 99 100 100 100 101 101 101 105 106 106 106 107 107 107 107 108 108 109 109 110 110 110 111 112 113 113 114 115 116 118 120 120 120 121 123 124 127 127 127 130 130 130 131 131 132 132 132 133 133 134 134 134 135 135 135 135 136 137 137 138 139 139 140 141 142 144 146 146 147 148 149 151 152 154 156 159 160 162 163 163 164 165 167 169 170 170 172 174 174 177 178 178 180 182 182 187 189 191 191 192 194 194 200 201 201 202 203 203 206 208 212 213 214 216 223 224 237 247 250 250 251 253 254 258 260 265 274 274 283 288 289 304 319 320 324 339 462 498 530 542 626 请问阶梯电价的临界值如何确定？ 【设计意图】通过实际情境引出本节课百分位数的概念，激发学生的学习兴趣，培养学生绿色节能意识。 【师生活动】引导学生明确阶梯电价的确定，关键是要确定一阶电价的临界值和二阶电价的临界值，使得75%的用户用电量不超过，20%的用户用电量超过但不超过。引导学生用数学符号表示。 阶梯电价是根据用户的年用电量确定的。电力公司选取6月份进行调查，是因为6月份用电量在12个月中处于中等偏上（可能需要空调用电），一年的用电量近似等于这个月的用电量乘以12. 设随机变量X为用户的月平均用电量。那么一阶电价的临界值应满足。 为了使75%的用户在最低电价一档，应该将200个数据分为两组，一组数据个数为200×75%=150个，一组数据个数为200×25%=50个。由于数据是按照顺序排列的，那么第150个数据和第151个数据之间的任意数都符合题意。通过数据可以发现取即可。 令，可得，。这是因为X=178的用户有两户，使得，且。 师：此时我们将178称为这组数据的第75百分位数或者是75%分位数。同学们可以依此给出百分位数的定义吗？ 二、探索新知 定义：百分位数是位于按一定顺序排列的一组数据中某一个百分位置的数值，以表示。其中是区间[1,99]内的整数。一个百分位数将总体或样本的全部观测值分为两部分，至少有个观测值小于或等于它，至少有个观测值大于或等于它。 特别地，当时，即对应中位数。 问题1：如何用数学语言描述百分位数的定义呢？ 预案：设一组数据按照从小到大的顺序排列，为，百分位数满足，且，且 师：在我们的生活中经常应用百分位数，例如：“全班有25%的人某科考试低于83分”，这句话的意思是全班小于或等于83分的人数不少于全班人数的25%，大于或等于83分的人数不少于全班人数的75%。这时，我们称83为所有成绩的第25百分位数。 【师生活动】引导学生根据实际问题情境给出百分位数的定义，加深对百分位数的理解。 三、深化认识，掌握方法 师：现在我们已经掌握了百分位数的定义，那么如何求一组观测数据的百分位数呢？下面我们通过几组具体的数据总结求百分位数的方法。 问题2：求下列数据的。 （1）2,3,1,4 （2）1,2,3,4,5 【设计意图】引导学生用定义计算较少数据的百分位数，进而总结归纳求百分位数的一般方法。 预案：（1）本组数据一共4个，应该将这组数据分为两部分，至少有25%的数据小于或等于，至少有75%的数据大于或等于。因此首先我们要将这组数据按照从小到大的顺序排列：1,2,3,4.根据的定义，应该有1个数据小于或等于，3个数据大于或等于。因此，排序后的第一个数据1和第二个数据2都符合要求，在此我们取。 小结：计算百分位数，首先要将数据按照一定的顺序排列。根据百分位数的定义寻找相应的数值，如果一组数据中有两个数据都符合要求，那么我们取两个数据的平均数作为所求的百分位数。 （2）本组数据一共5个，应该将这组数据分为两部分，至少有25%的数据小于或等于，至少有75%的数据大于或等于。即应该至少有1.25个数据小于或等于，至少有3.75个数据大于或等于。因此，第2个数据2符合要求。即。 小结：根据百分位数的定义计算出来的分界序号如果不是整数，那么就取大于分界序号的最小整数所对应的数据为相应的百分位数。 问题3：根据刚才的计算过程，总结如何求一组观测数据的百分位数呢？ 预案：首先是确定位置，然后是求出对应的百分位数。下面我们以计算为例进行说明： 设观测数据已经按从小到大的顺序排列，如. 第一步，计算； 第二步，如果c不是整数，用m表示比c大的最小整数，则所求的是，如果c是整数，则所求的是。 对于[1,99]之间的整数r，将上述的25%改为r%，即可求得。 在统计学中，又称为第一四分位数，又称为第二四分位数，又称为第三四分位数。 四、例题讲解 例1：计算下列数据 1,5,92,1,13,18,21,23,28,36 的百分位数：，，。 【设计意图】通过例题，让学生熟悉百分位数的计算方法，进一步提升学生对百分位数的理解。 解：数据量n=10。 因为不是整数，3是比2.5大的最小整数， 所以； 因为是整数， 所以； 因为不是整数，8是比7.5大的最小整数， 所以。 小结：对于从小到大排列的n个数，大约处于这n个数的处，大于处于这n个数的中间，大约处于这n个数的处。 百分位数是用于衡量数据位置的度量，它提供了有关数据在最小值与最大值之间位置的信息。多个百分位数综合使用，可更全面地描述数据的分布特征。 例2：对情境引入中的阶梯电价问题，确定阶梯电价的临界点。 【设计意图】通过本节课的学习，解决情景引入的问题，有始有终，学以致用。 解：样本容量n=200. 为了使75%的用户以最低电价一档缴费，需确定。 因为是整数，所以。 这说明6月份约有75%的用户用电量不超过178 kW·h。假设每年用电量不超过178×12=2136（kW·h）按最低档电价缴费，则大约75%的用户将按最低档缴费。 因为是整数，所以。 这说明6月份约有95%的用户用电量不超过296.5 kW·h，也就是说该月用电量超过296.5的用户只有5%，若每年用ID俺来那个超过2136 kW·h，不超过296.5×12=3558（kW·h），则2136 kW·h按最低档电价收费，超过部分按第二档电价收费。 若每年用电量超过3558 kW·h，则超过部分按第三档电价收费。 五、总结提升 本节课的主要介绍百分位数的概念，通过多个百分位数我们可以了解数据的分布特征。掌握百分位数的求法，可以利用百分位数求解实际问题。 学科网（北京）股份有限公司 $$