第4章 章末复习课 幂函数、指数函数和对数函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学讲义通过知识网络框架图系统构建指数、对数及函数零点的知识体系，涵盖运算性质、图象变换、性质应用、零点判定四大模块，清晰呈现各知识点的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“例题解析+跟踪训练”的分层设计，如例2结合函数单调性与特殊点判断图象培养直观想象素养，跟踪训练2通过构造函数比较大小提升逻辑推理能力。基础题巩固运算技能，综合题深化思维，助力学生自主复习，为教师精准教学提供支持。

一、指数、对数的运算 1.指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化，对数、指数的运算性质以及换底公式等，会利用运算性质进行化简、计算、证明. 2.掌握基本运算性质，重点提升数学运算素养. 例1　计算： (1)1－＋()0； (2)log20.25＋ln ＋lg 4＋2lg 5－. 解　(1)1－＋()0 ＝1－＋1 ＝1－－2＋＋1＝－. (2)log20.25＋ln ＋lg 4＋2lg 5－ ＝log2＋ln ＋lg 4＋lg 52－ ＝－2＋＋81＋lg 100－2. 反思感悟　指数、对数的运算应遵循的原则 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧. 跟踪训练1　(1)计算：(2 025)0＋3×＋(lg 4＋lg 25)的值是　　　　.  答案　5 解析　原式＝1＋3×＋lg 100＝1＋2＋2＝5. (2)计算：＋(0.008×. 解　原式× ＋25×－＋2. 二、指数、对数函数的图象及应用 1.指数函数、对数函数的图象及应用有两个方面：一是已知函数解析式求作函数图象，即“知式求图”；二是判断方程的根的个数时，通常不具体解方程，而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题. 2.掌握指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移翻折变换，提升直观想象和逻辑推理素养. 例2　函数f(x)＝1＋log2x与g(x)在同一直角坐标系下的图象大致是(　　) 答案　B 解析　∵函数g(x)为减函数，且图象必过点(0，1)，∴排除A，D； ∵f(x)＝1＋log2x的图象是由y＝log2x的图象向上平移1个单位长度得到的， 因此f(x)为增函数，且图象必过点(1，1)，∴可排除C. 反思感悟　指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换. 跟踪训练2　(多选)已知实数a，b，c满足lg a＝10b则下列关系式中可能成立的是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 答案　ABC 解析　设lg a＝10bt，t>0， 则a＝10t，b＝lg t，ct>0， 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝lg x，y＝10x，yx>0的图象，如图， 当t＝x1时，c>a>b；当t＝x2时，a>c>b； 当t＝x3时，a>b>c. 三、指数、对数函数性质的应用 1.以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等.在解含对数式的方程或不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围. 2.掌握指数函数、对数函数的图象及性质，重点提升数学运算和逻辑推理素养. 例3　(1)设a＝log2π，b＝loπ，c＝π－2，则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a 答案　C 解析　∵a＝log2π>log22＝1， b＝loπ<lo1＝0， c＝π－2即0<c<1，∴a>c>b. (2)(多选)设函数f(x)＝lo(－x2＋4x＋5)，则f(x)(　　) A.在[2，5)上单调递减 B.在[2，5)上单调递增 C.有最大值－2 D.有最小值－2 答案　BD 解析　函数f(x)＝lo(－x2＋4x＋5)中，－x2＋4x＋5>0，解得－1<x<5， 令u＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，函数u＝－x2＋4x＋5在[2，5)上单调递减， 而函数y＝lou在(0，＋∞)上单调递减，因此函数f(x)在[2，5)上单调递增，A错误，B正确； 当x＝2时，u＝－x2＋4x＋5取得最大值9，所以f(x)有最小值－2，C错误，D正确. 反思感悟　要熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质.方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根；大小比较问题可直接利用单调性和中间值解决. 跟踪训练3　(1)若0<x<y<1，则(　　) A.3y<3x B.logx3<logy3 C.log4x<log4y D.< 答案　C 解析　因为0<x<y<1，则 对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y， A错误； 对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0<a<1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”.因为0<x<y<1，所以logx3>logy3，B错误； 对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x<log4y，C正确； 对于D，函数y在R上单调递减， 故>D错误. (2)(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x＋则下列结论正确的是(　　) A.|f(x)|≥2 B.当x<0时，f(x)＝－2x－ C.y轴是函数f(x)图象的一条对称轴 D.函数f(x)是增函数 答案　BD 解析　对于A，当x>0时，2x>1，2x＋>2， 又∵f(x)为奇函数，∴当x<0时，f(x)<－2， 则|f(x)|>2，故A选项错误； 对于B，当x<0时，－x>0， f(－x)＝2－x＋2x＋－f(x)， ∴f(x)＝－2x－故B选项正确； 对于C，f(x)为奇函数，且不为常函数， ∴f(x)不是偶函数，不关于y轴对称，C选项错误； 对于D，当x>0时，f(x)＝2x＋令x2>x1>0，f(x2)－f(x1)( ∵x2>x1>0，∴>0，1－>0， 即f(x2)－f(x1)>0， ∴当x>0时，f(x)为增函数， 且由A选项可知，f(x)>2； 又∵f(x)为奇函数， ∴当x<0时，f(x)也单调递增，且f(x)<－2， 又∵当x＝0时，f(x)＝0， ∴f(x)是增函数，故D正确. 四、函数的零点与方程的根 1.函数的零点主要考查零点个数以及零点所在区间，主要利用了转化思想，把零点问题转化成函数与x轴交点以及两函数图象的交点问题. 2.掌握函数零点存在定理及转化思想，提升逻辑推理和直观想象素养. 例4　(1)设函数f(x)＝log2x＋2x－3，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 答案　B 解析　因为函数f(x)＝log2x＋2x－3， 所以f(1)＝log21＋21－3＝－1<0， f(2)＝log22＋22－3＝2>0，f(1)·f(2)<0， 所以根据函数零点存在定理可知在区间(1，2)内函数存在零点. (2)已知函数f(x)(a∈R)，若函数在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，－1) B.(－∞，1) C.(－1，0) D.[－1，0) 答案　D 解析　由3x－1＝0可得x>0， 若函数在R上有两个零点， 可转化为ex＋a＝0在x≤0上有一个实根， 即直线y＝－a与y＝ex的图象在x≤0上有一个交点，因为当x≤0时，ex∈(0，1]， 所以0<－a≤1，即－1≤a<0. 即a的取值范围是[－1，0). 反思感悟　(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根⇒函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇒函数y＝f(x)有零点. (2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断. 跟踪训练4　(1)方程的根x0所在的区间为(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 答案　B 解析　将方程变形，并构造函数 f(x) 因为y和y＝－均为增函数， 所以f(x)也为增函数， 由函数解析式可得f(0)＝0－1＝－1<0， f(1)－<0， f(2)＝2－>0，f(1)·f(2)<0， 由函数零点存在定理可得f(x)的零点在(1，2)内， 即方程的根x0所在的区间为(1，2). (2)已知函数f(x)则函数g(x)＝f(x)－的零点个数为(　　) A.2 B.3 C.1 D.4 答案　B 解析　令g(x)＝0得f(x) 可知函数g(x)的零点个数即为函数y＝f(x)与y图象的交点个数， 在同一直角坐标系中作出y＝f(x)，y的大致图象如图所示， 由图象可知，函数y＝f(x)与y的图象有3个交点， 即函数g(x)有3个零点. 学科网（北京）股份有限公司 $