第4章 习题课 指数型函数、对数型函数的性质的综合（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学指数型函数、对数型函数的性质综合，系统梳理单调性判断（复合函数“同增异减”）、值域求解等核心知识点，通过例题、延伸探究、反思感悟搭建学习支架，衔接基础性质与综合应用（如奇偶性、恒成立问题）。 该资料以分层例题（如例1单调性分析、延伸探究变式训练）和换元法归纳培养数学思维，强调定义域优先等细节提升数学眼光，跟踪训练与课时对点练助力课后查漏补缺，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、弥补盲点。

习题课　指数型函数、对数型函数的性质的综合 学习目标　1.会求指数型函数、对数型函数的单调性、值域等问题.2掌握判断指数型函数、对数型函数单调性的方法. 一、指数型函数的单调性问题 例1　(1)函数y＝的单调递减区间是(　　) A.(－∞,＋∞) B.(－∞,0) C.(0,＋∞) D.(－∞,0)和(0,＋∞) 答案　D 解析　设u＝则y＝3u, 因为u＝在(－∞,0)和(0,＋∞)上是减函数, 且y＝3u在(－∞,0)和(0,＋∞)上是增函数, 所以函数y＝的单调递减区间是(－∞,0)和(0,＋∞). (2)判断函数f(x)＝的单调性,并求其值域. 解　令u＝x2－2x, 易知u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞,1]上单调递减,在[1,＋∞)上单调递增, 又f(x)＝在R上单调递减, 所以f(x)＝在(－∞,1]上单调递增,在[1,＋∞)上单调递减. 因为u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1, 所以y＝u∈[－1,＋∞), 所以0<≤＝3, 所以函数f(x)的值域为(0,3]. 延伸探究1　把本例(2)的函数改为“f(x)＝”,求其单调区间. 解　函数f(x)＝的定义域是R. 令u＝－x2＋2x,则y＝2u. 当x∈(－∞,1]时,函数u＝－x2＋2x单调递增, 当x∈[1,＋∞)时,函数u＝－x2＋2x单调递减, 又函数y＝2u在R上是增函数, 所以函数f(x)＝在(－∞,1]上单调递增,在[1,＋∞)上单调递减, 综上,函数f(x)＝的单调递减区间是[1,＋∞),单调递增区间是(－∞,1]. 延伸探究2　若把本例(2)改为y＝4x－2x＋1－3.求函数的值域和单调区间. 解　函数y＝4x－2x＋1－3的定义域为R,设t＝2x,则t>0. 因为y＝4x－2x＋1－3＝(2x)2－2×2x－3 ＝t2－2t－3＝(t－1)2－4≥－4, 所以函数y＝4x－2x＋1－3的值域为[－4,＋∞). 因为y＝t2－2t－3在(－∞,1]上单调递减,此时由t≤1得x≤0. 又指数函数t＝2x在(－∞,0]上单调递增, 所以函数y＝4x－2x＋1－3的单调递减区间为(－∞,0]. 同理,因为y＝t2－2t－3在[1,＋∞)上单调递增,此时由t≥1得x≥0.又指数函数t＝2x在[0,＋∞)上单调递增,所以函数y＝4x－2x＋1－3的单调递增区间为[0,＋∞). 反思感悟　(1)求指数型函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y＝f(u),u＝φ(x),通过考察f(u)和φ(x)的单调性,利用同增异减原则,求出y＝f(φ(x))的单调性. (2)关于指数型函数y＝af(x)(a>0,且a≠1)的单调性由两点决定,一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性,它由两个函数y＝au,u＝f(x)复合而成. 跟踪训练1　函数y＝的单调递减区间为(　　) A.(－∞,0] B.[0,＋∞) C.(－∞] D.[＋∞) 答案　B 解析　函数y＝在R上为减函数,欲求函数y＝的单调递减区间,只需求函数u＝x2－2的单调递增区间,而函数u＝x2－2的单调递增区间为[0,＋∞),故所求单调递减区间为[0,＋∞). 二、对数型函数的单调性问题 例2　求函数y＝lo(x2－3x＋5)的单调区间. 解　由于方程x2－3x＋5＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×5＝－11<0, ∴x2－3x＋5>0恒成立,即函数的定义域为R. 令u(x)＝x2－3x＋5,当x∈时,u(x)单调递减,当x∈时,u(x)单调递增. 又y＝lou为减函数, ∴y＝lo(x2－3x＋5)在上单调递增,在上单调递减. 综上,函数y＝lo(x2－3x＋5)的单调递增区间为单调递减区间为. 延伸探究3　求函数y＝(log0.4x)2－2log0.4x＋2的单调区间. 解　令t＝log0.4x,则它在(0,＋∞)上单调递减. y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1在[1,＋∞)上单调递增,在(－∞,1]上单调递减. 由t＝log0.4x≥1得0<x≤0.4； 由t＝log0.4x<1得x>0.4,故所求函数的单调递增区间为(0.4,＋∞),单调递减区间为(0,0.4]. 反思感悟　函数单调性的判定方法与策略 (1)定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论. (2)图象法：如果函数f(x)是以图象形式给出或函数f(x)的图象易作出,结合图象可求得函数的单调区间. (3)y＝f(g(x))型函数：先将函数y＝f(g(x))分解为y＝f(t)和t＝g(x),再讨论这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判定. 跟踪训练2　(1)若函数f(x)＝lg(x2＋ax－a－1)在区间[2,＋∞)上单调递增,求实数a的取值范围. 解　由已知函数f(x)＝lg(x2＋ax－a－1)在区间[2,＋∞)上单调递增, 设t＝x2＋ax－a－1,其图象为开口向上的抛物线, 因而解得a>－3. 故实数a的取值范围为(－3,＋∞). (2)求函数f(x)＝log2(4x)·lox∈的值域. 解　f(x)＝log2(4x)·lo ＝(log2x＋2)· ＝－[(log2x)2＋log2x－2]. 设log2x＝t.∵x∈∴t∈[－1,2], 则有y＝－(t2＋t－2),t∈[－1,2], 因此二次函数图象的对称轴为直线t＝－ ∴函数y＝－(t2＋t－2)在上单调递增,在上单调递减, ∴当t＝－时,ymax＝. 当t＝2时,ymin＝－2. ∴f(x)的值域为. 三、函数性质的综合应用 例3　已知函数f(x)＝log2是奇函数,a∈R. (1)求a的值； (2)对任意的x∈(－∞,0),不等式f(2x＋1)>log2(m－2x)恒成立,求实数m的取值范围. 解　(1)方法一　令＋1>0,则>0, ∴x<－a－1或x>－a. ∵f(x)是奇函数,∴其定义域关于原点对称, ∴－a－1－a＝0,∴a＝－. 此时,f(x)＝log2＝log2 则f(－x)＝log2＝log2＝－log2 ∴f(－x)＝－f(x),即f(x)为奇函数. 因此a＝－. 方法二　f(x)＝log2由>0,可得函数f(x)的定义域为A＝{x|x<－a－1或x>－a}, ∵f(x)是奇函数, 故∀x∈A,f(－x)＝－f(x), ∴log2＝－log2＝log2 ∴ 则(1＋a)2－x2＝a2－x2,解得a＝－. (2)f(2x＋1)>log2(m－2x),即log2>log2(m－2x), 整理得m<2x＋ 令u＝2x＋x∈(－∞,0),∴u∈ 令g(u)＝u＋ 易知g(u)≥当且仅当u＝1时取等号,∴m< 又m－2x>0,即m>2x,故m≥1, ∴实数m的取值范围是. 反思感悟　(1)利用性质求解综合问题,树立定义域优先意识,无论求单调区间、奇偶性还是求解不等式,符合定义域是满足性质的前提. (2)本题涉及不等式恒成立,转化是关键,转化的工具就是指数函数与对数函数的单调性的灵活应用. 跟踪训练3　已知函数f(x)＝(a∈R,且a≠0),且f(x)是奇函数. (1)求a的值； (2)若∀x∈[1,2],都有f(2x)－mf(x)≥0成立,求实数m的取值范围. 解　(1)易得f(x)＝×2x＋ 因为f(x)是奇函数, 所以f(－x)＝－f(x), 所以×＋2x＝－ 所以＝0, 即＋1＝0,解得a＝－1. 经验证,当a＝－1时,f(x)是奇函数,故a＝－1. (2)由(1)知f(x)＝－2x,因为f(2x)－mf(x)≥0,x∈[1,2], 所以－22x≥m易知－2x<0. 所以m≥＋2x,x∈[1,2], 令t＝2x,则t∈[2,4], 由于y＝t＋在[2,4]上单调递增, 所以m≥4＋ 所以实数m的取值范围是. 1.知识清单： (1)指数型函数的单调性. (2)对数型函数的单调性. (3)函数性质的综合应用. 2.方法归纳：换元法. 3.常见误区：求对数型函数的单调性易忽视定义域. 课时对点练 [分值：100分] 　　　　　　　　　　　　　　　　 单选题每小题5分,共40分；多选题每小题6分,共12分 1.函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上(　　) A.是增函数 B.是减函数 C.先增后减 D.先减后增 答案　A 解析　当a>1时,y＝logat和t＝(a－1)x＋1都是增函数, 所以f(x)是增函数； 当0<a<1时,y＝logat和t＝(a－1)x＋1都是减函数, 所以f(x)是增函数. 2.已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x),则(　　) A.f(x)在(0,2)上单调递增 B.f(x)在(0,2)上单调递减 C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 D.y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称 答案　C 解析　∵函数f(x)＝ln x＋ln(2－x), ∴f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x,即f(x)＝f(2－x), 即y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称. 3.函数f(x)＝的单调递增区间为(　　) A.(－∞,2) B.(1,2) C.(2,3) D.(2,＋∞) 答案　B 解析　令g(x)＝ 因为f(x)＝2g(x)在定义域上为增函数, 所以只需求g(x)＝的单调递增区间即可, 令h(x)＝－x2＋4x－3, 由二次函数单调性及二次根式有意义的条件可知 1≤x≤2, 即f(x)＝的单调递增区间为[1,2],也可写作(1,2). 4.函数f(x)＝＋1在[－1,2]上的最小值是(　　) A.1 B. C. D.3 答案　C 解析　由题意,得函数 f(x)＝＋1＝＋1, 设t＝ 因为x∈[－1,2], 所以t＝∈ 则函数y＝t2－t＋1＝ 当t＝时,ymin＝. 5.对于函数f(x)＝下列描述正确的选项是(　　) A.是减函数且值域为(－1,1) B.是增函数且值域为(－1,1) C.是减函数且值域为(－∞,1) D.是增函数且值域为(－∞,1) 答案　B 解析　函数f(x)＝＝1－x∈R, 因为函数y＝3x>0且单调递增, 所以y＝单调递减, 所以f(x)为R上的增函数, 又3x∈(0,＋∞), 所以3x＋1∈(1,＋∞)∈(0,2), 所以f(x)＝1－∈(－1,1), 即f(x)的值域为(－1,1). 6.高斯是德国数学家、天文学家和物理学家,被誉为历史上伟大的数学家之一,和阿基米德、牛顿并列,同享盛名.用他名字命名的高斯函数也称取整函数,记作[x],是指不超过实数x的最大整数,例如[6.8]＝6,[－4.1]＝－5,该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.若函数f(x)＝log2(－x2＋x＋2),则当x∈时,的值域为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由－x2＋x＋2>0,得(x＋1)(x－2)<0,解得－1<x<2, 则f(x)的定义域为{x|－1<x<2}, 当x∈时,令t＝－x2＋x＋2,函数y＝－x2＋x＋2在上单调递增,在上单调递减, 又u＝log2t在(0,＋∞)上单调递增,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减, 所以f(x)的值域为所以的值域为. 7.(5分)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数),若f(x)在区间(－∞,1]上单调递减,则a的取值范围是　　 　.  答案　[1,＋∞) 解析　因为函数f(x)＝e|x－a|(a为常数),若f(x)在区间(－∞,1]上单调递减, 则t＝|x－a|在区间(－∞,1]上单调递减, 又函数t＝|x－a|在区间(－∞,a]上单调递减, 所以(－∞,1]⊆(－∞,a],故有a≥1. 8.(5分)设函数f(x)＝若f(2m－1)＋f(m－2)<0,则实数m的取值范围是　　　　.  答案　(1,＋∞) 解析　∵函数的定义域为R, f(－x)＝ ＝＝－ ＝－f(x), ∴f(x)为奇函数, 又f(x)在R上单调递减, 由f(2m－1)＋f(m－2)<0, 得f(2m－1)<－f(m－2)＝f(2－m), ∴2m－1>2－m,解得m>1. 9.(10分)已知函数f(x)＝(a>0,且a≠1)是定义在R上的奇函数. (1)求a的值；(4分) (2)求函数f(x)的值域.(6分) 解　(1)∵f(x)是R上的奇函数, ∴f(0)＝0,即＝0, 解得a＝2,经检验a＝2符合题意. (2)由(1)知,f(x)＝＝1－在R上单调递增, ∵2x＋1>1,∴0<<2, ∴－2<－<0, ∴－1<1－<1, ∴函数f(x)的值域为(－1,1). 10.(11分)已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R且e为自然对数的底数). (1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(5分) (2)是否存在实数t,使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立？若存在,求出t；若不存在,请说明理由.(6分) 解　(1)因为f(x)＝ex－且y＝ex是增函数,y＝－是增函数,所以f(x)是增函数. 由于f(x)的定义域为R,且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x),所以f(x)是奇函数. (2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数,所以f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R恒成立, 等价于 f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R恒成立,即x2－t2≥t－x对一切x∈R恒成立, 所以t2＋t≤x2＋x对一切x∈R恒成立,即存在实数t使得≤恒成立, 所以存在实数t＝－使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立. 11.若函数f(x)＝lo(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2,m＋2)内单调递增,则实数m的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由－x2＋4x＋5>0,解得－1<x<5.二次函数y＝－x2＋4x＋5的图象开口向下,对称轴为x＝2. 由对数型函数单调性可得函数f(x)＝lo(－x2＋4x＋5)的单调递增区间为(2,5). 要使函数f(x)＝lo(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2,m＋2)内单调递增, 只需解得≤m<2. 12.函数f(x)＝(log2x)2－log2x3＋4,x∈(1,4]的值域为(　　) A.[2,4) B. C. D. 答案　C 解析　令t＝log2x,x∈(1,4], 则t∈(0,2], ∴原函数化为y＝t2－3t＋4,t∈(0,2], 其对称轴方程为t＝ ∴当t＝时,y有最小值为－3×＋4＝； 当t＝0时,y有最大值为4,但取不到. ∴f(x)的值域为. 13.(多选)若3a－3b>2b－2a,则下列不等式正确的是(　　) A.ln(a－b＋1)>0 B.ln(b－a＋1)>0 C.ea－b－1>0 D.eb－a－1>0 答案　AC 解析　因为函数f(x)＝3x＋2x为增函数,3a－3b>2b－2a,即3a＋2a>3b＋2b, 所以a>b,a－b>0,则a－b＋1>1, 所以ln(a－b＋1)>0,故A正确； 由b－a<0,得b－a＋1<1, 所以ln(b－a＋1)<0,故B错误； ea－b>e0＝1,所以ea－b－1>0,故C正确； eb－a<e0＝1,所以eb－a－1<0,故D错误. 14.(5分)函数f(x)＝lo(－x2＋ax＋2)在(1,2)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.  答案　[1,2] 解析　令t＝－x2＋ax＋2,而y＝lot为t的减函数, 所以f(x)＝lo(－x2＋ax＋2)在(1,2)上单调递增等价于t＝－x2＋ax＋2在(1,2)上单调递减且恒大于0, 即 解得1≤a≤2. 15.(多选)若定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件： ①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0； ②f(1)＝1； ③若x1≥0,x2≥0,x1＋x2≤1,则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2),就称f(x)为“A函数”. 下列定义在[0,1]上的函数中,是“A函数”的有(　　) A.f(x)＝lo(x＋1) B.f(x)＝log2(x＋1) C.f(x)＝x D.f(x)＝2x－1 答案　CD 解析　选项A中,f(1)＝lo(1＋1)＝－1, 故f(x)＝lo(x＋1)不是“A函数”； 选项B中,若x1≥0,x2≥0,x1＋x2≤1, 则f(x1)＋f(x2)＝log2(x1＋1)＋log2(x2＋1)＝log2(x1x2＋x1＋x2＋1)≥log2(x1＋x2＋1) ＝f(x1＋x2),不满足③, 故f(x)＝log2(x＋1)不是A函数； 选项C中,f(x)显然满足①②, 又f(x1＋x2)＝x1＋x2＝f(x1)＋f(x2), 所以f(x)＝x是“A函数”. 选项D中,f(x)显然满足①②, 因为f(x1＋x2)＝－1, f(x1)＋f(x2)＝－2, 所以f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)] ＝＋1＝(－1)(－1), 又x1,x2∈[0,1], 所以－1≥0－1≥0, 从而f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2), 因此,f(x)＝2x－1是“A函数”. 16.(12分)已知k>0,函数f(x)＝log2是奇函数,g(x)＝9x－3x＋2. (1)求实数k的值；(5分) (2)若∀x1∈∃x2∈使得f(x1)≥g(x2)＋m,求实数m的取值范围.(7分) 解　(1)因为函数f(x)＝log2是奇函数,所以f(－x)＋f(x)＝0, 即log2＋log2＝0,即＝1,解得k＝±5, 因为k>0,所以k＝5. 当k＝5时,f(x)＝log2此时f(x)的定义域为关于原点对称,满足题意. 故k＝5. (2)由题意得,f(x)min≥g(x)min＋m, 由(1)知,f(x)＝log2＝log2 易得f(x)在上单调递增,故f(x)min＝f(0)＝0. g(x)＝9x－3x＋2＝－9·3x＝ 当x∈时,3x∈所以当3x＝时,g(x)min＝－ 所以f(x)min≥g(x)min＋m⇔0≥m－ 解得m≤即实数m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $