第4章 习题课 方程的根与函数的零点的应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦方程的根与函数零点的应用核心知识点，系统梳理利用零点存在定理求参数范围，以及一元二次方程根的分布问题，搭建从基础概念到综合应用的学习支架。 通过典型例题（如分段函数零点参数求解、一元二次方程根的区间分布），运用数形结合与分类讨论，培养学生数学思维与几何直观，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

习题课　方程的根与函数的零点的应用 学习目标　1.进一步应用函数零点存在定理,已知零点(方程的解)的情况求参数范围.2.掌握一元二次方程的根的分布情况. 一、根据零点情况求参数 例1　已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|＝2－恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵f(x)在R上单调递减, ∴y＝x2＋(4a－3)x＋3a在(－∞,0)上单调递减, y＝loga(x＋1)＋1在[0,＋∞)上单调递减,且f(x)在(－∞,0)上的最小值大于或等于f(0). 即解得≤a≤ 作出函数y＝|f(x)|和y＝2－的草图如图所示. ∵|f(x)|＝2－恰有两个不相等的实数解, ∴3a<2,即a<故≤a<. 反思感悟　已知函数有零点(方程有解)求参数的常用的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的解,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决. (3)数形结合法：先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解. 跟踪训练1　若方程xlg(x＋2)＝1的实数解在区间(k,k＋1)(k∈Z)上,则k等于(　　) A.－2 B.1 C.－2或1 D.0 答案　C 解析　由题意知,x≠0,则原方程即为lg(x＋2)＝在同一平面直角坐标系中作出函数y＝lg(x＋2)与y＝的图象,如图所示,由图象可知,原方程有两个解,一个在区间(－2,－1)上,一个在区间(1,2)上(由lg 3<1,lg 4>lg可得),所以k＝－2或k＝1. 二、一元二次方程根的分布问题 例2　已知关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0. (1)若方程有两个实根,且一个比2大,一个比2小,求实数m的取值范围； (2)若方程有两个实根α,β,且满足0<α<1<β<4,求实数m的取值范围； (3)若方程至少有一个正根,求实数m的取值范围. 解　设f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6, (1)f(x)的大致图象如图1所示, ∴f(2)<0,即4＋4(m－1)＋2m＋6<0,得m<－1, ∴实数m的取值范围为(－∞,－1). (2)f(x)的大致图象如图2所示, ∴ 解得－<m<－ ∴实数m的取值范围为. (3)方程至少有一个正根,则有三种可能的情况, ①有两个正根,此时如图3,可得 即∴－3<m≤－1. ②有一个正根,一个负根,此时如图4, 可得f(0)<0,得m<－3. ③有一个正根,另一根为0,此时如图5, 可得∴m＝－3. 综上所述,当方程至少有一个正根时,实数m的取值范围为(－∞,－1]. 反思感悟　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的分布问题 根的分布(m,n,p为常数) 图象 满足条件 x1<x2<m m<x1<x2 x1<m<x2 f(m)<0 m<x1<x2<n m<x1<n<x2<p x1,x2有且只有一个在(m,n)之间且f(m)·f(n)≠0 f(m)·f(n)<0 跟踪训练2　已知方程x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0的两根分别在区间(0,1),(1,3)上,则实数a的取值范围为　　　　.  答案　(0,1) 解析　设函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a(a＋1), 由题意得 即 解得0<a<1. 1.知识清单： (1)根据零点情况求参数. (2)一元二次方程根的分布问题. 2.方法归纳：判别式法、数形结合法. 3.常见误区：不能把函数、方程问题相互灵活转化. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共40分；多选题每小题6分,共12分 1.当|x|≤1时,函数f(x)＝ax＋2a＋1的值有正也有负,则实数a的取值范围是(　　) A. B.(－∞,－1] C. D. 答案　C 解析　|x|≤1⇒－1≤x≤1. 当a＝0时,f(x)＝1,函数值恒为正,不符合题意； 当a≠0时,要想函数f(x)＝ax＋2a＋1的值有正也有负, 只需f(1)·f(－1)<0, 即(a＋2a＋1)(－a＋2a＋1)＝(3a＋1)(a＋1)<0 ⇒－1<a<－. 综上所述,－1<a<－. 2.方程x＋log3x＝3的解为x0,若x0∈(n,n＋1),n∈N,则n等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　设f(x)＝x＋log3x－3, 则f(1)＝1＋log31－3＝－2<0, f(2)＝2＋log32－3＝log32－1<0, f(3)＝3＋log33－3＝1>0, 又易知f(x)为增函数,f(2)·f(3)<0, 所以方程x＋log3x＝3的解在(2,3)内,因此n＝2. 3.已知关于x的方程x2－kx＋k＋3＝0的两个不相等的实数根都大于2,则实数k的取值范围是(　　) A.k>6 B.4<k<7 C.6<k<7 D.k<－2或k>6 答案　C 解析　∵关于x的方程x2－kx＋k＋3＝0的两个不相等的实数根都大于2, ∴解得6<k<7. 4.若函数f(x)＝(其中a>0,a≠1)存在零点,则实数a的取值范围是(　　) A.∪(1,3) B.(1,3] C.(2,3) D.(2,3] 答案　C 解析　由函数的解析式可知a>2, 因为指数函数y＝ax单调递增,在区间(2,a]上无零点, 所以函数y＝loga(x－2)在区间(a,＋∞)上存在零点, 由于y＝loga(x－2)单调递增, 故当x＝a时,有loga(a－2)<0＝loga1, 从而a－2<1⇒a<3, 所以实数a的取值范围是(2,3). 5.若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1,另一个大于2,则a的取值范围是(　　) A.(0,3) B.[0,3] C.(－3,0) D.(－∞,1)∪(3,＋∞) 答案　A 解析　因为方程－x2＋ax＋4＝0有两根,一个大于2,另一个小于－1, 所以函数 f(x)＝－x2＋ax＋4有两个零点,一个大于2,另一个小于－1,由二次函数的图象可知, 即 解得0<a<3. 6.(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点x1,x2,则(　　) A.a<1 B.若x1x2≠0,则 C.f(－1)＝f(3) D.函数y＝f(|x|)有四个零点 答案　ABC 解析　若函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点, 则对于方程x2－2x＋a＝0,Δ>0, 即4－4a>0,解得a<1,故A正确； 因为x1＋x2＝2,x1x2＝a, 所以故B正确； 因为f(－1)＝1＋2＋a＝3＋a, f(3)＝9－6＋a＝3＋a, 所以f(－1)＝f(3),故C正确； 由选项A知a<1, 当0<a<1时,y＝f(|x|)有四个零点, 当a＝0时,y＝f(|x|)有三个零点, 当a<0时,y＝f(|x|)有两个零点,故D错误. 7.(5分)已知函数f(x)＝若正实数a,b,c互不相等,且f(a)＝f(b)＝f(c),则abc的取值范围为　　　　.  答案　(e,e2) 解析　画出f(x)的图象如图所示, ∵正实数a,b,c互不相等,且f(a)＝f(b)＝f(c), 不妨设a<b<c, 则由图象可得0<a<1<b<e<c<e2, 且－ln a＝ln b,则可得ab＝1, ∴abc＝c∈(e,e2). 8.(5分)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有三个零点,则k的取值范围是　　　　.  答案　(－1,1) 解析　令g(x)＝f(x)－k＝0,可得f(x)＝k, 作出y＝f(x)的图象,如图, 由图可知,当y＝k与y＝f(x)的图象有三个不同的交点时,－1<k<1, 所以k的取值范围是(－1,1). 9.(10分)已知函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个零点,求实数a的取值范围. 解　由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2, 因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个零点, 所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点, 画出函数y＝2|x|－x2的图象,如图所示, 观察图象可知,0<a－1<1,即1<a<2, 所以实数a的取值范围是(1,2). 10.(11分)已知函数f(x)＝4x－2x＋1－m. (1)当m＝0时,求函数f(x)的零点；(5分) (2)若函数f(x)有两个零点,求实数m的取值范围.(6分) 解　(1)当m＝0时,f(x)＝4x－2x＋1 ＝(2x)2－2·2x＝2x(2x－2). 令f(x)＝0,可得2x＝2,即x＝1. ∴函数f(x)的零点是1. (2)令2x＝t,显然t>0,则y＝t2－2t－m. ∵函数f(x)有两个零点,且t＝2x为单调函数, ∴方程t2－2t－m＝0在(0,＋∞)上有两个不相等的解, ∴ 解得－1<m<0. ∴实数m的取值范围是(－1,0). 11.设x1,x2,x3均为实数,且＝log2(x1＋1)＝log3x2＝log2x3,则(　　) A.x1<x3<x2 B.x3<x2<x1 C.x1<x2<x3 D.x3<x1<x2 答案　A 解析　如图所示,由图象可知,x1<x3<x2. 12.(多选)已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c在(0,2)上有两个零点.下列说法正确的有(　　) A.f(0)>0且f(2)>0 B.f(1)<0 C.f(0)·f(2)>1 D.f(0)和f(2)中至少有一个小于1 答案　AD 解析　不妨设二次函数f(x)＝x2＋bx＋c在(0,2)上的两个零点为x1,x2,且x1<x2, 所以故A正确； 当x1,x2∈(0,1)时,f(1)>0,故B错误； 若x1＝1,x2＝ 则f(x)＝(x－1)＝x2－x＋ 此时f(0)＝f(2)＝ 则f(0)·f(2)＝<1,故C错误； 方法一　当f(1)＝1＋b＋c<0时,4＋2b＋2c<2,即f(0)＋f(2)<2, 所以f(0)和f(2)中至少有一个小于1； 当f(1)＝1＋b＋c≥0时,－∈(0,1)或(1,2), 若－∈(0,1),则f(0)＝c<<1, 若－∈(1,2),则f(2)＝4＋2b＋c<4＋2b＋<1,故D正确. 方法二　若f(0)≥1,f(2)≥1,即c≥1,4＋2b＋c≥1, 由Δ＝b2－4c>0,得b2>4c≥4, 则b<－2或b>2,结合0<－<2, 得－4<b<－2, 则f(2)＝4＋2b＋c<4＋2b＋<1, 这与f(2)≥1矛盾,故f(0)和f(2)至少有一个小于1,故D正确. 13.对实数a,b,定义运算“*”：a*b＝ 设函数f(x)＝(x2＋1)*(x＋2),若函数y＝f(x)－c有两个零点,则实数c的取值范围是(　　) A.(2,4)∪(5,＋∞) B.(1,2]∪(4,5] C.(－∞,1)∪(4,5] D.[1,2] 答案　B 解析　由题意知, 当(x2＋1)－(x＋2)≤1, 即－1≤x≤2时,f(x)＝x2＋1； 当(x2＋1)－(x＋2)>1, 即x<－1或x>2时,f(x)＝x＋2. ∴f(x)＝ ∵函数y＝f(x)－c有两个零点, ∴函数y＝f(x)的图象与函数y＝c的图象有两个交点. 画出函数y＝f(x)的图象,如图所示. 由图可知,当c∈(1,2]∪(4,5]时,函数y＝f(x)－c有两个零点. 14.(5分)已知函数f(x)＝若存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)＝f(x2),则实数a的取值范围是　　　　.  答案　(0,1) 解析　因为存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)＝f(x2),故函数不是单调函数, 又y＝x＋1与y＝2x交于(0,1)和(1,2)点,画出图象如图所示, 由图可知,当0<a<1时,满足题意. 即实数a的取值范围是(0,1). 15.已知函数f(x)＝若函数g(x)＝[f(x)]2＋3f(x)＋m(m∈R)有三个零点,则m的取值范围为(　　) A.m< B.m≤－28 C.－28≤m< D.m>28 答案　B 解析　画出函数f(x)的大致图象如图所示. 设t＝f(x),则由图象知, 当t≥4时,t＝f(x)有两个根, 当t<4时,t＝f(x)只有一个根. 函数g(x)＝[f(x)]2＋3f(x)＋m(m∈R)有三个零点,等价于函数g(x)＝h(t)＝t2＋3t＋m有两个零点t1,t2,其中t1<4,t2≥4,则满足 解得即m≤－28. 16.(12分)已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1. (1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点；(5分) (2)若函数恰有一个零点在原点处,求m的值；(3分) (3)若f(x)＝0有两个根,且一个根大于2,一个根小于2,求实数m的取值范围.(4分) 解　(1)若函数有两个零点, 则方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根, 易知Δ>0,即4＋12(1－m)>0,解得m<. 由Δ＝0,解得m＝；由Δ<0,解得m>. 故当m<时,函数有两个零点； 当m＝时,函数有一个零点； 当m>时,函数无零点. (2)由题意知0是方程－3x2＋2x－m＋1＝0的根, 故有1－m＝0,解得m＝1. (3)由题意可得即 解得m<－7, 故实数m的取值范围为(－∞,－7). 学科网（北京）股份有限公司 $